CHUYÊN ĐỀ 6 SỐ VÔ TỈ CĂN BẬC HAI SỐ HỌC PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Số vô tỉ a) Ví dụ mở đầu Cho hình vuông ABCD cạnh 1 cm Vẽ hình vuông ACMN Ta có diện tích của hình vuông ACMN là 2x Mặt khác diện tíc[.]
CHUYÊN ĐỀ SỐ VÔ TỈ CĂN BẬC HAI SỐ HỌC PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Số vơ tỉ a) Ví dụ mở đầu: Cho hình vng ABCD cạnh cm Vẽ hình vng ACMN Ta c ó diện tích hình vng ACMN x Mặt khác diện tích hình vng ACMN gấp hai lần diện tích hình vng ABCD Do x = Người ta chứng minh số hữu tỉ mà bình phương tính x = 1, 414213562 Đây số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Ta gọi số số vô tỉ b) Khái niệm: Số vô tỉ số viết dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Ví dụ: 2,71828 số vơ tỉ Tập hợp số vơ tỉ kí hiệu I Khái niệm bậc hai số học a) Định nghĩa: Căn bậc hai số học số a khơng âm, kí hiệu cho x = a a , số x không âm Như vậy, ví dụ cạnh hình vng có diện tích cm Chú ý: Số âm khơng có bậc hai b) Tính chất: Với hai số dương a b +) Nếu a = b cm a = b ngược lại +) Nếu a b a b ngược lại Tính bậc hai số học máy tính cầm tay PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Tính bậc hai I Phương pháp giải: Các phép toán tập hợp số vơ tỉ có tính chất tương tự phép toán tập hợp số hữu tỉ Để thực phép tính có chứa bậc , ta làm sau: Bước Tính giá trị bậc hai ( dùng định nghĩa máy tính) Bước Thực thứ tự phép tính II Bài tốn Mức nhận biết Bài Tìm bậc hai số học của: a) b) −5 c) d) 81 Lời giải: a) Căn bậc hai số học 22 = b) Số −5 khơng có bậc hai −5 c) Căn bậc hai số học 02 = d) Căn bậc hai số học 81 92 = 81 Bài Tính a) 36 Lời giải: b) 64 c) d) 625 a) 36 = ; Bài Tính b) 64 = ; c) = ; d) 625 = 25 Lời giải: a) = ; Bài Tính a) a) 0,04 b) 100 81 c) b) 100 10 = ; 81 c) b) 0,01 c) 16 d) 49 25 1 = ; 16 d) 49 = 25 0,0009 d) 0,25 Lời giải: a) 0,04 = 0,2 b) 0,01 = 0,1 c) 0,0009 = 0,03 d) 0,25 = 0,5 Bài Tính a) 32 Lời giải: b) 62 c) d) 1002 212 a) 32 = ; b) 62 = ; c) 212 = 21 ; d) 1002 = 100 Mức thơng hiểu Bài Sử dụng máy tính bỏ túi để tính (làm trịn đến chữ số thập phân thứ 2) a) Lời giải: a) 1,41 b) c) b) 1,73 c) ,24 d) d) ,45 Bài Sử dụng máy tính bỏ túi để tính (làm trịn đến hàng phần chục) a) Lời giải: a) 1,4 b) c) d) 10 b) 1,7 c) ,8 d) 10 3,2 b) Bài Tính a) c) 16 Lời giải: a) = = 4 b) 25 = = 9 d) 15 49 c) 25 = = 16 16 Bài Tính a) 1,44 d) b) 15 64 = = 49 49 c) 1,21 6,25 d) 1,96 Lời giải: a) 1,44 = 1,2 b) 6,25 = 2,5 d) 1,96 = 1,4 c) 1,21 = 1,1 Bài 10 Tính a) ( −5) ( −2 ) b) c) − 400 d) − 72 Lời giải: a) ( −5) b) ( −2 ) = 16 = ; = 25 = ; d) − 72 = −7 c) − 400 = −20 ; Mức vận dụng Bài 11 Tính a) (3 ) 2 (2 ) b) c) d) 1,72 − 1,52 3,2.0,2 Lời giải: a) (3 ) 2 =9 b) = (2 ) =8 d) 1,72 − 1,52 = 2,89 − 2,25 = 0,64 = 0,8 c) 3,2.0,2 = 0,64 = 0,8 Bài 12 Tính a) (2 ) 0,04 ,49 b) 0,36 ,25 b) 0,36 36 = = = ,25 225 15 c) ( ,8 − 0,5) Lời giải: a) 0,04 = = 0,49 49 c) ( 2,8 − 0,5) = ( 2,3) = 2,3 Bài 13 Thực phép tính: a) A = 49 − 25 + ( −1) b) B = 36 − ( −3) + 16 2 Lời giải: a) A = 49 − 25 + ( −1) b) B = 36 − ( −3) + 16 A = − +1 B = − 3+ A=3 B=7 1 Bài 14 Thực phép tính: A = 36 16 − +2 Lời giải: 1 A = 36 16 − +2 9 1 A = 6. 3.4 − + 3 1 A = 6. 12 − + 3 35 A = + A = 70 + = 72 Bài 15 Thực phép tính: 25 + + 16 a) A = ( −2 ) b) B = ( −2 ) + ( −3) − − ( −4 ) 2 Lời giải: 25 + + 16 A= + +4 29 A= a) A = ( −2 ) b) B = ( −2 ) + ( −3) − − ( −4 ) B = + − 43 B = + 3−8 B = −3 Mức vận dụng cao Bài 16 Tìm bậc hai số học của: a) a với a b) ( a − 1) với a c) ( a + 1) với a d) ( a − 1) với a 2 Lời giải: a) Với a , ta có a2 = a c) Với a , ta có ( a + 1) b) Với a , ta có = a +1 ( a − 1) = a −1 d) Với a , ta có ( a − 1) = ( a − 1) Bài 17 Chứng tỏ rằng: + + + + ( n − 1) + n + ( n − 1) + + + + = n Với n Lời giải: + + + + ( n − 1) + n + ( n − 1) + + + + Với n = 1 + + + + ( n − 1) + n − n = 2 = ( n + 1) n − n ( n + 1) n − n = n2 + n − n = n2 = n Bài 18 Tính độ dài cạnh hình vng có diện tích bằng: a) 64 cm b) 625m Lời giải: a) Độ dài cạnh hình vng có diện tích 64 cm là: 64 = cm b) Độ dài cạnh hình vng có diện tích 625m là: 625 = 25 m Bài 19 Để lát sân gạch có diện tích 100m2 , người ta dùng vừa đủ 1600 viên gạch hình vng cỡ Hỏi viên gạch có độ dài cạnh bao nhiêu, biết diện tích mạch ghép khơng đáng kể? Lời giải: Diện tích viên gạch : 100 :1600 = 0,0625 m2 Đổi 0,0625m2 = 625cm2 Độ dài cạnh viên gạch : Bài 20 Chứng minh Lời giải: số vô tỉ số hữu tỉ Khi Giả sử 625 = 25 cm 5= m với ( m, n ) = ; m, n n * Suy : m2 = 5n m2 m Đặt m = 5k ( k ) Ta có m2 = 25k Do 5n = 25k n = 5k n2 Mà số nguyên tố nên n Suy Vậy m chưa tối giản, trái với giả thiết ( m, n ) = n không số hữu tỉ, số vô tỉ Dạng Tìm x I Phương pháp giải: Ta sử dụng tính chất sau: +) Nếu x = a x = a (với a ) +) Nếu x = a (với a ) x = a x = − a ngược lại II Bài toán Mức nhận biết Bài Tìm x khơng âm biết: a) x = Lời giải: a) x = x=4 x = 16 ( thoả mãn ) Bài Tìm x , biết: b) x =5 b) x =5 x = 52 x = 25 ( thoả mãn ) a) x = Lời giải: a) x = x = x = −3 b) x = 16 b) x = 16 x = x = −4 Bài Điền số thích hợp vào trống x 16 x ( −5) 19 2 Lời giải: x x 16 ( −5) 19 19 49 Bài Tìm x không âm biết: a) x= b) x = 0,5 Lời giải: a) Ta có: x= 3 x= 4 ( thoả mãn) x= 16 Bài Tìm x , biết: 25 a) x = b) x2 = 0,04 64 b) x = 0,5 x = 0,52 x = 0,25 ( thoả mãn ) Lời giải: a) x = 25 64 25 25 x = − 64 64 5 x = x = − 8 x= b) x2 = 0,04 x = 0,04 x = − 0,04 x = , x = −0 , Mức thông hiểu Bài Tìm x khơng âm biết: a) x − = Lời giải: a) x − = b) x = 10 b) x = 10 x =9 x =5 x = 92 x = 52 x = 81 ( thoả mãn ) Bài Tìm x , biết: x = 25 ( thoả mãn ) a) x − 10 = Lời giải: a) x − 10 = b) 64 − x = b) 64 − x = x = 10 x = 64 x = 10 x = − 10 x = 64 x = − 64 x = x = −8 Bài Tìm x biết: a) x + = Với x −1 Lời giải: b) a) x + = Với x −1 x +1 = x = ( thoả mãn ) Bài Tìm x biết: b) x − = Với x x −1 = x = 10 ( thoả mãn ) a) ( x + 1) = 49 b) ( x − 3) = 81 x − = Với x Lời giải: a) ( x + 1) = 49 x + = x + = −7 x = x = −8 Bài 10 Tìm x biết: a) x − = Với x Lời giải: a) x − = Với x 2 3 x −1 = 2 x −1 = 13 x = ( thoả mãn ) b) ( x − 3) = 81 x − = x − = −9 x = 12 x = −6 b) − x = Với x b) − x = Với x x = 3− 11 ( thoả mãn ) x= 3− x = Mức vận dụng Bài 11 Tìm x biết: a) − x + = Với x −1 b) − x − = Với x Lời giải: − x + = Với x −1 x +1 = x +1 = x = −1 a) 1− x = 16 1− x = 25 16 x = 1− 25 b) − x − = Với x −5 ( thoả mãn ) Bài 12 Tìm x , biết: x= a) 18 − ( + x ) = 14 x= ( thoả mãn ) 25 b) ( − x ) − 16 = Lời giải: a) 18 − ( + x ) = 14 b) ( − x ) − 16 = ( + x ) = 18 − 14 ( − x ) = 16 (5 + x ) = − x = − x = −4 x = − x = − ( −4 ) 2 + x = + x = −2 x = − x = −2 − x = −3 x = −7 Bài 13 Tìm x khơng âm biết: a) x − 24 = 2 x = −2 x = b) 1 x− = 12 Lời giải: a) x − 24 = x = 24 x =8 x = 82 x = 64 ( thoả mãn ) 1 x− = 12 1 x= + 12 x= 12 x= : 12 x= 36 ( thoả mãn ) x= 25 b) Bài 14 Tìm x , biết: a) 5x − 76 = b) Lời giải: a) 5x − 76 = b) 5x = 80 x = 80 : x = 16 x = x = −4 Bài 15 Tìm x khơng âm biết: − x2 = − x2 = x2 = − x2 = x2 = : x2 = 16 1 x = − x= 4 a) −2 x =1 b) 1 x− = 12 Lời giải: −2 x =1 x = −1 2 x = x = :2 x= ( thoả mãn ) x= 64 a) 1 x− = 12 1 x= + 12 x= 12 x= : 12 x= 36 ( thoả mãn ) x= 25 b) Mức vận dụng cao Bài 16 Tìm x biết: a) Với x − 13 x − = 21 b) x + + = Với x −7 5 Lời giải: Với x − 13 x − = 21 13 x − = − 21 13 13 x − = 21 x −1 = 21 x −1 = 441 442 ( thoả mãn ) x= 441 a) Với x −7 x + +1 = x + = −1 x+7 = x+7 = x+7= −27 ( thoả mãn ) x= b) x + +1 = Bài 17 Tìm x , biết: a) (1 − x ) + = 12 2 b) 10 − x + = 7 Lời giải: a) (1 − x ) + = 12 (1 − x ) = (1 − x ) = − x = − x = −1 x = x = 2 b) 10 − x + = 7 5 4 x + = 7 5 x+ = 7 5 x + = x + = − 7 x= 11 31 x = − 14 14 Bài 18 Tìm x , biết: a) ( x − 1) = b) x + + = Với x −1 a) ( x − 1) = b) x + + = Với x −1 ( x − 1) = 25 x + = −2 Lời giải: 2 x − = x −1 = −5 x = x = −4 Bài 19 Tìm x , biết: 1 a) x + x − = − Với x ; x −1 2 Lời giải: 1 a) x + x − = − Với x ; x −1 2 1 x2 + x = − + 2 x b) − x − x = Với x ; x b) − x − x = Với x ; x x2 − x = x2 − x = x2 − x = x2 + x = x2 + x = x ( x − 2) = x ( x + 1) = x = (TM) x = ( TM ) x = (TM) x = −1 (TM) Bài 20 Tìm x biết: a) x + − x + = − Với x −2 b) ( x − 5) − 15 = ( x − 5) 16 Lời giải: a) x+2 −3 x+2 = − (1 − 3) x + = − −2 x + = − x+2 = Với x −2 7 7 49 97 x = − ( thoả mãn ) 49 x+2= Dạng So sánh bậc hai I Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: ❖ Với hai số dương a b thì: +) a = b a = b +) a b a b +) a b a b2 ❖ Nếu a m , m b a b 27 = ( x − 5) 16 27 2 ( x − 5) − ( x − 5) = 16 27 ( x − 5) = 16 ( x − 5) = 16 3 x − = x − = − 4 23 17 x = x= 4 b) ( x − 5) − Vậy A = x = Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = − x với x Lời giải: Vì x với x nên − x Do P = − x Dấu “ = ” xảy x = Vậy max P = x = Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = −5 x với x Lời giải: Vì x với x nên −5 x Do P = −5 x Dấu “ = ” xảy x = Vậy max P = x = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x với x Lời giải: Vì x với x nên A = x Dấu “ = ” xảy x = Vậy A = x = Mức thông hiểu Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − + với x Lời giải: Vì x − với x nên A = x − + Dấu “ = ” xảy x = Vậy A = x = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x + − với x −3 Lời giải: Vì x + với x −3 nên A = x + − 5 − 2 Dấu “ = ” xảy x = −3 Vậy A = −5 x = −3 Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = − x − với x Lời giải: Vì x − với x nên − x − Do P = − x − Dấu “ = ” xảy x = Vậy max P = x = Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = − x + với x −1 Lời giải: Vì x + với x −1 nên − x + 4 Dấu “ = ” xảy x = −1 Vậy max P = x = −1 Do P = − x + Bài 10 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = 3,5 − x + 1,5 với x −1,5 Lời giải: Vì x + 1,5 với x −1,5 nên − x + 1,5 Do P = 3,5 − x + 1,5 3,5 Dấu “ = ” xảy x + 1,5 = hay x = −1,5 Vậy max P = 3,5 x = −1,5 Mức vận dụng thấp Bài 11 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x + với x Lời giải: Vì x với x nên x Do A = x + Dấu “ = ” xảy x = Vậy A = x = Bài 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − − với x Lời giải: x − với x nên x − 3 Do A = x − − − 2 Vì Dấu “ = ” xảy x = Vậy A = − x = Bài 13 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = − x − 1,2 với x 1, Lời giải: Vì x − 1,2 với x 1,2 nên −3 x − 1,2 Do P = − x − 1,2 Dấu “ = ” xảy x = 1,2 Vậy max P = x = 1,2 Bài 14 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = − x + với x −2 Lời giải: Vì x + với x −2 nên −3 x + Do P = − x + Dấu “ = ” xảy x = −2 Vậy max P = x = −2 Bài 15 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = − Lời giải: x + với x −3 Vì x + với x −3 nên − x + 3 x+3 3 Dấu “ = ” xảy x + = hay x = −3 Vậy max P = x = −3 Do P = − Mức vận dụng cao Bài 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = −3 với x x +2 Lời giải: x với x nên x + 3 −3 −3 Suy A = Do x +2 x +2 Dấu “ = ” xảy x = Vậy A = − x = Vì Bài 17 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x −1 với x x +1 Lời giải: B= x −1 = 1− x +1 x +1 x với x nên x + 2 Suy B = − −1 Do x +1 x +1 Dấu “ = ” xảy x = Vậy B = −1 x = Vì Bài 18 Tìm giá trị lớn biểu thức C = với x x +1 Lời giải: Vì x với x nên x + 1 Do C = x +1 Dấu “ = ” xảy x = Vậy max C = x = Bài 19 Tìm giá trị lớn biểu thức sau D = Lời giải: D= x +3 = 1+ x +2 x +2 x với x nên x + 1 Suy D = + Do x +2 x +2 Vì x +3 với x x +2 Dấu “ = ” xảy x = Vậy max D = x = Bài 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau E = x + x + với x Lời giải: Vì x với x nên x + x Do E = x + x + Dấu “ = ” xảy x = Vậy E = x = Dạng Tìm giá trị nguyên x để biểu thức nhận giá trị nguyên I Phương pháp giải: Tìm điều kiện x để biểu thức nhận giá trị nguyên, ta thường làm sau: Bước Tách phần nguyên Tách tử theo mẫu cho A có dạng tổng số nguyên phân số có tử số ngun Bước Tìm x m Vận dụng tính chất sau: A = với m,n , n Để A nhận giá trị ngun m n hay n n ¦ ( m ) II Bài toán Mức nhận biết Tìm x x Bài Cho A = Lời giải: A có giá trị nguyên để A có giá trị nguyên x x 1; 3 x x Mức thông hiểu Bài Cho B = x Tìm x x 30 để B có giá trị nguyên Lời giải: B có giá trị nguyên x x số chẵn x bình phương số nguyên Mà x 30 Do x 0;4;16 Mức vận dụng Bài Cho A = Tìm x ,x để A có giá trị nguyên x −3 Lời giải: A có giá trị nguyên x −3 x − 1; 5 x −3 −1 −5 x −2 16 x x −1 Tìm x Bài Cho B = Lời giải: B có giá trị nguyên 64 x 50 để B có giá trị nguyên x −1 x − số chẵn x số lẻ x số phương lẻ Mà x 50 Do x 1;9;25;49 Mức vận dụng cao x +1 Tìm x ; x để A có giá trị nguyên x −2 Bài Cho A = Lời giải: x +1 = x −2 A= x −2+3 = 1+ x −2 A có giá trị nguyên 3 x −2 x −2 x − 1; 3 x −2 −1 −3 x −1 x 25 Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tính bậc hai Mức nhận biết Bài Sử dụng máy tính bỏ túi để tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 1) a) Bài Tính a) 2,7 b) 11 c) 12 b) ( −1,5) b) 225 169 c) 3 4 d) 14 2 d) 1 − 2 d) 3,24 d) 25 − Mức thơng hiểu Bài Tính a) 100 81 c) 27 169 Bài Tính a) b) ( −2 ) 1 c) 2 Mức vận dụng Bài Thực phép tính: a) A = 121 − 100 + ( −6) b) B = Bài Thực phép tính: A = 64 25 − 1 + 4 49 + + 64 16 ( −4,5) ( −3) Mức vận dụng cao Bài Để lát gạch cho công viên, người ta dùng vừa đủ 1500 viên gạch hình vng cỡ Biết tổng diện tích lát gạch 240m diện tích mạch ghép khơng đáng kể, tính độ dài cạnh viên gạch Bài Để lát nhà có diện tích 90m , người ta dùng vừa đủ 1000 viên gạch hình vng cỡ Hỏi viên gạch có độ dài cạnh bao nhiêu, biết diện tích mạch ghép khơng đáng kể? Dạng Tìm x Mức nhận biết Bài Tìm x khơng âm biết: x = 12 a) x = Bài Tìm x , biết: a) x = 25 Mức thơng hiểu Bài Tìm x , biết: b) a) x − = Bài Tìm x biết: b) − x = Với x a) x = Với x Mức vận dụng Bài Tìm x , biết: b) 75 − 3x = 1 = Với x − 3 Bài Tìm x biết: b) ( − x ) = a) x+ b) x = 0,16 a) − x + = Với x −7 b) Mức vận dụng cao Bài Tìm x biết: a) x − − = Với x Bài Tìm x , biết: a) ( x − 1) + = = Với x 2 b) − 3x − = Với x b) 17 − ( x + 3) = Dạng So sánh bậc hai Mức nhận biết Bài So sánh: a) 49 Bài So sánh: 2− x − b) − − 3 ...Lời giải: a) Căn bậc hai số học 22 = b) Số −5 khơng có bậc hai −5 c) Căn bậc hai số học 02 = d) Căn bậc hai số học 81 92 = 81 Bài Tính a) 36 Lời giải: b) 64... ( x − 1) + = = Với x 2 b) − 3x − = Với x b) 17 − ( x + 3) = Dạng So sánh bậc hai Mức nhận biết Bài So sánh: a) 49 Bài So sánh: 2− x − b) − − 3 ... x+2 = Với x −2 7 7 49 97 x = − ( thoả mãn ) 49 x+2= Dạng So sánh bậc hai I Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: ❖ Với hai số dương a b thì: +) a = b a = b +) a b a b +) a b