Thông tin tài liệu
Chương 2: Các phương pháp tính q trình q độ mạch điện tuyến tính ➢ Phương pháp tích phân kinh điển ▪ Lập phương trình đặc trưng số mũ đặc trưng ▪ Xác định số tích phân ▪ Giải mạch phương pháp tích phân kinh điển ➢ Phương pháp toán tử Laplace ▪ Khái quát ▪ Phép biến đổi Laplace tính chất ▪ Tìm gốc từ ảnh Laplace ▪ Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải mạch điện Phương pháp toán tử Laplace Toán tử Laplace: p ❖ Biến đổi Laplace Biến đổi Laplace hàm f(t): ▪ f (t ) = F ( p) = −0 ▪ Một số biến đổi Laplace • f (t ).e − pt dt Lưu ý: nhiều tài liệu ký hiệu s thay p 1 1 f (t ) = 1(t ) f (t ) = F ( p) = 1(t ).e dt = − e− pt = − (0) + (1) = p p p p −0 Hàm đơn vị 1(t): • Hàm Dirac (t): • Một số hàm khác: f (t ) = (t ) − pt f (t ) = F ( p) = (t ).e− pt dt = e−0 = −0 1 F 1 f (t ) = F0 =const f (t ) = F ( p ) = F0 e dt = F0e − = − F0 (0) + F0 (1) = p p p p −0 −0 F0 − p+a t f (t ) = F0e − at f (t ) = F ( p) = F0e− at e − pt dt = F0e ( ) − = −0 sin t.1(t ) = F ( p) = cost.1(t ) = F ( p) = p2 + − pt − pt p+a0 p+a p p2 + 2 Biến đổi Laplace ❖ Tính chất biến đổi Laplace ▪ ▪ Tuyến tính Đồng dạng: a1 f1(t ) + a2 f2 (t ) = a1F1( p) + a2 F2 ( p) f (at ) = p F( ) a a Tính trễ: f (t ).1(t ) = F ( p) f (t − a).1(t − a) = e-ap F ( p ) Ví dụ: → p2 + sin 2t.1(t ) = f (t − a).1(t ) = f (t − a)e − pt a Dịch ảnh: e− at f (t ).1(t ) = F ( p + a) Chứng minh: e − at f (t ).1(t ) = e ▪ Ảnh đạo hàm gốc: ) = 12 e jt + e− jt 2 = p 2 p + 4 + 2 Chứng minh: đặt: x=t-a →dx=dt, t=x+a ▪ ( jt − jt e + e 1 1 p = + = 2 p − j p + j p + sin t.1(t ) = ▪ cos t.1(t) = Ví dụ: − at dt = f ( x)e − p ( x+a ) −0 f (t )e − pt dx = e − ap f ( x )e − px dx = e − ap F ( p ) −0 dt = f (t )e − ( p + a )t dt =F ( p + a ) f (t ) = pF ( p) − f (−0) ; f (t ) = p F ( p) − pf (−0) − f (−0) Bảng biến đổi Laplace ▪ Ví dụ Biến đổi ngược Laplace (1) ❖ Biến đổi ngược Laplace F ( p) −1 F ( p) = f (t ) = + j F ( p)e pt dt − j 2 j Thực tế dùng cơng thức (u cầu hội tụ,…) ▪ • Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace: Dùng bảng ảnh-gốc theo phương pháp Heaviside: Lưu ý: xét cho phân thức hữu tỉ N ( p ) am p m + am−1 p m−1 + + a1 p + a0 F ( p) = = D( p) bn p n + bn−1 p n−1 + + b1 p + b0 mn Tìm nghiệm đa thức mẫu số: dạng D( p) = pi ➢ Nếu pi nghiệm đơn, riêng biệt: F ( p) = N ( p) k1 k2 = + + ( p + p1 )( p + p2 ) ( p + pn ) p + p1 p + p2 f (t ) = k1e − p1t + k2e − p2t Ví dụ: kne − pnt ( p + p1 )k2 ( p + p1 ) F ( p) = k1 + + p + p2 Với mn, cần chia đa thức để Đưa dạng bn=1 để tiện tính tốn kn ; ki = ( p + pi ) F ( p ) p =− p i p + pn Có thể tính theo cơng thức: ( p + p1 )kn → k1 = ( p + p1 ) F ( p) p =− p p + pn ki = N ( p) D( p ) p =− pi Biến đổi ngược Laplace (2) ➢ Nếu pi nghiệm phức (ngoài nghiệm đơn tính f1(t)): f (t ) = f1 (t ) + Ai e − t N ( p) ; Ai = D( p ) cos ( t + i ) p =− + j = Ai i p j = pi* ; pi = − + j ➢ Nếu pi nghiệm lặp, thực (ngoài nghiệm đơn/phức tính f1(t)): f (t ) = f1 (t ) + ( k1 + k2t ) e − pl t ; k1 = p1 = p2 = − pl d [( p + pl ) F ( p )] ; k2 = ( p + pl ) F ( p ) p =− p p =− pl dp l ➢ Nếu pi nghiệm lặp/bội n m nghiệm đơn : pi=-pb D ( p ) = ( p + p1 )( p + p2 ) F ( p ) = F1 ( p ) + kn ( p + pb ) n + ( p + pm )( p + pb ) n kn−1 ( p + pb ) f (t ) = f1 (t ) + k1e − pbt + k2te − pbt + + n −1 + k2 ( p + pb ) k3 − pbt t e + 2! + + k1 p + pb kn t n −1e − pbt ( n − 1)! kr −m dm = [F ( p )( p + pb ) n ] m p =− pb m ! dp m = 1, 2, r −1 Biến đổi ngược Laplace (3) ❖ Ví dụ Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace: F ( p) = F1 ( p) = N ( p ) 10( p + 1)( p + 4) = D( p) p ( p + p + 5) D( p) = p1 = 0; p23 = −2 j = −2 j k1 10( p + 1)( p + 4) ; k1 = pF ( p ) p =0 = p p p( p + p + 5) f (t ) = f1 (t ) + Ai e −2t cos (1t + i ) ; Ai = Ai = N ( p) D( p ) = p =−2+ j 10( p + 1)( p + 4) p + p + + p (2 p + 4) ( ) = p =0 10(1)(4) =8 N ( p) D( p ) p =− + j = Ai f1 (t ) = i = − j = 7,07 − 81,87o p =−2+ j ( f (t ) = + (17,07 ) e −2t cos 1t − 81,87 o = + 14,14e −2t cos 1t − 81, 87o ) Ảnh Laplace phần tử mạch điện f (t ) = pF ( p) − f (−0) f (t ) = p F ( p) − pf (−0) − f (−0) ❖ Nguồn áp ❖ Nguồn dòng e(t ) ❖ Điện trở E ( p) U ( p) j (t ) u (t ) J ( p) U ( p) i(t ) I ( p) R ❖ Tụ điện u (t ) u (t ) i(t ) C u (t ) R I ( p) Cp uc (−0) p U ( p) = RI ( p) U ( p) i (t ) = C U ( p) du dt I ( p) = du C dt = C du dt = C u ( t ) I ( p ) = C ( pU ( p ) − uC (−0) ) U ( p) = u (−0) I ( p) + C Cp p 10 Bài tập Xét mạch điện hình Các thông số E1 = 60 V (nguồn chiều), e2 = 10sin(314t )V R1 = R2 = 50, R3 = 100, C4 = 4.10-4 F L3=0,1H Tính điện áp uc(t) chuyển K từ sang 2? (Biết K vị trí mạch xác lập Chọn gốc thời gian t = thời điểm chuyển cơng tắc K) ▪ ▪ Tính sơ kiện Trước chuyển mạch khoá K, mạch chế độ xác lập hằng: I3(-0)=i3=E1/(R1+R3)=60/150=0,4A uc(-0)=R3.i3=40V Ở chế độ độ: Ảnh Laplace nguồn E2(p)=3140/(p2+3142) Sử dụng phương pháp nút, chọn nút B làm mốc (0V), 32 e2 = 10sin(314t )V ▪ Phương pháp điện nút E2(p)=3140/(p2+3142) L i (−0) E2 ( p) + C4uc (−0) − 3 R R3 + L3 p U c ( p) = A ( p) = 1 + + C4 p R2 R3 + L3 p = U c ( p) = ( R3 + L3 p) E2 ( p) + C4uc (−0) R2 ( R3 + L3 p ) − R2 L3i3 (−0) ( R3 + L3 p) + R2 + pC4 ( R3 + L3 p) R2 0, 08 p + 78 p + 8201, 68 p + 8004488 0, 08 p + 78 p + 8201, 68 p + 8004488 M ( p ) = = ( p + 3142 )(2.10−3 p + 2,1 p + 150) p + 3142 )( p + 77, 09)( p + 972,91) N ( p) Phương trình N(p)=0 có nghiệm: p1=-77,09 p2=-972,91 p34=j314 33 p1=-77,09 p2=-972,91 p34=j314 e2 = 10sin(314t )V E2(p)=3140/(p2+3142) M ( p) 0, 08 p + 78 p + 8201, 68 p + 8004488 = N ( p) ( p + 3142 )( p + 77, 09)( p + 972,91) N’(p)=2p(2.0,001p2+2,1p+150)+(p2+3142)(4.0,001p+2,1) A1 = M ( p1 ) = 41,6405 N '( p1 ) A2 = M ( p2 ) = −0,0983 N '( p2 ) A3 = M ( p3 ) = −(0,7714 + j 0,1829) = −0,7927 − 333,32o N '( p3 ) Điện áp độ tụ điện C4: uc (t ) = 41, 6405e −77,09t − 0, 0983e −972,91t − 1,5855cos(314t-333,320 )1(t )V 34 e2 = 10sin(314t )V -> E2(p)=3140/(p2+3142) Nếu nguồn có góc lệch pha e = 10sin(314t + 30o )V = E0 sin(t + ) E(p)=? sin(t + ) p cos + sin 2 2 p + p + 35 Cho mạch điện hình Bài tập R1 = 30Ω; R2 = 10Ω; C = 0,2mF; L = 1H; E = 100V (một chiều); J = 3A (một chiều) Khi khóa đóng, mạch trạng thái xác lập Ở thời điểm t = khóa mở Tính dòng điện độ cuộn cảm R1 C R2 K L E J Hình 36 Tính sơ kiện iL (0) = J = 3A uC (0) = E − R1 J = 100 − 30.3 = 10 V R1 C Giải mạch điện độ toán tử Laplace R2 K L E J E / p − uC (0) / p LiL (0) 100 / p − 10 / p 1.3 − − −3 R1 + 1/ (Cp ) Lp 7500 30 + 1/ (0, 2.10 p) p ( p) = = =− V 1 1 1 p + 265 p + 2500 + + + + R1 + 1/ (Cp ) Lp R2 30 + 1/ (0, 2.10 −3 p ) p 10 I L ( p) = LiL (0) + ( p) = Lp 1.3 − 7500 p + 795 p + 265 p + 2500 = A 1p p + 265 p + 2500 → iL (t ) = 3, 27e−10,22t − 0, 27e−122,3t A 37 Bài tập R1 Tính dịng điện q độ i6 (t ) mở khóa K (biết trước mở K mạch xác lập)? R4 i1 R2 L6 i6 R3 C5 K E R6 i1 38 1 1 E A + → A = ,3478V + + + A = R R R R + R R R R i6 = A R4 + R6 R4 i1 * Trước mở khóa K: + Phương trình nut: = 0,1087A → iL ( −0 ) = ,1087A R1 R2 L6 i6 R3 C5 K E R6 i1 uC ( −0 ) = uR = R6i6 = 25.0,1087 = 2, 7174V * Sau mở khóa K: + Sơ đồ toán tử: I6 ( p ) = I6 ( p ) = A ( p) L6 p + R6 + L6iL (− ) L6 p + R6 0,4286 0,1359 + − p 0,05 p + 1,2786 p + 1,7143 0,05 p + 1,2786 p + 1,7143 0,1087 0,1087 + = I ( p ) + I 62 ( p ) − I 63 ( p ) + I 64 ( p ) ( p + 25) 0,05 p + 1,2786 p + 1,7143 p + 25 61 ( ( ) ( ) ) 39 I6 ( p ) = 0,4286 0,1359 + − p 0,05 p + 1,2786 p + 1,7143 0,05 p + 1,2786 p + 1,7143 0,1087 0,1087 + = I ( p ) + I 62 ( p ) − I 63 ( p ) + I 64 ( p ) ( p + 25) 0,05 p + 1,2786 p + 1,7143 p + 25 61 ( ( - ) ( ) ) Tìm gốc từ ảnh Laplace: i61 ( t ) = 0, 25 − , 2656e −1,4196t + , 0156e −24 ,1518t A i62 ( t ) = 0,1195e −1,4196t − ,1195e −24 ,1518t A i63 ( t ) = 0,1087e −25t + 0, 0041e −1,4196t − 0,1128e −24 ,1518t A i64 ( t ) = 0,1087e −25t A i6 ( t ) = 0, 25 − ,1501e −1,4196t + 0, 0088e −24 ,1518t A 40 Bài tập R = 10Ω; L = 2H; C = 0,1mF; Rk = 20Ω; e = 3V (một chiều); k = 2; mạng hai cửa trở có số 0, 0455 −0, 0273 Y= −0, 0273 0, 0364 Y Khi khóa đóng, mạch trạng thái xác lập Ở thời điểm t = khóa mở Tính dịng điện độ cuộn cảm 41 Biến đổi tương đương mạch điện mạch trên, với: Rv = = + Y22 R Y11 + (Y11Y22 − Y12Y21 ) R + 0, 0364.10 = 25 0, 0455 + [0, 0455.0, 0364 − (−0, 0273)(−0, 0273)]10 Sơ kiện: u1 = e + ku1 → u1 = iL (0) = i1 = e = = −3V 1− k 1− u1 −3 = = −0,12 A Rv 25 uC (0) = ku1 = 2(−3) = −6 V 42 Phương pháp tốn tử Tìm dịng q độ: uC (0) e Rv + Lp + I ( p) = + LiL (0) + Cp p p u (0) e −6 + LiL (0) + C + 2(−0,12) + 0,12 p + 1,5 p p p p → I ( p) = = = − A 1 p + 12,5 p + 5000 Rv + Lp + 25 + p + −4 Cp 10 p → iL (t ) = −0,12e −6,25t cos(70, 43t − 5, 07 o ) A 43 Bài tập eA = 220 sin(314t ) V eB = 220 2(sin 314t − 120o ) V eC = 220 2(sin 314t + 120o ) V R1 = 25 Ω, R2 = 15 Ω, L = 40 mH, C = μF Tìm dịng điện chảy qua cuộn dây pha C khóa chuyển tức thời sang tiếp điểm 2? Tính sơ kiện: EC 220120o IL = = = 7,863493,33o A −3 R1 + j L 25 + j 314.40.10 iL (−0) = 7,8634 sin(93,33o ) = 11,10 A Quá độ: I ( p) = LiL (−0) Cp R1 + Lp + R2 + Cp R2 = 40.10−3.11,10 5.10−6 p 25 + 40.10−3 p + 15 + 5.10−6 p = 11,10 p + 14800 p + 13958 p + 13333333 = K1 K2 + p + 12927 p + 1031 15 Dòng độ: i (t ) = −0,38e −12927 t + 11, 48e −1031t A Bài tập Tính dòng điện độ qua cuộn dây iL R1 = 50Ω; R2 = 20Ω; R3 = 20Ω;C = 0,002F; L=0,1H; J = 2A (một chiều); E= 50 V (một chiều) K R3 iL R1 C R2 J L E Khi khóa K đóng, mạch trạng thái xác lập Ở thời điểm t = 0, khóa K mở * Tính sơ kiện: E +J R1 uc ( −0 ) = = 25 V 1 + + R1 R2 R3 Giải phương pháp toán tử So sánh với phương pháp tích phân kinh điển iL ( −0 ) = uc ( −0 ) = 1, 25 A R3 iL ( t ) = − 0,148e-164,039t + 0,398e-60,961t A ... 60 − 39, 622 e −1, 429 t 1( t ) V 22 ❖ Mở rộng L R2 = 25 ; L = 0,5H;C=0,02F I1 I2 K E=60 V (một chiều) R0 = 20 ; R1 = 30 R1 R0 U1 C [A] R2 U2 E 20 0 A= 0,04 Tìm điện áp độ tụ điện C sau... c pC p pC pL + + R p pC − =− 41,7 722 3, 23 11 45,00 32 41,7 722 − + + p p + 37, 320 5 p + 2, 6795 p → uc (t ) = ( 45,0032e? ?2, 6795t − 3, 23 11e−37, 320 5t )1( t ) V 24 R2 ❖ Ví dụ 5: Tìm nghiệm q độ i3(t)... sang ? 23 L I1 I2 K R1 ▪ Tính sơ kiện: R0 a11R2 + a 12 = 68,75 a21R2 + a 22 I2 K R1 uc ( −0 ) uc ( −0 ) = E − R1I10 = 41,7 722 V I(p) −u (−0) + R0 I ( p ) = c pL + pC p U1 [A] U2 R2 E
Ngày đăng: 28/02/2023, 16:43
Xem thêm:
