Skkn rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số trong ôn thi thpt quốc gia tại trường thpt tĩnh gi

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Năm học 2017 – 2018 năm học thứ hai môn tốn thi theo hình thức thi trắc nghiệm kỳ thi THPT quốc Việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm tạo nên nhiều bỡ ngỡ cho em học sinh mà thân tơi Hình thức thi trắc nghiệm địi hỏi phải có số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Chẳng hạn ta xem xét ví dụ sau: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ: y Khẳng định sau ? A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng -2 O x Đối với ví dụ học sinh dễ dàng tìm đáp án A Bây ta thử đặt vấn đề cho đồ thị hàm số tính đồng biến, nghịch biến đồ thị hàm số Ta xét ví dụ sau: Cho hàm số có đạo hàm R hàm số Biết hàm số có đồ thị hình bên Hàm số nghịch biến khoảng khoảng sau ? A B C D -3 kết luận khơng ? y O Với tập học sinh gặp số khó khăn sau: - Nhầm lẫn đồ thị hàm số - Thiếu kỹ đọc đồ thị mà lại đồ thị hàm số Bài tập mức độ thông hiểu với tập kiến thức mức độ vận dụng thấp vận dụng cao học sinh gặp khó khăn gì? Chẳng hạn ta xét tập sau: ( ĐềThi KSCL lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Cho hàm số Đồ thị hàm số hình vẽ skkn Đặt , , Mệnh đề ? A B C D y O Trước vấn đề q trình ơn thi THPT quốc gia năm 2018 thấy cần hệ thống lại số lý thuyết, phân dạng tập, trình bày phương pháp giải dạng tập liên quan đến đồ thị hàm số nhằm rèn luyện kỹ giải tập phát triển lực tư phân tích tổng hợp cho em học sinh tơi chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ giải số dạng tập liên quan đến đồ thị hàm số ôn thi THPT quốc gia trường THPT Tĩnh Gia 4” 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài - Đề tài nhằm mục đích cho học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số với vấn đề hàm số Từ làm tốt dạng toán này, mang lại kết cao kỳ thi, đặc biệt kỳ thi THPT quốc gia 2017 – 2018 - Đề tài nhằm mục đích phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, lực tự học học sinh, tạo điều kiện cho em hứng thú học tập môn tốn trường phổ thơng - Đề tài góp phần hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm trường THPT Tĩnh Gia Sở giáo dục đào tạo Thanh hóa 1.3 Đối tượng nghiên cứu Do bị giới hạn số trang sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài tơi trích trình bày số tốn đồ thị hàm số liên quan đến hàm số tốn tính đồng biến, nghịch biến hàm số; tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số; toán so sánh giá trị hàm số; vài toán khác 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet toán liên quan đế đồ thị hàm số skkn - Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy; ơn thi THPT Quốc Gia trường THPT Tĩnh Gia 4, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dị học sinh để tìm hiểu tình hình học tập em - Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu sử dụng đề tài nghiên cứu việc giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia năm học 2017 – 2018 Trường THPT Tĩnh Gia 1.5 Những điểm SKKN Theo biết, có số đề tài viết tốn liên quan đến đồ thị hàm số Nhưng theo quan điểm cá nhân tơi tình hình đổi hình thức thi trung học phổ thơng quốc gia mơn tốn, đề tài tơi quan điểm hồn tồn cách thức giải toán thế, cụ thể : - Thứ nhất, sáng kiến kinh nghiệm trình bày cách có hệ thống dạng tập liên quan đến đồ thị hàm số , việc phân dạng tập cụ thể đa dạng , hệ thống câu hỏi tập nhiều, cập nhật nhiều tập vừa thi thử trường THPT tỉnh Thanh Hóa giúp giáo viên em học sinh có thêm nguồn tài liệu cần thiết - Thứ hai, sáng kiến kinh nghiệm đưa cách thức, phương pháp hoàn toàn so với phương pháp tự luận truyền thống để giúp giáo viên học sinh hoàn thành nhanh tập liên quan đến đồ thị hàm số đề cập đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận Trong giải tích đạo hàm công cụ mạnh để giải nhiều tốn Giữa hàm số đạo hàm có nhiều mối liên hệ chặt chẽ với Điển hình mối liên hệ tính đơn điệu dấu đạo hàm, mối liên hệ giữ tồn cực trị dấu đạo hàm… +) Mối liên hệ tính đơn điệu dấu đạo hàm: Định lý: Cho hàm số có đạo hàm K a) Nếu với thuộc K hàm số đồng biến K b) Nếu với thuộc K hàm số nghịch biến K [1] Dựa vào đồ hàm số ta nhận thấy: - Nếu thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh skkn - Nếu thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh Từ ta có kết luận: - Nếu thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh khoảng hàm số đồng biến - Nếu thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh khoảng hàm số nghịch biến +) Mối liên hệ tồn cực trị dấu đạo hàm: Nếu hàm số có đạo hàm khoảng đạt cực đại cực tiểu [1] Từ ta suy ra: Nếu hàm số đạt cực đại cực tiểu đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có tọa độ Ngược lại, hàm số liên tục, có đạo hàm đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có tọa độ đồng thời đổi dấu qua điểm cực trị hàm số Ngoài đổi dấu từ + sang - qua điểm cực đại hàm số , đổi dấu từ - sang + qua điểm cực tiểu hàm số + Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: Định nghĩa: Cho hàm số xác định D Số M gọi GTLN hàm số D cho Kí hiệu Số m gọi GTNN hàm số D cho Kí hiệu [1] Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số * Từ việc lập BBT hàm số tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) giá trị GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số xác định liên tục đoạn ta tìm GTLN GTNN theo bước sau : - Tìm điểm đoạn mà khơng xác định - Tính giá trị - Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN (GTNN) hàm số đoạn skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy trường THPT Tĩnh Gia 4, thấy đề thi TNKQ xuất nhiều tốn có giả thiết cho đồ thị hàm số tính chất hàm số Khi học sinh giải toán liên quan đến đồ thị hàm số em thường gặp phải số vấn đề khó khăn sau: Thứ khơng học sinh khơng nắm kiến thức liên quan không rèn luyện thường xuyên nên yêu cầu trở thành u cầu khó Một số học sinh cịn nhầm lẫn đồ thị hàm số với đồ thị hàm số Thứ hai số học sinh nắm phương pháp giải toán yếu kỹ đọc đồ thị mà lại đồ thị hàm số Nên giải toán cho kết sai, em phải nhiều thời gian hồn thành giải Thứ ba đa phần học sinh yếu khả phân tích, định hướng tìm lời giải cho tốn Vì đứng trước toán em lúng túng việc tìm hướng giải cho tốn Những khó khăn kể học sinh tháo gỡ học sinh nắm phương pháp giải dạng tập đồ thị hàm số 2.3 Các giải pháp giải vấn đề 2.3.1 Dạng Đồ thị hàm số tính đơn điệu hàm số y Ví dụ Cho hàm số xác định có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng B Hàm số C Hàm số D Hàm số -2 -1 O đồng biến khoảng x đồng biến khoảng nghịch biến khoảng Lời giải: Cách 1: sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số - ta có bảng biến thiên sau: + 0 - + skkn Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số - Nếu khoảng đồ thị hàm số nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) đồng biến - Nếu khoảng đồ thị hàm số nằm trục hoành (có thể tiếp xúc) nghịch biến - Nếu khoảng đồ thị hàm số vừa có phần nằm trục hồnh vừa có phần nằm trục hồnh loại phương án Quan sát đồ thị hàm số khoảng ta thấy đồ thị hàm số phần nằm trục hoành nên ta chọn đáp án D Ví dụ ( Đề minh họa Bộ - 2018): Cho hàm số y  f (x) Hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Hàm số y  f 2  x đồng biến khoảng A 1;3 B 2;  C 2;1 D ; 2 [3] Lời giải: Hàm số đồng biến Nhìn đồ thị hoặc Chọn đáp án C Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số hình vẽ bên Xét hàm số y Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng O -3 -2 -4 skkn Lời giải: qua điểm (-3; -2) , (1; -2), (3;-3) y Vẽ đường thẳng (d): Ta có Dựa vào đồ thi ta nhận thấy: +) Trên khoảng (-3; 1) đồ thị hàm số nằm phía đường thẳng nên Suy khoảng (-3; 1) hàm số nghịch biến +) Trên khoảng (1; 3) đồ thị hàm số nằm phía đường thẳng nên Suy khoảng (1; 3) hàm số đồng biến Do ta chọn đáp án A Bài tập luyện tập Bài tập1 Cho hàm số xác định có đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng O -3 -2 -4 y -3 -2 O x Đáp án: Chọn đáp án C Bài tập (Thi HK1 2017 -2018, THPT Lê Quý Đôn – Quảng Trị) Cho hàm số có đạo hàm liên tục y có đồ thị hàm số hình vẽ bên Xét hàm số Mệnh đề sau -1 sai? O A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng -2 C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Đáp án: Chọn đáp án B skkn Bài tập ( Thi HK1 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Bến tre) Cho hàm số ( ) Biết hàm số có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ bên Khi nhận xét sau sai? A Trên hàm số tăng B Hàm giảm đoạn C Hàm đồng biến khoảng D Hàm nghịch biến khoảng y -2 Đáp án: Chọn đáp án B Bài tập Cho hàm số liên tục xác Biết có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ Xét khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số định O -1 y , O x - nghịch biến khoảng D Hàm số đồng biến khoảng Đáp án: Chọn đáp án D Bài tập ( Thi thử 2017 – 2018, THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ) y Hình bên đồ thị hàm số Hỏi đồ thị hàm số đây? đồng biến khoảng A C B D O Đáp án: Chọn đáp án A skkn 2.3.2 Dạng Đồ thị hàm số cực trị hàm số Ví dụ (Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Lương Văn Tụy – Ninh Bình) Cho hàm số xác định có đồ y thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề sai? A Hàm số đạt cực tiểu B Hàm số đạt cực tiểu O -2 C Hàm số đạt cực đại D Cực tiểu nhỏ cựa đại Lời giải Từ đồ thị hàm số ta thấy đổi dấu từ dương sang âm qua nên điểm cực đại hàm số , đổi dấu từ âm sang dương qua nên điểm cực tiểu hàm số Bảng biến thiên hàm số + Từ bảng biến thiên ta thấy cực tiểu - + nhỏ cựa đại Vậy ta chọn đáp án B Ví dụ Hàm số liên tục khoảng , biết đồ thị hàm số hình vẽ Tìm số cực trị hàm số ? A B C D y O skkn Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm Ta có Do đồ thị hàm số có cách thực phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hồnh sang trái đơn vị Khi đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Nên hàm số có cực trị Ta chọn đáp án B Ví dụ (Đề KSCL năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thái Bình) y Hàm số liên tục khoảng , biết đồ thị hàm số hình vẽ Hàm số có số điểm cực trị A B C D O Lời giải y Ta có Khi Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số phương trình (d) điểm phân biệt, có nghiệm phân biệt Vậy hàm số d O có điểm cực trị Do ta chọn đáp án A 10 skkn Bài tập luyện tập Bài tập Cho hàm số xác định có đồ thị hàm số hình vẽ bên Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến B Hàm số đồng biến C Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số nghịch biến y O -2 -1 Đáp án: Chọn đáp án C Bài tập ( Thi thử 2017 – 2018 , THPT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh) Cho hàm số hàm số xác định hình vẽ có đồ thị Hàm số đạt cực đại Đặt y điểm sau A B C D O a -1 Đáp án: Chọn đáp án B Bài tập ( Toán học tuổi trẻ Số 483 (T9-2017)) Hàm số có đạo hàm , hình vẽ bên đồ thị hàm số Hỏi hàm số có cực ? A B C D y -1 O Đáp án: Chọn đáp án B [2] 11 skkn Bài tập ( Thi thử lần năm học 2017 – 2018, THPT Chuyên Lam Sơn) Cho hàm số , có đạo hàm Hàm số có đồ thị hình vẽ: Chọn mệnh đề mệnh đề sau ? A Hàm số đồng biến B Hàm số đạt cực đại C Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị y O Đáp án: Chọn đáp án C Bài tập 5: Hàm số có đạo hàm , hình vẽ bên đồ thị hàm số Tìm điểm cực tiểu hàm số đoạn ? A B C D y O Đáp án: Chọn đáp án C 2.3.3 Dạng Đồ thị hàm số so sánh giá trị hàm số , tìm GTLN, GTNN hàm số Ví dụ ( Thi KSCL năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thanh Hóa) y Cho hàm số Đồ thị hàm số hình vẽ bên Đặt , , Mệnh đề ? A B C D O Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số 12 skkn ta lập bảng biến thiên hàm số -2 + + Ta lại có Dựa vào đồ thị ta có: Ta cần so sánh (loại A B) Tương tự ta có Quan sát đồ thị suy Do Vậy Do ta chọn đáp án C Ví dụ ( Thi thử 2017 – 2018, THPT Ba Đình – Thanh Hóa) Cho hàm số f(x) có đạo hàm y = f ’(x) Đồ y thị hàm số y = f ’(x) hình vẽ bên Biết f(0) + f(3) = f(2) + f(5) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn f(x) đoạn O A f(1), f(5) B f(2), f(0) C f(2), f(5) D f(0), f(5) Lời Giải Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên hàm số - + + 13 skkn Từ bảng biến thiên suy Theo f(0) + f(3) = f(2) + f(5) f(5) - f(3) = f(0) - f(2) Mà f(3) > f(2) f(5) > f(0) Suy Vậy chọn đáp án C Ví dụ ( Đề thi THPT Quốc Gia 2016 – 2017, Bộ GD&ĐT) y Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên Đặt Mệnh đề ? A B B -3 O B -2 [3] Lời giải Ta có Biểu diễn lên hình vẽ đường thẳng Như đường thẳng cong y tạo với đường hai miền + Với miền gạch ngang ta thấy: Nếu gọi S1 diện tích miền -3 O -2 + Với miền gạch đứng ta thấy: Nếu gọi S2 diện tích miền Dựa vào hình vẽ dễ dàng nhận thấy Vậy ta chọn đáp án D Bài tập luyện tập Bài tập ( Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Tĩnh Gia 3- Thanh Hóa) 14 skkn Cho hàm số có đồ thị hàm số hình bên Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn y Hỏi mệnh đề đúng? y A B C D D O ; 9/2 ; ; -2 ; -1 O Đáp án: Chọn đáp án B Đ Bài tập Cho hàm số xác định liên tục , có đồ thị hàm số hình bên Tìm giá trị để hàm số đạt giá trị lớn A B C D Đáp án: Chọn đáp án D Bài tập (Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa) Cho hàm số có đồ thị hàm số hình vẽ Xét hàm số y Trong mệnh đề đây: (I) (II) (III) Hàm số nghịch biến khoảng (-3;- 1) -3 -1 O1 -2 (IV) Số mệnh đề là: A B C Đáp án: Chọn đáp án D D 15 skkn Bài tập Cho hàm số có đồ thị hàm số hình bên Biết Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Chọn phương án đúng? A B C D D ; ; ; y O ; Đáp án: Chọn đáp án A Bài tập ( Đề thi thử 2016 – 2017, THPT chuyên Lam Sơn) Cho số thỏa mãn y hàm số Biết hàm số có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn O a Khẳng định sau đúng? A b c d B C D D Đáp án: Chọn đáp án A 2.3.4 Một số dạng tập khác liên quan đến đồ thị hàm số Ví dụ ( Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh) Cho hàm số có đạo hàm liên tục đồ thị y hàm số hình vẽ Đặt Điều kiện cần đủ đề đồ thị hàm số A cắt trục hoành điểm phân biệt là: B -2 O -2 16 skkn C D Vẽ thêm đường thẳng Ta có Dựa vào đồ thị ta suy ra: , Dựa vào đồ thị ta thấy: +) Với +) Với Lời giải ( hình bên) y , O -2 -2 Từ ta có bảng biên thiên hàm số -2 + 0 sau: + Dựa vào bảng biên thiên ta suy điều kiện cần đủ để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Vậy ta chọn đáp án B Ví dụ ( Đề thi thử THPT QG 2016 – 2017, Sở GD&ĐT Hà Nội) y Cho hàm số với Có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thi hàm số cho hình vẽ bên Tính diện tích hình phẳng giới hạn -1 O đồ thị (C) trục hoành A B -3 17 skkn C D Lời giải Ta có Ta thấy đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung, suy hàm chẵn nên Mặt khác Do Ta lại có Giả sử đồ thi (C) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ ,