CHUYÊN ĐỀ II PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC NHỊ THỨC NEWTON BÀI 2 NHỊ THỨC NEWTON Trang 31, 32 Hoạt động 1 trang 31 Chuyên đề Toán 10 a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau ?3 ? 3 ? ?[.]
CHUYÊN ĐỀ II PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC NHỊ THỨC NEWTON BÀI NHỊ THỨC NEWTON Trang 31, 32 Hoạt động trang 31 Chuyên đề Toán 10: a) Chọn số thích hợp cho ? khai triển biểu thức sau: (a b)3 C3? a 3? C3? a 3? b1 C?3a 3? b2 C?3a 3? b3 Từ nêu dạng tổng quát số hạng khai triển biểu thức (a + b)3 b) Xét biểu thức (a + b)n Nêu dự đoán dạng tổng quát số hạng khai triển biểu thức (a + b)n Lời giải: a) (a b)3 C30 a 30 C13a 31b1 C32 a 32 b2 C33a 33 b3 Mỗi số hạng khai triển biểu thức (a + b)3 có dạng C3k a 3k bk b) Cũng thế, số hạng khai triển biểu thức (a + b)n có dạng Ckn a n k bk Luyện tập trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức (x + 2)7 Lời giải: x 2 x C17 x C72 x 22 C37 x 23 C74 x 24 C57 x 25 C67 x 26 27 Luyện tập trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho n * Chứng minh C0n C1n Cn2 Cnn 1 Cnn 2n Lời giải: Ta có: x 1 n C0n x n C1n x n 1 C 2n x n 12 C nn 1x.1n 1 C nn 1n C0n x n C1n x n 1 C2n x n 2 Cnn 1x Cnn Cho x = 1, ta được: 1 1 n C0n 1n C1n 1n 1 C 2n 1n C nn 11 C nn C0n C1n C2n Cnn 1 Cnn Vậy C0n C1n C2n Cnn 1 Cnn 1 1 2n n Trang 33, 34 Hoạt động trang 33 Chuyên đề Toán 10: Ta biết: (a b)2 C02a C12ab C22 b2 ; (a b)3 C30 a C13a b C32ab2 C33b3 ; (a b)4 C04 a C14 a 3b C42a b2 C34ab3 C44 b4 ; (a b)5 C50 a C15a b C52 a 3b2 C35a b3 C54ab4 C55b5 Ta xểp hệ số tổ hợp sau: Nêu phép toán để từ hai số hạng dòng suy số hạng tương ứng (thể mũi tên ↓) dịng bảng hệ số nói Lời giải: Tổng hai số hạng dòng số hạng tương ứng dòng Luyện tập trang 34 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal để khai triển: a) (x + y)7; b) (x – 2)7 Lời giải: Tam giác Pascal ứng với n ≤ là: Vậy: a) x y x 7x y 21x y 35x y3 35x y 21x y 7xy y b) x x 7x 2 21x 2 35x 2 35x 2 21x 2 7x 2 2 x 14x 84x 280x 560x 672x 448x 128 Trang 35 Hoạt động trang 35 Chuyên đề Toán 10: Xét dãy hệ số khai triển nhị thức (a + b)4 ( Hình 7a) nhị thức (a + b)5 (Hình 7b) sau: a) So sánh cặp hệ số C04 C44 ; C14 C34 Hình 7a So sánh cặp hệ số C50 C55 ; C15 C54 ; C52 C35 Hình 7b b) Nêu nhận xét tăng giảm dãy hệ số: C04 C14 C24 C34 C44 (trong khai triển (a + b)4) C50 C15 C52 C35 C54 C55 (trong khai triển (a + b)5) Lời giải: a) C04 = = C44 ; C14 = = C34 C50 = = C55 ; C15 = = C54 ; C52 = 10 = C35 b) Dãy C04 C14 C24 C34 C44 tăng từ C04 đến C24 giảm từ C24 đến C44 Dãy C50 C15 C52 C35 C54 C55 tăng từ C50 đến C52 , C52 = C35 , giảm từ C35 đến C55 Luyện tập trang 35 Chun đề Tốn 10: Tìm hệ số lớn khai triển của: a) (a + b)2022; b) (a + b)2023 Lời giải: Vì dãy hệ số khai triển (a + b)n tăng dần đến "giữa" giảm dần nên: a) Hệ số lớn (a + b)2022 C1011 2022 1012 b) Hệ số lớn (a + b)2023 C1011 2023 C2023 Trang 36 Hoạt động trang SCĐ 36 Toán lớp 10: Quan sát khai triển nhị thức: (ax b)n C0n (ax)n C1n (ax)n 1 b Cn2 (ax)n 2 b2 Cnn 1 (ax)bn 1 Cnn bn C0n a n x n C1n a n 1bx n 1 C2n a n 2 b2 x n 2 Cnn 1abn 1x Cnn bn Nêu công thức tính hệ số xk khai triển Lời giải: Hệ số xk khai triển Cnn k a k bn k với k ℕ, k ≤ n, n ℕ* Luyện tập trang 36 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển (x + 5)15 a) Nêu số hạng chứa x7, từ nêu hệ số x7 b) Nêu số hạng tổng quát khai triển nhị thức trên, từ nêu hệ số ak xk với ≤ k ≤ 15 Lời giải: 5 a) Số hạng chứa x7 C15 x 55 Hệ số x7 C15 k k 15 k k 15 k b) Số hạng tổng quát khai triển C15 Hệ số xk C15 15 x 15 Trang 37 Bài trang 37 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức sau: a) (2x + y)6; b) (x – 3y)6; c) (x – 1)n; d) (x + 2)n; e) (x + y)2n; g) (x – y)2n; n lả số nguyên dương Lời giải: a) (2x + y)6 C06 2x C16 2x y C62 2x y C36 2x y3 C62 2x y C16 2x y C66 y 6 26 x C16 25 x5 y C62 24 x y2 C36 23 x3 y3 C64 22 x y4 C56 2xy5 y6 b) (x – 3y)6 = [x + (–3y)]6 C06 x C16 x 3y C62 x 3y C36 x 3y C 64 x 3y C56 x 3y C 66 3y x C16 3x5 y C62 32 x y2 C36 33 x y3 C64 34 x y4 C56 35 xy5 36 y6 c) (x – 1)n = [(x + (–1)]n C0n x n C1n x n 1 1 Cn2 x n 1 Cnn 1x 1 x n C1n 1 x n 1 C2n 1 x n C nn 1 1 n 1 n 1 C nn 1 x 1 d) (x + 2)n C0n x n C1n x n 1 Cn2 x n 2 22 Cnn 1x2n 1 Cnn 2n x n C1n 2x n 1 C2n 22 x n 2 Cnn 1 2n 1 x 2n e) (x + y)2n 1 2n 1 2n C02n x 2n C12n x 2n 1 y C22n x 2n 2 y2 C2n C2n 2n xy 2n y n n 1 2n 1 x 2n C12n x 2n 1 y C22n x 2n 2 y2 C2n y2n 2n xy g) (x – y)2n 1 C02n x 2n C12n x 2n 1 y C22n x 2n y C2n 2n x y 2n 1 C 2n 2n y 1 2n 1 2n C02n x 2n C12n x 2n 1 y C22n x 2n 2 y2 C2n C2n 2n xy 2n y 1 2n 1 x 2n C12n x 2n 1 y C22n x 2n 2 y2 C2n y2n 2n xy Bài trang 37 Chun đề Tốn 10: Tính: a) S C02022 92022 C12022 92021 Ck2022 92022 k C2021 C2202 022 2022 2021 2022 b) T C02022 42022 C12022 42021 C2021 C2022 2022 4.3 2022 Lời giải: Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có: a) S C02022 92022 C12022 92021 Ck2022 92022 k C2021 C2022 2022 2022 021 22 2022 C02022 92022 C12022 92021 Ck2022 92022 k.1k C22022 9.12021 C20 2022 1 2020 10 2022 2021 2022 b) T C02022 42022 C12022 42021 C2021 C2022 2022 4.3 2022 C02022 42022 C12022 42021 3 C2021 2022 3 3 2022 2021 C202 2022 3 2022 12022 Bài trang 37 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh: C0n 3n C1n 3n 1 Ckn 3n k Cnn 1 Cnn C0n C1n Cnk 3k Cnn 1 3n 1 Cnn 3n với ≤ k ≤ n; k, n ℕ* Lời giải: C0n 3n C1n 3n 1 Ckn 3n k Cnn 1 Cnn C0n 3n C1n 3n 1.11 Ckn 3n k.1k Cnn 1 3.1n 1 Cnn 1n 1 4n n 2n C0n C1n Ckn 3k Cnn 1 3n 1 Cnn 3n C0n 1n C1n 1n 13 Cnk 1n k 3k Cnn 1.1n 13n 1 Cnn 3n 1 3 4n n Vậy C0n 3n C1n 3n 1 Ckn 3n k Cnn 1 Cnn C0n C1n Cnk 3k Cnn 1 3n 1 Cnn 3n Bài trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xác định hệ số của: a) x12 khai triển (x + 4)30; b) x10 khai triển (3 + 2x)30; 51 2x c) x x khai triển 7 15 16 Lời giải: 12 18 18 12 a) Số hạng chứa x12 C18 C18 30 x Hệ số x 30 20 20 10 10 20 10 10 C10 b) Số hạng chứa x10 C10 C10 30 2x 30 x Hệ số x 30 10 15 36 215 15 2x 36 c) Số hạng chứa x C C51 15 36 x 7 36 51 15 215 Hệ số x C 15 36 36 51 15 16 35 216 15 2x Số hạng chứa x C C35 51 16 35 x 7 16 Hệ số x16 C35 51 35 51 216 316 735 Bài trang 37 Chuyên đề Toán 10: 12 5 Xét khai triển x 2 a) Xác định hệ số x7 b) Nêu số hạng tổng quát khai triển nhị thức trên, từ nêu hệ số a k xk với ≤ k ≤ 12 Lời giải: 5 5 5 a) Số hạng chứa x C x Hệ số x7 C12 2 2 12 12 k 12 k 12 b) Số hạng tổng quát khai triển C 5 x 2 Hệ số xk k 12 k 12 k 12 C 5 2 Bài trang 37 Chuyên đề Toán 10: 21 x 1 Xét khai triển 5 a) Xác định hệ số x10 b) Nêu số hạng tổng quát khai triển nhị thức trên, tưr nêu hệ số ak xk với ≤ k ≤ 21 Lời giải: 10 11 10 11 x 1 1 1 11 a) Số hạng chứa x C Hệ số x10 C11 21 C21 10 11 2 5 2 5 10 11 21 k b) Số hạng tổng quát khai triển C k C21 21 21 k 21 x 1 5 21 k Hệ số xk 2k 521 k Trang 38 Bài trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số lớn khai triển của: a) (a + b)8; b) (a + b)9 Lời giải: Vì dãy hệ số khai triển (a + b)n tăng dần đến "giữa" giảm dần nên: a) Hệ số lớn (a + b)8 C84 b) Hệ số lớn (a + b)9 C94 C59 Bài trang 38 Chuyên đề Tốn 10: Chứng minh cơng thức nhị thức Newton phương pháp quy nạp: (a b)n C0n a n C1n a n 1b Cnn 1abn 1 Cnn bn với n ℕ* Lời giải: +) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = C10 a1 C11b1 Vậy công thức với n = +) Với k số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức với k + 1, tức là: 1) 1 (a b)k 1 C0k 1a k 1 C1k 1a (k 1) 1b C(k ab(k 1) 1 Ckk 11bk 1 k 1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: (a b)k C0k a k C1k a k 1b Ckk 1abk 1 Ckk bk Khi đó: (a b) k 1 a b a b a a b b a b k k k a C0k a k C1k a k 1b Ckk 1abk 1 Ckk b k b C0k a k C1k a k 1b Ckk 1ab k 1 Ckk b k C0k a k 1 C1k a k b Ck2 a k 1b2 Ckk 1a b k 1 Ckk ab k C0k a k b C1k a k 1b2 Ckk a b k 1 Ckk 1ab k Ckk b k 1 C0k a k 1 C0k C1k a k b C1k C2k a k 1b2 Ckk Ckk 1 a bk 1 Ckk 1 Ckk abk Ckk bk 1 1.a k 1 C1k 1a k b Ck2 1a k 1b2 Ckk 11a bk 1 Ckk 1abk 1.bk 1 (vì Cik Cik1 Cik11 0 i k , i ℕ, k ℕ*) 1) 1 C0k 1a k 1 C1k 1a (k 1) 1b C(k ab(k 1) 1 Ckk 11bk 1 k 1 Vậy công thức với n = k + Do theo nguyên lí quy nạp tốn học, cơng thức cho với n ℕ* Bài trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: a) n5 – n chia hết cho n ℕ*; b) n7 – n chia hết cho n ℕ* Lời giải: a) +) Với n = 1, ta có: 15 – = ⁝ Vậy mệnh đề với n = +) Với k số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề với k + 1, tức là: (k + 1)5 – (k + 1) ⁝ Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k5 – k ⁝ Khi đó: (k + 1)5 – (k + 1) k 5k 10k 10k 5k 1 k 1 k k 5k 10k 10k 5k Mà k k 5k 10k 10k 5k chia hết cho 5, k k 5k 10k 10k 5k ⁝ hay (k + 1)5 – (k + 1) ⁝ Vậy mệnh đề với n = k + Do theo ngun lí quy nạp tốn học, mệnh đề cho với n ℕ* b) +) Với n = 1, ta có: 17 – = ⁝ Vậy mệnh đề với n = +) Với k số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề với k + 1, tức là: (k + 1)7 – (k + 1) ⁝ Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k7 – k ⁝ Khi đó: (k + 1)7 – (k + 1) k 7k 21k 35k 35k 21k 7k 1 k 1 k k 7k 21k 35k 35k 21k 7k Mà k k 7k 21k 35k 35k 21k 7k chia hết cho 7, k k 7k 21k 35k 35k 21k 7k ⁝ hay (k + 1)7 – (k + 1) ⁝ Vậy mệnh đề với n = k + Do theo ngun lí quy nạp toán học, mệnh đề cho với n ℕ* Bài 10 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Cho tập hợp A = {x1; x2; x3; ; xn} có n phần tử Tính số tập hợp A Lời giải: Vì A có n phần tử nên số tập hợp có k phần tử tập hợp A là: Ckn Như tổng số tập tập hợp A là: C0n C1n Cn2 Cnn 1 Cnn Lại có C0n C1n C2n Cnn 1 Cnn 2n (theo luyện tập 2) Vậy tập hợp A có tất 2n tập Bài 11 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh Nhà trường muốn chọn đội cơng tác có hai học sinh học sinh Hỏi có cách lập đội cơng tác thế? Lời giải: Đội cơng tác có từ đến 10 học sinh k Nếu đội cơng tác có k học sinh ta có C10 cách chọn Như tổng số cách chọn là: C10 C10 C10 10 10 Lại có C10 C10 C10 C10 C10 10 1024 (áp dụng luyện tập với n = 10) 10 C10 C10 C10 210 1024 C10 C10 1024 1 10 1013 Vậy có 1013 cách Bài 12 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Để tham gia thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 bánh có màu khác chọn số nguyên dương chẵn bánh vào hộp trưng bày Hỏi bạn Tiến có cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó? Lời giải: Số bánh bạn Tiến chọn vào hộp 2, 4, 6, 8, 10 12 2 Như tổng số cách chọn là: C12 C12 C12 12 2.6 1 Lại có C12 C12 C12 C12 211 2048 (áp dụng câu c Ví dụ với n = 6) 12 2 2.6 1 C12 C12 C12 2048 C12 2048 2047 12 Vậy có 2047 cách Bài 13 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bác Thành muốn mua quà cho sinh nhật nên đến cửa hàng đồ chơi Bác dự định chọn năm loại đồ chơi Ở cửa hàng, loại đồ chơi có 10 sản phẩm khác bày bán Biết mua trực thăng điều khiển từ xa, bác mua sản phẩm; mua đồ chơi lego, bác mua sản phẩm khác nhau; mua lắp ghép robot chạy lượng mặt trời, bác mua sản phẩm khác nhau; mua rubik, bác mua sản phẩm khác nhau; cịn mua mơ hình khủng long, bác mua sản phẩm khác Bác Thành có cách chọn quà sinh nhật cho con? Lời giải: Số cách chọn bác Thành mua: – Bộ trực thăng điều khiển từ xa là: C110 – Bộ đồ chơi lego là: C10 – Bộ lắp ghép robot chạy lượng mặt trời là: C10 – Rubik là: C10 – Mơ hình khủng long là: C10 Vậy tổng số cách chọn là: C110 C10 C10 C10 C10 Lại có C110 C10 C10 C10 C10 22.51 29 512 (áp dụng câu c Ví dụ với n = 5) Vậy có 512 cách Bài 14 trang 38 Chun đề Tốn 10: Giả sử tính trạng lồi quy định tác động cộng gộp n cặp alen phân li độc lập A1a1, A2a2, , Anan Cho F1 dị hợp n cặp alen giao phối với Tỉ lệ phân li kiểu hình F2 hệ số khai triển nhị thức Newton (a + b)2n, nghĩa 2n 2b 1 tỉ lệ phân li kiểu hình F2 C02n : C12n : C2n : : C2n : C2n : C2n 2n Cho biết lồi có tính trạng quy định tác động cộng gộp cặp alen phân li độc lập Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình F2 F1 dị hợp cặp alen giao phối với Lời giải: Thay n = vào công thức đề bài, ta được: Tỉ lệ phân li kiểu hình F2 F1 dị hợp cặp alen giao phối với là: 2.4 hay C80 : C18 : C82 : C83 : C84 : C85 : C86 : C87 : C88 C02.4 : C12.4 : C22.4 : : C2.4 ... 102 4 (áp dụng luyện tập với n = 10) 10 C10 C10 C10 210 102 4 C10 C10 102 4 1 10 101 3 Vậy có 101 3 cách Bài 12 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Để tham gia thi làm bánh,... tác có từ đến 10 học sinh k Nếu đội cơng tác có k học sinh ta có C10 cách chọn Như tổng số cách chọn là: C10 C10 C10 10 10 Lại có C10 C10 C10 C10 C10 10 102 4 (áp dụng luyện... là: C10 Vậy tổng số cách chọn là: C 110 C10 C10 C10 C10 Lại có C 110 C10 C10 C10 C10 22.51 29 512 (áp dụng câu c Ví dụ với n = 5) Vậy có 512 cách Bài 14 trang 38 Chuyên đề