CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI 4 BA ĐƯỜNG CONIC Trang 60, 66 Hoạt động trang 60 Chuyên đề Toán 10 Quan sát Hình 22a, Hình 22b, Hình 22c và nêu tỉ số khoảng cách từ một điểm M nằm trên mỗ[.]
CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI BA ĐƯỜNG CONIC Trang 60, 66 Hoạt động trang 60 Chun đề Tốn 10: Quan sát Hình 22a, Hình 22b, Hình 22c nêu tỉ số khoảng cách từ điểm M nằm đường conic đến tiêu điểm khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm Lời giải: x y2 MF - Với điểm M thuộc elip (E): (a > b >0), ta ln có e (0 < a b d(M, ) e < 1), F hai tiêu điểm F1, F2 Δ đường chuẩn ứng với tiêu điểm F x y2 - Với điểm M thuộc hypebol (H): (a > 0, b > 0), ta có a b MF e (e > 1), F hai tiêu điểm F1, F2 Δ đường chuẩn d(M, ) ứng với tiêu điểm F - Với điểm M thuộc parabol (P): y2 = 2px (p > 0), ta ln có MF , d(M, ) F tiêu điểm Δ đường chuẩn ứng với tiêu điểm F Bài trang 66 Chuyên đề Toán 10: Cho hình chữ nhật ABCD với bốn đỉnh A(–4; 3), B(4; 3), C(4; –3), D(–4; –3) a) Viết phương trình tắc elip nhận ABCD hình chữ nhật sở Vẽ elip b) Viết phương trình tắc hypebol nhận ABCD hình chữ nhật sở Vẽ hypebol Lời giải: Gọi M, N trung điểm AB, BC x x B yA yB 4 Toạ độ M x M ; yM A ; ; 0;3 2 2 x x C y B yC 3 ; ; Toạ độ N x N ; y N B 4;0 2 2 x y2 a) Gọi phương trình tắc elip cần tìm (a > b > 0) a b Vì ABCD hình chữ nhật sở elip nên M, N hai đỉnh elip Lại có: M(0; 3) b = 3, N(4; 0) a = x y2 Vậy phương trình tắc elip cần tìm 16 +) Vẽ elip: Ta thấy a = 4, b = Toạ độ đỉnh elip (–4; 0), (5; 0), (0; – 3), (0; 3) Bước Vẽ hình chữ nhật sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –4, x = 4, y = –3, y = 12 12 Bước Tìm số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm X ; 5 5 12 12 16 điểm Y ; thuộc (E) Do điểm X1 ; , 5 5 5 12 12 X2 ; , 5 12 12 16 16 16 X3 ; , Y1 ; , Y2 ; , Y3 ; thuộc (E) 5 5 5 5 Bước Vẽ đường elip (E) qua điểm cụ thể trên, nằm phía hình chữ nhật sở tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở bốn đỉnh (E) (–4; 0), (4; 0), (0; –3), (0; 3) b) x y2 Gọi phương trình tắc hypebol cần tìm (a > 0, b > 0) a b Vì M(0; 3) N(4;0) trung điểm cạnh hình chữ nhật sở nên a = 4, b = x y2 Vậy phương trình tắc hypebol cần tìm 16 +) Vẽ hypebol: Ta thấy a = 4, b = (H) có đỉnh (–4; 0), (4; 0) Bước Vẽ hình chữ nhật sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –4, x = 4, y = –3, y = Bước Vẽ hai đường chéo hình chữ nhật sở 20 Tim số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm X ;4 thuộc (H) 20 20 20 Do điểm X1 ; 4 , X ; , X3 ; 4 thuộc (H) Bước Vẽ đường hypebol bên ngồi hình chữ nhật sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở điểm (–4; 0) qua X2, X3; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở điểm (4; 0) qua X, X Vẽ điểm thuộc hypebol xa gốc toạ độ sát với đường tiệm cận Hypebol nhận gốc toạ độ tâm đối xứng hai trục toạ độ hai trục đối xứng Trang 67 Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Các đường conic có phương trình sau đường elip hay hypebol? Tìm độ dài trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai đường conic x y2 1; a) 100 64 b) x y2 36 64 Lời giải: a) Đây đường elip Ta có a = 10, b = c a b Độ dài trục lớn 2a = 20, độ dài trục bé 2b = 16 Toạ độ tiêu điểm F1(–6; 0) F2(6; 0) Tiêu cự 2c = 12 Tâm sai e c a 10 b) Đây đường hypebol Ta có a = 6, b = c a b 10 Độ dài trục thực 2a = 12, độ dài trục ảo 2b = 16 Toạ độ tiêu điểm F1(–10; 0) F2(10; 0) Tiêu cự 2c = 20 Tâm sai e c 10 a Bài trang 67 Chun đề Tốn 10: Cho parabol có phương trình tắc y2 = 2x Tìm tiêu điểm, phương trình đường chuẩn parabol vẽ parabol Lời giải: Ta có: 2p = p p 2 1 Vậy tiêu điểm parabol F ;0 đường chuẩn parabol x 2 Vẽ parabol: Bước Lập bảng giá trị x 0,5 0,5 2 4,5 4,5 y –1 –2 –3 Chú ý ứng với giá trị dương x có hai giá trị y đối Bước Vẽ điểm cụ thể mà hoành độ tung độ xác định bảng giá trị Bước Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng Ox, parabol qua điểm vẽ Bước Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x = –5 điểm F(–4; 0) Cho ba điểm A(–3; 1), B(2; 8), C(0; 3) a) Tính tỉ số sau: AF BF CF , , d(A, ) d(B, ) d(C, ) b) Hỏi điểm A, B, C nằm loại đường conic nhận F tiêu điểm Δ đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó? Lời giải: a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ: x + y + = Khi đó: 4 3 1 AF d(A, ) 3 0.1 ; 12 02 BF d(B, ) 4 8 0.8 10 ; 12 02 CF d(C, ) 4 3 0.3 12 02 b) – Vì AF nên A nằm elip nhận F tiêu điểm Δ đường chuẩn d(A, ) ứng với tiêu điểm – Vì BF 10 nên A nằm hypebol nhận F tiêu điểm Δ đường chuẩn d(B, ) ứng với tiêu điểm – Vì CF nên A nằm parabol nhận F tiêu điểm Δ đường chuẩn d(C, ) Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Vệ tinh nhân tạo Liên Xô (cũ) phóng từ Trái Đất năm 1957 Quỹ đạo vệ tinh đường elip nhận tâm Trái Đất tiêu điểm Người ta đo vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần 583 dặm xa 1342 dặm (1 dặm xấp xỉ 1,609 km) Tìm tâm sai quỹ đạo đó, biết bán kính Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm (Nguồn: Sách giáo khoa Hình học 10, Ban Nâng cao, Nhà xuất Giảo dục Việt Nam, 2018) Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F1 elip x y2 Khi elip có phương trình (a > b > 0) a b Theo đề bài, ta có: vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần 583 dặm xa 1342 dặm, mà bán kính Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm nên vệ tinh cách tâm Trái Đất gần 583 + 4000 = 4583 dặm xa 1342 + 4000 = 5342 dặm Giả sử vệ tinh có toạ độ M(x; y) Khi khoảng cách từ vệ tinh đến tâm Trái Đất là: MF1 = a + c x a Vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF1 ≤ a + c Vậy khoảng cách nhỏ lớn từ vệ tinh đến tâm Trái Đất a – c a + c a c 4583 a 4962,5 c 379,5 e 0,076 a c 5342 c 379,5 a 4962,5 Vậy tâm sai quỹ đạo xấp xỉ 0,076 Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Sao Diêm Vương chuyển động xung quanh Mặt Trời theo quỹ đạo đường elip có hai tiêu điểm tâm Mặt Trời Biết elip có bán trục lớn a ≈ 5,906 106 km tâm sai e ≈ 0,249 (Nguồn: https://vi.wikipedia.org) Tìm khoảng cách nhỏ (gần đúng) Sao Diêm Vương Mặt Trời Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 elip x y2 Khi elip có phương trình (a > b > 0) a b Theo đề bài, ta có: elip có bán trục lớn a ≈ 5,906 106 km tâm sai e ≈ 0,249 Giả sử Sao Diêm Vương có toạ độ M(x; y) Khi khoảng cách Sao Diêm Vương Mặt Trời là: MF1 = a + ex Vì x ≥ –a nên MF1 ≥ a – ea ≈ 5,906 106 – 0,249 5,906 106 = 4435406 (km) Vậy khoảng cách nhỏ Sao Diêm Vương Mặt Trời xấp xỉ 4435406 km Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Cho đường thẳng Δ điểm O cho khoảng cách từ O đến Δ OH = (Hình 39) Với điểm M di động mặt phẳng, gọi K hình chiếu vng góc M lên Δ Chứng minh tập hợp điểm M mặt phẳng cho MK – MO2 = đường parabol Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ cho điểm O trùng với gốc toạ độ trục Ox trùng với đường thẳng OH Giả sử M có toạ độ (x; y) K có toạ độ (–1; y) Khi đó: MK2 – MO2 = {[x – (–1)]2 + (y – y)2} – [(0 – x)2 + (0 – y)2] = {(x + 1)2 + 02} – [x2 + y2] = (x2 + 2x +1) – (x2 + y2) = 2x +1 – y2 = y2 = 2x Vậy tập hợp điểm M parabol có phương trình y2 = 2x ... = a + ex Vì x ≥ –a nên MF1 ≥ a – ea ≈ 5,906 106 – 0,249 5,906 106 = 4435406 (km) Vậy khoảng cách nhỏ Sao Diêm Vương Mặt Trời xấp xỉ 4435406 km Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Cho đường thẳng... = c a b 10 Độ dài trục thực 2a = 12, độ dài trục ảo 2b = 16 Toạ độ tiêu điểm F1(? ?10; 0) F2 (10; 0) Tiêu cự 2c = 20 Tâm sai e c 10 a Bài trang 67 Chuyên đề Tốn 10: Cho parabol có... đối xứng Ox, parabol qua điểm vẽ Bước Bài trang 67 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x = –5 điểm F (–4 ; 0) Cho ba điểm A (–3 ; 1), B(2; 8), C(0; 3) a) Tính tỉ số