034 đề hsg toán 8 hưng hà 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên dương của để có giá trị nguyên Bài 2[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN_LỚP 8_NĂM HỌC 2022-2023   x x2  x  x  12 x A    :  x x   x  x  x3  Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên dương x để A có giá trị nguyên Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau : 2 a )  x  x    x   43 b) x  x  x  x  x  2029     0 2020 2019 2018 2017 Bài (3,0 điểm) a  b3  c3  3abc 1004 2 a) Cho a  b  c 1004 Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca x2  x  Q x  x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (3,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : b) Đa thức f  x cho f  x x2  y  z   y  z  x   z  x  y  chia cho x  dư 5, chia cho x  dư x  Tìm phần dư chia  x 1  x  1 Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy BF  H  BF  điểm F cho AE  AF Vẽ AH vng góc với ,AH cắt DC BC hai điểm M , N a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Chứng minh CBH ∽ EAH c) Biết diện tích CBH gấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh AC 2 EF 1   2 AM AN d) Chứng minh AD Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh : ab bc ac   a  b  c a b  c b c  a a c  b ĐÁP ÁN   x 4x2  x  x  12 x A    :  x x   x  x  x3  Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 2, x 0, x 3 Rút gọn biểu thức : 2   x x  x  12 x   x   x    x  x   x  A    : x  x  3   x   x   x x   2x  x   x  x  x2   x  x2 x   x  x  8x x   x  3  x  x  3   x   x  x  x   x x2    x   x  3 x  x2 A x  với x 2, x 0, x 3 Vậy d) Tìm giá trị nguyên dương x để A có giá trị nguyên Ta có A x2 x2   9  x   x x x Với x nguyên dương x       x   U (9)  1; 3; 9 Để A có giá trị nguyên x nguyên dương x  Ta có bảng sau : x x Ktra Vậy tm 1 ktm x   4;6;12 tm 3 ktm 12 tm 9 ktm giá trị cần tìm Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau : 2 a )  x  x    x   43 2   x  x    x  x   43   x  x    x  x   35 0  1 Đặt t  x  x Khi phương trình (1) thành : t  2t  35 0  t  7t  5t  35 0  t  t     t   0   t    t   0  t   x  x  0   x    3( ktm)    x   t 5  x  x  0    x 5  x  x  x  x  x  2029     0 2020 2019 2018 2017  x    x    x    x    x  2029   1    1    1    1     2020   2019   2018   2017   x  2021 x  2021 x  2021 x  2021 x  2021      0 2020 2019 2018 2017 1 1    x  2021       0  2020 2019 2018 2017  1 1    x  2021  Vi     0   2020 2019 2018 2017  b)   0  Vậy x  2021 Bài (3,0 điểm) a  b3  c  3abc 1004 2 c) Cho a  b  c 1004 Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca 3 Ta có : a  b  c  3abc a  b3  3ab  a  b   c  3ab  a  b   3abc   a  b   c   3ab  a  b  c    2  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c   a  b2  c  ab  bc  ca  a  b3  c  3abc  a  b  c 1004(dfcm) 2 a  b  c  ab  bc  ca Vậy a  b  c  ab  bc  ca x2  x  Q x  x 1 d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q Ta có : x2  x   x  1 Đặt t  x   1 x 1   x   t t Khi :   2    1  Q t    1    1  5 t     5t  t  t t    t   t   1 1 19   19    19 5  t  t   5  t  t   Q  5  t    5 10 100 100     10  20 Ta có 20 Vậy Min Q  19  t 0  x 9 20 10 Bài (3,0 điểm) c) Phân tích đa thức thành nhân tử : x2  y  z   y  z  x   z  x  y  x  y  z   y  z  x   z  x  y  x  y  x  x  z   y  z  x   z  x  y   x  y  x   x  z  x   y  z  x   z  x  y   x  y   z  x   z  y  d) Đa thức chia f  x f  x cho chia cho x  dư 5, chia cho x  dư x  Tìm phần dư  x 1  x 1 f x Ta có : Giả sử   chia cho đa thức chia bậc x  1  x  1 phần dư đa thức bậc hai ax  bx  c  f  x   x  1  x 1 Q  x   ax  bx  c  f  x   x  1  x 1 Q  x   ax  a  a  bx  c  f  x   x  1  x 1 Q  x   a  x  1  bx  c  b 2 2x     1 f  x c  a   x  Do chia cho đa thức dư Lại có f  x chia cho đa thức x  dư Nên theo định lý Nơ ru f   1 5  a  b  c 5   Từ b 2  1 ,    c  a 3  a  b  c 5  a 5  b 2 c 2  Vậy phần dư đa thức cần tìm x  x  Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD BF  H  BF  lấy điểm F cho AE  AF Vẽ AH vng góc với ,AH cắt DC BC hai điểm M , N E A 2 F D B H C M N e) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Xét tứ giác AEDM có AE / / DM (do AB / / CD) (1) Xét AFB vuông A có đường cao AH có : Xét ABF DAM ta có : A1  A2 90    A1 B2 B2  A2 90  AB DA( gt )   BAF ADM 90   ABF ∽ DAM (cgv  gn)  A1 B2   AF DM    AE DM    AE  AF Từ (1) (2) suy AEMD hình bình hành Lại có Nên tứ giác AEMD hình chữ nhật f) Chứng minh CBH ∽ EAH Xét AFH BAH có : DAE 90  gt  AHF BHA AF AH AE AH      AFH ∽ BAH ( g g )  A1 B2 BA BH BC BH  B1  B2 90    B1 A2 A2  B2 90  B1 A2   AE AH   EAH ∽ CBH  c.g c   BC BH   CBH  EAH Xét có : g) Biết diện tích CBH gấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh AC 2 EF AB S ABH 4S EAH   2 AE Vì (Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng)  AE  AB  E trung điểm AB F trung điểm AD 2 Mà AEF vuông cân A nên EF  AE  AF AB AB AB    AB 2 EF 22 2 2 Mà ABC vuông cân B nên AC  AB  BC  AC 2 AB 2.2 EF 4 EF  AC 2 EF 1   2 AM AN h) Chứng minh AD  EF  AD AM AD CN AD CN       3 AM MN AM MN Ta có AB / / CD Theo Talet : CN MN MN BE AB BE AD MC AD MC         4 AN MN AN MN AN MN Lại có EM / / BN Theo Talet : AN AB AD AD CN MC CN  MC MN       1 AM AN MN MN MN MN Từ (3), (4)  AD AD  1   1  AD   1    (dfcm) 2 2  2 AM AN AN  AM AN AD  AM Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh : ab bc ac   a  b  c a b  c b c  a a c  b Đặt  x a  b  c xz x y yz  ,b  ,c   a  b  c x  y  z  y b  c  a  a  2  z a  c  b  Khi :   x  z  x  y  y  x  y  z  z  x  z  y   VT      4 x y z  1 zy yz xy   x yz  yxzx  yz  4 x x z xy yz xz x y y z x z       x2 y2  y z  x2 z   xyz xyz xyz xyz Lại có z x y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : x y  y z 2 y xz , y z  z x 2 z yz; z x  x y 2 x yz  x y  y z  z x  xyz  x  y  z   1 VT    x  y  z   xyz  x  y  z    VT x  y  z a  b  c  VT a  b  c 4 xyz  Khi Điều phải chứng minh, dấu xảy  x  y  z  a b c ... x  2021      0 2020 2019 20 18 2017 1 1    x  2021       0  2020 2019 20 18 2017  1 1    x  2021  Vi     0   2020 2019 20 18 2017  b)   0  Vậy x  2021 Bài...  x  x  2029     0 2020 2019 20 18 2017  x    x    x    x    x  2029   1    1    1    1     2020   2019   20 18   2017   x  2021 x  2021 x  2021...    : x  x  3   x   x   x x   2x  x   x  x  x2   x  x2 x   x  x  8x x   x  3  x  x  3   x   x  x  x   x x2    x   x  3 x  x2 A x  với