PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI Cấp huyện năm 2022-2023 _ mơn Tốn x 4x2 x x 12 x A : x x x x x3 Bài (4,0 điểm ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên dương x để A có giá tri nguyên Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau a) x 2 x x 43 x x x x x 2029 0 b) 2020 2019 2018 2017 Bài (3,0 điểm) a b3 c 3abc 1004 2 a) Cho a b c 1004 Chứng minh a b c ab ac bc x2 x Q x x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (3,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : b) Đa thức f x x2 y z y z x z x y chia cho x+1 dư 5, chia cho x dư x Tìm phần dư chia x 1 x 1 f(x) cho Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy AH BF H BF , AH cắt DC BC hai điểm điểm F cho AE AF Vẽ M N a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Chứng minh CBH ∽ EAH c) Biết diện tích CBH gấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh AC 2 EF 1 2 AM AN d) Chứng minh AD Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh ab bc ac a b c a b c b c a a c b ĐÁP ÁN x x2 x x 12 x A : x x x x x3 Bài (4,0 điểm ) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 2; x 0; x 3 2 2 x x2 x x 12 x x x x x x A : x x 3 x x x x x 2x x 4x x2 x2 x x2 x x 4x2 8x x x 3 x x 3 x x x x x x2 (2 x).4( x 3) x A x2 x với x 2; x 0; x 3 Vậy d) Tìm giá trị nguyên dương x để A có giá tri nguyên x2 x2 9 x x 2; x 0; x 3 x x x x N * x Z x 3 U (9) 1; 3; 9 x 4;6;12 A Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau 2 x x x 43 c) x x x 43 x x 2 2 2 x x 43 x x x 5 x x x x 35 0 x 5 x x 7(VN ) 2 S 1;5 x x x x x 2029 0 d) 2020 2019 2018 2017 x x x x x 2029 1 1 1 1 04 2020 2019 2018 2017 x 2021 x 2021 x 2021 x 2021 x 2021 0 2020 2019 2018 2017 1 1 x 2021 0 x 2021 0 x 2021 2020 2019 2018 2017 S 2021 Bài (3,0 điểm) a b3 c3 3abc 1004 2 c) Cho a b c 1004 Chứng minh a b c ab ac bc a b3 c 3abc a b3 3ab a b c 3ab a b 3abc a b c3 3ab a b c a b c a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca a b3 c abc a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c 100(dfcm) d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q Ta có : Đặt t Q x2 x x x 1 x2 x x 1 1 x 1 x x 1 t t 2 Q t 1 1 5 t t Khi 1 1 t 5t t 5 t t 5 t t 1 19 19 19 5 t 2.t 5 t Q 10 100 100 20 10 20 19 1 Min Q t 0 x 9 20 10 x 10 Vậy Bài (3,0 điểm) c) Phân tích đa thức thành nhân tử : x2 y z y z x z x y y z y z x z x y x y x x z y z x z x y x2 y x x2 z x y z x z x y x y z x z y f x d) Đa thức chia cho x+1 dư 5, chia cho x dư x Tìm phần dư x x 1 x 1 chia f(x) cho x 1 x 1 f x Ta có : Giả sử chia cho phần dư đa thức bậc hai đa thức chia bậc f x x 1 x 1 Q x ax bx c ax bx c f x x 1 x 1 Q ( x ) ax a a bx c f x x 1 x 1 Q ( x ) a x 1 bx c b 2 1 c a x x Do f(x) chia cho đa thức dư nên f x Lại có chia cho đa thức x+1 dư Nên theo định lý Be zu ta có : b 2 1 , c a 3 a b c 5 f 1 5 a b c 5 c a 3 a c 7 b 2 a 5 b 2 c 2 Từ Vậy phần dư cần tìm x x Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , cạnh AB lấy điểm E cạnh AD AH BF H BF lấy điểm F cho AE AF Vẽ , AH cắt DC BC hai điểm M N E A F D B H C M N e) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật AM / /CD) 1 Xét tứ giác AEDM có AE / / DM (do Xét AFB vng A có đường cao AH A1 A2 90 A1 B2 B2 A2 90 Xét ABF & DAM ta có : AB DA( gt ) AF DM BAF ADM 90 ABF ∽ DAM (cgv gn) AE DM AE AF A1 B2 Từ (1) (2) suy tứ giác AEMD hình bình hành Lại có DAE 90 (gt) nên tứ giác AEMD hình chữ nhật f) Chứng minh CBH ∽ EAH Xét AFH & BAH có : AHF BHA AF AH AE AH AFH ∽ BAH ( g g ) A1 B2 (cmt ) BA BH BC BH B1 B2 90 B1 A2 A2 B2 90 B1 A2 AE AH EAH ∽ CBH (c.g c ) Xét CBH & EAH có BC BH g) Biết diện tích CBH gấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh AC 2 EF AB S ABH 4S EAH 2 AE Vì (tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng) AB 2 AE AB E AE trung điểm AB F trung điểm AD EF AE AF EF Mà AEF vuông cân A : 2 Mà ABC vuông cân B nên AC AB BC AB AB AB 22 2 AB 2 EF AC 2 AB 2.2.EF 4 EF AC 2 EF 1 2 AM AN h) Chứng minh AD Ta có AB / / CD Lại có : AD AM AD CN AD CN 3 CN MN AM MN AM MN EM / / BN MN BE AB BE AD MC AD MC (Talet ) 4 AN AB AN MN AN MN AN MN AD AD CN MC CN MC MN 1 3 , AM AN MN MN MN MN AD AD 1 1 AD 1 (dfcm) 2 2 2 AM AN AN AD AM AN AM Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh ab bc ac a b c a b c b c a a c b Đặt x a b c xz x y yz ,b ,c a b c x y z y b c a a 2 z a c b Khi x z x y y x y z z x z y VT 4 x y z 1 zy xy xy yz zx x y z y x z x x y z 3 x y z 4 x 4 z x y Lại có: xy yz xz x y y z x z x2 y y z x2 z z x y xyz xyz xyz xyz Áp dụng BĐT AM-GM ta có : x y y z 2 y xz ; y z z x 2 z xy ; z x x y 2 x yz x y y z z x xyz x y z 1 VT x y z xyz x y z VT x y z a b c VT a b c 4 xyz Điều phải chứng minh, dấu xảy x y z a b c