Luận văn vận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

1 Mở đầu Trong sách toán Trung học cơ sở, Trung học phổ thông đã có những bài toán về chuỗi số điều hòa Nhưng số lượng rất ít không đủ cho học sinh luyện tập, hơn nữa việc phân dạng bài tập chưa đầy đ[.]

1 Mở đầu Trong sách toán Trung học sở, Trung học phổ thơng có tốn chuỗi số điều hịa Nhưng số lượng khơng đủ cho học sinh luyện tập, việc phân dạng tập chưa đầy đủ khơng có tính hệ thống Để cung cấp cho học sinh nội dung kiến thức, phương pháp giải toán Để phục vụ cho công tác đào tạo đội tuyển học sinh giỏi cách chuỗi số điều hòa Tơi xin trình bày cách hệ thống khái niệm tính chất chuỗi điều hịa Từ đưa số ví dụ minh họa việc vận dụng chuỗi điều hịa vào giải số tốn dành cho học sinh giỏi, theo dạng tập sau: • Các tốn liên quan đến bất đẳng thức; • Các tốn liên quan đến tính chất số học chuỗi điều hịa; • Các tốn liên quan đến tổng chuỗi điều hịa; • Một số tốn khác liên quan đến chuỗi điều hịa; • Một số toán dành cho học sinh giỏi Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp kiến thức chuỗi điều hòa, giúp cung cấp thêm phương pháp hay bổ ích để rèn luyện nội dung này, chọn chủ đề “Vận dụng chuỗi điều hòa vào giải số toán dành cho học sinh giỏi” để làm đề tài luận văn cao học Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ kiến thức bản, nâng cao chuỗi số chuỗi điều hòa Chương Vận dụng chuỗi điều hịa vào giải tốn Chương trình bày vận dụng chuỗi điều hịa vào việc chứng minh bất đẳng thức, tính chất số học số hạng, tổng chuỗi điều hòa Cuối Chương sưu tầm, chọn lọc để đưa số toán kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến chuỗi điều hịa Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Trịnh Thanh Hải Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Người viết luận văn Ngô Khắc Kiên Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Chuỗi số Khái niệm chuỗi số Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy số vô hạn u1 ; u2 ; ; un ; , gọi tổng vơ hạn ∞ P u1 + u2 + + un + chuỗi số ký hiệu un ; un số hạng tổng quát; n=1 sn = u1 + u2 + + un tổng riêng thứ n chuỗi; rn = un+1 + un+2 + gọi phần dư thứ n Nếu lim sn = s (hữu hạn) chuỗi gọi hội tụ s n→∞ tổng chuỗi Nếu dãy sn không dần tới giá trị hữu hạn chuỗi phân kỳ Ví dụ 1.1.2 ∞ X un = ∞ X n=1 n=1 n(n + 1) 1 1 + + + + + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)   1 1 1 1 1  1 = 1− + − + − + + − + 2 3 n n+1 = Do đó, ta có 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)       1  1 1 1 = 1− + − + − + + − 2 3 n n+1 =1− , n+1 sn = tổng riêng thứ n  lim sn = lim n→+∞ n→+∞ n+1 1−  = Suy chuỗi cho hội tụ có tổng 1.1.2 Các tính chất chuỗi số Định lý 1.1.3 i Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không đổi ta bỏ số hữu hạn số hạng đầu chuỗi số ii Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không đổi ta bỏ hay thêm vào số hữu hạn số hạng vị trí ∞ ∞ P P Định lý 1.1.4 Nếu chuỗi số un hội tụ có tổng s chuỗi số aun n=1 hội tụ có tổng as.Còn ∞ P n=1 ∞ P un phân kỳ với a 6= chuỗi số n=1 aun phân kỳ n=1 Định lý 1.1.5 Nếu chuỗi hiệu sau ∞ P ∞ P un n=1 ∞ P chuỗi số hội tụ chuỗi tổng n=1 (un + ) n=1 (un − ) hội tụ Hơn nữa, n=1 ∞ X ∞ X n=1 n=1 (un + ) = ∞ P un + ∞ X n=1 ∞ X ∞ X n=1 n=1 (un − ) = un − ∞ X n=1 Định lý 1.1.6 (Định lý tiêu chuẩn so sánh) Cho chuỗi số dương ∞ P un ≤ với n ≥ n0 (n0 ∈ N ) từ hội tụ n=1 hội tụ ∞ P un từ phân kỳ n=1 ∞ P ∞ P ∞ P un n=1 suy n=1 un suy phân kỳ n=1 ∞ P n=1 Định lý 1.1.7 (Định lý tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương ∞ ∞ P P un un Xét lim = k Nếu < k < +∞ hai chuỗi cho n=1 n=1 n→∞ hội tụ phân kỳ (hai chuỗi tương đương nhau) ∞ ∞ P P Nếu k = từ hội tụ suy hội tụ un n=1 Nếu k = +∞ từ phân kỳ ∞ P n=1 n=1 , ta suy phân kỳ ∞ P n=1 un Định lý 1.1.8 (Định lý tiêu chuẩn Đalambe) Cho chuỗi số dương ∞ P un , n=1 un+1 = D Nếu: n→∞ un D < 1: chuỗi hội tụ; giả sử lim D > 1: chuỗi phân kỳ; D = 1: phải xét thêm phương pháp khác Định lý 1.1.9 (Định lý tiêu chuẩn Côsi) Cho chuỗi số dương lim n→∞ ∞ P un , giả sử n=1 √ n u n = C Nếu: C < 1: chuỗi hội tụ; C > 1: chuỗi số Phân kỳ; C = 1: phải xét thêm phương pháp khác Định lý 1.1.10 (Định lý tiêu chuẩn tích phân) Cho chuỗi số dương ∞ P un , n=1 tồn hàm f (x) cho un = f (n) với ∀n ≥ n0 f (x) liên tục, đơn điệu ∞ R∞ P un hội tụ phân kỳ giảm miền (n0 ; +∞) f (x)dx n0 n=1 Định lý 1.1.11 (Định lý chuỗi số đan dấu) Tiêu chuẩn Lepnit: Cho chuỗi ∞ P số đan dấu (−1)n un , tồn dãy số un đơn điệu giảm (nghĩa u1 > u2 > n=1 u3 > ) lim un = chuỗi đan dấu hội tụ tổng chuỗi không vượt n→∞ giá trị tuyệt đối số hạng 1.2 1.2.1 Chuỗi điều hòa Khái niệm chuỗi điều hịa Định nghĩa 1.2.1 Chuỗi số có dạng : 1 + + + , m m + d m + 2d m, d số cho mẫu số khác không, gọi chuỗi điều hịa Ví dụ 1.2.2 1 + + , n 1 + + , chuỗi điều (ii) Chuỗi số có tổng riêng H(m, n) = + m m+1 n hịa Ta ln giả thiết ≤ m < n (i) Chuỗi số có tổng riêng H(1, n) = + 1.2.2 Một số tính chất chuỗi điều hịa Tính chất 1.2.3 H(1, n) vô hạn, tức lim H(1, n) = +∞ n→∞ ∞  Chứng minh Xét dãy H(1, 2k ) 1 H(1, 1) = = + k=0 , đó, ; 1 =1+1 ; 2   1 1 1 1 1 + >1+ + + =1+2 ; H(1, 4) = + + 4     1 1 1 + + + + + H(1, 8) = + +     1 1 1 1 >1+ + + + + + + =1+3 ; 4 8 8 H(1, 2) = + Tổng quát, H(1, 2k ) ≥ 1+k 1 Do dãy  ∞ H(1, 2k ) k=0 không bị chặn nên dãy {H(1, n)}∞ k=0 phân kỳ hay lim H(1, n) = +∞ Lý luận tương tự ta có n→∞ thể với số nguyên dương tùy ý M   H(1, M k ) ≥ + k M −1 M , k = 0, 1, 2, Tính chất 1.2.4 H(m, n) khơng phải số nguyên Chứng minh (i) Đối với trường hợp đặc biệt H(1, n), m = 1, cho s cho: 2s ≤ n < 2s+1 Chúng ta nhân H(1, n) với 2s−1 Q, Q tích tất số nguyên lẻ đoạn [1, n] Tất số hạng H(1, n) số nguyên ngoại trừ số hạng thứ 2s trở thành số nguyên chia cho Điều H(1, n) số nguyên (ii) Cách khác, trường hợp m = 1, cho p số nguyên tố lớn không vượt n Theo tiên đề Betrand, có số nguyên tố q với p < q < 2p Do n n! P đó, có n < 2p Nếu H(1, n) số nguyên, thì: n!H(n) = i=1 i n n! P n! số nguyên chia hết cho p Tuy nhiên, số hạng tổng p i=1 i không chia hết cho p, tất số hạng khác chia hết cho p (iii) Trường hợp: m > Giả sử 2a |k 2a+1 không ước k (viết 2a||K ), gọi a thứ tự chẵn lẻ k Bây quan sát số 2a , 3.2a , 5.2a , , tất số thứ tự chẵn lẻ Giữa số có 2.2a , 4.2a , 6.2a , , tất có thứ tự chẵn lẻ lớn Do vậy, số thứ tự chẵn lẻ, có số với thứ tự chẵn lẻ lớn Điều số m, m + 1, , n có số nguyên  có 1thứ tự chẵn1lẻ  lớn nhất, q có thứ tự chẵn lẻ u Bây ta lấy + + + m m+1 n 2u L, nhân với L tích tất số nguyên lẻ [m, n] Khi u đó: LH(m, n) số lẻ Do đó: H(m, n) = 2r + q = , u L p đó, p chẵn, q lẻ H(m, n) khơng phải số ngun Ví dụ 1.2.5 Ta có H(1, 10) = + 1 1 7381 + + + + = 10 2520 số nguyên q m+n số ngun tố lẻ, (m+n)|q p Tính chất 1.2.6 Nếu H(m, n) = Chứng minh Chú ý H(m, n) có số chẵn số hạng với n−m−1  X j=0 1 + m+j n−j  = n−m−1 X j=0 m+n s = (m + n) , (m + j)(n − j) r đó, gcd(s, r) = Do m + n số nguyên tố nên gcd(r, m + n) = Nên ta có q (m + n)s = ⇒ rq = p(m + n)s ⇒ (m + n)|rq ⇒ (m + n)|q p r Ví dụ 1.2.7 Ta có H(1, 10) = + m + n = 11, 11|7381 = q 1 1 7381 + + + + = 10 2520 Định lý 1.2.8 (Định lý Wolstenholme) Đối với số nguyên tố p ≥ 5, ta có H(1, p − 1) = + 1 + + + ≡ 0(modp2 ) p−1 Chính xác hơn, số nguyên tố p ≥ 5, H(1, p − 1) = + 1 a + + + = p−1 b p2 |a Chứng minh Ta chứng minh theo hai cách sau: Cách : Ta có  (p−1)/2  (p−1)/2 X X 1 1 1 H(1, p − 1) = + + + + = + =p p−1 n p−n n(p − n) n=1 n=1 (1.1) Vì cần chứng minh: (p−1)/2 P n=1 (p−1)/2 X n=1 ≡ 0(modp) Bây giờ: n(p − n) (p−1)/2 X 1 ≡− (modp) n(p − n) n2 n=1 2 , 22 , , p − đồng dư với số n2 (p − 1) , p ≥ (modp) tất số hạng phân biệt với n = 1, 2, , n  Thật vậy,  (p−1)/2 X n=1 (p−1)/2 X (p2 − 1)p ≡ k = ≡ 0(modp) n2 24 (1.2) k=1 Định lý Wolstenholme chứng minh Cách (sử dụng đa thức mod p): Chúng ta sử dụng định lý Lagrange, cụ thể f (x) = c0 + c1 x + + cn xn đa thức bậc n, với hệ số nguyên f (x) ≡ 0(modp) có nhiều n nghiệm, p số nguyên tố, hệ số f (x) chia hết cho p Phép chứng minh khơng khó Có thể chứng minh quy nạp thuật tốn chia modp Mệnh đề sai p số nguyên tố Ví dụ: x2 − ≡ 0(mod8) có nghiệm Sau phép chứng minh khác Từ định lý nhỏ Fermat xp−1 ≡ 1( mod p) có 1, 2, , p − nghiệm Do xp−1 − ≡ (x − 1)(x − 2) (x − p + 1)(modp) Hay xp−1 − ≡ xp−1 − s1 xp−2 + − sp−2 x + sp−1 (1.3) theo định lý Wilson, sp−1 = (p − 1)! ≡ −1(modp) Do đó, ≡ s1 xp−2 + − sp−2 x(modp) Công thức số nguyên x Theo định lý Lagrange, p chia hết s1 , s2 , , sp−2 Đặt x = p (1.3), có (p − 1)! = pp−1 − s1 pp−2 + − sp−2 p + sp−1 Bỏ (p − 1)! chia vế cho p, có = pp−2 − s1 pp−3 + − sp−3 p − sp−2 Vì p ≥ số số hạng đồngdư với 0( mod p2 ) Do đó,  có sp−2 ≡ 0( mod p2 ) Cuối sp−2 = (p − 1)! + 1 + + + p−1 a = (p − 1)! b Điều chứng minh định lý Wolstenholme Ví dụ 1.2.9 Ta có H(1, 10) = + 1 1 7381 + + + + = 112 |7381 10 2520 Tính chất 1.2.10 Cho p ≥ số nguyên tố Chứng minh 1+ 1 a + + + = p4 |(ap − b) p b Chứng minh Theo định lý Wolstenholme   ... n=1 n 13 Chương Vận dụng chuỗi điều hòa vào giải tốn 2.1 Vận dụng tính chất chuỗi điều hịa vào giải số toán bất đẳng thức Bài 2.1.1 Chứng minh A= 1 1 + + + < 1000 1002 2000 Giải Ta có 1 + +... Chuỗi điều hòa Khái niệm chuỗi điều hịa Định nghĩa 1.2.1 Chuỗi số có dạng : 1 + + + , m m + d m + 2d m, d số cho mẫu số khác không, gọi chuỗi điều hịa Ví dụ 1.2.2 1 + + , n 1 + + , chuỗi điều. .. Suy chuỗi cho hội tụ có tổng 1.1.2 Các tính chất chuỗi số Định lý 1.1.3 i Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không đổi ta bỏ số hữu hạn số hạng đầu chuỗi số ii Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không