Luận văn thạc sĩ khai thác mối quan hệ hình học đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH CÔNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH CƠNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 c i Möc lưc Líi c£m ìn Líi nâi ¦u 1 Khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc 1.1 ị tững chung 1.2 Mët sè v½ dư minh håa 1.2.1 B i to¡n cüc trà H¼nh håc 1.2.2 B i to¡n quÿ t½ch 14 Khai thĂc kián thực Hẳnh hồc  giÊi mởt số bi toĂn Ôi số 19 2.1 Þ t÷ðng chung 2.2 Mët sè v½ dư minh håa 2.2.1 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc 2.2.2 Bi toĂn biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số 2.2.3 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc 2.2.4 B i to¡n cüc trà Ôi số Kát luên T€I LI›U THAM KHƒO 19 19 19 37 43 50 58 59 c Lới cÊm ỡn Trong suốt quĂ trẳnh lm luên vôn, tổi luổn nhên ữủc sỹ ừng hở, hữợng dăn v gióp ï cõa PGS TS Trành Thanh H£i Th¦y ln quan t¥m, theo dãi s¡t sao, d nh nhi·u thíi gian ch bÊo tên tẳnh, hữợng dăn v giÊi Ăp cĂc th­c m­c cõa tỉi Tỉi xin b y tä láng bi¸t ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt án ThƯy Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn án cĂc ThƯy, Cổ khoa ToĂn  Tin v o TÔo cừa trữớng Ôi Hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản cụng nhữ cĂc ThƯy Cổ tham gia giÊng dÔy khõa hồc cao hồc 2017  2019  tên tẳnh ch bÊo truyÃn Ôt kián thực suốt thới gian theo hồc, thỹc hiằn v hon thnh luên vôn Cuối cũng, tổi xin gỷi lới cĂm ỡn tợi gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  luổn ởng viản, giúp ù, l chộ dỹa vỳng chưc và vêt chĐt v tinh thƯn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thiằn luên vôn thÔc s ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2019 TĂc giÊ Nguyạn Thnh Cổng c Lới nõi Ưu Lỵ chồn à ti Hẳnh hồc v Ôi số l hai nởi dung quan trồng xuyản suốt chữỡng trẳnh toĂn THCS - THPT gõp phƯn cĐu thnh nản bở mỉn To¡n håc Do â, vi»c nghi¶n cùu khai th¡c mối quan hằ giỳa Hẳnh hồc v Ôi số l mởt vĐn à rĐt Ăng  quan tƠm ỗng thới thỉng qua â, cho ta c¡i nh¼n têng thº hìn, gâp ph¦n gióp chóng ta hiºu rã hìn v· To¡n hồc cụng nhữ giúp ẵch cho viằc dÔy v hồc bë mỉn To¡n håc Hi»n nay, n·n gi¡o dưc ti¶n tián cừa cĂc nữợc phĂt trin trản thá giợi rĐt quan tƠm trồng viằc dÔy v hồc liản mổn: giỳa cĂc mổn vợi v giỳa cĂc phƠn mổn cịng mët mỉn håc N·n gi¡o dưc cõa Vi»t Nam khổng nơm ngoi xu hữợng cừa thới Ôi,  v ang dƯn chuyn mẳnh tiáp cên hồc họi, sĂng tÔo v ựng dửng xu hữợng dÔy hồc ny Chữỡng trẳnh ToĂn trữớng THCS - THPT hiằn nay, bở mỉn To¡n chùa hai m£ng rã r»t: ph¦n l  Ôi số, phƯn l Hẳnh hồc iÃu ny cõ mt tẵch cỹc l giúp hồc sinh nhên biát ữủc cĐu trúc chữỡng trẳnh v tiáp thu kián thực mởt cĂch cõ hằ thống Những ngữủc lÔi, nõ lm cho hồc sinh hiu rơng Ơy l hai phƠn mổn ởc lêp vợi nhau, khổng cõ mối quan hằ tữỡng trủ qua lÔi, cụng nhữ viằc gưn kát hai phƠn mỉn n y s¡ch gi¡o khoa THCS- THPT l  ch÷a ữủc à cêp ró rng Ưy ừ Thỹc tá quĂ trẳnh dÔy v hồc  chựng minh rơng, hồc sinh hiu biát và mối quan hằ Hẳnh hồc v Ôi số khĂ mỡ hỗ v gƯn nhữ hiu Ơy l phƠn mổn riảng biằt, gõp phƯn tÔo nản mổn ToĂn hồc CĂc em hồc phƠn mổn no thẳ hồc v lm bi têp phƠn mổn õ, cụng nhữ giĂo viản dÔy hồc theo tiát mổn Hẳnh hồc thẳ chuyản lm bi và Hẳnh hồc, Ôi số thẳ chuyản lm bi và Ôi số, ẵt hoc khổng hoc chữa trồng à cêp án sỹ liản kát giỳa Hẳnh hồc v Ôi số giÊng dÔy cụng nhữ giÊi bi têp c Thổng qua tẳm hiu thỹc tá, tổi thĐy rơng viằc khai thĂc mối quan hằ giỳa hai phƠn mổn Hẳnh hồc v Ôi số s gõp phƯn quan trång gióp c¡c em hiºu bi¸t hìn v· bë mỉn To¡n håc, cơng nh÷ trđ gióp c¡c em ỉn thi v  thi håc sinh häi c§p THCS - THPT cõ cĂi nhẳn mợi, hữợng i mợi, cĂch tiáp cên lới giÊi mợi, phong phú hỡn quĂ trẳnh ổn luyằn v thi mổn ToĂn Vẳ nhỳng lỵ trản, tỉi quy¸t ành chån · t i: "Khai th¡c mèi quan hằ Hẳnh hồc - Ôi số vo giÊi mởt số b i to¡n d nh cho håc sinh giäi" Thỉng qua nghi¶n cựu nhọ ny, tổi mong rơng mẳnh s gõp phƯn l m rã hìn mèi quan h» giúa hai ph¥n mỉn Hẳnh hồc v Ôi số, mối quan hằ tữỡng trủ lăn quĂ trẳnh giÊng dÔy v hồc ToĂn cừa bÊn thƠn THCS Mửc ẵch, nhiằm vử cừa luên vôn Mửc ẵch cừa luên vôn ny l khai thĂc mối quan hằ giỳa Hẳnh hồc v Ôi số gõp phƯn tiáp cên hữợng giÊi toĂn mợi cừa bi toĂn bơng ữớng vên dửng tẵnh chĐt Ôi số  giÊi bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi giÊi cĂc bi toĂn Hẳnh hồc vợi cổng cử Ôi sè thæng qua vi»c gi£i mët sè b i to¡n d nh cho håc sinh giäi, l  · thi chån håc sinh giọi cĂc tnh, ton quốc v khu vỹc Luên vôn têp trung vo hon thnh cĂc nhiằm vử chẵnh sau: ã ị tững khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, cổng cử cừa Ôi số  giÊi bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi ã Sữu tƯm mởt bi toĂn, à thi và Ôi số, Hẳnh hồc dnh cho hồc sinh giọi ã ữa lới giÊi bơng cĂch vên dửng tẵnh chĐt, cổng cử cừa Ôi số  giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, phữỡng phĂp Hẳnh hồc  giÊi cĂc bi toĂn Ôi số dnh cho hồc sinh giọi Nởi dung cừa à ti luên vôn Nởi dung luên vôn ngoi phƯn m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo s gỗm chữỡng: Chữỡng 1: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc Chữỡng 2: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Hẳnh hồc  giÊi mởt số bi toĂn Ôi số c Chữỡng Khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc 1.1 ị tững chung Nởi dung chữỡng minh hồa ỵ tững vên dửng cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ, cổng cử Ôi số quĂ trẳnh tẳm líi gi£i cho mët sè b i to¡n H¼nh håc bơng cĂch ữa mởt số vẵ dử sỷ dửng kián thực Ôi số  ữa lới giÊi cho mët sè b i to¡n chån låc d nh cho håc sinh giäi, l  · thi chån håc sinh giäi c¡c àa ph÷ìng, to n qc cơng nh÷ · thi chån håc sinh giọi khu vỹc ChƠu - ThĂi Bẳnh Dữỡng v mởt số nữợc khu vỹc ổng u Mởt nhỳng khƠu quan trồng ân nhỳng vẵ dử l viằc bián ối bi toĂn ban Ưu  chúng bởc lở nhỳng im cõ th vên dửng cĂc tẵnh chĐt cừa Ôi số  giÊi quyát vĐn Ã, cõ th tÔm gồi Ơy l quĂ trẳnh "Ôi số hõa bi toĂn h¼nh håc" , sau â l  qu¡ tr¼nh sû dưng cổng cử Ôi số  phĂt biu bi toĂn Hẳnh hồc ban Ưu 1.2 Mởt số vẵ dử minh hồa 1.2.1 Bi toĂn cỹc tr Hẳnh hồc XuĐt phĂt tứ bĐt ng thực (BT) Ôi số rĐt quen thuởc sau Ơy BT Vợi cĂc số dữỡng a, b, c câ  1 + + (a + b + c) a b c c  ≥ ¯ng thùc x£y v  ch¿ a = b = c Líi gi£i  1 (a + b + c) + + a b c  a a b b c c −9=1+ + + +1+ + + +1−9 b c a c a b       a b b c c a = + −2 + + −2 + + −2 b a c b a c 2 (a − b) (b − c) (c − a) = + + ≥ ab bc ac ¯ng thùc x£y v  ch¿ a − b = b − c = c − a = ⇔ a = b = c BT Vỵi c¡c sè d÷ìng a, b, c câ b c a + + ≥ b+c c+a a+b ¯ng thùc x£y v  ch¿ a = b = c Líi gi£i p dưng BT ta câ      a b c +1 + +1 + +1 −3 b+c c+a a+b   1 = (a + b + c) + + −3 b+c c+a a+b   1 1 + + −3 = [(b + c) + (c + a) + (a + b)] b+c c+a a+b ≥ −3= 2 b c a + + = b+c c+a a+b  ¯ng thùc x£y b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c Câ thº vªn dưng hai bĐt ng thực trản vo giÊi v sĂng tÔo cĂc bi toĂn chựa bĐt ng thực Hẳnh hồc hoc tẳm cỹc tr Hẳnh hồc Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa ữủc trẵch dăn tứ TÔp chẵ To¡n Håc v  Tuêi Tr´ v  c¡c t i li»u tham kh£o B i to¡n 1.2.1.1 Cho tam gi¡c ·u ABC câ cÔnh bơng a Gồi ữớng vuổng gõc tứ im M nơm tam giĂc án cĂc cÔnh BC, CA, AB lƯn lữủt l M D, M E, M F X¡c ành tr½ cõa M º: 1 a) + + Ôt giĂ tr nhọ nhĐt Tẵnh giĂ trà â MD ME MF 1 b) + + Ôt giĂ tr nhọ nhĐt Tẵnh giĂ MD + ME ME + MF MF + MD trà â c Líi gi£i H¼nh √ a Gåi h = l  ë d i ÷íng cao cõa tam gi¡c ·u ABC v  °t M D = x, M E = y, M F = z Ta câ SABC = SM BC + SM AC + SM AB ⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h khỉng êi a) p dưng BT ta câ  1 + + (x + y + z) x y z  √ 1 ≥9⇒ + + ≥ = x y z h a b) p döng BT ta câ   1 (x + y + y + z + z + x) + + ≥9 x+y y+z z+x √ 1 3 ⇔ + + ≥ = x+y y+z z+x 2h a Trong c£ hai tr÷íng hđp ¯ng thùc x£y v  ch¿ x = y = z , lúc õ M l tƠm ữớng trỏn nëi ti¸p ∆ABC B i to¡n 1.2.1.2 Gåi H l  trỹc tƠm tam giĂc ABC cõ ba gõc nhồn vợi ba ÷íng cao AA1 ; BB1 ; CC1 Chùng minh r¬ng a) AA1 BB1 CC1 + + ≥9 HA1 HB1 HC1 c b) HA1 HB1 HC1 + + ≥ HA HB HC ¯ng thùc x£y no? Lới giÊi Hẳnh Gồi diằn tẵch tam giĂc ABC, HBC, HAC, HAB lƯn lữủt l S, S1 , S2 , S3 th¼ S = S1 + S2 + S3 a) Dạ thĐy S1 HB1 S2 HC1 S3 HA1 = ; = ; = AA1 S BB1 S CC1 S Do â HA1 HB1 HC1 + + = AA1 BB1 CC1 p döng BT ÷đc AA1 BB1 CC1 + + ≥ HA1 HB1 HC1 ¯ng thùc x£y v  ch¿ HA1 HB1 HC1 = = = AA1 BB1 CC1 S , lóc â H vøa l  trüc t¥m, vứa l trồng tƠm cừa tam giĂc ABC nản ABC l  tam gi¡c ·u ⇔ S1 = S2 = S3 = c 27 H¼nh √ 2− Ta câ cos 75 = cos(45 + 35 ) = n¶n theo nh lỵ cosin thẳ r q AC = a2 − − 3ac + c2 p ◦ ◦ ◦ Rã r ng AB + BC ≥ AC n¶n suy i·u ph£i chùng minh D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ A; B; C th¯ng h ng, tùc l  ⇔ SOAB + SOBC = SOAC p p √ ! √ √ ab bc ac + ac + √ + = arcsin 750 = ⇔b= 4 a 2+c (1) Vêy (1) l iÃu kiằn  cõ dĐu bơng bĐt ng thực  cho Bi toĂn 2.2.1.7 Cho a1; a2; an l  n sè thüc b§t ký Chùng minh r¬ng √ q q q p n a21 + (1 − a2 )2 + a22 + (1 − a3 )2 + + a2n−1 + (1 − an )2 + a2n + (1 − a1 )2 ≥ Líi giÊi c 28 Hẳnh 10 Trữớng hủp Náu n chđn XƠy dỹng cĂc oÔn A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = = An An+1 = An+1 An+2 = (xem hẳnh v, Ơy  ỡn giÊn ta v vợi n = 4) Trản oÔn Ai Ai+1 ( i = 1, 2, 3, , n + 1) l§y iºm Bi cho Bi Ai + = (riảng trản oÔn An+1 An+2 lĐy Bn+1 cho Bn+1 An+2 = a1 , tùc l  an+1 = a1 ) Khi õ im Bi s nơm trĂi hoc dữợi im Ai+1 náu > (vẵ dử hẳnh minh hồa trản thẳ < a1 < 1, < a2 < 1, a3 > 1, a4 < 0) Theo cĂch xƠy dỹng trản thẳ Bi+1 Ai+1 = |1 − ai+1 | n¶n Bi Bi+1 = q Bi A2i+1 + Bi+1 A2i+1 q = a21 + (1 a2i+1 ) Tứ õ vá trĂi cừa bĐt ng thực  cho l ở di ữớng gĐp khúc B1 B2 Bn Bn+1 Do n chđn nản n , n CBn+1 = A1 A2 + A3 A4 + + An−1 An = √ n Vªy tø tam gi¡c vng B1 CBn+1 , ta câ B1 Bn+1 = Tứ ở di ữớng gĐp khóc nèi B1 , Bn+1 , khỉng nhä hìn ë d i B1 Bn+1 ,ta suy i·u ph£i chùng minh B1 C = A2 A3 + A4 A5 + + An An+1 = Trữớng hủp Náu n l c 29 °t a + n + = a1 , an+2 = a2 , , a2n = an Khi â ¡p dưng tr÷íng hđp 1, ta câ √ p p p 2n a21 + (1 − a2 )2 + a22 + (1 − a3 )2 + + a22n + (1 − a1 )2 ≥ hay √ q p 2n 2 2( a1 + (1 − a2 )2 + + a2n + (1 − a1 )2 ) ≥ (i·u ph£i chùng minh) Ta thĐy dĐu bơng cõ v ch B1 ; B2 ; ; Bn+1 th¯ng h ng i·u â x£y a1 = a3 = = an+1 = a ; a2 = a4 = = an = a náu n chđn a1 = a2 = = an n¸u n l´ B i to¡n 2.2.1.8 Chùng minh rơng náu a > c; b > c v c > th¼ p p √ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab Líi gi£i C¡ch (Sû dửng tẵnh chĐt Ôi số) BĐt ng thực Bunyakovsky p dưng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ q q√ √ √ √ √ √ √ √ √ V T = c a − c+ b − c c ≤ ( c) + ( b − c)2 ( a − c).( c)2 = b.a = V P √ √ √ √ c b−c = √ ⇔ c = a − c b − c D§u "=" x£y ⇔ √ c a−c 2 ⇒ c = (a − c).(b − c) ⇒ c = ab − ac − bc + c2 ⇒ ab − ac − bc = ab ⇒ ab = (a + b).c ⇒ c = a+b CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) Tẵnh chĐt cừa vectỡ X²t c¡c vectì ~u=( c; b − c) v  ~v =( a − c; c),ta câ |~u| = b, |~v | = a Ta biát rơng hằ tồa ở Descartes vỵi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ ~u.~v = |~u|.|~v |.cos(~u,~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u,~v ) ≤ 1) ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ≤ q x21 + y12 z12 q + x22 + y22 + z22 +    x = λx2   D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ = 0) ⇔ y1 = λy2    z = λz c 30 p döng v o b i to¡n ta câ p p √ √ √ √ √ √ √ c a − c + b − c c ≤ b a ⇔ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab  √c = λ.√a − c ab ⇒ c = D§u "=" x£y ⇔ √  b − c = λ.√c a+b B i to¡n 2.2.1.9 Gåi α, β ; γ l  ba gõc tÔo bi ữớng cho cừa mởt hẳnh chỳ nhêt vợi ba cÔnh xuĐt phĂt tứ mởt nh Chựng minh r¬ng 1) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2) √ cos2 α + 1+ p cos2 β + 1+ p √ cos2 γ + 1≤ 21 Líi gi£i H¼nh 11 C¡ch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) AA0 AC AB X²t ∆C BA câ : cos β = AC AD X²t ∆C DA câ : cos γ = AC X²t ∆A0 C A câ : cos α = AA02 + AB + AD2 Do â, cos α + cos β + cos γ = = AC 02 A0 A2 + AC A0 C AC 02 = = = = C A2 C A2 AC 02 2 c 31 b) p dưng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ: p p p V T = cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + p p ≤ 12 + 12 + 12 cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + p √ √ = 4(cos2 α + cos2 β + cos2 γ) + = 4.1 + = 21 D§u ” = ” x£y 1 √ =p =p cos2 α + cos2 β + cos2 γ + ⇒ cos α = cos β = cos γ ⇒ α = β = γ ⇒ h¼nh hëp chỳ nhêt tr thnh hẳnh lêp phữỡng CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) 1) LĐy ữớng cho cừa hẳnh hởp chỳ nhêt lm vectỡ ỡn v ~e, ba cÔnh xuĐt phĂt tứ mởt nh cừa hởp lm ba trưc tåa ë th¼ cos α, cos β, cos γ l  c¡c tåa ë cõa ~e â cos2 α + cos2 β + cos2 γ = |~e|2 = 2) X²t c¡c vecto p p √ ~u=( cos2 α + 1; cos2 β + 1; cos2 γ + 1) v  ~u= (1; 1; 1) ta câ p √ √ |~u| = cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + = v  |~v | = Ta biát rơng hằ tồa ở Descartes vợi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u,~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u,~v ) ≤ 1) ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ≤ q x21 + D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ 6= 0) ⇔ y12 (*) z12 q + x22 + y22 + z22 +    x = λx2   y1 = λy2    z = λz p döng v o b i to¡n ta câ p p p √ √ √ ~u.~v ≤ |~u|.|~v | ⇐⇒ cos2 α + 1+ cos2 β + 1+ cos2 γ + ≤ = 21 D§u ” = ” x£y p p p ⇔ cos2 α + = cos2 β + = cos2 γ + 1 ⇔ cos α = cos β = cos γ = √ c 32 B i to¡n 2.2.1.10 Gi£i b§t phữỡng trẳnh p x + x ≥ 2(x − 3)2 + 2x − Líi gi£i √ Vỵi x ≥ x²t c¡c vectì ~u = ( x − 1; x − 3) v  ~e = (1; 1) ta câ p √ |~u| = x − + (x − 3)2 v  |~e| = Trong h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) p dưng b§t ¯ng thùc (∗) v o b i to¡n ta câ √ x−1+x−3≤ p √ x − + (x − 3)2 √ p x − + x − ≤ 2(x − 3)2 + 2x − (1) p √ Do â, b§t phữỡng trẳnh x + x 2(x − 3)2 + 2x − x£y ⇔ DĐu = bĐt phữỡng trẳnh (1) xÊy √ ⇔ x − = x − x = Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho câ nghi»m x = ⇔ B i to¡n 2.2.1.11 Gi£i bĐt phữỡng trẳnh x+1+ 2x + √ 50 − 3x ≤ 12 Líi gi£i C¡ch√ (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) a= x 0; b = x 3, bĐt phữỡng trẳnh ¢ cho p ⇔ a + b ≥ 2b2 + 2a2 ( a+b≥0 (1) ⇔ (a + b)2 ≥ 2b2 + 2a2 (2) ⇒ 2ab ≥ a2 + b2 ⇒ a2 + b2 − 2ab ≤ ⇒ (a − b)2 ≤ √ ⇒a=b⇒ x−1=x−3 ( ( x−3≥0 x≥3 ⇒ ⇒ x − = (x − 3)2 x = 2; x = ⇒ x = thäa mÂn (1) c (*) 33 Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho câ nghi»m nh§t x = C¡ch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) 50 Têp xĂc ành v¸ tr¡i l  ≤ x ≤ √ √ √ X²t c¡c vectì ~u = ( x + 1; 2x − 3; 50 − 3x) v  ~v = (1; 1; 1) √ √ √ Ta câ |~u| = 48 = v  |~v | = Trong h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) p dưng b§t ¯ng thùc (*) v o b i to¡n ta câ √ √ √ √ √ x + + 2x − + 50 − 3x ≤ 3 = 12 (*) D§u ” = ” x£y √ √ √ 50 ≤x≤ 3 50 Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho câ nghi»m ≤ x ≤ ⇔ x+1= 2x − = 50 − 3x ⇔ B i to¡n 2.2.1.12 Cho α, β , γ l  ba gâc d÷ìng câ α + β + γ = π2 T¼m giĂ tr lợn nhĐt cừa p p p g = + tan α tan β + + tan β tan γ + + tan γ tan α Líi gi£i: π π ⇔ α + β = − γ 2 π Ta câ tan(α + β) = tan( − γ) hay Tø α + β + γ = tan α + tan β = ⇒ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1 − tan α tan β tan γ X²t c¡c vectì p p p ~u = ( + tan α tan β; + tan β tan γ; + tan γ tan α) v  ~v = (1; 1; 1), ta câ |~u| = 2; |~v | = √ Trong h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) c (*) 34 p dưng b§t ¯ng thùc (*) v o b i to¡n ta câ p p √ + tan β tan γ + + tan γ tan α ≤ π D§u ” = ” x£y ⇔ tan α = tan β = tan γ ⇔ α = β = γ = √ π Vêy biu thực g Ôt giĂ tr lợn nhĐt bơng 3, Ôt ữủc = = = g= p + tan α tan + Bi toĂn 2.2.1.13 GiÊi phữỡng trẳnh sin x+ p p − sin2 x + sin x − sin2 x = (3) Líi gi£i C¡ch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) p t t = sin x + − sin2 x p dưng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ q p p 2 |t| = |1 sin x + − sin x| ≤ (1 + ) (sin2 x + − sin2 x) = ⇒ −2 ≤ t LÔi cõ p t2 = sin2 x + sin x − sin2 x + − sin2 x p = + sin x − sin2 x p t2 − ⇒ sin x sin2 x = Phữỡng trẳnh  cho trð th nh t+ t2 − =3 ⇒ t2 + 2t − = ⇒ (t − 2)(t + 4) = Suy t = 2(nhªn) hoc t = (loÔi) p Vợi t = ⇒ sin x + − sin2 x = p ⇒ − sin2 x = − sin x ⇒ − sin2 x = − sin x + sin2 x ⇒ sin2 x − sin x + = ⇒ (sin x − 1)2 = π ⇒ sin x = ⇒ x = + k2π(k ∈ Z) C¡ch (Sû dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) c 35 Xt ~u = (sin x; 1; p − sin2 x) v  ~v = (1; √ Ta câ |~u| = |~v | = p − sin2 x; sin x) Ta bi¸t rơng hằ tồa ở Descartes vợi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ |~u.~v | = ||~u|.|~v | cos(~u, ~v )| ≤ |~u|.|~v |(do cos(~u, ~v ) ≤ 1).(∗) q q 2 ⇔ |x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 | ≤ x1 + y1 + z1 + x22 + y22 + z22    x = λx2   D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ 6= 0) ⇔ y1 = λy2    z = λz p döng v o b i to¡n ta câ p p √ √ + sin2 x + sin x − sin2 x| ≤ 3 =    sin x = λ   p D§u "=" x£y ⇔ = λ − sin2 x  p    − sin2 x = λ sin x | sin x + π + 2kπ(k ∈ Z) Chùng minh rơng hằ sau Ơy vổ nghiằm x4 + y + z = x2 + y + 2z = √7 ⇒ λ = v  sin x = ⇒ x = B i to¡n 2.2.1.14 Líi gi£i X²t c¡c vectì ~u = (x2 ; y ; z ) v  ~v = (1; 1; 2) √ Ta câ |~u|=1, |~v |= √ √ Theo h» tr¶n, ta câ ~u.~v = x2 + y + 2z = v  |~u|.|~v | = Do â, ~u.~v > |~u|.|~v | M  h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) 1) Vêy hằ phữỡng trẳnh à cho l vổ nghiằm Bi toĂn 2.2.1.15 Chựng minh rơng vợi mồi tam gi¡c ABC luæn câ sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 c (1) 36 Líi gi£i Ta câ A B C + sin + sin ≤ 2  2     π A+C π A+B π B+C − + sin − + sin − ≤ ⇔ sin 2 2 2 B+C A+C A+B ⇔ cos + cos + cos ≤ 2 2 B+C A+C A+B °t = α; = β; = γ , th¼ α; β; γ lÔi l ba gõc cừa 2 mởt tam gi¡c Khi â, ta i chùng minh cos α + cos β + cos γ ≤ vỵi α; ; lÔi l ba gõc cừa mởt tam giĂc Nhữ vêy, bi toĂn lÔi quay tr và bi toĂn 2.2.1.1 v dng chựng minh sin nhữ trản B i to¡n 2.2.1.16 Chùng minh vỵi måi tam gi¡c ABC v  ba sè thüc x; y; z b§t ký, ln câ x2 + y + z ≥ 2xy cos C + 2xz cos B + 2yz cos A (1) Líi gi£i Chån iºm I b§t ký m°t ph¯ng (ABC) v  düng ba vectì v~1 ; v~2 ; v~3 cõ ở di ỡn v lƯn lữủt vuổng gõc vợi cĂc cÔnh BC; AC; AB Trong õ, |v~1 | = |v~2 | = |v~3 | = ⇒ v~1 = v~2 = v~3 = p dửng tẵch vổ hữợng cho cĂc vectỡ xv~1 ; y v~2 ; z v~3 , ta ÷đc ≤ (xv~1 +y v~2 +z v~3 )2 = x2 v~1 +y v~2 +z v~32 +2(xy v~1 v~2 +yz v~2 v~3 +xz v~1 v~3 ) (2) LÔi cõ |v~1 | = |v~2 | = |v~3 | = ⇒ v~1 = v~2 = v~3 = Do â, v~1 v~2 = cos(v~1 ; v~2 ) = − cos C; v~2 v~3 = cos(v~2 ; v~3 ) = − cos A; v~1 v~3 = cos(v~1 v~3 ) = − cos B Khi â (2) t÷ìng ÷ìng ≤ (xv~1 + y v~2 + z v~3 )2 = x2 + y + z − 2(xy cos C + xz cos B + yz cos A) ⇔ x2 + y + z ≥ 2xy cos C + 2xz cos B + 2yz cos A c 37 Bi toĂn 2.2.1.17 Chựng minh rơng vợi mồi tam gi¡c ABC v  ba sè d÷ìng m, n, p tũy ỵ, luổn cõ A B C mnp m sin + n sin + p sin ≤ 2 2 Líi gi£i  1 + 2+ 2 m n p  (1) Bi¸n êi v¸ phÊi cừa bĐt ng thực cƯn chựng minh ta cõ     mnp 1 1 mnp mnp mnp + + = + + 2 m2 n2 p2 m2 n p   np mp mn = + + = (n2 p2 + m2 p2 + m2 n2 ) 2 m n p 2mnp Do õ, bĐt phữỡng trẳnh (1) cƯn chùng minh t÷ìng ÷ìng   B C A m2 n2 + m2 p2 + n2 p2 ≥ 2mnp m sin + n sin + p sin 2 (10 ) °t mn = x; mp =  y; np = z , b§t ¯ng thùc (1 ) trð th nh  B+C A+C A+B 2 x + y + z ≥ xy cos + xz cos + yz cos 2 = 2xy cos α + 2xz cos β + 2yz cos γ Vỵi α = gi¡c A+C A+B B+C ;β = ;γ = tÔo thnh ba gõc mởt tam 2 Nhữ vêy bi toĂn  ữủc bián ời ữa v· b i to¡n 2.2.1.16, â ta ho n to n chùng minh t÷ìng tü b i to¡n 2.2.1.16 2.2.2 B i to¡n bi»n luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số Trong thỹc tá giÊi cĂc bi toĂn nh tẵnh và phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số,  ữủc lm quen vợi rĐt nhiÃu phữỡng phĂp nhữ phữỡng phĂp iÃu kiằn cƯn v ừ, tam thực bêc hai, giĂ tr lợn nhĐt v nhọ nhĐt Trong mửc ny luên vôn s giợi thiằu mởt phữỡng phĂp biằn luên cĂc phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số: "Phữỡng phĂp Hẳnh hồc v ỗ th" ị t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p l  düa v o c¡c °c tr÷ng mang tẵnh Hẳnh hồc cừa bi toĂn nhữ phữỡng trẳnh ữớng thng, ữớng trỏn, cĂc biu diạn Hẳnh hồc cừa têp hủp nghiằm cĂc phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh m tẳm lới giÊi thẵch hủp cho bi toĂn Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa trẵch dăn tứ TÔp chẵ ToĂn Hồc v Tuời c 38 Tr v  c¡c t i li»u tham kh£o B i to¡n 2.2.2.1 Bi»n luên theo m số nghiằm cừa phữỡng trẳnh sau − x2 = mx + − m (1) Lới giÊi Ta biát rơng số nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1) chẵnh l số giao im cừa ữớng y = − x2 v  y = mx + − m √ √ V¼ y = − x2 ⇔ x2 + y = 4, y ≥ 0, nản ỗ th cừa y = x2 l nỷa ữớng trỏn (phƯn nơm trản trửc honh) tƠm tÔi gốc tồa ở, bĂn kẵnh bơng Cỏn y = mx + − m l  mët hå ÷íng th¯ng ln i qua iºm cè ành A(1; 2) vỵi mồi m Ta nhên thĐy cõ hai tiáp tuyán vợi ÷íng trán k´ tø A: ÷íng th¯ng y = song song vợi trửc honh v tiáp tuyán AD (xem h¼nh v³) H¼nh 12 Gåi B(−2; 0) v  C(2; 0) l hai Ưu mút cừa ữớng kẵnh BOC GiÊ sû m1 ; m2 ; m3 ; m4 t÷ìng ùng l  c¡c h» sè gâc cõa c¡c ÷íng th¯ng [ = −2 ;m2 = − tan DCO \= AC; AD; AB; AE thẳ dng thĐy m1 = tan ACO \ = − tan(2OAE) [ = −4 (v¼ tan OAE [ = −2); m3 = tan ABO [ = 2; − tan EAD 3 cán m4 = Tứ õ suy 1) Phữỡng trẳnh (1) câ nghi»m < m ≤ ho°c −2 m < 3 2) Phữỡng trẳnh (1) câ nghi»m m > ho°c m < −2 ho°c m = −4 ho°c m = 3) Phữỡng trẳnh (1) vổ nghiằm < m < B i to¡n 2.2.2.2 T¼m m  bĐt phữỡng trẳnh p (4 + x)(6 x) ≤ x2 − 2x + m (1) c 39 óng vỵi måi −4 ≤ x ≤ Líi gi£i p °t y = (4 + x)(6 − x), th¼ ta câ y ≥ v  (x − 1)2 + y = 25 p Vêy ỗ th cừa hm số y = (4 + x)(6 − x) l  nûa ÷íng trỏn (phƯn nơm trản trửc honh) tƠm tÔi im O1 (1; 0) v  b¡n k½nh Cán y = x2 − 2x + m l  parabol luæn câ cüc tiºu nơm trản ữớng x = (xem hẳnh minh hồa) Hẳnh 13  (1) úng vợi mồi x ≤ 6, th¼ parabol y = x2 − 2x + m luổn luổn phÊi nơm trản nỷa ữớng trỏn, tực l nh parabol trản ữớng thng x = 1, phÊi nơm trản im M (1; 5) Tứ â ta câ − ≥ ⇔ m − ≥ ⇔ m ≥ 4a Vªy gi¡ trà cừa m cƯn tẳm l m Bi toĂn 2.2.2.3 Biằn luên theo m số nghiằm cừa hằ phữỡng tr¼nh sau theo a  x2 + y = (1) √ (ay + x)(x − a 3) = (2) Lới giÊi Dạ thĐy phữỡng trẳnh (1) biu diạn ữớng trỏn tƠm l gốc tồa ở O(0; 0), bĂn kẵnh R = 3, cỏn phữỡng trẳnh (2) biu diạn bi hai dữớng thng x = a v  y = − x ( n¸u a 6= ) Sè nghi»m cõa h» ch½nh l  sè giao im cừa hai a ữớng thng vợi ữớng trỏn Ta ch cƯn xt a > (vẳ a < ta cõ kát c 40 quÊ tữỡng tỹ, cán a = th¼ (2) ⇔ x = v  lóc â h» câ nghi»m) √ Ta x²t xem n o x = a 3, y = x v ữớng trỏn ỗng quy Gồi a (x0 ; y0 ) l im ỗng quy th¼ ta câ x20 + y02 = 9; x0 = a v  y0 = − x0 , v  a √ a > n¶n suy a = Tø â sè giao iºm cõa hai ÷íng th¯ng trản vợi ữớng trỏn ữủc mổ tÊ hẳnh v minh hồa Vêy ta i án kát luên a) Hằ câ nghi»m < |a| < √ √ v  |a| = H¼nh 14a b) H» câ nghi»m |a| = √ √ ho°c |a| = H¼nh 14b c) H» câ nghi»m a = ho°c |a| > c √ 41 H¼nh 14c B i to¡n 2.2.2.4 √ √ √ Cho cĂc số dữỡng a, b, c thọa mÂn a + b + c = Chựng minh rơng hằ phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm nhĐt  y−a+ z−a=1   √ √ y−b+ x−b=1    √x − c + √z − c = √ Líi gi£i X²t tam gi¡c Ãu ABC cõ cÔnh bơng Trong hẳnh hồc phng: "Náu M l mởt im bĐt ký tam giĂc Ãu, thẳ tờng khoÊng cĂch tứ M xuống ba cÔnh tam gi¡c ·u b¬ng chi·u cao cõa nâ" Chùng minh Gồi cÔnh tam giĂc Ãu l a(a > 0) a K´ ÷íng cao AH Sû dưng nh lỵ Pythagore ta tẵnh ữủc AH = Gồi h1 , h2 , h3 lƯn lữủt l khoÊng cĂch tứ M án ba cÔnh BC; AB; AC cừa tam gi¡c ABC Ta câ SABC = SOBC + SOAB + SOAC 1 = h1 a + h2 a + h3 a 2 = a.(h1 + h2 + h3 ) √ 1 a M°t kh¡c, SABC = AH.BC = a √2 √ 1 a a Do â a.(h1 + h2 + h3 ) = a ⇒ h1 + h2 + h3 = = AH (i·u 2 2 ph£i chùng minh) c ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH CÔNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành:... pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 c i Mưc lưc Líi c£m ìn Líi nâi ¦u 1 Khai thĂc kián thực Ôi số ... phĂp khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc Chữỡng 2: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Hẳnh hồc  giÊi mởt số bi toĂn Ôi số c Chữỡng Khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi