Cac dang bai tap so phuc co dap an

Trang 2

I – LÝ THUYẾT CHUNG1 Khái niệm số phức

 Tập hợp số phức: C

 Số phức (dạng đại số) : z a bi

(a, bR, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)

 z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau: a bi a’ b’i a a ' (a, b,a ', b ' R)b b '



     

Chú ý: i4k 1; i4k 1 i; i4k 2 -1; i4k 3 -i

2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi

u(a; b)trong mp(Oxy) (mp phức)

3 Cộng và trừ số phức:

 a bi   a’ b’i   a a’  b b’ i  a bi   a’ b’i   a a’  b b’ i Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

 u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u u ' biểu diễn z + z’ và u u ' biểu diễn z – z’

4 Nhân hai số phức :

 a bi a ' b'i     aa’ – bb’  ab’ ba’ i   k(abi)kakbi (kR)

5 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi   1122z zz z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z ';z z         ; 22z.za b  z là số thực  zz ; z là số ảo  z z6 Mơđun của số phức : z = a + bi  22z  a b  zz  OM z   0, z C , z   0 z 0 z.z '  z z '  z zz '  z '  z z '  z z '  z z '7 Chia hai số phức:

 Chia hai số phức: a+bi aa'-bb'2 2 ab ' a ' b2 2 ia'+b'i a ' b ' a ' b '    121z zz  (z  0)  12z ' z '.z z '.zz ' zz z z.z    z ' w z ' wzz   

8 Căn bậc hai của số phức:

 z x yi là căn bậc hai của số phức w a bi  2

Trang 3

 w = 0 cĩ đúng 1 căn bậc hai là z = 0

 w 0 cĩ đúng hai căn bậc hai đối nhau  Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là  a.i

9 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0)

2

B 4AC

  

  0: (*) cĩ hai nghiệm phân biệt z1,2 B2A

  

 , ( là 1 căn bậc hai của )

  0: (*) cĩ 1 nghiệm kép: z1 z2 B2A

  

Chú ý: Nếu z0 C là một nghiệm của (*) thì z cũng là một nghiệm của (*) 0

10 Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)

a) Acgumen của số phức z ≠ 0:

Cho số phức z ≠ 0 Gọi M là điểm biểu diễn số z Số đo (radian) của mỗi gĩc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z Nếu  là một acgumen của z thì mọi acgumen của z cĩ dạng  + k2 (kZ)

b) Dạng lượng giác của số phức :

Dạng z = r(cos + isin) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, bR) (z ≠ 0)

22r a bacosrbsinr      

( là acgumen của z,  = (Ox, OM)

c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì: z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( +’)] z rcos( ') i sin( ')z' r '        d) Cơng thức Moa-vrơ : Với n là số nguyên, n  1 thì : n n

r(cos i sin ) r (cos n i sin n )Khi r = 1, ta được : n

(cos i sin ) (cos n i sin n )

e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Các căn bậc hai của số phức z = r(cos + isin) (r > 0) là : r cos i sin

2 2

 

  

 

  và

r cos i sin r cos i sin

2 2 2 2

     

     

           

Trang 4

II – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho số phức z = 3 1i2 2 Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2 Giải: a) Vì z = 3 1i2 2  z = 3 1i2 2b) Ta cĩ z2 = 23 1i2 2     =23 1 3i i44  2 =1 3i2 2 ( z )2 = 223 1 3 1 3 1 3i i i i2 2 4 4 2 2 2         ( z )3 =( z )2 z = 1 3i 3 1i 3 1i 3i 3 i2 2 2 2 4 2 4 4              Ta cĩ: 1 + z + z2 = 1 3 1i 1 3i 3 3 1 3i2 2 2 2 2 2      Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

 3x y 2y 1

5x x y

  



  

 Giải hệ này ta được:

1x74y7   Ví dụ 3: Tính: 105 + i23 + i20 – i34

Giải: Để tính tốn bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đĩ suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau:

Ta cĩ: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n  N*Vậy in {-1;1;-i;i},  n  N

Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n = 1 n   n

ii     

Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được: 105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 Ví dụ 4: Tính số phức sau: z = 1681 i 1 i1 i 1 i            Giải: Ta cĩ: 1 i (1 i)(1 i) 2i i1 i 2 2     1 i i1 i   Vậy 1681 i 1 i1 i 1 i             =i16 +(-i)8 = 2

Trang 5

Giải: Giả sử z=a+bi

 23  

(1)  a bi 3a3bi 8 12i 6i i 2 i  2 11i 2 i 

2

4a 2bi 4 2i 22i 11i 20i 15

        a 15; b 10

4

   

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 6: Cho z1 3 i, z2  2 i Tính z1z z1 2Giải: 11 2z z z    3 i 3 i 2 i 10 10 0i  2211 2z z z 10 0 10    Ví dụ 7: Cho z1 2 3i, z2  1 i Tính z13z2 ; 122z zz; 312z 3zGiải: +) z13z2      2 3i 3 3i 5 6i  2212z 3z  5 6  61+) 1 2  223 4i 1 iz z 3 4i 7 iz 1 i 1 i 2         1 2 2z z 49 1 5 2z 4 4 2  

+) z133z2  8 36i 54i 227i3    3 3i 49 6i  3

12

z 3z  2437

Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức z 5 12i 

Giải: Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của z Ta cĩ: (m ni) 2  5 12i

22 222

m 2mni n i 5 12i m 2mni n 5 12i

         2222 m n 5(1)m n 562mn 12 m (2)n        Thay (2) vào (1) ta cĩ: 22426n 5 36 n 5nn        4222n 5n 36 0 n 4; n 9(loai)       n 2 m 3n 2 m 3       

Vậy z cĩ hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i

Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15

Giải:

Ta cĩ: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.iz = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Biết rằng số phức z x iythỏa 2

z   8 6i Mệnh đề nào sau đây sai?

A 22x y 8xy 3    B 42x 8x 9 03yx   C x 1 hay x 1y 3 y 3         D 22x y 2xy  8 6i

Câu 2: Cho số phức zm 1  m 2 i, m   R Giá trị nào của m để z  5

Trang 6

Câu 3: Viết số phức  2 32 i 1 2i3 i   dưới dạng đại số: A 11 7i5 5  B 13 7i5 5  C 11 7i5 5 D 11 7i5 5 

Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A Số phức z  a bi 0 khi và chỉ khi a 0b 0 

B Số phức z a biđược biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy.

C Số phức z a bicĩ mơđun là 22

a b

D Số phức z a bicĩ số phức đối z ' a bi

Câu 5: Cho số phứcz a bi, a, bR và các mệnh đề Khi đĩ số 1 z z2  là: 1) Điểm biểu diễn số phức z là M a; b  

2) Phần thực của số phức 1 z z2  là a; 3) Mơdul của số phức 2z z là 9a2b2 4) z  zA Số mệnh đề đúng là 2 B Số mệnh đề đúng là 1 C Số mệnh đề sai là 1 D Cả 4 đều đúng Câu 6: Mệnh đề nào sau đây sai

A z1z2  z1  z2

B z   0 z 0

C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  1là đường trịn tâm O, bán kính R = 1

D Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau Câu 7: Cho hai số phức z1  4  3i, z2   4 3i, z3  z z1 2 Lựa chọn phương án đúng:

A z3 25 B z3  z12 C z1z2  z1 z2 D z1 z2

Câu 8: Cho các số phức z 3 i , z ' 3 i5 7i 5 7i

 

 

  Trong các kết luận sau:

(I) zz 'là số thực, (II) zz 'là số thuần ảo, (III) zz 'là số thực, Kết luận nào đúng?

A Cả I, II, III B Chỉ II III C Chỉ III, I D Chỉ I, II Câu 9: Cho số phức z1 Xét các số phức 200922i iz zz 1    và 32z zz zz 1    Khi đĩ

A  , R B  , đều là số ảo C  R, là số ảo D  R, là số ảo

Câu 10: Cho số phức z = 1 3i2 2  Số phức 1 + z + z2 bằng: A 1 3i2 2  B 2 - 3i C 1 D 0

Câu 11: Giá trị biểu thức 1 i i    2 i3 i2017là:

A 1 i B i C i D 1 i

Câu 12: Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau:

A (1 i) 2018 21009i B (1 i) 2018 21009i C (1 i) 2018  21009 D (1 i) 201821009

Trang 7

1 112121212121222z z z z z z ; ; z z z z ; z z z z z z       Số đẳng thức đúng trong các đẳng thức trên là: A 1 B 3 C 4 D 2

Câu 14: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

A (1 i) 8  16 B (1 i) 8 16 C (1 i) 8 16i D (1 i) 8  16i

Câu 15: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

A i2006  i B i2345i C i1997  1 D i20051

Câu 16: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ? A 222i B  2 3i   2 3i C  2 3i    2 3i  D 3 2i2 3i

Câu 17: Giá trị của 1 i   2 i4 i4k với kN* là

A 2ki B 2k C 0 D 1

Câu 18: Các sốx; yR thỏa mãn đẳng thức (1 i)(x yi) (2y x)i   3 2i Khi đĩ tổng x 3y là:

A - 7 B - 1 C 13 D - 13

Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y  thỏa mãn z3 = 18 + 26i Giá trị của

20122012

T (z 2)  (4 z) là:

A 21007 B 31007 C 21007 D 21006

Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức

n13 3 9i12 3 i       là số thực ? số ảo ? là: A n = 2 + 6k, k B n = 2 + 4k, k C n = 2k, k D n = 3k, k Câu 21: Cho số phức z 2i 3 khi đĩ z

z bằng: A 5 12i13B 5 6i11C 5 12i13D 5 6i11Câu 22: Tính số phức 31 i 3z1 i      : A 1 + i B 2 + 2i C 2 – 2i D 1 – i Câu 23: Cho 51 iz1 i     , tính z5z6z7z8 A 4 B 0 C 3 D 1 Câu 24: Tính giá trị P    i i2 i3 i11 là A −1 B 0 C 1 + i D 1 – i Câu 25: Tính   2007P 1 5i  1 3i  kết quả là A 22007i B 2007i C 22007 D 22007i

Câu 26: Giá trị của biểu thức A i 105i23i – i20 34 là:

A 2i B 2 C 2i D 2Câu 27: Nếu z 1 thì 2z 1z

Trang 8

Câu 29: Biết số phức z a bic c

   ( với a, b, c là những số tự nhiên) thỏa mãn iz 1 3i z 2

z1 i  Khi đĩ giá trị của a là: A - 45 B 45 C - 9 D 9

Câu 30: Cho x, y là 2 số thực thỏa điều kiện: x 1 y 1

x 1 1 i

  

  là:

A x 1; y 1 B x 1; y2 C x1; y 3 D x1; y3

Câu 31: Cho z1 2 3i; z2  1 i

31212z zTính :(z z )A 85 B 615 C 85 D 8525

Câu 32: Cho hai số phức z1 axb, z2 cx d và các mệnh đề sau: (I) 2 211 za bz  ; (II) z1z2  z1 z2; (III) z1z2  z1 z2 Mệnh đề đúng là:

A Chỉ (I) và (III) B Cả (I), (II) và (III) C Chỉ (I) và (II) D Chỉ (II) và (III) Câu 33: Tìm căn bậc hai của số phức z 7 24i

A z  4 3i và z 4 3i B z  4 3i và z  4 3iC z 4 3i và z 4 3i D z 4 3i và z  4 3iCâu 34: Cho z 5 3i Tính 1  z z2i  ta được kết quả là: A 3i B 0 C 3 D 6i

Câu 35: Cho số phức z a bi, a, b   Nhận xét nào sau đây luơn đúng?

A z 2 a b B z 2 a b C z  2 a  b D z  2 a b

Câu 36: Tìm các căn bậc 2 của số phức z 1 9i 5i1 i A 4i B 2i C 2 D 4Câu 37: Tính 61 i ta được kết quả là: A  4 4i B 44i C 8i D 44i

Câu 38: Giá trị của

2024i1 i     là A 202412 B 101212 C 202412 D 101212Câu 39: Tính 73 iz2 2   

  ta được kết quả viết dưới dạng đại số là:

A 3 i2 2 B 1 i 32 2 C 3 i2 2  D 1 i 32 2 

Câu 40: Tìm các căn bậc hai của - 9

A - 3 B 3 C 3i D 3i

Câu 41: Cho z 1 i 3

2 2

   Tính 1 z z2

A 2 B - 2 C 0 D 3

Câu 42: Tìm số phức   z1 2z ,2 biết rằng: z1  1 2i, z1  2 3i.

A    3 4i B    3 8i C   3 i D   5 8i.

Trang 9

A 5 B 3 - 2i C 5 - 5i D 5 5i

Câu 44: Tổng của hai số phức 3 i;5 7i  là

A 8 8i B 8 8i C 8 6i D 5 6i

Câu 45: Các số thực x và y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i là

A Kết quả khác B 9x114y11   C 9x114y11   D 9x114y11  

Câu 46: Biết số phức z 3 4i Số phức 25i

z là:

A  4 3i B  4 3i C 4 3i D 4 3i

Câu 47: Cho biết:

  3   4   3

1 i i 2 i i 3 i 1   2 i Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai

A Chỉ (3) sai B Chỉ (2) sai C Chỉ (1) và (2) sai D Cả (1), (2), (3) sai Câu 48: Tổng 2 số phức 1 i và 3i

A 1 3 B 2i C 1 3 i D 1 32i

Câu 49: Cho 2 số phức z1  2 i, z2  1 i Hiệu z1z2

A 1 + i B 1 C 2i D 1 + 2i

Câu 50: Tính 3 4i  (2 3i) ta được kết quả:

A 3 i B 5 7i C 1 7i D 1 i

Câu 51: Đẳng thức nào đúng

A (1 i) 4 4 B (1 i) 4 4i C (1 i) 8  16 D (1 i) 8 16

Câu 52: Cho số phức z = 2i + 3 khi đĩ z

z bằng: A z 5 12i13 B 5 12iz13 C 5 6iz11 D z 5 6i11Câu 53: Số 12 5i bằng: A - 12.5 B 7 C 13 D ` 119

Câu 54: Giá trị biểu thức (1 - i 3 )6 bằng:

A 64 B 25 C 24 D Kết quả khác Câu 55: Tính 12zz , với `z1 1 2i và z2  2 iA 1 - i B - i C 1 + i D I Câu 56: Giá trị `i2008 bằng A i B - 1 C - i D 1

Câu 57: Nghịch đảo của số phức  5 2i là:

A ` 5 2 i29 29  B ` 5 2 i2929 C ` 5 2 i29 29  D Câu 58: Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: `x2y2xy i 2x y x2y iA x y 12  B x 1; y 23 3  C x y 0 D x 1; y 23 3   

Câu 59: Giá trị biểu thức (1 + i)10 bằng

A i B Kết quả khác C – 32i D 32i Câu 60: Dạng đơn giản của biểu thức (4 3i) (2 5i)   là:

Trang 10

A Kết quả khác B 123 i3 i      C 123 i3 i     D 123 i3 i     

Câu 62: Số nào sau đây bằng số 2 i 3 4i   

A 5 4i B 6 11i C 10 5i D 6 iCâu 63: Cho 2 i 1 2i 2 i 1 2iz2 i 2 i    

  Trong các két luận sau, kết luận nào đúng?

A z.z 225

 B z là số thuần ảo C z D z z 22

Câu 64: Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được:

A z = 5 + 3i B z = - 1 – 2i C z = 1 + 2i D z = - 1 – i Câu 65: Thu gọn z = i(2 – i)(3 + i) ta được:

A z 2 5i B z5i C z6 D z 1 7i 

Câu 66: Kết quả của phép tính (2 3i)(4 i)  là:

A 6 - 14i B - 5 - 14i C 5 - 14i D 5 + 14i Câu 67: Số phức z = 31 i bằng: A 4 3i B 3 2i C 44i D  2 2iCâu 68: Số phức z thỏa mãn: 1 i z   2 3i 1 2i    7 3i là: A z 1 3i2  B z 1 1i2 2  C z 1 3i2 2   D z 1 3i2 2   Câu 69: Số phức z 3 4i4 i bằng: A z 16 11i15 15  B z 16 13i17 17  C z 9 4i5 5  D z 9 23i25 25 

Câu 70: Thực hiện các phép tính sau: A = (2 3i)(1 2i) 4 i3 2i   ; A 114 2i13 B 114 2i13C 114 2i13D 114 2i13 

Câu 71: Rút gọn biểu thức z  i (2 4i) (3 2i)  ta được:

A z 1 2i B z –1– i C z –1– i D z 5 3i

Câu 72: Rút gọn biểu thức zi(2 i)(3 i)  ta được:

A z6 B z 1 7i  C z 2 5i D z5i

Câu 73: Thực hiện các phép tính sau: B = 3 4i(1 4i)(2 3i)  A 3 4i14 5i B 62 41i221C 62 41i221D 62 41i221 

Câu 74: Kết quả của phép tính (a bi)(1 i)  (a, b là số thực) là:

A a b (b a)i   B a b (b a) i   C a b (b a) i   D    a b (b a) i

Câu 75: Cặp số (x; y) thõa mãn điều kiện (2x 3y 1) ( x    2y)i(3x 2y 2) (4x    y 3)i là:

A 9; 411 11     B 9 4;11 11    C 4 9;11 11     D 4 9;11 11   

Câu 76: Các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y)i là A (x; y) 1 4;7 7    B (x; y) 2 4;7 7     C 1 4(x; y) ;7 7     D 1 4(x; y) ;7 7     

Câu 77: Các số thực x, y thoả mãn: x -y-(2y 4)i 2   2i là:

A (x; y)( 3; 3);(x; y)  ( 3;3) B (x; y)( 3;3);(x; y)( 3; 3)

Trang 11

Câu 78: Thu gọn z = 2

23i

ta được:

A z 11 6i  B z = - 1 - i C z 4 3i D z = - 7 + 6 2i

Câu 79: Thu gọn z = (2 + 3i)(2 – 3i) ta được:

A z4 B z 9i C z 4 9i D z 13

Câu 80: Cho hai số phức z1  1 2i; z2  2 3i Tổng của hai số phức là

A 3 – 5i B 3 – i C 3 + i D 3 + 5i Câu 81: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:  3

x 3 5i y 1 2i   35 23i

A (x; y) = ( - 3; - 4) B (x; y) = ( - 3; 4) C (x; y) = (3; - 4) D (x; y) = (3; 4) Câu 82: Tìm các căn bậc hai của số phức sau: 4 + 6 5i

A z1 = 3 - 5i và z2 = - 3 - 5i B Đáp án khác

C z1 = - 3 + 5i và z2 = 3 + 5i D z1 = 3 + 5i và z2 = - 3 - 5i

Câu 83: Các căn bậc hai của số phức 117 44i là:

A  2 11i B  2 11i C  7 4i D  7 4i

Câu 84: Cho 2 số thực x, y thỏa phương trình: 2x 3 (1 2y)i   2(2 i) 3yi x   Khi đĩ:

2x 3xy y A 4945 B 4745 C 4345 D - 1

Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn: (3 2i)z (2 i)   2  4 i Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:

A 3 B 1 C 0 D 2

Câu 86: Cho các mệnh đề i2  1, i12 1, i112 1, i1122 1 Số mệnh đề đúng là:

A 3 B 0 C 1 D 4

Câu 87: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26i

A x 3y 1   B x 3y 1   C x 3y 1  D x 1y 3 Câu 88: Xét số phức z 1 m (m R)1 m(m 2i)   Tìm m để z.z 1 A m0, m 1 B m 1 C m 1 D m1

Câu 89: Cho hai số phức z và w thoả mãn z  w 1 và 1 z.w 0 Số phức z w1 z.w



 là:

A Số thực B Số âm C Số thuần ảo D Số dương Câu 90: Cho số phức 20171 iz1 i     Khi đĩ 715z.z z A i B 1 C i D 1

Câu 91: Phần ảo của số phức z = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20 bằng:

A 210 B 210 + 1 C 210 – 1 D - 210

Câu 92: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A zz là một số thực B zz là một số ảo

C z.z là một số thực D z2z2 là một số ảo

Câu 93: Tổng ik + ik + 1 + ik + 2 + ik + 3 bằng:

A i B - i C 1 D 0

C - ĐÁP ÁN

Trang 13

DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm mơ đun của số phức z (1 i)(2 i)1 2i  Giải: Ta cĩ : z 5 i 1 1i5 5  

Vậy, mơ đun của z bằng:

21 26z 15 5     

Ví dụ 2: Tìm mơđun của z biết 2

(1 i 2) 1 iz 2z (1)2 i  Giải: (1)  a bi 2a2bi  2 2(1 i 2) 1 2i i 2i 2 2i2 i 2 i    4 2 2 4 2 2a ; b15 5    32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2z225 15       Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn 5(z i) 2 i (1)z 1   Tính mơđun của số phức 21 z z   

Giải: Giả sử z=a+bi

5(a bi i)(1) 2 ia bi 1    

5a 5i(b 1)  2a2bi 2 ai bi   2 i 3a  2 b i(5b 5 2b a 1)    0 3a 2 b 0 a 1 z 1 i3b a 4 0 b 1                        1 1 i 1 2i 1 2 3i 4 9  13

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn: (2 i)z 2(1 2i) 7 8i (1)1 i    Tìm mơđun của số phức    z 1 iGiải: Giả sử z a bi2(1 2i)(1) (2 i)(a bi) 7 8i1 i      2a 2bi ai bi2 2(1 2i)(1 i)2 7 8i1 i        2a2bi ai bi 1 i 2i 2i      2  7 8i 2a b 3 7 a 32b a 1 8 b 2          Do đĩ       3 2i 1 i 4 3i   16 9 5

Ví dụ 5: Tính mơđun của số phức z biết: (2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i (1)      

Giải: (1)(2a2bi 1))(1 i) (a    bi 1)(1 i)  2 2i

2a2ai 2bi 2bi  2     1 i a ai bi bi2   1 i 2 2i

Trang 14

1a3a 3b 2 3a b 2 2 1b3           Suy ra z 1 1 29 9 3  

Ví dụ 6: Tìm n là số nguyên dương và n1,10 sao cho số phức n

z 1 i 3 là số thực

Giải:Ta cĩ: 1 + i 3 = 2 cos i sin

3 3       z = 2n n ncos i sin3 3     Để z  R  2n.sinn3 = 0  sinn3

= 0  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n 

[3;6;9] B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Mơ đun của số phức   z z ,2 với (2 i).z 1 i 5 i1 i



   

 bằng:

A 2 2 B 4 2 C 5 2 D 3 2 Câu 2: Số nào trong các số sau là số thuần ảo ?

A ( 23i) ( 2 3i) B (2 2i) 2 C 2 3i

2 3i



 D ( 23i).( 23i)

Câu 3: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nĩ, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ?

A | z | 1 B z là một số ảo C z D | z | 1

Câu 4: Cho số phức z thỏa | z 1 2i | | z |   Khi đĩ giá trị nhỏ nhất của | z | là:

A 1 B 5 C 2 D 52Câu 5: Tìm các số phức a và b biết a b 2a.b 9   

 biết phần ảo của a là số dương

A a  2 8i, b  2 8i B a  1 3i, b  1 3i

C a  1 5i, b  1 5i D a  1 8i, b  1 8i

Câu 6: Khi số phức z thay đổi tùy ý thì tập hợp các số 2z 2z là

A Tập hợp các số thực dương B Tập hợp tất cả các số thực C Tập hợp tất cả các số phức khơng phải là số ảo D Tập hợp các số thực khơng âm Câu 7: Cho z là số phức khác 0 thỏa mãn z 1

z

 Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A z là số thực B z cĩ mơ đun bằng -1

C z là số thuần ảo D z cĩ điểm biểu diễn nằm trên đường trịn x2y2 1

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn: 3(z 1 i)  2i(z2) Khi đĩ giá trị của | z(1 i) 5 |  là:

A 4 B 29 C 5 D 6

Câu 9: Cho z = m + 3i, z’ = 2 – (m +1)i Giá trị nào của m sau đây để z.z’ là số thực ?

A m = -2 hoặc m = 3 B m = -1 hoặc m = 6 C m = 2 hoặc m = -3 D m = 1 hoặc m = 6 Câu 10: Số phức liên hợp của số phức

3333(2 i) (2 i)z(2 i) (2 i)     là: A 2 i11 B 2 i C 2i D 2 i11

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)(z i) 2z   2i Mơ đun của số phức

Trang 15

A 2 2 B 5 C 10 D 2 5 Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn

3(1 3i)z1 i

 Mơ đun của số phức w = z iz

A 16 B 8 C 8 3 D 8 2

Câu 13: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện (3 2i)z (2 i)   2  4 i Phần ảo của số phức

w (1 z)z là:

A 2 B 2 C 1 D 0

Câu 14: Phần ảo của số phức z thỏa mãn 2

z 3z  1 2i là:

A 1 B 2 C 2 D 1

Câu 15: Số phức z thỏa mãn  2 

1 i 2 i z    8 i 1 2i zcĩ mơ đun là

A 1 B 5 C 17 D 13

Câu 16: Cho số phức z thỏa 2 

1 i (2 i)z    8 i 1 2i z Phần thực của số phức z là:

A 4 B 3 C 1 D 2

Câu 17: Mơ đun của số phưc 3

z   1 4i 1 i là:

A 5 B 1 C 2 D 3

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 2(1 2i) 7 8i1 i



   

 Mơ đun của số phức w z i 1  

A 3 B 4 C 5 D 6

Câu 19: Tìm mơ đun của số phức z thỏa mãn: (1 2i)(z i) 4i(i 1)     7 21i

A z 5 B z 3 7 C z 2 3 D z 9

Câu 20: Cho số phức z thõa mãn điều kiện:  2

2 3i z  4 i z   1 3i Phần ảo của z là:

A 5 B 4 C 3 D 2

Câu 21: Số phức liên hợp của z (1 i)(3 2i) 13 i    là: A z 53 9 i10 10   B z 53 9 i10 10  C z 53 9 i10 10  D z 53 9 i10 10  

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn

3(1 3i)z1 i

 Mơ đun của số phức w =z iz

A 8 B 16 C D 8 3

Câu 23: Cho số phưc z thỏa điều  z z 1 i     z z 2 3i   4 i Phần ảo của là:

A 1

2 B 1 C 2 D

13



Câu 24: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn: 4 3i 2

1 z z 3 i 8 13i2i 1     A 2 B 3 C 1 D 7 Câu 25: Cho z 21 i 3 Số phức liên hợp của z là: A 1 i 3 B 1 i 32 2 C 1 i 32 2 D 1 i 3Câu 26: Cho 2

wz  z 1 tìm phần thực của số phức nghịch đảo của wbiết: z (4 3i)(2 i)5 4i A 6341 B 371527389 C 37151681 D 3441

Trang 16

1) Số phức và số phức liên hợp của nĩ cĩ mơ đun bằng nhau 2) Với z 2 3i thì mơ đun của z là: z  2 3i

3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi z z

4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  z 1 2là một đường trịn 5) Phương trình: z33zi 1 0  cĩ tối đa 3 nghiệm

Số nhận định đúng là:

A 4 B 2 C 3 D 5

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn (3 i)z (2i 1) z 4i  3 Khi đĩ phần thực của số phức z bằng:

A 5i B -2 C 2 D -5

Câu 29: Số phức z     1 i i2 i3 i20 cĩ phần thực và phần ảo là

A 2 và 0 B 1 và 0 C 0 và 2 D 0 và 1 Câu 30: Nhận xét nào sau đây là sai ?

A Mọi phương trình bậc hai đếu giải được trên tập số phức

B Cho số phức z a bi Nếu a, b càng nhỏ thì mơ đun của z càng nhỏ

C Mọi biểu thức cĩ dạng A2B2 đều phân tích được ra thừa số phức

D Mọi số phức z 1 và cĩ mơ đun bằng 1, cĩ thể đặt dưới dạng: z 1 ti1 ti



 , với t

Câu 31: Phát biểu nào sau đây là đúng:

A Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nĩ cĩ bình phương bằng nhau

B Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nĩ cĩ căn bậc hai bằng nhau

C Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nĩ cĩ phần ảo bằng nhau

D Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nĩ cĩ mơ đun bằng nhau

Câu 32: Mơ đun của 2izbằng

A 2 z B 2 z C 2z D 2

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn: z2i 1 z   10 và cĩ phần thực bằng 2 lần phần ảo của nĩ Tìm mơđun của z ? A z 52 B z 52  C z 53 D z 52

Câu 34: Cho số phức z a bi và số phức z ' a ' b 'i Số phức z.z ' cĩ phần ảo là:

A aa ' bb ' B 2 aa ' bb '   C ab ' a ' b D ab a ' b '

Câu 35: Số nào trong các số sau là số thực ? A 222i B  2 3i   2 3i C  2 3i  2 3i  D 2 3i2 3i

Câu 36: Cho số phức z thỏa 5 z i 

2 iz 1



 

 Tính mơ đun của số phức

2

w  1 z z :

A 3 13

8 B 13 C 2 D 2

Câu 37: Số nào trong cách số sau là số thực ?

A 2 i 5   2 i 5 B  3 2i   3 2i C 21 i 3 D 2 i2 i

Câu 38: Với mọi số ảo z, số z2 z2 là

Trang 17

Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn 2

(2 3i).z (4 i).z (1 3i)     0 Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z Khi đĩ 2a 3b 

A 11 B 1 C 19 D 4

Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z i  3 2z Mơ đun của số phức 2i 1 iz  bằng:

A 1 B 5 C 2 D 3

Câu 41: Cho z m 3i, z ' 1 m 1 i.  Giá trị nào của m đây để z.z ' là số thực ?

A m1 hay m6 B m 2 hay m3 C m2 hay m 3 D Đáp án khác Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn 3iz 2 3i z  2 4i Mơ đun của số phức 2iz bằng:

A 1 B 2 2 C 2 D 2

Câu 43: Mơ đun của số phức

22x y i 2xyzx y 2i xy   bằng: A 22x 8y xy B Kết quả khác C 1 D 222x 2y 3xyCâu 44: Cho số phức z 3 i Số *nN để zn là số thực là A n4k2, kN* B n6k, kN* C n5k 1, k N* D n3k 3, k N*

Câu 45: Số nào trong các số sau là số cĩ phần ảo âm:

A  2 3i  2 3i  B 222iC  2 3i   2 3i  D 2 3i2 3iCâu 46: Số phức z 7 17i5 i cĩ phần thực là A 2 B 3 C 1 D 4 Câu 47: Số phức z thỏa mãn iz 2 i  0 cĩ phần thực bằng: A 4 B 1 C 3 D 2

Câu 48: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ?

A  7 i  7 i  B 10 i  10 i 

C 5 i 7    5 i 7 D 3 i     3 i

Câu 49: Phần thực và phần ảo của số (2 – i) i (3 + i) lần lượt là:

A 1 và 7 B 1 và 0 C 0 và 1 D 1 và 3 Câu 50: Xét các câu sau:

1) Nếu zz thì z là một số thực

2) Mơ đun của một số phức z bằng khoảng cách OM, với M là điểm biểu diễn z 3) Mơ đun của một số phức z bằng số z.z

Trong 3 câu trên:

A Cả ba câu đều đúng B Chỉ cĩ 1 câu đúng C Cả ba câu đều sai D Chỉ cĩ 2 câu đúng Câu 51: Mơ đun của số phức z thỏa mãn phương trình(2z 1)(1 i) (z 1)(1 i)      2 2ilà:

A 2 B 2 2

3 C

2

3 D Đáp án khác

Câu 52: Cho số phức z thỏa: 3

1 3iz

1 i



 Khi đĩ mơ đun của số phức z iz bằng:

A 8 B 8 2 C 8 D 16

Câu 53: Mệnh đề nào sau đây là sai

Trang 18

C Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường

phân giác gĩc phần tư thứ nhất và gĩc phần tư thứ ba

D Hiệu hai số phức liên hợp là một số thuần ảo

Câu 54: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là khơng đúng A Tập hợp số thực là tập con của số phức

B Nếu tổng của hai số phức là số thực thì cả hai số ấy đều là số thực

C Hai số phức đối nhau cĩ hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O D Hai số phức liên hợp cĩ hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua Ox

Câu 55: Ta cĩ số phức z thỏa mãn z 1 9i 5i1 i  Phần ảo của số phức z là: A 0 B 1 C 3 D 2

Câu 56: Những số vừa là số thuần ảo, vừa là số thực là:

A Chỉ cĩ số 0 B Chỉ cĩ số 1 C 0 và 1 D Khơng cĩ số nào Câu 57: Cho hai số phức z1  2 5i; z2  3 4i Phần thực của số phức z z là: 1 2

A 26 B 27 C 25 D 28

Câu 58: Phần ảo của số phức z (1 2i).(2 i)  2 là:

A -2 B 2 C 1 D -1

Câu 59: Cho số phức z thỏa 2

(1 2i) z   z 4i 20 Mơ đun số z là:

A 10 B 5 C 4 D 6

Câu 60: Phần thực của số phức z (3 2i)2 (2 i) 3 là:

A 7 B 5 C 8 D 6

Câu 61: Số phức z thỏa mãn: z 2 z z    2 6i cĩ phần thực là:

A 3

4 B 1 C 2

5 D 6

Câu 62: Cho số phức z i 3 Giá trị phần thực của

A 0 B 512 C Giá trị khác D 512 Câu 63: Phần ảo của số phức z bằng bao nhiêu ? biết 2

z( 2i) (1 2i)

A 2 B -2 C  2 D 2

Câu 64: Biết hai số phức cĩ tổng bằng 3 và tích bằng 4 Tổng mơ đun của chúng bằng

A 5 B 10 C 8 D 4

Câu 65: Mơ đun của số phức z (1 2i)(2 i) 2 là:

A 5 5 B 16 2 C 5 2 D 4 5 Câu 66: Phần ảo của số phức 2

z( 2i) (1 2i) bằng:

A  2 B 2 C 2 D 3

Câu 67: Cho số phức z3 2 3i   4 2i 1  Nhận xét nào sau đây về số phức liên hợp của z là đúng:

A z 10 i  B z 10 i  C z3 2 3i   4 2i 1 D z i 10

Câu 68: Cho số phức z  5 12i Mệnh đề nào sau đây là sai:

A Số phức liên hợp của z là z 5 12i B w 2 3i là một căn bậc hai của z

C Mơđun của z là 13 D z 1 5 12 i169 169

   

Câu 69: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i 3)z 2 i (2 i)zi



    Mơ đun của số phức w z i  là:

A 265 B 65 C 2 55 D 165

Trang 19

B Mơ đun của số phức z là một số thực dương C Mơ đun của số phức z là một số phức

D Mơ đun của số phức z là một số thực khơng âm Câu 71: Mơ đun của số phức 3

z   5 2i 1 i là:

A 7 B 3 C 5 D 2

Câu 72: Cho số phức z 1 i 3 Hãy xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A z cĩ một acgumen là 2

3



B z 2

C A và B đều đúng D z cĩ dạng lượng giác là

5 5z 2 cos i sin3 3      

Câu 73: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện (3 2i)z (2 i)   2  4 i Phần ảo của số phức

w (1 z)z là:

A 0 B 2 C -1 D - 2

Câu 74: Cho số phức z  12 5i Mơ đun của số phức z bằng

A 7 B 17 C 119 D 13

Câu 75: Tìm mơ đun của số phức z thỏa mãn: (1 2i)(z i) 4i(i 1)     7 21i

A z 5 B z 2 3 C z 9 D z 3 7

Câu 76: Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 2(1 2i) 7 8i1 i



   

 Mơ đun của số phức w z i 1  

A 3 B 4 C 5 D 6

Câu 77: Số phức liên hợp của số phức z (1 i)15 là:

A z 128 128i B z i C z 128 128i  D z 128 128i 

Câu 78: Phần thực của số phức 30

1 i bằng:

A 0 B 1 C 215 D 215

Câu 79: Cho hai số phức z1  1 2i; z2  2 3i Xác định phần ảo của số phức 3z12z2

A 11 B 12 C 10 D 13

Câu 80: Cho số phức z thỏa 2 

1 i (2 i)z    8 i 1 2i z Phần thực của số phức z là:

A 3 B 1 C 2 D 4

Câu 81: Tìm phần phần ảo của số phức sau:   2 3 200

1   1 i 1 i  1 i    1 i

A 2101 B 2101 C 21001 D 2101

Câu 82: Cho số phức z 4 3i Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là

A -4 và -3 B -4 và 3 C 4 và -3 D 4 và 3 Câu 83: Cho các số phức z1  1 i, z2  3 4i, z3  1 i Xét các phát biểu sau

1) Mơ đun của số phức z bằng 2 1 2) Số phức z cĩ phần ảo bằng 3 1 3) Mơ đun của số phức z bằng 5 2

4) Mơ đun của số phức z bằng mơ đun của số phức 1 z 3

5) Trong mặt phẳng Oxy, số phức z được biểu diễn bởi điểm 3 M(1;1)

6) 3z1 z2z3 là một số thực

Trong các phát biểu trên, cĩ bao nhiêu phát biểu đúng ?

A 2 B 5 C 3 D 4

Câu 84: Cho số phức z a bi;(a, b ) Trong 4 mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 1)  2

222

Trang 20

2) 22z.za b 3) Phần ảo của z3 là a33a b2 4) Phần thực của z3 là 3a b b2  3A (3) B (4) C (1) D (2) Câu 85: Cho số phức z 1 i1 i Phần thực và phần ảo của 2010z là: A a1, b0 B a0, b 1 C a 1, b0 D a0, b 1

Câu 86: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai ?

A Mơ đun của số phức z là một số thực âm B Mơ đun của số phức z là một số phức

C Mơ đun của số phức z là một số thực D Mơ đun của số phức z là một số thực dương

Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn: (3 2i)z (2 i)   2  4 i Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:

A 3 B 1 C 0 D 2

Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn

2(1 3i)z1 i

 Mơ đun của số phức w = z iz

A 8 B 8 3 C 2 6 D 16

Câu 89: Mơ đun số phức z (1 i)(2 i)1 2i  là: A | z | 626 B | z | 265 C | z | 265 D | z | 2

Câu 90: Cho số phức z thỏa mãn 2

z 3 2i 1 i Mơ đun của số phức w iz z là:

A 2 2 B 2 C 1 D 2

Câu 91: Cho số phức z  x yi 1 (x, y ) Phần ảo của số phức z 1

z 1 là:A 2 2x yx 1 y  B 2 22xx 1 y  C 2 2xyx 1 y D 2 22yx 1 y 

Câu 92: Mơ đun của số phức   2 3 19

z    1 1 i 1 i  1 i   1 i bằng:

A z 20 B z 210 1 C z 1 D z 2101

Câu 93: Cho số phức z a bi Để 3

z là một số thực, điều kiện của a và b là:

Trang 21

DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các số ngun x, y sao cho số phức z x iy thỏa mãn z3 18 26i

Giải: Ta cĩ 32323x 3xy 18(x iy) 18 26i3x y y 26       233218(3x y y ) 26(x 3xy )   

Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được t 1 x 3, y 13    Vậy z=3+i Ví dụ 2: Tìm tất cả các số phức z, biết 2 2z  z z (1)Giải :  2 2222 222(1) abi a b   a bi a b i 2abia b  a bi 221 1a ; b2 22b a 02b a bi 2abi 0 b 0; a 0b 2ab 01 1a ; b2 2                   Vậy z 0; z 1 1i; z 1 1i2 2 2 2     

Ví dụ 3: Tìm phần ảo của z biết:  3 z3z 2 i 2 i (1)

Giải: Giả sử z=a+bi

 23  

(1)  a bi 3a3bi 8 12i 6i i 2 i  2 11i 2 i 

2

4a 2bi 4 2i 22i 11i 20i 15

        a 15; b 10

4

   

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 4: Tìm số phức z biết:  2 z 3z  3 2i 2 i (1)

Giải: Giả sử z=a+bi, ta cĩ:

 2  

(1)  a bi 3a3bi 9 12i 4i 2 i  5 12i 2 i 

2

4a 2bi 10 24i 5i 12i 22 19i

        a 11; b 1912 2   Vậy z 11 19i2 2 Ví dụ 5: Tìm số phức z biết  3 z2z 2 i 1 i (1) Giải: Giả sử z a bi   z a bi

(1)   a bi 2(abi)(233.2 i 3.2i2  2i )(1 i)3 

a bi 2a 2bi (8 12i 6 i)(1 i) (11i 2)(1 i)

           B – BÀI TẬP Câu 1: Tìm số phức z biết 2z 3i z  5z 4zA z 3i2 B z 3i2  C z 32 D z 3 i2 

Câu 2: Tìm một số phức z thỏa điều kiện z 3i

z i



 là số thuần ảo với

A z  2 i B z 2 i C Cả A và B đều đúng D Cả A và B đều sai Câu 3: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều cĩ nghĩa):

1) Số phức và số phức liên hợp của nĩ cĩ mơđun bằng nhau 2) Với z 2 3i thì mơđun của z là: z  2 3i

Trang 22

4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  z 1 2là một đường trịn 5) Phương trình: z33zi 1 0  cĩ tối đa 3 nghiệm

Số nhận định sai là: A 1 B 2 C 3 D 5 Câu 4: Tìm một số phức z thỏa z 5 i 3 1 0z  A z 1  3i B z 2 3i C -2 D z  2 3i

Câu 5: Tìm số phức z thỏa mãn z (1 i)(3 2i) 5iz2 i    Số phức z là: A 1 2i2 B 1 2i C 1 2i D 1 2i2

Câu 6: Trong các số phức sau, số nào thỏa điều kiện z 1 z 1z   ? A z 2 i 3 B z 1 i 32 2   C z 2 i 3 D z 1 i 32 2 

Câu 7: Tìm số phức z cĩ phần ảo gấp 3 lần phần thực đồng thời z  10 z z

A 0 và 2 B z  1 3i C z 2 6i D z 3 12i

Câu 8: Số phức z thỏa mãn z 2z  3 2i là:

A 1 2i B 1 2i C 2i D 2 i

Câu 9: Số phức z thỏa điều kiện z2 i   10 và z.z25 là:

A z5; z 3 4i B z 5; z 3 4i C z5; z 3 4i D z 5; z 3 4iCâu 10: Tìm số phức z biết 2(1 2i) z   z 4i 22A z 3 4i B z  3 4i C z 3 4i D z  3 4iCâu 11: Tìm số phức  2.z z ,1 2 biết 33122 4i 2(1 i)z 4 3i (1 i) ; z1 i       

A   18 75.i B   18 74.i C   18 75.i D   18 74.i.

Câu 12: Với mọi số ảo z, số z2 z2 là

A Số 0 B Số thực âm C Số ảo khác D Số thực dương Câu 13: Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z.z 2z 19 4i  

A 1 B 2 C 0 D 3

Câu 14: Để z z z2 ta được kết quả:

A z0 hay zi B z = 2 hay z1

C z0, z 1 i  hay z 1 i D z1 hay z i

Câu 15: Tìm số phức z biết: z 3z  (3 2i) (1 i)2 

A z 53 B z 17 14i4 C z 17 7i4 4  D z 17 7i4 2 Câu 16: Tìm số phức z thỏa mãn:  2  2 i z iz  2i 1 i 33 5iA z 3 5i B z  3 5i C aa ' bb ' D z  3 5i

Câu 17: Cĩ bao nhiêu số phức thỏa mãn z2 z 0:

A 1 B 4 C 3 D 2

Câu 18: Số phức z thỏa mãn z 2z  9 2i và 2z z  3 6i là:

A z  3 2i B z 3 2i

C z  3 2i D  2 3i   2 3i 

Câu 19: Tập hợp các nghiệm phức của phương trình 2 2

Trang 23

A Tập hợp số ảo B 2 3i

2 3i



 C  0 D i; 0

Câu 20: Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z (2 i)   10 và z.z25:

A 1 B 3 C 2 D 4

Câu 21: Số phức z thỏa mãn: 3 i z (1 2i)z     3 4i là:

A z 2 3i B z 2 5i C z  1 5i D z  2 3iCâu 22: Tìm số phức z biết: z 2z  2 4iA z 2 4i3   B z 2 4i3  C z 2 4i3  D z 2 4i3  

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãnz z 6, z.z25 Số giá trị của z thỏa mãn là:

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 24: Nghiệm của phương trình 2ix + 3 = 5x + 4 trên tập số phức là:

A 23 14i29 29  B 23 14i2929 C 23 14i29 29  D 5 2 i29 29 

Câu 25: Số phức z thỏa z 2z  3 i cĩ phần ảo bằng:

A 1

3

 B 1

3 C 1 D 1

Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z – i) + 2z = 2i khi đĩ mơđun của số phức

2z 2z 1wz  là A 9 B 10 C 11 D 12

Câu 27: Cho số phức z thỏa: 2z z 4i  9 Khi đĩ, modun của 2

z là

A 25 B 4 C 16 D 9

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i 3)z 2 i (2 i)zi    Mơđun của số phức w z i  là: A 2 55 B 2625 C 265 D 65Câu 29: Số phức z thỏa mãn: 1 i z   2 3i 1 2i    7 3i là: A z 1 3i2 2  B z 1 1i2 2  C z 1 3i2  D z 1 3i2 2  

Câu 30: Phương trình z38 cĩ bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 31: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nĩ, trong các kết luận sau, kết

luận nào đúng ?

A z B z 1 C z  1 D z là một số thuần ảo Câu 32: số phức z thỏa mãn: 3 2i z  4 1 i    2 i z  Mơđun của z là:

A 10 B 5 C 3 D 3

4

Câu 33: Số phức z thỏa z (2 3i)z   1 9i là:

A z  3 i B z  2 i C z 2 i D z 2 i

Câu 34: Phần thực của số phức z thỏa mãn  2 1 i 2 i z    8 i 1 2i z là

A -6 B -3 C 2 D -1

Câu 35: Số phức z thõa mãn điều kiện z 5 i 3 1 0z



   là:

A 1 3i và 2 - 3i B Đáp án khác C 1  3i và 2 - 3i D 1  3i và 2 - 3i

Trang 24

A 1 5i3 B 1 5i3  C 1 5i3 D 1 5i3 Câu 37: Số các số phức z thỏa hệ thức: z2 z 2 và z 2 là: A 3 B 1 C 2 D 4

Câu 38: Gọi z là nghiệm phức cĩ phần thực dương của phương trình: 2 

z  1 2i z 17 19i  0 Khi đĩ, giả sử 2z  a bi thì tích của a và b là: A 168 B 12 C 240 D 5Câu 39: Số phức z thỏa mãn 2| z | 2(z i)2iz 6 4i 0z 1 i     cĩ dạng a+bi khi đĩ ab bằng: A 15 B -5 C 5 D -37

Câu 40: Cho số phức z thoả mãn z 4 iz 1

 

 Số phức 2

wz i(z 1) cĩ dạng a+bi khi đĩ a

b là: A 43 B 43 C 13 D 43

Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn: (1 2i)(z i) 3z 3i    0 Mơđun của số phức w 2z z 3i2z  là m 10626 Giá trị m là: A 3 B 2 C 1 D 4 Câu 42: Tìm số phức z biết z 2 3i z 1 9i  A z = 2 + i B z = - 2 - i C z = - 2 + i D z = 2 – i Câu 43: Cho số phức n

z 1 i , biết nN và thỏa mãnlog (n 3) log (n 9)4   4  3.Tìm phần thực của số phức z

A a7 B a0 C a8 D a 8

Câu 44: Cho số phức z thỏa 2

(1 2i) z   z 4i 20 Mơđun số z là::

A 4 B 5 C 10 D 6

Câu 45: Tìm số phức z thỏa mãn | z (2 i) |   10 và z.z25

A z = 3 + 4i; z = -5 B z = 3 + 4i; z = 5 C z = 3 - 4i; z = 5 D z = -3 + 4i; z = 5 Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn phương (1 2i).z  1 2i Phần ảo của số phức  2iz (1 2i).z  là:

A 35 B 45 C 25 D 15

Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn z z 21 2i 

 Phần thực của số phức w = z2 – z là:

A 3 B 1 C 2 D 0

Câu 48: Tìm số phức liên hợp của: (1 )(3 2 ) 13ziii   A z 53 9 i10 10   B z 53 9 i10 10  C z 53 9 i10 10  D 53 910 10z  i

Câu 49: Cho số phức z thỏa 5(z i) 2 iz 1

  

 Tính mơđun của số phức w = 1 + z + z

2

A 1 B 2 C 13 D 4

Câu 50: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)(z i) 2z   2i Mơđun của số phức

Trang 25

Câu 51: Cho phương trình  1 i z (2 i)z   3 Mơđun của số phức w i 2z1 i là ? A 1224 B 1222 C 1225 D 3 102

Câu 52: Tính mơđun của số phức z biết rằng: 2z 1 1 i     z 1 1 i   2 2i

A 33 B Đáp án khác C 53 D 23

Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z (2 i)z  13 3i Phần ảo của số phức z bằng

A 2 B 4 C 3 D 1

Câu 54: Cho số phức z thỏa (1 i)(z i) 2z   2i Mơđun của số phức

21 z zw1 z  là A 5 B 10 C 22 D 5

Câu 55: Mơđun của số phức z thỏa mãn phương trình(2z 1)(1 i) (z 1)(1 i)      2 2ilà:

A z 2 23 B z 23 C z  2 D z 4 23

Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn (3 4i)z (1 3i) 12 5i     Phần thực của số phức 2

z bằng

A 5 B -4 C 4 D -3

C - ĐÁP ÁN

Trang 26

DẠNG 4: SỐ PHỨC CĨ MƠĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn u (z 3 i)(z 1 3i)     là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của |z| Giải: Giả sử z a ib, ta cĩ u   (a 3 (b 1)i)(a 1 (b 3)i)   22a b 4a 4b 6 2(a b 4)i       u       R a b 4 0 a b 4 | z | min| z | min22222222| z | a b  (b 4) b 2b 8b 16 2(b 2)  8 8Dấu = xảy ra khi b   2 a 2

Vậy | z | min  z 2 2i

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: z i 1   z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Giải:  22 2 2222222222a bi i 1 a bi 2i a 1 b 1 a b 2a 2a 1 b 2b 1 a b 4b 4 2a 2b 2 0 a b 1 a 1 b1a b b 1 b 2b 2b 12                                       1 1 1z a ; b2 2 2     Vậy Min z 12

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z 3 4i  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Giải: Giả sử z=a+bi, ta cĩ:  2 2

a  bi 3 4i  4 a3  b4 16Đặt a 3 4 sin a 3 4 sinb 4 4 cos b 4 cos 4              2 2 2 2 2

z a b 9 16sin 24sin 16 cos 16 32 cos

3 4

41 24sin 32 cos 41 40( sin cos )

5 5                      Đặt cos 3,sin 45 5    2 2 2z a b 41 40 sin( ) 1        

Dấu = xảy ra khi k2 k2

2 2

 

              Do đĩ Min z 1

Ngồi ra để tìm GTNN, GTLN của z ta cĩ thể sử dụng phương pháp hình học

Ví dụ 4: Cho hai số phức z , z thỏa mãn 1 2 z1 5 5, z2 1 3i  z2 3 6i Tìm giá trị nhỏ nhất của

12

z z

Giải: Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1 a bi, N(c; d) là điểm biểu diễn của số phức

2

z  c di

Ta cĩ z1  5 5 (a5)2b2 25 Vậy M thuộc đường trịn 22

(C) :(x 5) y 25 z2 1 3i  z2 3 6i 8c 6d 35 Vậy N thuộc đường thẳng : 8x 6y 35  

Trang 27

Bài tốn trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) :(x 5) 2y2 25 và đường thẳng : 8x 6y 35

   Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng 

MLH0d Gọi d là đường thẳng qua I và vuơng gĩc với  PT đường thẳng d là 6x-8y=-30

Gọi H là giao điểm của d và  Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

x 18x 6y 35 9H(1; )96x 8y 30 y 22         

Gọi K, L là giao điểm của d với đường trịn (C) Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

22 x 1; y 3(x 5) y 25x 9; y 36x 8y 30               Vậy K(-1;3), L(-9;-3)

Tính trực tiếp HK, HL Suy ra MinMN 5 M K, N H2

    Khi đĩ Min z1 z2 52

 

Ví dụ 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = 3

2 Tìm số phức z cĩ mơđun nhỏ nhất

Giải: Giả sử z = x + yi, khi đĩ : |z – 2+3i| = 3

2 |(x-2) +(y+3)i|=32

 (x-2)2 + (y+3)2 = 9

4  Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường trịn tâm I(2;-3) và bán kính 3/2

Mơđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường trịn và gần O nhất  M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường trịn

Ta cĩ: OI = 4 9  13

Kẻ M1H  Ox Theo định lý Talet ta cĩ:

Trang 28

B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong các số phức z thỏa mãn z   z 3 4i , số phức cĩ mơđun nhỏ nhất là:

A z 3 4i B z  3 4i C z 3 2i

2

  D z 3 2i

2

 

Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn (1 i)z 2 11 i

  

 , z là số phức cĩ mơđun lớn nhất Mơdun của 00

z bằng:

A 1 B 4 C 10 D 9

Câu 3: Cho số phức z thỏa z i 1   z 2i Giá trị nhỏ nhất của z là

A 1

2 B 1 C 2 D 1

4

Câu 4: Tìm số phức z thoả mãn (z – 1)( z + 2i) là số thực và mơđun của z nhỏ nhất ? A z = 2i B z 4 2i5 5  C z 3 4i5 5  D z 1 1i2 

Câu 5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i   z 2i Tìm số phức z cĩ mơđun bé nhất

A z =2 + i B z =3 + i C z =2 + 2i D z =1 +3 i Câu 6: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 3i   z 2 i, số phức z cĩ mơđun bé nhất là:

A z 1 2i B z  1 2i C z 1 2i

5 5

   D z 1 2i

5 5

 

Câu 7: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 2i 32   , số phức z cĩ mơđun nhỏ nhất là: A z 2 3 78 9 13i2613   B z 2 3iC z 2 3 78 9 13i2613   D z 2 3i

Câu 8: Số phức z cĩ modun nhỏ nhất thỏa mãn | z 2 4i | | z 2i |    là số phức cĩ mơđun

A 3 2 B 4 2 C 5 2 D 2 2 Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z 4 3i  3 Số phức z cĩ mơđun nhỏ nhất là:

A z 8 6i5 5

  B z 3 5i

2

  C z 1 4i D z 2 3i

Câu 10: Số phức z thay đổi sao cho | z | 1 thì giá trị bé nhất m và giá trị lớn nhất M của | z i | là

A m0, M2 B m0, M 2 C m0, M1 D m 1, M 2

C - ĐÁP ÁN

Trang 29

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau :

a) iz + 2 – i = 0 b) (2 + 3i)z = z – 1 c) (2 – i) z - 4 = 0 d) (iz – 1)(z + 3i)( z - 2 + 3i) = 0 e) z2 + 4 = 0

Giải: a) z =i 2 1 2ii  b) z = 1 1 3 i1 3i 10 10  c) z = 4 8 4i z =8 4i2 i 5 5  55 d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i e) z = 2i Ví dụ 2: Giải phương trình: 2z (3i 8)z 11i 13   0

Giải: (3i 8) 24(11i 13)  4i 3Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của 

Ta cĩ: (m ni) 2  5 12i 22 222m 2mni n i 3 4i m 2mni n 3 4i         2222 m n 3(1)m n 322mn 4 n (2)m        Thay (2) vào (1) ta cĩ: 222422m 42m 3 m 3m 4 0m m 1(loai)             m 2 n 1m 2 n 1       

Vậy  cĩ hai căn bậc hai là 2+i và -2-i

Do đĩ nghiệm của phương trình là

3i 8 i 2z 2i 523i 8 i 2z i 32          Ví dụ 3: Giải phương trình: 2z 4z 7 0

Giải:  ' 22   7 3 3i2 các căn bậc hai của ' là i 3

Vậy nghiệm của phương trình là: z  2 3i, z  2 3i

Ví dụ 4: giải phương trình: 32

z 4z  (4 i)z 3 3i  0 (1)

Giải: Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên (1) (z i)(z2 (4 i)z 3 3i)  0

2z i 0z (4 i)z 3 3i 0 (2)       Giải (2) 222

(4 i) 12 12i 16 1 8i 12 12i 3 4i 4 2.2.i i (2 i)

                

Vậy  cĩ hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

Trang 30

Vậy (1) cĩ 3 nghiệm là –i, -3, -1+i

Ví dụ 5:

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm

Giải:

a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0  b + c + (2 + b)i = 0

 b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2

b) Với 1 + i là nghiệm ta được : (1 + i)3 + a(1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0  (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0

 b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2)

Với 2 là nghiệm ta được : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3) Từ (2) và (3) cho c = −4, (1)  b = 6 (2)  a = −4

Vậy a = c = −4, b = 6

Ví dụ 6: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình: 2  2 

2 1 i z 4 2 i z 5 3i   0 Tính z12 z22

Giải: Ta cĩ 2 ' 4 2 i 2 1 i 5 3i 16

       Vậy phương trình cĩ hai nghiệm phức

123 5 1 1z i, z i2 2 2 2     Do đĩ 2212z  z 9

Ví dụ 7: Gọi z , z , z , z1 2 3 4là bốn nghiệm của phương trình 432

z  z 2z 6z 4 0 trên tập số phức tính tổng: 2 2 2 212341 1 1 1Sz z z z    Giải: PT: z4 z3 2z26z 4 0  2 z 1 z 2 z 2z 2 0      (1)

Khơng mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là

1234z 1z 2z 1 iz 1 i     Thay và biểu thức ta cĩ:    22222212341 1 1 1 1 1 1 5S 1z z z z 4 1 i 1 i 4         

Ví dụ 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức C:

2

43 z

z z z 1 0

2

     (1)

Giải: Nhận xét z=0 khơng là nghiệm của phương trình (1) vậy z0Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (z2 12) (z 1) 1 0

z z 2     (2) Đặt t=z 1z Khi đĩ 2221t z 2z   2221z t 2z   Phương trình (2) cĩ dạng : t2-t+5 02  (3) 251 4 9 9i2     Vậy PT (3) cĩ 2 nghiệm t=1 3i2, t=1 3i2Với t=1 3i2 ta cĩ z 1 1 3i 2z2 (1 3i)z 2 0z 2       (4) Cĩ   (1 3i)216      8 6i 9 6i i2 (3 i)2Vậy PT(4) cĩ 2 nghiệm : z=(1 3i) (3 i) 1 i

Trang 31

Do đĩ PT đã cho cĩ 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=i 12; z= i 12 Ví dụ 9: Giải các phương trình: 1) z3 – 27 = 0

2) z3 = 18 + 26i, trong đĩ z = x + yi ; x,y  Z

Giải: 1) z3 – 27 = 0  (z – 1) (z2 + 3z + 9) = 0 22,3z 1z 13 3 3iz 3z 9 0 z2        

Vậy phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm

2) Ta cĩ: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:

3223x 3xy 183x y y 26   Từ hệ trên, rõ ràng x  0 và y  0 Đặt y = tx , hệ  18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 )  18(3t-t3 ) = 26(1-3t2)  18t3 – 78t2 – 54t+26 = 0  ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = 0 Vì x, y  Z  t  Q  t = 1/3  x = 3 và y = 1  z = 3 + i Ví dụ 10: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) Giải:

Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) cĩ nghiệm z = 1 (1)  (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = 0  (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = 02z 1z 1z 3z 3z 2iz 4 0z 2i             

Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm

Ví dụ 11: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0

Giải:

Đặt t = z2 + z, khi đĩ phương trình đã cho cĩ dạng:

t2 + 4t – 12 = 0 221 23iz2t 6 z z 6 0 1 23izt 2 z z 2 0 2z 1z 2                    

Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm

Ví dụ 12: Giải phương trình: (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2= 0

Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đã cho cĩ dang:

t2 +2zt – 3z2 = 0  (t – z)(t+3z) = 0  t zt 3z  + Với t = z  z2 + 3z +6 –z = 0  z2 + 2z + 6 = 0  z 1 5iz 1 5i     + Với t = -3z  z2 + 3z +6 +3z = 0  z2 + 6z + 6 = 0  z 3 3z 3 3     

Trang 32

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tổng tất cả các nghiệm phức của phương trình 2

z  z 0 và z 0, z 1, z 1 3i

2 2

    

A - 1 B 1 C 3 D 0

Câu 2: Gọi z , z là hai nghiệm phương trình 1 2 z22z 8 0; trong đĩ z cĩ phần ảo dương số phức 1

 12 1

w 2z z z là:

A z 12 6i  B z10 2 7i C z 9 6i D z  12 6i

Câu 3: Tập hợp các nghiệm của phương trình z22 z 350 trên tập số phức là

A 2 i, 2 i   B 2 3i, 2 3i   C 5, 5 D 5i, 5i

Câu 4: Gọi z ; z là hai nghiệm của phương trình 1 2 2

z 2z 6 0 Trong đĩ z cĩ phần ảo âm Giá trị 1biểu thức Mz1 3z1z2 là

A M 6 2 21 B M 6  21 C M2 6  21 D M2 21  6

Câu 5: Trong tập số phức , phương trình 42

z 3z  2 0 cĩ bao nhiêu nghiệm?

A 0 B 1 C 2 D 4

Câu 6: Tập nghiệm trong C của phương trình z3   z2 z 1 0 là:

A 1;1;i B i;i; 1  C  1 D i;i;1

Câu 7: Tính z122 z2 2 biết z , z là nghiệm của phương trình 1 2 2

z 2z 17 0

A 68 B 51 C 17 D 34

Câu 8: Cho phương trình z2mz2m 1 0  trong đĩ m là tham số phức; giá trị m để phương trình cĩ hai nghiệm z ; z thỏa mãn 1 2 22

12

z z  10

A m 2 3i; m 2 3i B m 2 2 2i; m 2 2 2i

C m 1 3i; m   2 3i D m 1 3i; m 1 3i.   

Câu 9: Cho phương trình 2  

z mz  m 2 0 1 , trên trường phức và m là tham số thực Giá trị m để (1) cĩ hai nghiệm ảo z ; z trong đĩ z1 2 1 cĩ phần ảo âm và phần thực của số phức   z1 i z2 bằng 1.

2

A Khơng cĩ m B m 2 C m1 D m 5

Câu 10: Cho hệ phương trình

1212z 1z 1z z 3    Tính z1z2A 2 B  3 C 1 D 0

Câu 11: Trong tập số phức , phương trình 3

z  1 0 cĩ bao nhiêu nghiệm?

A 1 B 2 C 3 D 0

Câu 12: Phương trình z22z 6 0 cĩ các nghiệm z ; z1 2 Khi đĩ giá trị của biểu thức

22122212z zFz z là: A 8 B 23 C 5 D 29

Câu 13: Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình

Trang 33

Câu 14: Với mọi số phức z , ta cĩ | z 1| 2 bằng

A z z 1  B z.z z z 1   C z.z 1 D | z |2 2 | z | 1

Câu 15: Trên tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z2 + mz + i = 0 cĩ tổng bình phương hai nghiệm bằng - 4i là:

A m = 1 - i hoặc m = - 1 + i B m = 1 + i C m = 1 - i D m = - 1 + i

Câu 16: Các giá trị thực của m để phương trình sau cĩ ít nhất một nghiệm thực z3 + (3 + i)z2 - 3z - (m + i) = 0 là:

A m = 1 hoặc m = 5 B m = 1 C m = 5 D m = 4 Câu 17: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hệ:

2| z z | 2| z | 2   là: A z 1; z 1 3i B z 1; z 1 2i C z 1; z 1   2i D z1; z 1 3iCâu 18: Nếu z 1 thì 2z 1z

A Bằng 0 B Là số ảo C Lấy mọi giá trị phức D Lấy mọi giá trị thực Câu 19: Tập hợp các nghiệm của phương trình z z

z i



 là

A {0;1 i} B {0} C {1 i} D {0;1}

Câu 20: Tập hợp các nghiệm phức của phương trình 2 2

z  z 0 là

A i; 0 B Tập hợp mọi số ảo C i; 0;i D  0

Câu 21: Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm 1 nghiệm là: A b 2c 2   B b 2c 2   C b 1c 3   D b 4c 2  

Câu 22: Trên tập hợp số phức, phương trình z27z 15 0cĩ hai nghiệm z ; z 1 2 Giá trị biểu thức

121 2

z  z z z là:

A 22 B 15 C 7 D 8

Câu 23: Trên tập hợp số phức, phương trình x4160 nhận giá trị nào dưới đây là nghiệm?

A 1 1 i

2 2 B 1 1i

22 C 2 1 i

2

  D  2 2i

Câu 24: Giải phương trình z   z 2 4i cĩ nghiệm là

A −3 + 4i B −4 + 4i C −2 + 4i D −5 + 4i Câu 25: Số phức z thoả mãn hệ z 11z iz 3i1z i     là: A z  1 i B z 1 i C z 1 i D z  1 i

Câu 26: Phương trình bậc hai z2 (1 3i)z 2(1 i)  0 cĩ nghiệm là:

A z1 2i, z2   1 i B z12i, z2   1 i C z12i, z2   1 i D z1 2i, z2  1 i

Câu 27: Số phức z thỏa mãn z2 i   10 và z.z25 là:

A z 3 4i hoặc z5 B z 3 4i hoặc z5

C z 3 4i hoặc z 5 D z 3 4i hoặc z 5

Câu 28: Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện:    2

2 z 1    z 1 1 i z ?

A 2 B 3 C 1 D 4

Trang 34

A 3 B 2 C 1 D 4 Câu 30: Tập hợp các nghiệm của pt 2 2

z  z 0

A Tập hợp mọi số ảo B i;0 C 0 D i;0

Câu 31: Nghiệm của pt 3

z  8 0 là

A 2; 1  3i; 1  3i B   2; 1 3i; 1  3i

C 2;1 3i;1 3i D 2;1 3i;1 3i

Câu 32: Phương trình 63

z 9z  8 0 trên tập số phức C cĩ bao nhiêu nghiệm

A 4 B 2 C 8 D 6

Câu 33: Cho phương trình z3(2i 1)z 2 (3 2i)z 3 0.Trong số các nhận xét 1 Phương trình chỉ cĩ một nghiệm thuộc tập hợp số thực

2 Phương trình chỉ cĩ 2 nghiệm thuộc tập hợp số phức 3 Phương trình cĩ hai nghiệm cĩ phần thực bằng 0 4 Phương trình cĩ hai nghiệm là số thuần ảo

5 Phương trình cĩ ba nghiệm, trong đĩ cĩ hai nghiệm là hai số phức liên hợp Số nhận xét sai là:

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 34: Cho phương trình sau 4 2

z i 4z 0

Cĩ bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau: 1 Phương trình vơ nghiệm trên trường số thực R 2 Phương trình vơ nghiệm trên trường số phức

3 Phương trình khơng cĩ nghiệm thuộc tập hợp số thực 4 Phương trình cĩ bốn nghiệm thuộc tập hợp số phức 5 Phương trình chỉ cĩ hai nghiệm là số phức

6 Phương trình cĩ hai nghiệm là số thực

A 1 B 2 C 3 D 5

Câu 35: Phương trình z69z3 8 0 trên tập số phức cĩ bao nhiêu nghiệm

A 4 B 2 C 8 D 6

Câu 36: Giải phương trình sau: 2  

z  1 i z 18 13i  0

A z 4 i , z  5 2i B z 4 i , z  5 2i

C z 4 i , z  5 2i D z 4 i , z  5 2i

Câu 37: Phương trình 8z24z 1 0  cĩ nghiệm là

A z1 1 1i4 4  và z2 5 1i4 4  B z1 1 1i4 4  và z2 1 3i4 4 C z1 1 1i4 4  và z2 1 1i4 4  D z1 2 1i4 4  và z2 1 1i4 4 

Câu 38: Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2 3z 3 0 Khi đĩ, giá trị của 22

12z z là: A 94 B 94 C 9 D 4 Câu 39: Gọi z , z là nghiệm phức của phương trình 1 2 2

z 2z 4 0 A z12 z2 2 bằng

A 2 B 7 C 8 D 4

Câu 40: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 2

2z 4z 3 0 Giá trị của biểu thức

12

z  z bằng

A 2 B 3 C 2 3 D 6

Câu 41: Hai số phức 4 i và 2 3i là nghiệm của phương trình:

Trang 35

Câu 42: Giải phương trình 8z24z 1 0  trên tập số phức A z 1 1i hay z 1 1i4 4 4 4     B z 1 1i hay z 1 1i4 4 4 4    C z 1 1i hay z 1 1i4 4 4 4    D z 1 1i hay z 1 1i4 4 4 4   

Câu 43: Gọi z , z là 2 nghiệm của phương trình 1 2 2

z 2iz 4 0 Khi đĩ mơđun của số phức

12w(z 2)(z 2) là A 4 B 5 C 6 D 7 Câu 44: Phương trình 2z az b 0 cĩ một nghiệm phức là z 1 2i Tổng 2 số a và b bằng A 0 B 4 C 3 D 3

Câu 45: Nghiệm phương trình

4z i1z i      là: A z0; z1 B z0; z 1 C z0; z 1 D Đáp án khác Câu 46: Bộ số thực a; b; c để phương trình  32z az bz c 0 nhận z 1 ivà z2 là nghiệm A 4; 6; 4  B 4; 6; 4  C   4; 6; 4 D 4; 6; 4 

Câu 47: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4z 3 7i z 2iz i  A z 1 2i và z 3 i B z 1 2i và z 3 i.C z 1 2i và z 3 i D Đáp án khác

Câu 48: Mơđun của số phức z – 2i bằng bao nhiêu? Biết z thỏa mãn phương trình

(z 2i)(z 2i) 4iz   0

A 2 B 2 2 C 3 D 2 3

Câu 49: Tìm tất cả các nghiệm của z44z314z236z 45 0 biết z 2 ilà một nghiệm

A z 2 i ; z3i ; z 3i B z 2 i ; z 2 3i ; z3i ; z 3i

C z 2 i ; z 2 i ; z3i ; z 3i D z 2 i ; z 2 i ; z3i

Câu 50: Phương trình (2 i)z 2  az b 0; (a, b )cĩ 2 nghiệm là 3 i và 1 2i Khi đĩ a ?

A  9 2i B 15 5i C 9 2i D 15 5i

Câu 51: Số nghiệm phức z của phương trình 2

z  z 0 là:

A 4 B 3 C 1 D 2

Câu 52: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 + (1 – 3i)z - 2(1 + i) = 0 Khi đĩ

22

121 2

wz z 3z z là số phức cĩ mơđun là:

A 2 13 B 20 C 5 D 13

Câu 53: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 3z 7 0 Khi đĩ A 44

12

z z

  cĩ giá trị là:

A 23 B 23 C 13 D 13

Câu 54: Phương trình: x42x224x720 trên tập số phức cĩ các nghiệm là:

A 2 i 2 hoặc 2 2i 2  B 2 i 2 hoặc 1 2i 2

C 2 i 2 D 1 2i 2

Câu 55: Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z : 2 2

4z 8 z  3 0là:

A 4 B 3 C 2 D 1

Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn z26z 13 0 Tính z 6z i



A 4 B 5 C 6 D Đáp án khác

Câu 57: Cĩ bao nhiêu số phức thỏa mãn phương trình z2  z2z:

Trang 36

Câu 58: Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4 - i và tích của chúng bằng 5(1 - i) Đáp số

của bài tốn là:

A z 3 iz 1 2i    B z 3 2iz 5 2i    C z 3 iz 1 2i    D z 1 iz 2 3i   

Câu 59: Trong C, phương trình  2  2 

z i z 2iz 1 0 cĩ nghiệm là: A 2 1 i 2, 21 i2   , i B 1 - i ; - 1 + i ; 2i C 31 2i2  ; 32 i2   ; 4i D 1 - 2i ; - 15i ; 3i

Câu 60: Cho phương trình z3 + az + bz + c = 0 Nếu z = 1 + i và z = 2 là hai nghiệm của phương trình thì a, b, c bằng: A a 4b 6c 4    B a 2b 1c 4  C a 4b 5c 1  D a 0b 1c 2   C - ĐÁP ÁN

Trang 37

DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i Hãy:

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức

Giải:

a) Vecto OM biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto OM' biểu diễn số phức z’ = 2 + i

b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OP

z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OQ

Ví dụ 2: Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác

đều cĩ tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i

Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i A biểu diễn số −i Dễ thấy điểm E cĩ tọa độ cos ;sin 3 1;

6 6 2 2

 

 

    

   

    nên E biểu diễn số

phức 3 1i

2 2 ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức 3 1i2 2  ; F biểu diễn số phức 3 1i2 2 ; B biểu diễn số phức 3 1i2 2 

Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện

sau: a) z – i = 1 b) z i 1z i  c) z   z 3 4iGiải: Gọi z = a + bi

a) z - i = a + bi - i = 1 a + (b – 1)i = 1  a2 + (b – 1)2 = 1, Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường trịn cĩ tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1

b) z i a (b 1)i 1 a (b 1)i a (b 1)i a2 (b 1)2 a2 (b 1)2 b 0z i a (b 1)i

                  

  

Vậy z là số thực

c) Ta cĩ : z   z 3 4i a + bi = a – bi – 3 + 4ia + bi = (a – 3) + (4 – b)i

 a2 + b2 = (a – 3)2 + (4 – b)2  6a + 8b – 25 = 0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

Ví dụ 4: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện

sau:

a) z2 là số thực âm b) z2 là số ảo

c) z2 = ( z )2 d) 1

z i là số ảo

Trang 38

a) z2 là số thực âm  z là số ảo Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên trục ảo (Oy), trừ điểm O

b) Gọi z = a + bi  z2 = a2 – b2 + 2abi là số ảo  a2 – b2 = 0  b = a Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên hai đường phân giác của các gốc tọa độ

c) z2 = ( z )2 (z + z )(z − z ) = 0  (trục thực)(trục ảo)z + z = 0

z - z = 0 Vậy tập hợp các điểm là các trục tọa độ d) 1

z i là số ảo  z – i là số ảo  x + (y – 1)i là số ảo  x = 0 và y ≠ 1 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn nằm trên trục Oy (trừ điểm cĩ tung độ bằng 1)

Ví dụ 5: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u z 2 3iz i

 

 là một số thuần ảo

Giải: Giả sử z a ib ( a, bR), khi đĩ u a 2 bi 3i (a 2 (b 3)i)(a2 2(b 1)i)

a (b 1)i a (b 1)           Tử số bằng 22a b 2a2b 3 2(2a   b 1)iu là số thuần ảo khi và chỉ khi:

2222a b 2a 2b 3 0 (a 1) (b 1) 52a b 1 0 (a; b) (0;1), ( 2; 3)                  

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường trịn tâm I( 1; 1)  , bán kính bằng 5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3)

Ví dụ 6 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z 2 3i 1(*)z 4 i  Giải: Giả sử z a bi2222(a 2) (b 3) (a 4) (b 1)        3a b 1 0  

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng cĩ phương trình 3x-y-1=0

Ví dụ 7: Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức   (1 i 3)z 2 biết số phức z thỏa mãn: z 1 2 (1) Giải: Giả sử   a biTa cĩ a bi (1 i 3)z 2 z a 2 bi z 1 a 3 (b 3i)1 i 3 1 i 3             a 3 (b 3)i(1) 21 i 3   22a 3 (b 3)i (a 3) (b 3)2 221 i 3        22(a 3) (b 3) 16    

Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình trịn 22

(x 3)  (y 3) 16 (kể cả những điểm nằm trên biên)

Ví dụ 8: Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i Tìm z3 C sao cho các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 tạo thành tam giác đều

Giải: Giả sử z3 = x+yi

Để các điểm biểu diễn của z1, z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì

12131223z z z zz z z z         22 2 2224 4 x 1 y 1 x 1 y 1 8x y 04 4 x 1 y 1                    2y2 = 6  y =  3 x = 3

Trang 39

Ví dụ 9: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau: z 1 2z Giải: Giả sử z = x + yi  1 2z 2 z 1 2 zz     (x2 – y2 +1)2 +4x2y2 = 4(x2 + y2)  (x2 + y2 -1)2 = 4y22222x y 1 2yx y 1 2y      

 Tập hợp các điểm M(x;y) biểu thị số phức z là hợp của hai đường trịn: x2 + y2-2y – 1 = 0 và x2 + y2 +2y – 1 = 0

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho (z 1)(z i)  là số thực

A Đường thẳng x  y 1 0 B Đường trịn x2y2  x y 0

C Đường trịn x2y2  x y 0 D Đường thẳng x   y 1 0

Câu 2: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

123

z  (1 i)(2 i), z  1 3i, z   1 3i Tam giác ABC là:

A Một tam giác đều B Một tam giác vuơng (khơng cân) C Một tam giác vuơng cân D Một tam giác cân (khơng đều)

Câu 3: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 – i, 5 + 4i , 3 + i Tìm số phức z

biểu diễn bởi điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành

A 6i – 7 B 7 + 6i C 6 – 7i D 6 + 7i Câu 4: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho

1

z i là số thuần ảo

A Trục hồnh, bỏ điểm (-1; 0) B Đường thẳng x = -1, bỏ điểm (-1; 0) C Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1) D Trục tung, bỏ điểm (0; 1)

Câu 5: Trong mặt phẳng phức Oxy , cho ba điểm A, B, C biểu diễn cho 3 số phức

123

z  3 i, z   2 3i, z   1 2i Xác định độ lớn của số phức biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC

A 1 B 5 C 2 D 3

Câu 6: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 + i , 2 + 3i , 1 – 2i Số phức z

biểu diễn bởi điểm Q sao cho MN 3MQ 0 là:

A 2 133i B 2 133i C 2 13 3  i D 2 13 3  i

Câu 7: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 1 i  1 là

A Đường trịn tâm I1,1 , bán kính R1 B Đường trịn tâm I 1, 1 , bán kính R1

C Hình trịn tâm I1,1 , bán kính R1 D Hình trịn tâm I 1, 1   , bán kính R1

Câu 8: Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuơng tại C; Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số

phức: z1 -2 4i, z2 2 -2i Khi đĩ, C biểu diễn số phức:

A z  2  4i B z   2 7i C z   2 2i D z  2  4i

Câu 9: Cho các số phức: z1 1 3i; z2  2 +2i; z3   1 iđược biểu diễn lần lượt bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng Gọi M là điểm thỏa mãn: AM AB AC  Khi đĩ điểm M biểu diễn số phức:

A z  6i B z   6i C z  2 D z  2

Câu 10: Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A(4; 0), B(0; - 3) Điểm C thỏa mãn: OCOA OB Khi đĩ điểm C biểu diễn số phức:

Trang 40

Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1 1 2i, B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O B biểu diễn số phức nào sau đây:

A z    1 2i B z  1  2i C z  2  i D z  3  2i

Câu 12: Cho 3 số phức i, 2 – 3i,  3 4i cĩ điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là A, B, C; Tìm số phức biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC

A 1 233i B 1 23 3  i C 1 233i D 1 23 3  i

Câu 13: Cho số phức z 6 7i Số phức liên hợp của z cĩ điểm biểu diễn là:

A (6; 7) B (6; 7) C ( 6; 7)  D ( 6; 7)

Câu 14: Cho A, B, M lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức - 4, 4i, x + 3i Với giá trị thực nào

của thì A, B, M thẳng hàng?

A x = - 2 B x = 1 C x = - 1 D x = 2

Câu 15: Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng Oxy biết (1 i)z là số thực là:

A Trục Ox B Trục Oy

C Đường thẳng yx D Đường thẳng y x

Câu 16: Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 4là

A Đường trịn B Đường thẳng

C Phần bên trong đường trịn cĩ tâm là O và cĩ bán kính R = 4 D Đường hypebol

Câu 17: Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là đường

thẳng  như hình vẽ Giá trị z nhỏ nhất là: A 2 B 1 C 2 D 12Oyx11Δ

Câu 18: Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 2 – 3i, z3 = 5 + 4i

Chu vi của tam giác ABC là:

A 262 2 58 B 26 2 58 C 222 2 56 D 22 2 58

Câu 19: Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diển các số phức z1 4i ,1 i  z2   1 i 1 2i ,  z3 2 6i3 i

Khi đĩ, mệnh đề nào dưới đây là đúng

A A, B, C thẳng hàng B Tam giác ABC là tam giác tù

C Tam giác ABC là tam giác đều D Tam giác ABC là tam giác vuơng cân

Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện

z 2   z 2 5 cĩ dạng là: A 22x y125 99 4  B x2y2 9 C 22x y19 254 9  D x2y2 16

Câu 21: Cho số phức   iz 1 với | z 1 2i | 2 Khi đĩ tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức

 trên mặt phẳng Oxy là: A 22(x 1)  (y 2) 2 B 22(x 1) (y 3) 2C 22(x 3)  (y 1) 2 D 22(x3) (y 1) 2

Câu 22: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z 2   z 2 10 là:

A Parabol B Hình trịn C Đường thẳng D Elip