CHUYÊN ĐỀ I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài 1 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Trang 5, 6 Khởi động trang 5 Chuyên đề Toán 10 Trong kho tàng văn hoá dân gian Việt Nam có bài toán về Trâu ăn cỏ như sa[.]
CHUYÊN ĐỀ I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài Hệ phương trình bậc ba ẩn Trang 5, Khởi động trang Chuyên đề Toán 10: Trong kho tàng văn hố dân gian Việt Nam có toán Trâu ăn cỏ sau: Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Lụ khụ trâu già, Ba bó, Trăm ăn cỏ, Trăm bó no nê Hỏi có trâu đứng, trâu nằm, trâu già? Lời giải: Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già là: x, y, z (con) x y z 100 Theo đề ta có hệ phương trình: 5x 3y z 100 Hoạt động trang Chun đề Tốn 10: Cho phương trình: 2x + y – 3z = (1) a) Nêu ẩn phương trình (1) b) Với ẩn phương trình (1), xác định bậc ẩn Lời giải: a) Các ẩn phương trình (1) x, y, z b) Tất ẩn bậc Hoạt động trang Chuyên đề Toán 10: Cho hệ phương trình: 3x 2y 5z 4 x 3y 5z (*) 2x 7y 3z a) Mỗi phương trình hệ (*) phương trình có dạng nào? b) Bộ số (x; y; z) = (–2; 1; 0) có nghiệm phương trình hệ (*) hay khơng? Vì sao? Lời giải: a) Mỗi phương trình hệ (*) phương trình bậc ba ẩn b) Bộ số (x; y; z) = (–2; 1; 0) có nghiệm phương trình hệ (*) Vì thay số vào phương trình chúng có nghiệm đúng: (–2) + – = –4; – (–2) + + = 5; (–2) + – = Trang 7, Hoạt động trang Chuyên đề Tốn 10: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình bậc hai ẩn tương đương Lời giải: Hai hệ phương trình bậc hai ẩn tương đương chúng có tập nghiệm x 2y z 4 Hoạt động trang Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình sau: 4y 3z 13(2) 5z 15(3) (III) Lời giải: Để giải hệ phương trình (III), ta làm sau: – Từ phương trình (3), ta có: z = (–15) : (–5) = – Thế z = vào phương trình (2), ta được: 4y – = –13 4y – = –13 4y = (–13) + 4y = –4 y = (–4) : y = –1 – Thế y = –1, z = vào phương trình (1), ta được: x + (–1) – = –4 x – = –4 x = (–4) + x = Vậy hệ phương trình (III) có nghiệm (x; y; z) = (1; –1; 3) Hoạt động trang Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình sau: x 2y z 4 x 2y 2z (IV) 2x y z 2 Lời giải: Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình bậc ba ẩn Dưới đây, ta tìm hiểu phương pháp Gauss thơng qua việc giải hệ phương trình (IV) Bước Khử số hạng chứa x – Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), thay phuơng trình 2x 2y z 4 vào vị trí phuơng trình thứ hai 4y 3z 13 2x y z 2 – Nhân hai vế phương trình (1) với trừ theo vế cho phương trình (3), sau 2y z 4 thay phuơng trình vào vị trí phương trình thứ ba x 4y 3z 13 (4) 3y z 6 (5) Bước Khử số hạng chứa y Nhân hai vế phương trình (4) với 3, nhân hai vế phương trình (5) với 4, trừ theo vế hai phương trình vùa tìm thay phương trình vào vị trí phương x 2y z 4 trình thứ ba 4y 3z 13 (V) 5z 15 Bước Giải hệ phương trình (V) có dạng tam giác, ta nghiệm (x; y; z) = (1; –1; 3) Trang 9, 10 4x y 3z 11 Luyện tập trang Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình: 2x 3y 2z x y z 3 Lời giải: 4x y 3z 11 4x y 3z 11 4x y 3z 11 2x 3y 2z 7y 7z 7 y z 1 x y z 3 x y z 3 3y 7z 23 4x y 3z 11 4x y 3z 11 4x 3 2 11 x y 2 y y 3 y z 1 10z 20 z 2 z 2 z 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (4; 1; 2) x 2y 6z Luyện tập trang Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình: x y 2z x 4y 2z 13 Lời giải: x 2y 6z x 2y 6z x 2y 6z 3y 4z x y 2z 3y 4z x 4y 2z 13 x 4y 2z 13 6y 8z 8 x 2y 6z x 2y 6z 3y 4z 3y 4z 3y 4z 4 0 12 Phương trình thứ ba hệ vơ nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm x y 3z 1 Luyện tập trang 10 Chun đề Tốn 10: Giải hệ phương trình: y z x 2y Lời giải: x y 3z 1 x y 3z 1 1 y z 2 y z x 2y 3y 3z 3 Hai phương trình (2) (3) tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về: x y 3z 1 x y 1 3z x 1 2z y z y z y z Đặt z = t với t số thực bất kì, ta có: x = –1 + 2t, y = t Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm (x ; y ; z) = (–1 + 2t; t; t) với t số thực Trang 11 Luyện tập trang 11 Chuyên đề Tốn 10: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm 2x 3y 4z 5 hệ phương trình: 4x 5y z 3x 4y 3z Lời giải: Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE 2 = – = = – = – = = – = = = = – = = = Ta thấy hình x = 22 101 Ấn tiếp phím = ta thấy hình y = 131 101 Ấn tiếp phím = ta thấy hình z = 39 101 22 131 39 Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = ; ; 101 101 101 Bài trang 11 Chuyên đề Toán 10: Kiểm tra xem số (x; y; z) cho có nghiệm hệ phương trình tương ứng hay khơng 1 x 3y 2z 16 a) 5x y 3z 3x 7y z 14 (0; 3; –2), (12; 5; –13), (1; –2; 3); 3x y 4z 10 b) x y 2z 2x y z 8 (–2; 4; 0), (0; –3; 10), (1; –1; 5); x y z 100 c) 5x 3y z 100 (4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84) Lời giải: a) +) Thay số (0; 3; –2) vào phương trình thứ hệ ta được: + + (–2) = = (sai) Vậy số (0; 3; –2) nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho +) Thay số (12; 5; –13) vào phương trình thứ hệ ta được: 12 + + (–13) = = (đúng) Vậy số (12; 5; –13) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (12; 5; –13) vào phương trình thứ hai hệ ta được: 12 – + (–13) = 16 16 = 16 (đúng) Vậy số (12; 5; –13) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số (12; 5; –13) vào phương trình thứ ba hệ ta được: –3 12 + + (–13) = –14 –14 = –14 (đúng) Vậy số (12; 5; –13) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số (12; 5; –13) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (1; –2; 3) vào phương trình thứ hệ ta được: + (–2) + = = (đúng) Vậy số (1; –2; 3) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (1; –2; 3) vào phương trình thứ hai hệ ta được: – (–2) + = 16 16 = 16 (đúng) Vậy số (1; –2; 3) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số (1; –2; 3) vào phương trình thứ ba hệ ta được: –3 + (–2) + = –14 –14 = –14 (đúng) Vậy số (1; –2; 3) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số (1; –2; 3) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho b) +) Thay số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ hệ ta được: (–2) – + = –10 –10 = –10 (đúng) Vậy số (–2; 4; 0) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ hai hệ ta được: – (–2) + + = = (đúng) Vậy số (–2; 4; 0) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ ba hệ ta được: (–2) – + = –8 –8 = –8 (đúng) Vậy số (–2; 4; 0) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số (–2; 4; 0) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (0; –3; 10) vào phương trình thứ hệ ta được: – (–3) + 10 = –10 43 = –10 (sai) Vậy số (0; –3; 10) nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho +) Thay số (1; –1; 5) vào phương trình thứ hệ ta được: – (–1) + = –10 24 = –10 (sai) Vậy số (1; –1; 5) khơng phải nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho c) +) Thay số (4; 18; 78) vào phương trình thứ hệ ta được: + 18 + 78 = 100 100 = 100 (đúng) Vậy số (4; 18; 78) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (4; 18; 78) vào phương trình thứ hai hệ ta được: + 18 + 78 = 100 100 = 100 (đúng) Vậy số (4; 18; 78) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (4; 18; 78) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (8; 11; 81) vào phương trình thứ hệ ta được: + 11 + 81 = 100 100 = 100 (đúng) Vậy số (8; 11; 81) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (8; 11; 81) vào phương trình thứ hai hệ ta được: + 11 + 81 = 100 100 = 100 (đúng) Vậy số (8; 11; 81) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (8; 11; 81) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (12; 4; 84) vào phương trình thứ hệ ta được: 12 + + 84 = 100 100 = 100 (đúng) Vậy số (12; 4; 84) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (12; 4; 84) vào phương trình thứ hai hệ ta được: 12 + + 84 = 100 100 = 100 (đúng) Vậy số (12; 4; 84) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (12; 4; 84) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho Bài trang 11 Chun đề Tốn 10: Giải hệ phương trình: 4x 3y 5z 7 x y 2z x 2y 4z 2 2 4 a) 3y z b) 2y c) 3x 2y x 2z y z 10 10; 3; Lời giải: x 2y 4z x 2y 4z x 2y 4z x 2y 4z a) 3y z 3y z 3y 5 y 1 2z z 5 10 z 5 z 5 x 2. 1 4. 5 x 22 y 1 y 1 z 5 z 5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (22; –1; –5) 4x 3y 5z 7 4x 3y 5z 7 4x 3y 5z 7 y y b) 2y y z y z 2 z 3 4x 3y 5z 7 4x 3.2 5.1 7 x 2 y y y z z z Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (–2; 2; 1) x y 2z x y 2z x y 2z 3.10 2y y 14 c) 3x 2y x x 10 10 x 10 10 14 2z z y 14 y 14 x 10 x 10 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (2; –14; 10) Bài trang 11 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình: 3x y 2z a) 2x y 3z 6x y 4z 9; x 2y 6z b) x y 2z x 4y 2z 1; x 4y 2z c) 3x y z 2 5x 7y 5z Lời giải: 3x y 2z 3x y 2z 3x y 2z 3x y 2z a) 2x y 3z 5y 13z 8 5y 13z 8 5 1 13z 8 6x y 4z 6x y 4z y y 1 3x 1 2.1 x 3x y 2z 5. 1 13z 8 z z y 1 y 1 y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (2; –1; 1) x 2y 6z x 2y 6z x 2y 6z x 2y 6z 3y 4z 3y 4z 3y 4z b) x y 2z x 4y 2z 6y 8z 3y 4z 05 Phương trình thứ ba hệ vô nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm x 4y 2z x 4y 2z x 4y 2z c) 3x y z 2 13y 5z 13y 5z 5x 7y 5z 5x 7y 5z 13y 5z 3 Hai phương trình (2) (3) tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về: 6z 10 x 4y 2z x x 4y 2z 13 5z 5z y 13y 5z y 13 13 Đặt z = t với t số thực bất kì, ta có: x 6t 10 5t ,y 13 13 6t 10 5t Vậy hệ phương trình cho có vô số nghiệm (x ; y ; z) = ; ;t với t số 13 13 thực Bài trang 11 Chuyên đề Tốn 10: Tìm số đo ba góc tam giác, biết tổng số đo góc thứ góc thứ hai hai lần số đo góc thứ ba, số đo góc thứ lớn số đo góc thứ ba 20o Lời giải: Gọi số đo góc thứ nhất, thứ hai, thứ ba tam giác x, y, z (độ) Tổng góc tam giác 180o nên x + y + z = 180 (1) Theo đề ta có: x + y = 2z (2) x – z = 20 (3) x y z 180 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: x y 2z x z 20 x y z 180 x y z 180 x y z 180 x y 2z 3z 180 x y 2z x z 20 x z 20 y 2z 200 x y z 180 x 80 60 180 x 40 z 60 z 60 z 60 y 2.60 200 y 80 y 80 Vậy số đo ba góc tam giác cho 40o, 800, 60o Trang 12 Bài trang 12 Chuyên đề Toán 10: Bác Thanh chia số tiền tỉ đồng cho ba khoản đầu tư Sau năm, tổng số tiền lãi thu 84 triệu đồng Lãi suất cho ba khoản đầu tư 6%, 8%, 15% số tiền đầu tư cho khoản thứ tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai thứ ba Tính số tiền bác Thanh đầu tư cho khoản Lời giải: Gọi số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba x, y, z (triệu đồng) Theo đề ta có: x + y + z = 1000 (1) Số tiền đầu tư cho khoản thứ tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai thứ ba, đó: x = y + z hay x – y – z = (2) Lãi suất cho ba khoản đầu tư 6%, 8%, 15% tổng số tiền lãi thu 84 triệu đồng nên 6%x + 8%y + 15%z = 84 hay 6x + 8y + 15z = 8400 (3) x y z 1000 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: x y z 6x 8y 15z 8400 Giải hệ ta x = 500, y = 300, z =200 Vậy số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba 500 triệu đồng, 300 triệu đồng 200 triệu đồng Bài trang 12 Chuyên đề Tốn 10: Khi bóng đá lên, đạt độ cao rơi xuống Biết quỹ đạo chuyển động bóng parabol độ cao h bóng tính công thức h at v t h , độ cao h độ cao ban đầu tính mét, t thời gian chuyển động tính giây, a gia tốc chuyển động tính m/s2, v0 vận tốc ban đầu tính m/s Tìm a, v0, h0 biết sau 0,5 giây bóng đạt độ cao 6,075 m; sau giây bóng đạt độ cao 8,5 m; sau giây bóng đạt độ cao m Lời giải: Theo đề ta có: t = 0,5 h = 6,075 t = h = 8,5 t = h = 1 a 0,5 v0 0,5 h 6,075 a v h 6,075 1 2 a.1 v h 8,5 a v h 8,5 2 a.2 v h 2a 2v h 3 1 a v h 6,075 8 1 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: a v h 8,5 2a 2v h Giải hệ ta a = –9,8; v0 = 12,2; h0 = 1,2 Bài trang 12 Chuyên đề Toán 10: Một cửa hàng bán đồ nam gồm áo sơ mi, quần âu áo phông Ngày thứ bán 22 áo sơ mi, 12 quần âu 18 áo phông, doanh thu 12 580 000 đồng Ngày thứ hai bán 16 áo sơ mi, 10 quần âu 20 áo phông, doanh thu 10 800 000 đồng Ngày thứ ba bán 24 áo sơ mi, 15 quần âu 12 áo phông, doanh thu 12 960 000 đồng Hỏi giá bán áo sơ mi, quần âu áo phông bao nhiêu? Biết giá loại ba ngày không thay đổi Lời giải: Gọi giá bán áo sơ mi, quần âu áo phông x, y, z (nghìn đồng) Theo đề ta có: Ngày thứ bán 22 áo sơ mi, 12 quần âu 18 áo phông, doanh thu 12 580 000 đồng nên 22x + 12y + 18z = 12580 (1) Ngày thứ hai bán 16 áo sơ mi, 10 quần âu 20 áo phông, doanh thu 10 800 000 đồng nên 16x + 10y + 20z = 10800 (2) Ngày thứ ba bán 24 áo sơ mi, 15 quần âu 12 áo phông, doanh thu 12 960 000 đồng nên 24x + 15y + 12z = 12960 (3) 22x 12y 18z 12580 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: 16x 10y 20z 10800 24x 15y 12z 12960 Giải hệ ta x = 250, y =320, z =180 Vậy giá bán áo sơ mi, quần âu áo phông 250 nghìn đồng, 320 nghìn đồng, 180 nghìn đồng Bài trang 12 Chuyên đề Toán 10: Ba nhãn hiệu bánh quy A, B, C cung cấp nhà phân phối Với tỉ lệ thành phần dinh dưỡng theo khối lượng, bánh quy nhãn hiệu A chứa 20% protein, bánh quy nhãn hiệu B chứa 28% protein bánh quy nhãn hiệu C chứa 30% protein Một khách hàng muốn mua đơn hàng sau: - Mua tổng cộng 224 bánh quy bao gồm ba nhãn hiệu A, B, C - Lượng protein trung bình đơn hàng (gồm ba nhãn hiệu A, B, C) 25% - Lượng bánh nhãn hiệu A gấp đơi lượng bánh nhãn hiệu C Tính lượng bánh quy loại mà khách hàng đặt mua Lời giải: Gọi lượng bánh quy nhãn hiệu A, B, C mà khách hàng mua x, y, z (cái) Theo đề ta có: Khách hàng mua tổng cộng 224 bánh quy nên x + y + z = 224 (1) Lượng protein loại bánh A, B, C là: 20%x, 28%y, 30%z Vì lượng protein trung bình 25% nên 20%x 28%y 30%z 25% (2) xyz 20%x 28%y 30%z 25% x y z 20x 28y 30z 25 x y z 5x 3y 5z 3 Lượng bánh nhãn hiệu A gấp đôi lượng bánh nhãn hiệu C nên x = 2z hay x – 2z = x y z 224 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: 5x 3y 5z x 2z Giải hệ ta x = 96, y = 80, z = 48 Vậy lượng bánh quy nhãn hiệu A, B, C mà khách hàng mua 96, 80, 48 Bài trang 12 Chun đề Tốn 10: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hệ phương trình sau: x 2y 3z a) 2x y 2z 3 2x 3y z x 3y z 0 b) 5y 4z x 2y 3z 1 1 x y 3z c) 3x 5y z 3 x 4y 2z Lời giải: a) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE – = = – = = = = = – = – = – = = = = Ta thấy hình x = –4 Ấn tiếp phím = ta thấy hình y 11 Ấn tiếp phím = ta thấy hình z 12 11 12 Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ; z) = 4; ; 7 b) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE = – = = = = = – = = = = – = – = = Ta thấy hình No-Solution Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm c) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: MODE = = – = – = = – = – = – = –1 = 4= – 2= = = Ta thấy hình Infinite Sol Vậy hệ cho có vơ số nghiệm ... phương trình (2), ta được: 4y – = –1 3 4y – = –1 3 4y = (–1 3) + 4y = –4 y = (–4 ) : y = –1 – Thế y = –1 , z = vào phương trình (1), ta được: x + (–1 ) – = –4 x – = –4 x = (–4 ) + x =... – (–3 ) + 10 = ? ?10 43 = ? ?10 (sai) Vậy số (0; –3 ; 10) khơng phải nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho +) Thay số (1; –1 ; 5) vào phương trình thứ hệ ta được: – (–1 ) + = ? ?10. .. trang Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình sau: 4y 3z 1 3(2) 5z 15(3) (III) Lời giải: Để giải hệ phương trình (III), ta làm sau: – Từ phương trình (3), ta có: z = (–1 5) : (–5 ) = –