LUẬN văn THẠC sĩ HAY khai thác mối quan hệ hình học đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH CÔNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH CƠNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✶ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ✶ ✶ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✸ ✶✳✶✳ Þ t÷ð♥❣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝ ✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✳ ✸ ✳ ✸ ✳ ✶✹ ✷ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ số ị tữ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✶✾ ✳ ✶✾ ✳ ✶✾ ✳ ✸✼ ✳ ✹✸ ✳ ✺✵ ✺✽ ✺✾ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✶ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ tổ ổ ữủ sỹ ữợ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ❚rà♥❤ ❚❤❛♥❤ ❍↔✐✳ ❚❤➛② ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ t❤❡♦ ❞ã✐ s→t s❛♦✱ ❞➔♥❤ ♥❤✐➲✉ t❤í✐ t t ữợ ❝→❝ t❤➢❝ ♠➢❝ ❝õ❛ tæ✐✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❚❤➛②✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚✐♥ ✈➔ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ ❚↕♦ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❚❤➛② ❈ỉ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✷✵✶✼ ✕ ✷✵✶✾ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ❜↔♦ tr✉②➲♥ ✤↕t ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤❡♦ ❤å❝✱ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝→♠ ì♥ tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ỗ ổ ú ù ộ ❞ü❛ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✈➲ ✈➟t ❝❤➜t ✈➔ t✐♥❤ t❤➛♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ sÿ✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❚→❝ ❣✐↔ ◆❣✉②➵♥ ❚❤➔♥❤ ❈æ♥❣ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com õ ỵ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❧➔ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ①✉②➯♥ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❝➜✉ t❤➔♥❤ ♥➯♥ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❧➔ ♠ët ✈➜♥ rt q t ỗ tớ tổ q ✤â✱ ❝❤♦ t❛ ❝→✐ ♥❤➻♥ tê♥❣ t❤➸ ❤ì♥✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❤✐➸✉ rã ❤ì♥ ✈➲ ❚♦→♥ ❤å❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐ó♣ ➼❝❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❍✐➺♥ ♥❛②✱ ♥➲♥ ❣✐→♦ ❞ö❝ t✐➯♥ t✐➳♥ ❝õ❛ ữợ t tr tr t ợ rt q t ❝❤ó trå♥❣ ✈✐➺❝ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❧✐➯♥ ♠ỉ♥✿ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♠ỉ♥ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ✈➔ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ tr♦♥❣ ❝ị♥❣ ♠ët ♠ỉ♥ ❤å❝✳ ◆➲♥ ❣✐→♦ ❞ư❝ ❝õ❛ ❱✐➺t ◆❛♠ ❦❤ỉ♥❣ ữợ tớ ❞➛♥ ❝❤✉②➸♥ ♠➻♥❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❤å❝ ❤ä✐✱ s→♥❣ t↕♦ ✈➔ ự ữợ ữỡ tr tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❤✐➺♥ ♥❛②✱ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ❝❤ù❛ ❤❛✐ ♠↔♥❣ rã r➺t✿ ♣❤➛♥ ✶ ❧➔ ✣↕✐ sè✱ ♣❤➛♥ ✷ ❧➔ ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♠➦t t➼❝❤ ❝ü❝ ❧➔ ❣✐ó♣ ❤å❝ s✐♥❤ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ♥❣❛② ✤÷đ❝ ❝➜✉ tró❝ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ t✐➳♣ t❤✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♠ët ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ♥â ❧➔♠ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❤✐➸✉ r➡♥❣ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ợ ổ õ ố q tữỡ trủ q ❧↕✐✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❣➢♥ ❦➳t ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ♥➔② tr♦♥❣ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❚❍❈❙✲ ❚❍P❚ ❧➔ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ rã r➔♥❣ ✤➛② ✤õ✳ ❚❤ü❝ t➳ q✉→ tr➻♥❤ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❤å❝ s✐♥❤ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ✈➲ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❦❤→ ỡ ỗ ữ ♠æ♥ r✐➯♥❣ ❜✐➺t✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ t↕♦ ♥➯♥ ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❈→❝ ❡♠ ❤å❝ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ♥➔♦ t❤➻ ❤å❝ ✈➔ ❧➔♠ ❜➔✐ t➟♣ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ✤â✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❞↕② ❤å❝ t❤❡♦ t✐➳t ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ✣↕✐ sè t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲ ✣↕✐ sè✱ ➼t ❤♦➦❝ ❦❤ỉ♥❣ ❤♦➦❝ ❝❤÷❛ ❝❤ó trå♥❣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ❧✐➯♥ ❦➳t ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✷ ❚❤æ♥❣ q✉❛ t➻♠ ❤✐➸✉ t❤ü❝ t➳✱ tæ✐ t❤➜② r➡♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ❤ì♥ ✈➲ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ trđ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ỉ♥ t❤✐ ✈➔ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ọ P õ ợ ữợ ✤✐ ♠ỵ✐✱ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❧í✐ ❣✐↔✐ ♠ỵ✐✱ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❤ì♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ỉ♥ ❧✉②➺♥ ✈➔ t❤✐ ♠ỉ♥ ❚♦→♥✳ ỳ ỵ tr tổ qt t➔✐✿ ✧❑❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ sè ✈➔♦ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✧✳ ❚❤æ♥❣ q✉❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ä ♥➔②✱ tæ✐ ♠♦♥❣ r➡♥❣ ♠➻♥❤ s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ rã ❤ì♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ trđ ❧➝♥ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❚♦→♥ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ð ❚❍❈❙✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤✱ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❣â♣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ ❝➟♥ ữợ t ợ t ữớ ✈➟♥ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè t❤ỉ♥❣ q✉❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ t➾♥❤✱ t♦➔♥ q✉è❝ ✈➔ ❦❤✉ ✈ü❝✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ s ã ị tữ t ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ t ữủ ã ữ t ♠ët ❜➔✐ t♦→♥✱ ✤➲ t❤✐ ✈➲ ✣↕✐ sè✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ s ọ ã ữ r ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✈➟♥ ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✳ ✸✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t t t s ỗ ữỡ ữỡ ✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè t ị tữ ữỡ ỵ tữ t t ỵ ổ tr số tr q tr➻♥❤ t➻♠ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✈➼ ❞ư sû ❞ư♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ✤÷❛ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ t♦➔♥ q✉è❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❦❤✉ ✈ü❝ ❈❤➙✉ ⑩ ✲ ❚❤→✐ ❇➻♥❤ ữỡ ởt số ữợ ỹ ổ ởt tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤➙✉ q✉❛♥ trå♥❣ ➞♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➼ ❞ö ❧➔ ✈✐➺❝ ❜✐➳♥ ✤è✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➸ ❝❤ó♥❣ ❜ë❝ ❧ë ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ❝â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲✱ ❝â t❤➸ t↕♠ ❣å✐ ✤➙② ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ ✧✣↕✐ sè ❤â❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝✧ ✱ s❛✉ ✤â ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè ✤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝ ❳✉➜t ♣❤→t tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❇✣❚✮ ✣↕✐ sè r➜t q tở s ợ số ữỡ a✱ b✱ c ❝â (a + b + c) 1 + + a b c ≥ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✹ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ (a + b + c) 1 + + a b c a a b b c c + + +1+ + + +1−9 b c a c a b a b b c c a = + −2 + + −2 + + −2 b a c b a c (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 = + + ≥ ab bc ac −9=1+ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a − b = b − c = c − a = ⇔ a = b = c✳ ợ số ữỡ a, b, c õ b c a + + ≥ b+c c+a a+b ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â b c a + + = b+c c+a a+b a b c +1 + +1 + +1 −3 b+c c+a a+b 1 = (a + b + c) + + −3 b+c c+a a+b 1 1 + + −3 = [(b + c) + (c + a) + (a + b)] b+c c+a a+b ≥ −3= 2 ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c✳ ❈â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ✈➔ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ t➻♠ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ❝â ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ a✳ ●å✐ ✤÷í♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ tø ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ M D, M E, M F ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸✿ 1 ❛✮ + + ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳ MD ME MF 1 ❜✮ + + ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ MD + ME ME + MF MF + MD trà ✤â✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❍➻♥❤ ✶ √ a ●å✐ h = ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ✈➔ ✤➦t M D = x, M E = y, M F = z ✳ ❚❛ ❝â SABC = SM BC + SM AC + SM AB ⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h ❦❤æ♥❣ ✤ê✐✳ ❛✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â 1 + + (x + y + z) x y z √ 1 ≥9⇒ + + ≥ = x y z h a ❜✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✷ t❛ ❝â 1 + + ≥9 x+y y+z z+x √ 1 3 ⇔ + + ≥ = x+y y+z z+x 2h a ❚r♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ∆ABC ✳ (x + y + y + z + z + x) ❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✷✳ ●å✐ H ❧➔ trü❝ t➙♠ t ABC õ õ ợ ữớ ❝❛♦ AA1 ; BB1 ; CC1 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❛✮ AA1 BB1 CC1 + + ≥9 HA1 HB1 HC1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✻ ❜✮ HA1 HB1 HC1 + + ≥ HA HB HC ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ♥➔♦❄ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❍➻♥❤ ✷ ●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, HBC, HAC, HAB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1 , S2 , S3 t❤➻ S = S1 + S2 + S3 ❛✮ ❉➵ t❤➜② S1 HB1 S2 HC1 S3 HA1 = ; = ; = AA1 S BB1 S CC1 S ❉♦ ✤â HA1 HB1 HC1 + + = AA1 BB1 CC1 ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ ✤÷đ❝ AA1 BB1 CC1 + + ≥ HA1 HB1 HC1 ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ HA1 HB1 HC1 = = = AA1 BB1 CC1 S , ❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ⇔ S1 = S2 = S3 = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✹✺ (1 − 2a)2 a + b + c = 1✳ ❱➟② sè ❤↕♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ✈➳ tr→✐ trð t❤➔♥❤ = (1 − a)2 + a2 2− + (1 − 2a)2 ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ✤➦t x1 = − 2a, x2 = − 2b, x3 = − 2c✱ t❤➻ x1 + x2 + x3 = 1✱ ♥❤÷♥❣ −1 < x1 , x2 , x3 < 1✳ ❚❤❡♦ x1 , x2 , x3 ✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ②➯✉ ❝➛✉ ❧➔ 1 27 + + ≤ 2 + x1 + x2 + x3 10 ✭❈❤ó þ✿ ◆❤÷ tr♦♥❣ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✷✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝♦✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✈ỵ✐ 1 27(−x + 2) f (x) = t↕✐ x = ✱ ❧➔ y = ✮✳ ❱➻ t❤➳ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ 1+x 50 27(−x + 2) f (x) ≤ ✈ỵ✐ < x < tữỡ ữỡ ợ (3x 1)2 (4 − 50 3x) ≥ ❉♦ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❧➔ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ −1 < x < 1✳ 27 ✈➔ rót r❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ②➯✉ ❝➛✉✳ ❱➟② t❤➻ f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) ≤ 10 ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✹✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ a, b, c ❧➔ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ a+b+c = 3✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ a4 + 2b4 + 3c4 ▲í✐ ❣✐↔✐ ✣➦t fx (x) = kx4 ✱ ð ✤➙② x ∈ (0, 3), k = 1, 2, ❑❤✐ ✤â fk (x) = 12kx2 > 0✱ ð ✤➙② x > 0✱ ✈➻ t❤➳ ❝→❝ ❤➔♠ ỗ fk ỗ õ r ỗ t ú ổ ữợ t t ❝❤ó♥❣ ✤÷đ❝ ✈➩ t↕✐ ✤✐➸♠ xk ∈ (0, 3) ❜➜t ❦ý (k = 1, 2, 3)✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ x1 , x2 ✈➔ x3 ✤÷đ❝ ❝❤å♥ t❤ä❛ ♠➣♥ f1 (x1 ) = f2 (x2 ) = f3 (x3 ) ✈➔ x1 + x2 + x3 = 3✳ ❈â ♥❣❤➽❛ ❧➔✱ 4x31 = 8x32 = 12x33 ✈➔ x1 + x2 + x3 = √ 336 x1 x1 √ √ , x2 = √ , x3 = √ ✈➔ ✈ỵ✐ x ∈ (0, 3) ❜➜t ❦➻✱ ❉♦ ✤â✱ x1 = √ 3 3 2+ 3+ t❛ ❝â ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (k = 1, 2, 3)✳ kx4 ≥ fk (xk ) + fk (x − k)(x − xk ).(1) ❈ë♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1) ✈ỵ✐ x ❜➡♥❣ a, b ✈➔ c t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ √ √ √ 81(6 3 + 3 + 4 4 √ √ √ a + 2b + 3c ≥ x1 (1 + √ ) + f1 (x1 )(3 − xk ) ❂ ✱ 3 232 ( + + 6) k=1 ❧➔ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✭ ✈ỵ✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ä❛ ♠➣♥ t↕✐ a = x1 , b = x2 ✈➔ c = x3 ✮✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✺✳ ❈❤♦ a, b, c ≥ ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝ √ a2 + + √ √ b2 + + c2 + ≥ 6(a + b + c) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✹✻ ▲í✐ ❣✐↔✐ √ ●✐↔ sû r➡♥❣ S = a + b + c ✈➔ f (x) = x2 + ✈ỵ✐ x ∈ (0, S) ❚❛ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ S tr➻♥❤ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 = √ S S S Sx + S S2 + S +√ y = f ( ) + f ( )(x − ) = (x − ) = √ 3 3 S2 + S2 + √ Sx + (2) t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❚ø tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (0, S)✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ x2 + ≥ √ S2 + x−S ✈ỵ✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ( ) ≥ 0✱ t❛ t➻♠ t❤➜② r➡♥❣ √ √ √ √ S a2 + + b2 + + c2 + ≥ S + + √ (a + b + c − S) = 2+9 S √ √ S + ≥ 6S = 6(a + b + c) ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✻✳ ❈❤♦ a, b, c > ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ab + bc + ca = 1✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ▲í✐ ❣✐↔✐ √ b2 c2 a2 = + ≥ b+c c+a a+b ❍➻♥❤ ✶✻❛ ❍➻♥❤ ✶✻❜ ✣➦t S = a + b + c ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tữỡ ữỡ ợ (a b)2 + (b c)2 + (c − a)2 ≥ 0✳ ❚❛ t➻♠ t❤➜② √ r➡♥❣ ❙ ≥ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✹✼ x2 ✣➦t f (x) = ✈ỵ✐ x ∈ (0; S)✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❤➣② ❞ü♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✐➳♣ S−x S t✉②➳♥ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 = ✳✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ S S S S S 5x − S y = f ( ) + f ( )(x − ) = + (x − ) = 3 4 x2 5x − S tữỡ ữỡ ợ (S 3x)2 tr S−x ❦❤♦↔♥❣ (0, S) →♣ ❞ö♥❣ ♥â ❝❤♦ ❜❛ ❧➛♥✱ ❞ü❛ ✈➔♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ √ trữợ S t t r a2 b2 c2 a2 b2 5(a + b + c) − 3S S + + = + + = ≥ b+c c+a a+b S−a S−b 2 ❚ø ❜➜t ✤➡♥❣ t❤ù❝ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✼✳ ❈❤♦ a, b ✈➔ c ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ a+2b+3c ≥ 20 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ a + b + c + ▲í✐ ❣✐↔✐ + + ≥ 13 a 2b c ú ỵ r a = 2, b = 3, c = 4✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✣➦t f (x) = ✈ỵ✐ x > 0✳ ❱➟② t❤➻ f ❧ã♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (0, +∞)✳ õ ỗ t x f ổ ữợ t t ữủ t t ý x0 > 0✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤ó♥❣ ✭ ①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮ ❍➻♥❤ ✶✼ 1 a ≥ − (a − 2) = − , a 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✹✽ 1 b ≥ − (b − 3) = − , b 9 1 c ≥ − (c − 4) = − c 16 16 ◆❤÷ ✤➣ ❝❤♦ tr♦♥❣ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ t❛ t➻♠ t❤➜② r➡♥❣ a+b+c+ 3a b c + + ≥a+b+c+3− +3− +2− a 2b c 4 a + 2b + 3c 20 =8+ ≥8+ = 13 4 ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✽✳ ❈❤♦ a, b, c ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ a2 +b2 +c2 = 3✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ▲í✐ ❣✐↔✐ 1 + + 2a 2b 2c ú ỵ r ❦❤✐ a = b = c = 1✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❳➨t √ f (x) = ✈➔ g(x) = kx2 + m✱ ð ✤➙② x ∈ (0, 3) ❈→❝ sè k ✈➔ m ✤÷đ❝ 2−x ❝❤å♥ ✤➸ f (1) = g(1) ✈➔ f (1) = g (1)✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔✱ = k + m ✈➔ = 2k ✳ ❉♦ ✤â✱ x2 + 1 x2 + k = m = ✈➔ g(x) = ứ tự tữỡ ữỡ ợ 2 2−x √ x(x − 1)2 ≥ 0✱ ♥â ❧➔ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ x ∈ (0, 3) ❜➜t ❦ý ✭ ①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❍➻♥❤ ✶✽ ❉♦ ✤â✱ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✹✾ 1 a2 + b2 + c2 + + + ≥ = 3✳ 2−a 2−b 2−c ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✾✳ ❈❤♦ a, b ✈➔ c ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (a5 − a2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c2 + 3) ≥ (a + b + c)3 ú ỵ r a = b = c = 1✱ t❤➻ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❳➨t f (x) = x5 − x2 + ✈➔ g(x) = kx3 + m✱ ð ✤➙② x > 0✳ ❈→❝ sè k ✈➔ m ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ✤➸ f (1) = g(1) ✈➔ f (1) = g (1)✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔✱ = k + m ✈➔ = 3k ✳ ❉♦ ✤â✱ k = 1, m = ✈➔ g(x) = x3 + 2✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮ ❍➻♥❤ ✶✾ x5 − x2 + ≥ x3 + (3) ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ x > ❜➜t ❦ý ❦❤✐ ✤â ♥â ❝â t❤➸ ữợ (x 1)2 (x3 + 2x2 + 2x + 1) ≥ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✶✵✳ ❈❤♦ a, b, c, d ✈➔ e ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ 1 1 + + + + = 4+a 4+b 4+c 4+d 4+e ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✵ b c d e a + + + + ≤ 4+a 4+b 4+c 4+d 4+e ▲í✐ ❣✐↔✐ x k ✈➔ g(x) = m + ✱ ð ✤➙② x ≥ 0✳ ❈→❝ sỉ ❦ ✈➔ ♠ ✤÷đ❝ + x2 4+x ❝❤å♥ ✤➸ f (1) = g(1) ✈➔ f (1) = g (1)✳ ❉♦ ✤â k = −3 ✈➔ m = ❚ø ✤➥♥❣ t❤ù❝ x tữỡ ữỡ ợ (x − 1) (x + 1) ≥ 0✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ + x2 4+x x ≥ ❜➜t ❦ý ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❳➨t f (x) = ❍➻♥❤ ✷✵ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ t❛ ❝â b c 4 a + + + + ≤ 2 2 4+a 4+b 4+c 4+d + e2 1 1 − 3( + + + + ) = 4+a 4+b 4+c 4+d 4+e ✷✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ s➩ →♣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤↕✐ sè ♥❤÷ ❝❤å♥ ✤✐➸♠ rì✐✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✱ ❇✉♥②❛❦♦✈s❦②✱✳✳✳✱ ❝❤ó♥❣ r➜t ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ➼t ❜✐➳♥ ❤♦➦❝ ➼t ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ỏ ữợ s ợ t ởt ữỡ ♣❤→♣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❣✐↔✐ ❞➵ ❤✐➸✉ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✶ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ố tốt ữỡ ỗ t ♥❤❛♥❤✱ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ✈➔ ❝➛♥ ❜✐➳t ❝→❝❤ ❧➟♣ ❤➔♠ sè tr ỗ t số tữớ 1) y = ax + b õ ỗ t ữớ t❤➥♥❣✳ 2) y = (x1 − a)2 + (x2 − b)2 , y õ ỗ t ữớ trá♥ t➙♠ (a, b) √ ❜→♥ ❦➼♥❤ y ✳ 3) y = ax2 + bx + c, a = õ ỗ t Pr 4) xy = b, b = õ ỗ t ữớ t t tữớ ũ ỗ t số y = f (x + a) t t ỗ t❤à ❝õ❛ ❤➔♠ y = f (x) t❤❡♦ trö❝ x ởt ữủ a ỗ t số y = f (x) + b t t ỗ t❤à ❤➔♠ y = f (x) t❤❡♦ trö❝ y ♠ët ❧÷đ♥❣ b✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✶✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ❜➨ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè y = x1 − x2 tr➯♥ ♠✐➲♥ G✿ ▲í✐ ❣✐↔✐   (x1 − 6)2 − (x2 − 3)2 ≥ 25     x2 + (x − 4)2 ≤ 25 G=  −2x1 + x2 ≤     x ≥ 0, x ỗ t G ❧➔ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ ð ❤➻♥❤ ✈➩ ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ỗ t x2 = x1 y, y số õ t t ỗ t ❝õ❛ ❤➔♠ x2 = x1 ✱ ♠ët ❧÷đ♥❣ (−y) t❤❡♦ trư❝ x2 ✳ ●✐↔ sû ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ymax ✭t÷ì♥❣ tü ymin ✮ ✤↕t ✤÷đ❝ t↕✐ ✤✐➸♠ ✭x1 , x2 ✮ ❝õ❛ ♠✐➲♥ G✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❤➺   x1 − x2 = ymax    2    (x1 − 6) + (x2 − 3) ≥ 25 x21 + (x2 − 4)2 ≤ 25    −2x1 + x2 ≤     x1 ≥ 0, x2 > ❝â ➼t ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ✭x1 , x2 ✮✱ ỗ t x2 = x1 ymax õ ợ ỗ t G LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✷ ❍➻♥❤ ✷✶ ◆❤÷ ✈➟② ✤➸ t➻♠ ymax ❤♦➦❝ ymin tr➯♥ G✱ t❛ tr t ủ ỗ t t t õ ợ ỗ t ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠✐➲♥ G ♠➔ tø ✤â t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❤♦➦❝ ♥❤ä ♥❤➜t ❝➛♥ t➻♠✳ ❉♦ (−ymax ) ≤ −y ≤ (−ymin ) ✈ỵ✐ y = x1 − x2 , (x1 , x2 ) ∈ G✱ ymin tữỡ ự ợ tr ỗ t t ymax tữỡ ự ợ tr ỗ t t t tr ỗ t t t õ ợ ỗ t G tr ỗ t t q A tr ỗ t t t ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ B ✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ −2x1 + x2 = x21 + (x2 − 4)2 = 25 ợ ú ỵ tồ A ✤➲✉ ❞÷ì♥❣ t❛ ❝â tå❛ ✤ë ❝õ❛ A ❧➔ ( 5, + 5) √ √ √ ❱➟② ymin = − (4 + 5) = −4 − ✣÷í♥❣ trá♥ (x1 − 60)2 + (x2 − 3)2 = 25 ❝➢t trö❝ ❤♦➔♥❤ t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ B C ợ tồ tữỡ ự (2, 0) ✈➔ (10, 0)✳ ❱➟② ymax = + = ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✷✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ✈➔ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè F = 4x1 + 6x2 ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥   x1 + x2 ≤ 10     x + 4x ≥ G=  ≤ x1 ≤     0≤x ≤5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỗ t ♠✐➲♥ G ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜➡♥❣ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ tr➯♥ ❤➻♥❤ ✈➩ ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❍➻♥❤ ✷✷ F ❍➔♠ x2 = − + ✈ỵ✐ F ❧➔ ❤➡♥❣ sè✱ ❝â ỗ t t t ỗ t ❝õ❛ ❤➔♠ x2 = − x1 t❤❡♦ trö❝ x2 ♠ët ❧÷đ♥❣ P/6✳ ❉♦ Fmin ≤ F ≤ Fmax ✈ỵ✐ F = 4x1 + 6x2 , (x1 , x2 ) G Fmax tữỡ ự ợ tr ỗ t t ỏ Fmin tữỡ ự ợ tr ỗ t t t tr ỗ t tà♥❤ t✐➳♥ ❝õ❛ ∆ ♠➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦✳ ❍➺ sè ❣â❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ x2 = − x1 , x2 = −x1 + 10, x2 = − x1 + ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ tan α = , tan β = −1; tan γ = − ❱➟② ❝→❝ ❣â❝ α, β, γ ✤➲✉ tò ✈➔ β < α < γ ❞♦ ❤➔♠ y = tan(x) tø♥❣ tr♦♥❣ ( , ) ứ õ tr ỗ t❤à t❤➜♣ ♥❤➜t ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ B ✳ ❉➵ ❝â tå❛ ✤ë ✤✐➸♠ A ❧➔ (5, 5)✱ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ✤✐➸♠ B ❧➔ (0, 2)✱ ♥➯♥✿ Fmax = 4.5 + 6.5 = 50 ✈➔ Fmin = 4.0 + 6.2 = 12✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✸✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè y = |x1 − 1| − x2 tr➯♥ ♠✐➲♥ G✿ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✹    x1 + x2 ≥ G= 3x1 + 2x2 ≤ 12   x1 ≥ 0, x2 ≥ ▲í✐ ❣✐↔✐ ỗ t G ợ ộ y ỗ t số x2 = |x1 1|y t t ỗ t❤à ∆ ❝õ❛ ❤➔♠ x2 = |x1 − 1| t❤❡♦ trư❝ x2 ✤✐ ♠ët ❧÷đ♥❣ (−y)✳ ❉♦ (−ymax ) ≤ −y ≤ (−ymin ) ✈ỵ✐ y = |x1 − 1| − x2 , (x1 , x2 ) ∈ G ♥➯♥ ymin tữỡ ự ợ tr ỗ t t t s ợ trử x2 tr ỗ t t t✐➳♥ ❝õ❛ ∆ ♠➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ tr ỗ t t q A tr ỗ t t q ✤✐➸♠ B ✳ ❚å❛ ✤ë ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ A ✈➔ B ❞➵ ❞➔♥❣ t➻♠ ✤÷đ❝ ❧➔ (0, 6) ✈➔ (4, 0)✳ ❉♦ ✈➟② ymin = |0 − 1| − = −5 ymax = |4 − 1| − = ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✹✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ Z = x2 + y2✱ ✈ỵ✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✺   (x − 1)y ≤     x+y ≥4 G=  0≤x≤5   y ỗ t❤à ♠✐➲♥ G ❧➔ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ợ Z ỗ t x2 + y = Z ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ (0, 0) ❜→♥ ❦➼♥❤ Z ✳ ✣➸ t➻♠ Zmax ✱ t❛ ①→❝ ữớ trỏ t O(0; 0) ợ t ✈➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦✳ ❉➵ ❞➔♥❣ t❤➜② ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❤÷ t❤➳ ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ A ❤♦➦❝ N ✳ ❍➻♥❤ ✷✹ ●✐↔✐ ❤➺ y=5 t❛ ❝â tå❛ ✤ë ❝õ❛ ✤✐➸♠ A ❧➔ (x − 1)y = , ✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ tå❛ 1 ✤ë ❝õ❛ N ❧➔ 5, ✳ ❈â ZA = +52 = 26, 44 ✈➔ ZN = 52 + = 25 ✳ 16 ❱➟② ✤÷í♥❣ trá♥ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ A ✈➔ ❝â✿ Zmax = ZA = 26, 44✳ ✣➸ t➻♠ Zmin t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ (0; 0) ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ ✈➔ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➨ ♥❤➜t✳ ✣➸ ①→❝ ✤à♥❤ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ B M x+y =4 ợ ú ỵ ❝õ❛ B ❜➨ ❤ì♥ t❛ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (x − 1)y = √ √ √ √ 5− 3+ 5+ 3+ ❤♦➔♥❤ ✤ë ❝õ❛ M t❛ ❝â B , ✈➔ M , ✳ ●å✐ 2 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✻ O1 ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ ❣✐ú❛ ❝õ❛ ✤♦↕♥√CQ✱ tå❛ ✤ë ❝õ❛ C ✈➔ Q ❧➔ (0; 4) ✈➔ (4; 0) ♥➯♥ 5− O1 ❝â tå❛ ✤ë ❧➔ (2, 2)✳ ❉♦ < 2✱ ♥➯♥ ✤✐➸♠ C ✈➔ B ♥➡♠ ❝ị♥❣ ♣❤➼❛ ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ O1 ✳ ▲↕✐ ❞♦ OCQ OO1 CQ t ỵ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ✈➔ ✤÷í♥❣ ①✐➯♥✱ t❛ ❝â tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ABCD õ tồ t ỵ tữỡ tü✱ t❛ ❝â tr♦♥❣ ♠✐➲♥ QM N P t❤➻ ✤✐➸♠ M ❣➛♥ ❣è❝ tå❛ ✤ë ♥❤➜t✳ ◆❤÷♥❣ √ √ ❝â ZB = 11 − 5, ZM = 11 + 5✱ ♥➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ B √ ✈➔ ❝â Zmin = ZB = 11 − ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✺✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❜➨ ♥❤➜t ✈➔ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè y = −2x1 − x2 + x21 ✈ỵ✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ ▲í✐ ❣✐↔✐    2x1 + 3x2 ≤ G= 2x1 + x2 ≤ x1 > 0, x2 ỗ t❤à ❝õ❛ G ❧➔ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ợ ộ số y ỗ t số x2 = x21 − 2x1 − y ❧➔ tà♥❤ t✐➳♥ ỗ t r x2 = x21 2x1 t❤❡♦ trư❝ x2 ♠ët ❧÷đ♥❣ (−y)✳ ✣➸ t➻♠ ymin t tr ỗ t t tr ỗ t t t õ ợ ỗ t G ỗ t x2 = x21 − 2x1 − y t➻♠ t✐➳♣ ①ó❝ ợ ữớ t 2x1 + 3x2 = t A✳ ✣➸ t➻♠ ❣✐→ trà ❤♦➔♥❤ ✤ë ❝õ❛ A t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣✿ ❍➻♥❤ ✷✺ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✼ ✲ x1 + = x21 − 2x1 − ymin 22 õ x1 = ỗ tớ õ ymin = − ✳ ❉♦ A t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ 14 2x1 + 3x2 = 6✱ ♥➯♥ t✉♥❣ ✤ë ❝õ❛ A ❧➔ x2 = ✳ ✣➸ t➻♠ ymax t❛ ①→❝ ✤à♥❤ tr ỗ t t t tr ỗ t❤à tà♥❤ t✐➳♥ ❝õ❛ ∆ ✈➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ t tr ỗ t t➻♠ ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ O(0; 0) ❤♦➦❝ B(2; 0) ✈➔ ❝â ymax = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✽ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱ỵ✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè õ t ữợ t ợ t♦→♥ ❜➡♥❣ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ ✈➟♥ ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè t❤æ♥❣ q✉❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝❤➼♥❤ s❛✉✿ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ❝â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ữủ ỗ tớ tổ q ởt ✈➔✐ ✈➼ ❞ư ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✤➣ ❝❤♦ t❤➜② ✈✐➺❝ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè✳ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤✐ t✐➳t ♠ët ❜➔✐ t♦→♥✱ ✤➲ t❤✐ ✈➲ ✣↕✐ sè✱ ❍➻♥❤ s ọ tr ữợ qố t t ữợ t t số ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ t ợ ổ số ã ố ợ ởt t ữ ỗ tớ ữớ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ①➨t✱ rót r❛ ✤÷đ❝ ÷✉ ✤✐➸♠ ❝ơ♥❣ ữ ỳ ú ỵ t t sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè s♦ ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ sû ❞ư♥❣ t❤✉➛♥ tó② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣ ✣↕✐ sè ❝ơ♥❣ ♥❤÷ sû ❞ư♥❣ t❤✉➛♥ tó② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ỉ♥❣ ❝ư ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣ ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝ỉ♥❣ t→❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤➻ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ❣✐ó♣ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝â t❤ỉ♥❣ t✐♥ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ỗ ữù s ❣✐ä✐✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❚✉②➸♥ t➟♣ ✭✷✵✶✵✮ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ✹✺ ♥➠♠ t↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ tr➫✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳ ❬✷❪ ❱ơ ❉÷ì♥❣ ❚❤ư②✱ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ◆❤♦ ✭✷✵✵✷✮✱ ✹✵ ♥➠♠ ❖❧②♠♣✐❝ ❚♦→♥ ❤å❝ q✉è❝ t➳ ✭✶✾✺✾✲✷✵✵✵✮✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳ ❬✸❪ ❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣✱ ◆❣✉②➵♥ ❙ì♥ ❍➔✱ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ●✐❛♥❣✱ ▲➯ ▼✐♥❤ ❈÷í♥❣ ✭✷✵✶✻✮ ❚✉②➸♥ ❝❤å♥ ✤➲ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❚❍P❚ ♠æ♥ ❚♦→♥✱ ◆❤➔ ①✉➜t ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ●✐❛✳ ❬✹❪ ❚✉②➸♥ t➟♣ ✭✷✵✶✻✮ ❈→❝ ✤➲ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❦❤✉ ✈ü❝ ❈❤➙✉ ⑩ ✲ ❚❤→✐ ❇➻♥❤ ❉÷ì♥❣✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ●✐❛✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✺❪ ❉❛✈✐❞ ❍✐❧❜❡rt ✭✶✾✾✾✮✱ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s ♦❢ ●❡♦♠❡tr②✱ ❖♣❡♥ ❈♦✉rt✱ ■❧❧✐♥♦✐s✳ ❬✻❪ ❑✐♥ ❨✳▲✐ ✭✷✵✵✷✮✱ ❱❡❝t♦ ❣❡♦♠❡tr②✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❊①❝❛❧✐❜✉r✱ ❱♦❧✳✻✱ ◆♦✺✳ ❬✼❪ ❑✐♥ ❨✳▲✐ ✭✷✵✵✺✮✱ ❋❛♠♦✉s ●❡♦♠❡tr② ❚❤❡♦r❡♠s✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❊①❝❛❧✐❜✉r✱ ❱♦❧✳✶✵✱ ◆♦✸✳ ❬✽❪ ❱✐❦t♦r Pr❛s♦❧♦✈ ✭✷✵✵✻✮✱ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ♣❧❛♥❡ ❛♥❞ s♦❧✐❞ ●❡♦♠❡tr②✳ ❚r❛♥s✲ ❧❛t❡❞ ❛♥❞ ❡❞✐t❡❞ ❜② ❉✐♠✐tr② ▲❡✐t❡s✱ ▼♦s❝♦✇ t❡①t❜♦♦❦s LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH CÔNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành:... BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 LUAN VAN CHAT... LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✶✾ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët số t số ị tữ ữỡ ỵ tữ t t ỵ ổ tr tr q✉→ tr➻♥❤ t➻♠ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè