đại số tuyến tính - chương 1 số phức pdf

Ở đây : Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là hoặc... là 1 nghiệm của phương trìn

CHƯƠNG 1:

SỐ PHỨC

b : được gọi là phần ảo của số phức z ,

Ở đây :

Trục Ox : được gọi là trục thực

Trục Oy : được gọi là trục ảo

Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là

môđun của số phức z và ký hiệu là hoặc

 được gọi là số phức liên hợp của z

2

1 1

1

i b a

z

i b a

2 1

b b

a a

b/ Các phép toán:

Cho hai số phức





Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp số

z   z z a2 b2

a i b a i b

b i

a b

i a

z

1

b

i b

a a

2 1 1

2 2

2

2 2

2 1 2

1

b a

b a b

a

i

b

a

b b a

a

   

 1 1  2 2

2 2

1 1

2 2

1 1

2

1

i b a

i b a

i b a

i b

a

i b a

i b

a

z

1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:

Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau:

a i b a i b a  z z

2

2 1

2

z   

2 1 2

z 

z

1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:

i

i z





1

31

Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp ta được1 i

   

    i

i i

1

1

13

1

VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số

là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được

Giải:

a/ Dễ dàng tính được

VD2: Cho

a/ Tínhb/ Giải phương trình

1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:

 i f

z 

  z  z  i z2  2z  2 0

f

b/

02

z  z 1i

2 Dạng lượng giác của số phức:

a/ Định nghĩa:

Cho số phức ,

và là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với

bán kính vectơ của điểm



Ta có :

Ở đây :

chính là mođun của số phức

được gọi là acgumen của số phức , ký hiệu

 Biểu thức được gọi là dạng lượng giác của số phức

2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:

 arg  z

z z







2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:

11

4

5cos2

1 i  i z

Ta có:

2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:

2 2

1 1

1 1

sincos

z

i r

k

r

r z

2

1 2

Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được

VD : Tính

Ta có :

3 Khai căn của số phức:

Ta giải phương trình với

3 KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:

C z

Vậy phương trình có đúng n nghiệm cho

ở đây là ta có đủ nghiệm của

phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là

3 KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC:

π

k r

z n

k

2sin

 , , , n k

()

2cos0

sin0

cos1

π ε

i

π

i

π ε

i

ε

31

4sin

4cos

2

32

13

2sin3

2cos

10

sin0

với

có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, nghiệm

phức và nghiệm bội của nó

b/ Định lý 2:

Cho phương trình bậc n với hệ số thực

Nếu là nghiệm của phương trình

thì cũng là nghiệm của phương trình này

4 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:

21

0

n

i a

, n ,

, , i

, a

cũng là nghiệm của phương trình

là nghiệm của phương trìnhvậy

1411

z 2 2 z 2 5

1014

2

z2  z  

2

44

51

'    i



i

21



010

1411

vậy phương trình này có 2 nghiệm là

Ta đi giải phương trình

Chia đa thức ta được

Kết luận :

có 4 nghiệm là

4 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ:

Phương trình

PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1:

SỐ PHỨC

34

BÀI 4 BÀI 4: Giải phương trình

( kết quả biểu diễn dưới dạng đại số)

BÀI 3 BÀI 3: Tính căn bậc 2 của số phức sau :

z

z 2

z 

1



z

PHẦN HƯỚNG DẪN VÀ KẾT QUẢ BÀI TẬP CHƯƠNG 1:

SỐ PHỨC

HD: Trong dấu ngoặc nhân tử và mẫu với số

i z

25

225

113

4  3 i 

22

7cos2

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

3 3

π z

i ε

i ε

32

3

2 1

0

có 3 giá trị là

BÀI 3:

HD:

, z z

2

32

1

10

i b a

z  

2ab b

b a

a

z

32

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

045

1857

63

z

i z

 6 15 4 3

4518

5724

4z4  z3  z2  z   z2  z  z2 

Phương trình này có 4 nghiệm là

c/

HD:

22

3

32

12

499

BÀI 5

BÀI 5:

HD:

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

i

π

i

π e

13

sin3

cos3

cos

32

12

33

2

32