Bài giảng toán cao cấp

() 0 Ths NGUYỄN QUỐC TIẾN NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GI ẢNG TOÁN CAO CẤP THÀNH PH Ố HỒ CHÍ MINH 2011 1 1 Ths NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1 1 Giới hạn hàm số 1 1 1 Định nghĩa[.]

NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG GIỚI HẠN-TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Giới hạn hàm số 1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định lân cận x0 (có thể trừ x0 ) Số L gọi giới hạn hàm số f ( x ) x dần đến x0 nếu:   0,   0, x  D : (0  x  x0    f ( x)  L   ) kí hiệu lim f ( x)  L hay f ( x )  L x  x0 x  x0 Giới hạn hàm số f ( x ) x dần đến x0 cịn định nghĩa thơng qua giới hạn dãy số sau: lim f ( x)  L    xn  : xn  x0  f ( xn )  L x  x0 1.1.2 Định lí Cho f ( x ), u ( x), v( x ) xác định lân cận x0 trừ x0 Nếu u ( x)  f ( x)  v( x) với x thuộc lân cận lim u ( x)  lim v ( x )  L x  x0 lim f ( x)  L x  x0 x  x0 Ví dụ Chứng minh lim x0 Thật x :0  x  lim x 0 sin x x sin x x 1  sin x ta có bất đẳng thức cos x   , mà lim cos x  suy x 0 x 1 1.1.3 Một số tính chất giới hạn hàm số i) Nếu lim f ( x)  L giới hạn x  x0 ii) lim C  C (C : số) x  x0 iii) Nếu f ( x)  g ( x), x thuộc lân cận x0 vơ cực lim f ( x)  lim g ( x) (nếu giới hạn tồn tại) x  x0 x  x0 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN iv) Nếu f ( x)  g ( x)  h( x), x thuộc lân cận x0 vơ cực lim f ( x)  L  lim h ( x) lim g ( x)  L x  x0 x  x0 x x v) Giả sử hàm số f ( x), g ( x) có giới hạn x  x0 ta có kết sau : lim ( f ( x)  g ( x ))  lim f ( x )  lim g ( x ) x  x0 x  x0 lim kf ( x)  k lim f ( x) x  xo x  x0 x  xo lim f ( x) g ( x)  lim f ( x) lim g ( x) x  xo lim x  x0 x  xo  x  xo f ( x) f ( x) xlim x  , lim g ( x )  g ( x ) lim g ( x) x x0 x  x0  1.2 Vô bé Giả sử ta xét hàm trình, chẳng hạn x  xo (Những kết đạt trình khác) 1.2.1 Định nghĩa Hàm  ( x) gọi vô bé (VCB) trình x  xo lim  ( x )  x  x0 Ví dụ sin x, tgx,  cos x VCB x  , x 1 VCB x   x2  1.2.2 So sánh hai VCB Cho  ( x)  ( x ) hai VCB trình (chẳng hạn x  xo ) Khi tốc độ tiến chúng đơi có ý nghĩa quan trọng Cụ thể ta có định nghĩa: Nếu lim  ( x)  ta nói  ( x) VCB bậc cao VCB  ( x) q trình (  ( x)  ( x) dần tới nhanh  ( x ) x  xo ) Nếu lim  ( x)  L  ta nói  ( x)  ( x ) hai VCB ngang cấp q trình (  ( x)  ( x)  ( x ) dần tới ngang x  xo Đặc biệt L  ta nói  ( x)  ( x ) hai VCB tương đương, kí hiệu  ( x)   ( x) 1.2.3 Một số VCB tương đương x  sin x  x tgx  x arctgx  x; arcsin x  x Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN  cos ax  1  x  log (1  x)  x a ln a (ax )2 a x -1  x ln a e x -1  x  1   x ln(1  x)  x an x n  an 1 x n 1   a p x p  a p x p , (n  p, a p  0) Sinh viên tự kiểm tra tương đương (xem tập) Ví dụ So sánh cấp VCB:  ( x)  sin x  tgx;  ( x)   cos x , x  Ta có: sin x  tgx  ( x) lim  lim  lim x 0  ( x) x   cos x x 0     sin x cos x   lim 0 x  cos x  cos x sin x   Do đó,  ( x) VCB cấp cao  ( x ) Ví dụ So sánh cấp VCB:  ( x)   cos x,  ( x)  x , x  Ta có: lim x 0  ( x)  ( x)  lim x 0  cos x x  0 Do đó,  ( x )  ( x) hai VCB cấp 1.2.4 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao i) Nếu  ( x )  1 ( x)  ( x)  1 ( x) trình trình lim  ( x)  ( x)  lim  ( x) 1 ( x ) ii) Cho  ( x )  ( x) hai VCB q trình  ( x ) có cấp cao  ( x) Khi  ( x )   ( x)   ( x) Từ hai kết ta suy quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử  ( x )  ( x) hai VCB q trình  ( x )  ( x) tổng nhiều VCB Khi giới hạn tỉ số  ( x )  ( x)  ( x) giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp  ( x) Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1) lim x 0 Ta có lim x 0 2) x  3sin x  sin x x  x3  x8 x  3sin x  sin x 5x  x  x lim x 0  x 1  x 1  lim x 0 x 5x  Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN Khi x  ta có  x   (1  x)   Suy  x 1 3) Khi x   x 1  Vậy lim tgx  sin x x 0 x x 0  x 1  x 1  1 x ;  x   (1  x)   x 3 lim , ta có: tgx  sin x x  x tgx  sin x   x  Do lim 2 x 0 x x x tgx  sin x  sin x x 0 x3 4) Tính lim Ta có x x sin x(1  cos x ) tgx  sin x    x3 x  cos x Do tgx  sin x  sin x  3 x  x  x3 x  2 3 x tgx  sin x  sin x   x  Suy x x Vậy tgx  sin x  sin x  x  x0 x3 lim 1.3 Hàm số liên tục 1.3.1 Các định nghĩa Hàm số y  f ( x) gọi liên tục xo  D lim f ( x )  f ( x0 ) Khi x0 gọi x  x0 điểm liên tục hàm f ( x ) Hàm số y  f ( x) gọi liên tục (a, b) f ( x ) liên tục điểm thuộc (a, b) Hàm số y  f ( x) gọi liên tục bên trái (bên phải) x0  D lim f ( x )  f ( x0 ) ( lim f ( x)  f ( x0 ) ) x  x0 x  x0 Hàm f ( x ) gọi liên tục [a, b] f ( x ) liên tục (a, b) liên tục bên phải a, bên trái b 1.3.2 Tính chất hàm số liên tục Giả sử f ( x), g ( x) hai hàm liên tục [a, b] Khi đó: Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN i) f ( x)  g ( x) f ( x) g ( x) liên tục [ a, b] , g ( x)  f ( x) g ( x) liên tục [a, b] ii) f ( x) liên tục [ a, b] iii) Nếu u ( x ) liên tục x0 f (u ) liên tục u0  u ( x0 ) hàm f 0u ( x) liên tục x0 iv) f ( x) liên tục [a, b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé đoạn 1.3.3 Điểm gián đoạn Nếu f ( x ) không liên tục x0  D ta nói f ( x ) gián đoạn x0 điểm x0 gọi điểm gián đoạn Hàm f ( x ) gián đoạn tai x0 tồn giới hạn f(x) x0 , x0 x0 gọi điểm gián đoạn loại Các điểm gián đoạn khác gọi điểm gián đoạn loại Ví dụ Xét tính liên tục hàm 1, x   1) f ( x )   sin x  , x  Ta có lim f ( x )  lim x 0 sin x x 0 x   f (0)  Vậy f ( x) gián đoạn x  ,và x  điểm gián đoạn loại 1  x, x  2) f ( x)   -1  x, x  Hàm số gián đoạn x  lim f ( x)  1, lim f ( x )  1 x  0 x 0 nên x  điểm gián đoạn loại 3) f ( x )  2x  x2 , có điểm gián đoạn x0  Ta có lim f ( x )   lim f ( x )   x 2  x 2  Suy x0  điểm gián đoạn loại BÀI TẬP CHƯƠNG I Câu Tìm miền xác định hàm số Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN a) y  ln  x d) e x  x 1 b) y  arctan c) n  3n  n ;ds n 2n  n x 1 c) sin x x  2x  f) Câu Tính giới hạn dãy số sau: a) lim ( n  n  n ) ; ds 1 n4  n  n ;ds n  n2   1 d) lim      n  1.2 2.3 n.( n  1)   Câu Tính giới hạn hàm số sau: x 1 x2 x  x  b) lim a) lim x  x 1 x  x  2x2 x  x4  a4 xa x3  a 2x 1  a) lim x 4 x4  x2  x  b) lim c) lim e) lim 1 x x  x 1 1 x x 1 x 1 d) lim x 1 f) lim( x  x  x ) g) lim(2 x  x  x ) b) lim d) lim x  x  x 2 x 4  x  3x  x 1 x 1 x 1 Câu Tính giới hạn hàm số sau: (1  cos x)2  cos x a) lim ; ds 1/4 b) lim ; ds x  x sin x tan x x 0 sin x sin 3x tgx  sin x ; ds 3/2 d) lim ; ds ½ c) lim x 0 ln(2 x  1) x 0 x3 Câu Tính giới hạn hàm số sau: a) lim(s in x  cos x)cot x ; ds e b) lim x ln x ; ds x 0 x x 2( x 1) c) lim xe ; ds d) lim x e) lim f) lim(cos x) x x  x 0 x  sin x  tan x ;ds 1/3 3x  x  x x 1 ; ds e x 0 Câu Tìm a để hàm số sau liên tục tập xác định chúng 1  cos x ( x  0) 1   x ln x ( x  0)  x ( 0)  x2  c) y   b) y   a) y   x  a ( x  0)  a  x ( x  0) ( x  0)  a  Câu Tìm điểm gián đoạn hàm số chúng thuộc loại  sin x ( x  0) 0 x  x 1 x2  x   y x b) y  a) y  c) y   2x  x2 1 x  a ( x  0)  Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Đạo hàm điểm Cho hàm số y  f ( x) xác định x0 lân cận x0 Khi tỉ số f ( x )  f ( x0 ) x  x0 có giới hạn x  x0 ta nói f ( x ) khả vi x0 hay f ( x ) có đạo hàm x0 giới hạn gọi đạo hàm f ( x) x0 Ký hiệu f '( x0 ) hay y '( x0 ) Vậy f '( x)  lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 Nếu đặt  x  x0  x x  x  x0    x  x0  x  Lúc f '( x0 )  lim x  f ( x0  x )  f ( x0 ) x Hàm số y  f ( x) gọi có đạo hàm khoảng (a, b) có đạo hàm điểm x0  ( a , b) Khi đạo hàm hàm số f ( x ) hàm số xác định (a, b) Cho nên ký hiệu đạo hàm y  f ( x) (a, b) f '( x) y ' Vậy y '  f '( x)  lim x  f ( x  x )  f ( x) x Ví dụ Xét hàm số y  f ( x)  x Ta có miền xác định hàm số R Đạo hàm hàm số tập xác định y '  lim x   lim x  f ( x  x )  f ( x )  lim x  x ( x  x  x )( x  x  x ) x Do y '  f '( x)  ( x ) '  x ( x  x)  x x  lim (2 x  x)  x x  Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN 2.1.2 Bảng đạo hàm C' ( C  const ) ( x ) '   x 1 ,   R   ln x  '  1x (log a x ) '  ( e) '  e x  x  n n ' n x n 1 x ln a (sin x) '  cos x (cos x)'  -sin x   tg x (tgx)'  cos x (cot gx) '    (1  cot g x) sin x 2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm Nếu hai hàm u ( x) v ( x) có đạo hàm điểm x tổng, hiệu, tích, thương chúng có đạo hàm điểm x và: (u  v ) '  u ' v ' (ku ) '  ku ', k  R (u.v ) '  u ' v  uv ' u u ' v - uv ' ( )'  , v0 v v2 2.1.4 Đạo hàm hàm hợp Xét hàm hợp y  y  u ( x)  hàm y  y(u ) có đạo hàm u u  u ( x) có đạo hàm x y  y  u ( x)  có đạo hàm x y '( x )  y '(u ).u '( x) Ví dụ Xét hàm số y  (1  x )10 Ta có y '  10(1  x3 )9 (1  x ) '  10(1  x )9 x  30 x (1  x ) Ví dụ Giả sử  ( x),  ( x) có đạo hàm với x  R Tính đạo hàm hàm y   ( x)  ( x) Đặt u   ( x)   ( x) y  u Ta có Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN y '( x )  y '(u ).u '( x)    2 ( x) '( x)  2 ( x) '( x)  u  ( x) '( x)  ( x) '( x)  ( x)   ( x)  1 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: y  1    x x Ta có ln y  x ln(1  ) x Lấy đạo hàm hai vế ta được: y' 1  ln(1  )  y x x 1 1   1  Suy y '     ln(1  )  x x    x  x 2.1.5 Đạo hàm cấp cao Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x) Hàm số f '( x) gọi đạo hàm cấp f ( x) Nếu f '( x) khả vi đạo hàm f '( x) gọi đạo hàm cấp hai f ( x ) ký hiệu f ''( x) Vậy f ''( x)   f '( x )  ' Tổng quát, đạo hàm đạo hàm cấp n  f ( x ) gọi đạo hàm cấp n f ( x) ký hiệu f ( n ) ( x) f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)  ' Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n y  f ( x )  xe x Ta có y '  e x  xe x  (1  x)e x y "  e x  (1  x)e x  (2  x )e x Chứng minh quy nạp ta đến kết sau y ( n )  ( n  x)e x 2.1.6 Vi phân Cho hàm số y  f ( x) xác định (a, b) x  (a, b) , hàm số y  f ( x) khả vi điểm x số gia hàm số x viết dạng f ( x)  f ( x  x) - f ( x)  f '( x)x  o(x ) với o (x) VCB cấp cao x x  Biểu thức f '( x).x gọi vi phân f ( x ) x Ký hiệu: df ( x) dy ( x) tức df ( x)  f '( x).x Xét hàm y  f ( x)  x ta có f '( x)  nên df ( x)  dx  1.x  x từ ta có Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN ... cấp cao  ( x ) Ví dụ So sánh cấp VCB:  ( x)   cos x,  ( x)  x , x  Ta có: lim x 0  ( x)  ( x)  lim x 0  cos x x  0 Do đó,  ( x )  ( x) hai VCB cấp 1.2.4 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp. .. x    x  x 2.1.5 Đạo hàm cấp cao Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ''( x) Hàm số f ''( x) gọi đạo hàm cấp f ( x) Nếu f ''( x) khả vi đạo hàm f ''( x) gọi đạo hàm cấp hai f ( x ) ký hiệu f ''''(... suy quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử  ( x )  ( x) hai VCB q trình  ( x )  ( x) tổng nhiều VCB Khi giới hạn tỉ số  ( x )  ( x)  ( x) giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp  ( x) Ví dụ Tìm