CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1 HYPEBOL Trang 49 Hoạt động 1 trang 49 Chuyên đề Toán 10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là 2 2 2 2 x y 1 a b [.]
CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI HYPEBOL Trang 49 Hoạt động trang 49 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình tắc x y2 , a > 0, b > (Hình 13) a b2 a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 hypebol (H) b) Hypebol (H) cắt trục Ox điểm A1, A2 Tìm độ dài đoạn thẳng OA1 OA2 Lời giải: a) Toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 hypebol (H) là: F1(–c; 0) F2(c; 0) với c a b b) +) Vì A1 thuộc trục Ox nên toạ độ A1 có dạng x A ; Mà A1 thuộc (H) nên x 2A a x A1 a 02 2 1 xA a b x A1 a Ta thấy A1 nằm bên trái điểm O trục Ox nên x A1 x A1 a A1(–a; 0) Khi OA1 = a 0 0 2 a a (vì a > 0) Vậy OA1 = a +) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ A2 có dạng x A ; Mà A2 thuộc (H) nên x 2A a 2 x A2 a 02 x 2A a b x A2 a Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trục Ox nên x A2 x A2 a A2(a; 0) Khi OA2 = a 0 0 2 a a (vì a > 0) Vậy OA2 = a Hoạt động trang 49 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình tắc x y2 , a > 0, b > (Hình 14 ) a b2 Cho điểm M(x; y) nằm hypebol (H) Gọi M1, M2, M3 điểm đối xứng M qua trục Ox, trục Oy gốc O Các điểm M1, M2, M3 có nằm hypebol (H) hay không? Tại sao? Lời giải: x y2 Theo đề bài, M(x; y) nằm (H) nên ta có: a b +) M1 điểm đối xứng M qua trục Ox, suy M1 có toạ độ (x; –y) x2 y x y2 Ta có Do M1 thuộc (H) a b a b +) M2 điểm đối xứng M qua trục Oy, suy M2 có toạ độ (–x; y) Ta có x a2 y2 x y2 Do M2 thuộc (H) b a b +) M3 điểm đối xứng M qua gốc O, suy M3 có toạ độ (–x; –y) Ta có x a2 y b2 x y2 Do M3 thuộc (H) a b Trang 50, 51 Hoạt động trang 50 Chuyên đề Toán 10: a) Quan sát điểm M (x; y) nằm hypebol (H) (Hình 15) chứng tỏ x ≤ –a x ≥ a b) Viết phương trình hai đường thẳng PR QS Lời giải: a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (H) x y2 a b2 x2 y2 Vì nên x a x ≤ –a x ≥ a b a b) +) Có P(–a; b), R(a; –b) PR a a ; b b 2a; 2b Do ta chọn (b; a) vectơ pháp tuyến PR Khi phương trình đường thẳng PR là: b(x + a) + a(y – b) = hay bx + ay = hay b y x a +) Có Q(a; b), S(–a; –b) QS a a; b b 2a; 2b Do ta chọn (–b; a) vectơ pháp tuyến QS Khi phương trình đường thẳng QS là: –b(x – a) + a(y – b) = hay –bx + ay = hay y b x a Luyện tập trang 51 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình tắc hypebol có đỉnh A2(5; 0) đường tiệm cận y = –3x Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cho (a > 0, b > 0) a b +) Hypebol có đỉnh A2(5; 0) a = +) Hypebol có đường tiệm cận y = –3x b b = 3a = 15 a x y2 x2 y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho hay 15 25 225 Hoạt động trang 51 Chuyên đề Toán 10: x y2 Nêu định nghĩa tâm sai elip có phương trình tắc với a > b > a b Lời giải: x y2 Tâm sai e elip có phương trình tắc với a > b > tỉ số a b c a b2 tiêu cự độ dài trục lớn elip, tức e a a Trang 52 Luyện tập trang 52 Chun đề Tốn 10: Viết phương trình tắc hypebol, biết độ dài trục ảo tâm sai Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cho (a > 0, b > 0) a b +) Hypebol có độ dài trục ảo 2b = b = b2 = a 32 +) Hypebol có tâm sai 16 a 32 25a a 16 a a 32 16 a 32 25a a 16 a x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho 16 Hoạt động trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) tập hợp điểm M cho |MF1 – MF2| = 2a, F1F2 = 2c với c > a > Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc trung điểm đoạn thẳng F1F2 Trục Oy đường trung trực F1F2 F2 nằm tia Ox (Hình 16) Khi F1(c; 0), F2(c; 0) tiêu điểm (H) Với điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H), chứng minh: a) MF12 = x2 + 2cx + c2 + y2; b) MF22 = x2 – 2cx + c2 + y2; c) MF12 – MF22 = 4cx Lời giải: a) MF12 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 b) MF22 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2 c) MF12 – MF22 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx Hoạt động trang 52 Chuyên đề Toán 10: Với điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF12 – MF22 = 4cx |MF1 – MF2| = 2a, chứng minh: c c MF1 a x | a ex |; MF2 a x | a ex | a a Lời giải: +) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy MF1 > MF2 Khi đó: MF1 – MF2 = |MF1 – MF2| = 2a Ta có: MF12 – MF22 = 4cx (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx (MF1 + MF2)2a = 4cx MF1 + MF2 = 4cx 2c = x Khi đó: a 2a (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = MF1 = a + c c x a x | a ex | a a (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = MF2 = 2c 2c x + 2a 2MF1 = x + 2a a a 2c 2c x – 2a 2MF2 = x – 2a a a c c x – a a x | a ex | a a +) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy MF1 < MF2 Khi đó: MF1 – MF2 = –|MF1 – MF2| = –2a Ta có: MF12 – MF22 = 4cx (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx (MF1 + MF2)(–2a) = 4cx MF1 + MF2 = 4cx 2c = – x Khi đó: a 2a (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = – 2c 2c x + (–2a) 2MF1 = – x – 2a a a c c MF1 = x a a x | a ex | a a (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = – 2c 2c x – (–2a) 2MF2 = – x + 2a a a c c MF2 = a – x a x | a ex | a a Vậy hai trường hợp ta có c c MF1 a x | a ex |; MF2 a x | a ex | a a Trang 53, 54 Luyện tập trang 53 Chun đề Tốn 10: Cho hypebol có phương trình tắc x y2 Giả sử M điểm thuộc hypebol 144 25 có hồnh độ 15 Tìm độ dài bán kính qua tiêu điểm M Lời giải: Có a2 = 144, b2 = 25 a 12, b 5, c a b 144 25 13 Độ dài bán kính qua tiêu M là: c 13 113 MF1 a x 12 15 a 12 c 13 17 MF2 a x 12 15 a 12 Hoạt động trang 53 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho hypebol (H) có phương trình tắc với a > 0, b > Xét đường a b a thẳng 1 : x e Với điểm M (x0; y0) (H) (Hình 17), tính: a) Khoảng cách d (M, Δ1) từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng Δ1 b) Tỉ số MF1 d M, 1 Lời giải: a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ1 dạng Δ1: x + y + a = e Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, ta có: d M, 1 x 0.y 12 02 b) Từ a) ta suy a e a ex e MF1 e MF1 e d M, 1 Luyện tập trang 54 Chun đề Tốn 10: Tìm tiêu điểm đường chuẩn hypebol có phương trình tắc x y2 11 25 Lời giải: Ta có: a2 = 11, b2 = 25 a 11, b 5,c a b 11 25 Do hai tiêu điểm F1(–6; 0) F2(6; 0) Ta có: e c a 11 11 a e 11 11 Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1(–6; 0) 1 :x trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(6; 0) :x Trang 55 Hoạt động trang 55 Chuyên đề Toán 10: 11 11 Phương x y2 Vẽ hypebol (H) : 16 Lời giải: Để vẽ hypebol (H), ta làm sau: Ta thấy a = 3, b = (H) có đỉnh A1(– 3; 0), A2(3; 0) Bước Vẽ hình chữ nhật sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –3, x = 3, y = – 4, y = Bước Vẽ hai đường chéo hình chữ nhật sở 16 Tim số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm M 5; thuộc (H) 3 16 16 16 Do điểm M1 5; ,M 5; ,M3 5; thuộc (H) 3 3 3 Bước Vẽ đường hypebol bên hình chữ nhật sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở điểm A1(– 3; 0) qua M2, M3; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở điểm A2(3; 0) qua M, M1 Vẽ điểm thuộc hypebol xa gốc toạ độ thi sát với đường tiệm cận Hypebol nhận gốc toạ độ tâm đối xứng hai trục toạ độ hai trục đối xứng Luyện tập trang 55 Chun đề Tốn 10: Cho hypebol (H) có đỉnh A1(–4; 0) tiêu cự 10 Viết phương trình tắc vẽ hypebol (H) Lời giải: Gọi phương trình tắc hypebol cho x y2 (a > 0, b > 0) a b2 +) Hypebol có đỉnh A1(–4; 0) a = +) Hypebol có tiêu cự 10 2c = 10 c = b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho 16 Trang 56 Bài trang 56 Chuyên đề Tốn 10: Viết phương trình tắc hypebol, biết: a) Tiêu điểm F1(– 3; 0) đỉnh A2 (2; 0) b) Đỉnh A2(4; 0) tiêu cự 10 c) Tiêu điểm F2 (4; 0) phương trình đường tiệm cận y x Lời giải: a) Gọi phương trình tắc hypebol cho x y2 (a > 0, b > 0) a b2 +) Hypebol có tiêu điểm F1(–3; 0) c = +) Hypebol có đỉnh A2(2; 0) a = b2 = c2 – a2 = 32 – 22 = x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho hay b) x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cho (a > 0, b > 0) a b +) Hypebol có đỉnh A2(4; 0) a = +) Hypebol có tiêu cự 10 2c = 10 c = b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho 16 c) x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cho (a > 0, b > 0) a b +) Hypebol có tiêu điểm F2(4; 0) c = +) Hypebol có đường tiệm cận y b 7 x a a b a b a b c 42 a2 = 9, b2 = 97 16 16 x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cho Bài trang 56 Chuyên đề Toán 10: x y2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình tắc a) Xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực hypebol b) Xác định phương trình đường tiệm cận hypebol vẽ hypebol Lời giải: a) Ta có: a = 2, b = 1, c = a b Toạ độ đỉnh hypebol là: A1(–2; 0), A2(2; 0) Các tiêu điểm hypebol là: F1 5;0 , F2 5;0 Tiêu cự hypebol là: 2c = Độ dài trục thực hypebol là: 2a = b b b) Phương trình đường tiệm cận hypebol là: y x x y x x a a Vẽ hypebol: Bài trang 56 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình tắc x2 – y2 = Chứng minh hai đường tiệm cận hypebol vng góc với Lời giải: Ta có: a = 1, b = Suy ra: b Phương trình hai đường tiệm cận hypebol là: d1 : y x x a d2 : y b x x a d1 : y x hay x + y = có vectơ pháp tuyến n1 1;1 d : y x hay x – y = có vectơ pháp tuyến n 1; 1 Có n1 n 1.1 1 Suy hai vectơ vng góc với nhau, hai đường thẳng d1 d2 vng góc với Bài trang 56 Chun đề Tốn 10: x y2 Lập phương trình Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) : 64 36 tắc elip (E), biết (E) có tiêu điểm tiêu điểm (H) đỉnh hình chữ nhật sở (H) nằm (E) Lời giải: Hypebol (H) có a = 8, b = c a b 10 đỉnh hình chữ nhật sở M(8; 6) x y2 Gọi phương trình tắc elip cần tìm (a > b > 0) a b Theo đề ta có: +) (E) có tiêu điểm tiêu điểm (H) c 10 a b c2 100 1 +) Các đỉnh hình chữ nhật sở (H) nằm (E) M 8;6 E 82 64 36 2 a b2 a b2 Thế (1) vào (2) ta được: 64b 36 b 100 64 36 1 1 b 100 b b2 100 b2 64b2 36 b2 100 b 100 b 100b2 3600 b4 100b2 b4 3600 b2 60 a 160 x y2 Vậy phương trình tắc elip cần tìm 160 60 Bài trang 56 Chuyên đề Toán 10: Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay tàu thuỷ hoạt động biển Trong hệ thống có hai đài vơ tuyến đặt địa điểm A địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18) Giả sử có tàu chuyển động biển với quỹ đạo hypebol nhận A B hai tiêu điểm Khi vị trí P, máy thu tín hiệu tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận tín hiệu từ A B thành hiệu khoảng cách |PA – PB| Giả sử thời gian tàu nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A 0,0012 s Vận tốc di chuyển tín hiệu 108 m/s a) Lập phương trình hypebol mơ tả quỹ đạo chuyển động tàu b) Chứng tỏ thời điểm quỹ đạo chuyển động thời gian tàu nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A ln 0,0012 s Lời giải: a) Vì thời gian tàu nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A 0,0012 s nên thời điểm PB – PA = (3 108) 0,0012 = 360000 (m) = 360 (km) Vì tàu chuyển động với quỹ đạo hypebol nhận A B hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với vị trí P Chọn hệ trục toạ độ cho gốc toạ độ trùng với trung điểm AB trục Ox trùng x y2 với AB, đơn vị hai trục km hypebol có dạng (a > 0, b > 0) a b Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy a =180 Theo đề bài, AB = 650, suy 2c = 650, suy c = 325 b2 = c2 – a2 = 3252 – 1802 = 73225 Vậy phương trình hypebol mơ tả quỹ đạo chuyển động tàu x2 y2 32400 73225 b) Vì tàu chuyển động nhánh bên phải trục Oy hypebol nên ta PB < PA với vị trí P Do tàu ln nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A Gọi t1 thời gian để tàu nhận tín hiệu từ A, t2 thời gian để tàu nhận tín hiệu từ B t1 PA PB , t2 với v vận tốc di chuyển tín hiệu v v Khi đó, ta có: t – t2 = PA PB 360000 0,0012 s v 810 Vậy thời gian tàu nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A 0,0012 s ... MF1 – MF2 = –| MF1 – MF2| = –2 a Ta có: MF12 – MF22 = 4cx (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx (MF1 + MF2) (–2 a) = 4cx MF1 + MF2 = 4cx 2c = – x Khi đó: a 2a (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = – 2c 2c x + (–2 a)... MF22 = x2 – 2cx + c2 + y2; c) MF12 – MF22 = 4cx Lời giải: a) MF12 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 b) MF22 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2 c) MF12 – MF22... 100 b2 64b2 36 b2 100 b 100 b 100 b2 3600 b4 100 b2 b4 3600 b2 60 a 160 x y2 Vậy phương trình tắc elip cần tìm 160 60 Bài trang 56 Chuyên đề Toán 10: