Giải chuyên đề toán 10 – cánh diều full

CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI ELIP Trang 39, 40 Hoạt động trang 39 Chuyên đề Toán 10: x y2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh tắc   , a b a > b > (Hình 2) a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 (E) b) (E) cắt trục Ox điểm A1, A2 cắt trục Oy điểm B1, B2 Tìm độ dài đoạn thẳng OA2 OB2 Lời giải:   a) Toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 (E) F1  a  b ; , F2   a  b2 ; b) +) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ A2 có dạng  x A ;  Mà A2 thuộc (E) nên x 2A a 2   x A2  a 02 2   x  a   A2 x   a b2  A2 Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trục Ox nên x A2   x A2  a  A2(a; 0) Khi OA2 =  a  0    0 2  a  a (vì a > 0) Vậy OA2 = a +) Vì B2 thuộc trục Oy nên toạ độ B2 có dạng  0; yB  2  yB  b 02 y B2 Mà B2 thuộc (E) nên    y 2B  b   a b  y B2  b Ta thấy B2 nằm bên điểm O trục Oy nên yB2   yB2  b  B2(0; b) Khi OB2 =   0   b  0 2  b2  b (vì b > 0) Vậy OB2 = b Hoạt động trang 40 Chuyên đề Toán 10: x y2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình tắc   1, a b a > b > Cho điểm M(x; y) nằm (E) (Hình 3) a) Gọi M1 điểm đối xứng M qua trục Ox Tìm toạ độ điểm M1 Điểm M1 có nằm (E) hay không? Tại sao? b) Gọi M2 điểm đối xứng M qua trục Oy Tìm toạ độ điểm M2 Điểm M2 có nằm (E) hay không? Tại sao? c) Gọi M3 điểm đối xứng M qua gốc O Tìm toạ độ điểm M Điểm M3 có nằm (E) hay khơng? Tại sao? Lời giải: x y2 Theo đề bài, M(x; y) nằm (E) nên ta có:   a b a) M1 điểm đối xứng M qua trục Ox, suy M1 có toạ độ (x; –y) x2  y x y2 Ta có     Do M1 thuộc (E) a b a b b) M2 điểm đối xứng M qua trục Oy, suy M2 có toạ độ (–x; y) Ta có  x   a2 y2 x y2    Do M2 thuộc (E) b2 a b2 c) M3 điểm đối xứng M qua gốc O, suy M3 có toạ độ (–x; –y) Ta có  x  a2  y  b2 x y2    Do M3 thuộc (E) a b Trang 41 Hoạt động trang 41 Chuyên đề Toán 10: a) Nêu nhận xét vị trí bốn đỉnh elip (E) với bốn cạnh hình chữ nhật sở b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E) Tìm giá trị nhỏ lớn x y Lời giải: a) Bốn đỉnh elip trung điểm cạnh hình chữ nhật sở x y2 b) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E)   a b x2 y2 +) Vì  nên   x  a  –a ≤ x ≤ a a b Do đó: Giá trị nhỏ x –a x = –a, y = Giá trị lớn x a x = a, y = y2 x2 +) Vì  nên   y  b  – b ≤ y ≤ b b a Do đó: Giá trị nhỏ y –b x = 0, y = –b Giá trị lớn y b x = 0, y = b Luyện tập trang 41 Chuyên đề Tốn 10: Viết phương trình tắc elip, biết A1(– 4; 0) B2(0; 2) hai đỉnh Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc elip cho   (a > b > 0) a b Elip cho có hai đỉnh A1(– 4; 0) B2(0; 2) nên a = 4, b = a = 2, b = Mà a > b nên a = 4, b = x y2 x y2   Vậy phương trình tắc elip cho   hay 16 4 Hoạt động trang 41 Chun đề Tốn 10: Quan sát elip (E) có phương trinh tắc x y2   , a > b > hình a b2 chữ nhật sở PQRS (E) (Hình 5) a) Tính tỉ số hai cạnh b) Tỉ số QR hình chữ nhật PQRS PQ QR phản ánh đặc điểm (E) hình dạng? PQ Lời giải: a) Ta thấy Q(a; b), R(a; –b) nên QR = Ta thấy P(–a; b), Q(a; b) nên PQ = Vậy  a  a    b  b   a   a     b  b  2    2b   2a  2  2b  2a QR 2b b   PQ 2a a b) Tỉ số b phản ánh cụ thể hình dạng (E) sau: a – Nếu tỉ số b bé hình chữ nhật sở "dẹt", (E) "gầy" a – Nếu tỉ số b lớn b gần a hình chữ nhật sở gần với hình a vng, (E) "béo" Trang 42, 43 Luyện tập trang 42 Chuyên đề Tốn 10: Viết phương trình tắc elip (E), biết tiêu cự 12 tâm sai Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc elip cho   (a > b > 0) a b Theo đề elip có tiêu cự 12  2c = 12  c = Elip có tâm sai c 3      a = 10  b  a  c2  102  62  a 5 a Vậy phương trình tắc elip cho x y2 x y2     hay 100 64 102 82 Hoạt động trang 43 Chuyên đề Toán 10: Giả sử đường elip (E) tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF + MF2 = 2a, F1F2 = 2c với < c < a Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc trung điểm đoạn thẳng F1F2 Trục Oy đường trung trực F1F2 F2 nằm tia Ox (Hình 8) Khi đó, F1(– c; 0), F2(c; 0) tiêu điểm elip (E) Giả sử điểm M(x; y) thuộc elip (E) Chứng minh rằng: a) MF12 = x2 + 2cx + c2 + y2; b) MF22 = x2 – 2cx + c2 + y2; c) MF12 – MF22 = 4cx Lời giải: a) MF12 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 b) MF22 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2 c) MF12 – MF22 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx Trang 44, 45 Hoạt động trang 44 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng đẳng thức c) đẳng thức MF1 + MF2 = 2a, chứng minh: a) MF1 – MF2 = 2c x; a b) MF1 = a + c x; a c) MF2 = a – c x a Lời giải: a) MF12 – MF22 = 4cx  (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx  2a(MF1 – MF2) = 4cx  MF1 – MF2 = 4cx 2c = x a 2a b) Từ MF1 + MF2 = 2a MF1  MF2  (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = 2a + 2c 2c c x  2MF1 = 2a + x  MF1 = a + x a a a c) Từ MF1 + MF2 = 2a MF1  MF2  (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2a – 2c x ta suy ra: a 2c x ta suy ra: a 2c 2c c x  2MF2 = 2a – x  MF2 = a – x a a a Luyện tập trang 45 Chuyên đề Toán 10: x y2   với tiêu điểm F2 ( 5;0) Tìm toạ độ điểm M  (E) cho Cho elip (E): độ dài F2M nhỏ Lời giải: Có a2 = 9, suy a = Gọi toạ độ M (x; y) Theo cơng thức độ dài bán kính qua tiêu ta có F2M = – Mặt khác, M thuộc (E) nên x ≤  x 5 5 x 3 x 5 x 3 3  F2M = – x≥3– Đẳng thức xảy x = Vậy độ dài F2M nhỏ M có hồnh độ 3, tức M trùng với đỉnh (3; 0) elip Hoạt động trang 45 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip (E) có phương trình tắc   (a > b > 0) Xét đường thẳng Δ1: a b a x=  e Với điểm M(x; y)  (E) (Hình 9), tính: a) Khoảng cách d(M, Δ1) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng Δ1 b) Tỉ số MF1 d  M, 1  Lời giải: a) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 dạng: x  0y  thuộc (E), ta có: d  M, 1   x  0y  12  02 a e  a  Với điểm M(x; y) e | a  ex | e b) Do MF1 = a + ex > nên MF1 = |a + ex|, suy d  M, 1   Trang 46, 47 Luyện tập trang 46 Chuyên đề Toán 10: MF1 MF1 Vậy  e d  M, 1  e Viết phương trình tắc elip, biết tiêu điểm F2(5; 0) đường chuẩn ứng với tiêu điểm x = 36 Lời giải: Elip có tiêu điểm F2(5; 0) nên c = Theo đề ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(5; 0) x = 36 a 36 a 36 a 36 a 36        a  36 Suy  c e c 5 a Suy b2 = a2 – c2 = 36 – 52 = 36 – 25 = 11 Vậy phương trình tắc elip cho x y2   36 11 Hoạt động trang 46 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip (E) có phương trình tắc   (a > b > 0) Xét đường trịn (C) a b tâm O bán kính a có phương trình x2 + y2 = a2 Xét điểm M(x; y)  (E) điểm M1(x; y1)  (C) cho y y1 dấu (khi M khác với hai đỉnh A1, A2 (E)) (Hình 10) a) Từ phương trình tắc elip (E), tính y2 theo x2 Từ phương trình đường trịn (C), tính y12 theo x2 b) Tính tỉ số Lời giải: HM y theo a b  HM1 y1 a  x  b2  x y2 y2 x2 a2  x2 y  ; a) Ta có:       a b b a a2 a2 x  y12  a  y12  a  x a y2 b) Từ a) ta suy  y1  x  b2 a2 a2  x2 b2 y b HM y b    Vậy   a y1 a HM1 y1 a Hoạt động trang 47 Chuyên đề Toán 10: x y2  Vẽ elip(E) :  25 Lời giải: Để vẽ elip (E), ta làm sau: Ta thấy a = 5, b = (E) có đỉnh A1(– 5; 0), A2(5; 0), B1(0; – 3), B2(0; 3) Bước Vẽ hình chữ nhật sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = – 5, x = 5, y = – 3, y =  9 Bước Tìm số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm M  4;  điểm  5 9 9 9   12    N  3;  thuộc (E) Do điểm M1  4;   ,M  4;  ,M3  4;   , 5 5 5   5   12  12    12   N1  3;   , N  3;  , N3  3;   , thuộc (E) 5 5 5    Bước Vẽ đường elip (E) qua điểm cụ thể trên, nằm phía hình chữ nhật sở tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở bốn đỉnh (E) A1(–5; 0), A2(5; 0), B1(0; –3), B2(0; 3) Trang 48 Bài trang 48 Chun đề Tốn 10: Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn tiêu điểm F1(–2; 0); b) Tiêu cự 12 tâm sai c) Tâm sai ; 5 chu vi hình chữ nhật sở (E) 20 Lời giải: x y2 a) Gọi phương trình tắc elip cho   (a > b > 0) a b Theo đề ta có: – Độ dài trục lớn 6, suy 2a = 6, suy a = 3, suy a2 = – Elip có tiêu điểm F1(– 2; 0), suy c = 2, suy b2 = a2 – c2 = 32 – 22 = Theo đề bài, phương trình đường chuẩn (P) x = –2  p   p  Vậy phương trình tắc (P) y2 = 8x b) Toạ độ tiêu điểm (P) F  2;0  c) Gọi toạ độ M (x; y) Khoảng cách từ M đến tiêu điểm x p   x    x   y  8.4  32  y  4 2     Vậy M 4; M 4; 4 Hoạt động trang 58 Chuyên đề Toán 10: Vẽ parabol (P): y2 = 4x Lời giải: Để vẽ parabol y2 = 4x, ta làm sau: Bước Lập bảng giá trị x 0,25 0,25 1 2,25 2,25 y –1 –2 –3 Chú ý ứng với giá trị dương x có hai giá trị y đối Bước Vẽ điểm cụ thể mà hoành độ tung độ xác định bảng giá trị Bước Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng Ox, parabol qua điểm vẽ Bước Trang 59 Luyện tập trang 59 Chuyên đề Toán 10: 1  Vẽ parabol y2 = 2px biết tiêu điểm parabol F  ;0  4  Lời giải: 1  p Parabol có tiêu điểm F  ;0     p   (P): y2 = x 4  Bước Lập bảng giá trị x 1 4 9 y –1 –2 –2 –3 Chú ý ứng với giá trị dương x có hai giá trị y đối Bưóc Vẽ điểm cụ thể mà hoành độ tung độ xác định bảng giá trị Bước Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng Ox, parabol qua điểm vẽ Bước Bài trang 59 Chun đề Tốn 10: Viết phương trình tắc parabol trường hợp sau: a) Tiêu điểm F2(5; 0); b) Phương trình đường chuẩn x = –4; c) Parabol qua điểm A(4; 9) Lời giải: a) Gọi phương trình tắc parabol cần tìm y2 = 2px (p > 0) Thep đề bài, ta có: Parabol có tiêu điểm F2(5; 0)  p   p  10 Vậy phương trình tắc parabol cần tìm y2 = 20x b) Gọi phương trình tắc parabol cần tìm y2 = 2px (p > 0) Thep đề bài, ta có: Parabol có đường chuẩn x = –4  p   p  Vậy phương trình tắc parabol cần tìm y2 = 16x c) Gọi phương trình tắc parabol cần tìm y2 = 2px (p > 0) Thep đề bài, ta có: Parabol qua điểm A (4; 9)  92  2p.4  p  Vậy phương trình tắc parabol cần tìm y2 = 81 81 x Bài trang 59 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol có phương trình tắc y2 = 8x a) Xác định tọa độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn parabol b) Vẽ parabol Lời giải: a) Parabol có phương trình tắc y2 = 8x  2p =  p =  p  2 Do đó: – Toạ độ tiêu điểm parabol F(2; 0) – Phương trình đường chuẩn parabol x = –2 b) Bước Lập bảng giá trị x 0,5 0,5 2 4,5 4,5 y –2 –4 –6 Chú ý ứng với giá trị dương x có hai giá trị y đối Bưóc Vẽ điểm cụ thể mà hồnh độ tung độ xác định bảng giá trị Bước Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng Ox, parabol qua điểm vẽ Bước Bài trang 59 Chuyên đề Toán 10: Các vật liệu xây dựng có hệ số dãn nở Vì thế, đặt dầm cầu, người ta thường đặt cố định đầu dầm, đầu lại đặt lăn di động nhằm giải dãn nở vật liệu Hình 21 minh hoạ dầm cầu đặt hai bờ kênh, giới hạn hai cung parabol có trục đối xúmg Người ta thiết kế giằng nối hai cung parabol cho giằng theo phương thẳng đứng cách cách hai đầu dầm Tính tổng độ dài giằng theo phương thẳng đứng Lời giải: Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy O'xy' cho đỉnh parabol trùng với O O' (như hình vẽ, đơn vị trục mét) Ta cần tính đoạn OO', A1A2, B1B2, C1C2 Dễ thấy OO' = AA' = BB' = CC' = – Xét hệ trục toạ độ Oxy: Giả sử parabol (P) có phương trình: y2 = 2px (p > 0) Khi D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên 402 = 2p 21  2p  Vậy phương trình (P) y  +) Với y = 10 ta có 102  1600 21 1600 x 21 1600 x  x  1,3125  AA1  1,3125 21 +) Với y = 20 ta có 202  1600 x  x  5, 25  BB1  5, 25 21 +) Với y = 30 ta có 302  1600 x  x  11,8125  CC1  11,8125 21 – Xét hệ trục toạ độ O'xy': Giả sử parabol (P') có phương trình: y'2 = 2px (p > 0) Khi D có toạ độ (12; 40) thuộc (P') nên 402 = 2p 12  2p  Vậy phương trình (P') y '2  400 400 x +) Với y' = 10 ta có 102  400 x  x  0,75  A 'A  0,75 +) Với y' = 20 ta có 202  400 x  x   B'B2  3 +) Với y' = 30 ta có 302  400 x  x  6,75  C'C  6,75 – Tính đoạn A1A2, B1B2, C1C2: A1A2 = AA2 – AA1 = (AA' + A'A2) – AA1 = (9 + 0,75) – 1,3125 = 8,3475 B1B2 = BB2 – BB1 = (BB' + B'B2) – BB1 = (9 + 3) – 5,25 = 6,75 C1C2 = CC2 – CC1 = (CC' + C'C2) – CC1 = (9 + 6,75) – 11,8125 = 3,9375 Tổng độ dài giằng theo phương thẳng đứng là: OO' + 2A1A2 + 2B1B2 + 2C1C2 = + 8,3475 + 6,75 + 3,9375 = 47,07 Vậy tổng độ dài giằng theo phương thẳng đứng 47,07 mét CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI BA ĐƯỜNG CONIC Trang 60, 66 Hoạt động trang 60 Chuyên đề Toán 10: Quan sát Hình 22a, Hình 22b, Hình 22c nêu tỉ số khoảng cách từ điểm M nằm đường conic đến tiêu điểm khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm Lời giải: x y2 MF - Với điểm M thuộc elip (E):   (a > b >0), ta ln có  e (0 < a b d(M, ) e < 1), F hai tiêu điểm F1, F2 Δ đường chuẩn ứng với tiêu điểm F x y2 - Với điểm M thuộc hypebol (H):   (a > 0, b > 0), ta ln có a b MF  e (e > 1), F hai tiêu điểm F1, F2 Δ đường chuẩn d(M, ) ứng với tiêu điểm F - Với điểm M thuộc parabol (P): y2 = 2px (p > 0), ta ln có MF  , d(M, ) F tiêu điểm Δ đường chuẩn ứng với tiêu điểm F Bài trang 66 Chuyên đề Tốn 10: Cho hình chữ nhật ABCD với bốn đỉnh A(–4; 3), B(4; 3), C(4; –3), D(–4; –3) a) Viết phương trình tắc elip nhận ABCD hình chữ nhật sở Vẽ elip b) Viết phương trình tắc hypebol nhận ABCD hình chữ nhật sở Vẽ hypebol Lời giải: Gọi M, N trung điểm AB, BC  x  x B yA  yB   4    Toạ độ M  x M ; yM    A ;  ;    0;3 2   2    x  x C y B  yC      3  ;  ; Toạ độ N  x N ; y N    B    4;0  2   2   x y2 a) Gọi phương trình tắc elip cần tìm   (a > b > 0) a b Vì ABCD hình chữ nhật sở elip nên M, N hai đỉnh elip Lại có: M(0; 3)  b = 3, N(4; 0)  a = x y2   Vậy phương trình tắc elip cần tìm 16 +) Vẽ elip: Ta thấy a = 4, b = Toạ độ đỉnh elip (–4; 0), (5; 0), (0; – 3), (0; 3) Bước Vẽ hình chữ nhật sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –4, x = 4, y = –3, y =  12 12  Bước Tìm số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm X  ;  5 5  12 12   16  điểm Y  ;  thuộc (E) Do điểm X1  ;   , 5 5  5  12 12  X2   ;  ,  5  12 12   16   16   16  X3   ;   , Y1  ;   , Y2   ;  , Y3   ;   thuộc (E) 5   5  5  5 Bước Vẽ đường elip (E) qua điểm cụ thể trên, nằm phía hình chữ nhật sở tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở bốn đỉnh (E) (–4; 0), (4; 0), (0; –3), (0; 3) b) x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cần tìm   (a > 0, b > 0) a b Vì M(0; 3) N(4;0) trung điểm cạnh hình chữ nhật sở nên a = 4, b = x y2   Vậy phương trình tắc hypebol cần tìm 16 +) Vẽ hypebol: Ta thấy a = 4, b = (H) có đỉnh (–4; 0), (4; 0) Bước Vẽ hình chữ nhật sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –4, x = 4, y = –3, y = Bước Vẽ hai đường chéo hình chữ nhật sở  20  Tim số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm X  ;4  thuộc (H)    20   20   20  Do điểm X1  ; 4  , X   ;  , X3   ; 4  thuộc (H)       Bước Vẽ đường hypebol bên ngồi hình chữ nhật sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở điểm (–4; 0) qua X2, X3; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở điểm (4; 0) qua X, X Vẽ điểm thuộc hypebol xa gốc toạ độ sát với đường tiệm cận Hypebol nhận gốc toạ độ tâm đối xứng hai trục toạ độ hai trục đối xứng Trang 67 Bài trang 67 Chuyên đề Tốn 10: Các đường conic có phương trình sau đường elip hay hypebol? Tìm độ dài trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai đường conic x y2   1; a) 100 64 b) x y2   36 64 Lời giải: a) Đây đường elip Ta có a = 10, b =  c  a  b  Độ dài trục lớn 2a = 20, độ dài trục bé 2b = 16 Toạ độ tiêu điểm F1(–6; 0) F2(6; 0) Tiêu cự 2c = 12 Tâm sai e  c   a 10 b) Đây đường hypebol Ta có a = 6, b =  c  a  b  10 Độ dài trục thực 2a = 12, độ dài trục ảo 2b = 16 Toạ độ tiêu điểm F1(–10; 0) F2(10; 0) Tiêu cự 2c = 20 Tâm sai e  c 10   a Bài trang 67 Chuyên đề Tốn 10: Cho parabol có phương trình tắc y2 = 2x Tìm tiêu điểm, phương trình đường chuẩn parabol vẽ parabol Lời giải: Ta có: 2p =  p   p  2 1  Vậy tiêu điểm parabol F  ;0  đường chuẩn parabol x   2  Vẽ parabol: Bước Lập bảng giá trị x 0,5 0,5 2 4,5 4,5 y –1 –2 –3 Chú ý ứng với giá trị dương x có hai giá trị y đối Bước Vẽ điểm cụ thể mà hoành độ tung độ xác định bảng giá trị Bước Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng Ox, parabol qua điểm vẽ Bước Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x = –5 điểm F(–4; 0) Cho ba điểm A(–3; 1), B(2; 8), C(0; 3) a) Tính tỉ số sau: AF BF CF , , d(A, ) d(B, ) d(C, ) b) Hỏi điểm A, B, C nằm loại đường conic nhận F tiêu điểm Δ đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó? Lời giải: a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ: x + y + = Khi đó:  4   3     1 AF  d(A, ) 3  0.1   ; 12  02 BF  d(B, )  4      8   0.8  10 ; 12  02 CF  d(C, )  4      3  0.3   12  02 b) – Vì AF   nên A nằm elip nhận F tiêu điểm Δ đường chuẩn d(A, ) ứng với tiêu điểm – Vì BF 10   nên A nằm hypebol nhận F tiêu điểm Δ đường chuẩn d(B, ) ứng với tiêu điểm – Vì CF  nên A nằm parabol nhận F tiêu điểm Δ đường chuẩn d(C, ) Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Vệ tinh nhân tạo Liên Xơ (cũ) phóng từ Trái Đất năm 1957 Quỹ đạo vệ tinh đường elip nhận tâm Trái Đất tiêu điểm Người ta đo vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần 583 dặm xa 1342 dặm (1 dặm xấp xỉ 1,609 km) Tìm tâm sai quỹ đạo đó, biết bán kính Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm (Nguồn: Sách giáo khoa Hình học 10, Ban Nâng cao, Nhà xuất Giảo dục Việt Nam, 2018) Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F1 elip x y2 Khi elip có phương trình   (a > b > 0) a b Theo đề bài, ta có: vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần 583 dặm xa 1342 dặm, mà bán kính Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm nên vệ tinh cách tâm Trái Đất gần 583 + 4000 = 4583 dặm xa 1342 + 4000 = 5342 dặm Giả sử vệ tinh có toạ độ M(x; y) Khi khoảng cách từ vệ tinh đến tâm Trái Đất là: MF1 = a + c x a Vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF1 ≤ a + c Vậy khoảng cách nhỏ lớn từ vệ tinh đến tâm Trái Đất a – c a + c a  c  4583 a  4962,5 c 379,5   e   0,076 a  c  5342 c  379,5 a 4962,5   Vậy tâm sai quỹ đạo xấp xỉ 0,076 Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Sao Diêm Vương chuyển động xung quanh Mặt Trời theo quỹ đạo đường elip có hai tiêu điểm tâm Mặt Trời Biết elip có bán trục lớn a ≈ 5,906 106 km tâm sai e ≈ 0,249 (Nguồn: https://vi.wikipedia.org) Tìm khoảng cách nhỏ (gần đúng) Sao Diêm Vương Mặt Trời Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 elip x y2 Khi elip có phương trình   (a > b > 0) a b Theo đề bài, ta có: elip có bán trục lớn a ≈ 5,906 106 km tâm sai e ≈ 0,249 Giả sử Sao Diêm Vương có toạ độ M(x; y) Khi khoảng cách Sao Diêm Vương Mặt Trời là: MF1 = a + ex Vì x ≥ –a nên MF1 ≥ a – ea ≈ 5,906 106 – 0,249 5,906 106 = 4435406 (km) Vậy khoảng cách nhỏ Sao Diêm Vương Mặt Trời xấp xỉ 4435406 km Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Cho đường thẳng Δ điểm O cho khoảng cách từ O đến Δ OH = (Hình 39) Với điểm M di động mặt phẳng, gọi K hình chiếu vng góc M lên Δ Chứng minh tập hợp điểm M mặt phẳng cho MK – MO2 = đường parabol Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ cho điểm O trùng với gốc toạ độ trục Ox trùng với đường thẳng OH Giả sử M có toạ độ (x; y) K có toạ độ (–1; y) Khi đó: MK2 – MO2 =  {[x – (–1)]2 + (y – y)2} – [(0 – x)2 + (0 – y)2] =  {(x + 1)2 + 02} – [x2 + y2] =  (x2 + 2x +1) – (x2 + y2) =  2x +1 – y2 =  y2 = 2x Vậy tập hợp điểm M parabol có phương trình y2 = 2x ... trình (2), ta được: 4y – = –1 3  4y – = –1 3  4y = (–1 3) +  4y = –4  y = (–4 ) :  y = –1 – Thế y = –1 , z = vào phương trình (1), ta được: x + (–1 ) – = –4  x – = –4  x = (–4 ) +  x = Vậy hệ... – (–3 ) + 10 = ? ?10  43 = ? ?10 (sai) Vậy số (0; –3 ; 10) nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho +) Thay số (1; –1 ; 5) vào phương trình thứ hệ ta được: – (–1 ) + = ? ?10  24 = ? ?10. .. – c x = – x a Mà x ≥ –a hay x ≥ –5   MF2 ≤ – 4 x ≥ (–5 )  – x ≤ –5 5 (–5 )  MF2 ≤ Đẳng thức xảy x = –5 Vậy độ dài F2M lớn M có toạ độ (–5 ; 0) Bài trang 48 Chun đề Tốn 10: Hình 11 minh hoạ