CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1 ELIP Trang 39, 40 Hoạt động 1 trang 39 Chuyên đề Toán 10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là 2 2 2 2 x y 1 a b ,[.]
CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI ELIP Trang 39, 40 Hoạt động trang 39 Chuyên đề Toán 10: x y2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh tắc , a b a > b > (Hình 2) a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 (E) b) (E) cắt trục Ox điểm A1, A2 cắt trục Oy điểm B1, B2 Tìm độ dài đoạn thẳng OA2 OB2 Lời giải: a) Toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 (E) F1 a b ; , F2 a b2 ; b) +) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ A2 có dạng x A ; Mà A2 thuộc (E) nên x 2A a 2 x A2 a 02 2 x a A2 x a b2 A2 Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trục Ox nên x A2 x A2 a A2(a; 0) Khi OA2 = a 0 0 2 a a (vì a > 0) Vậy OA2 = a +) Vì B2 thuộc trục Oy nên toạ độ B2 có dạng 0; yB 2 yB b 02 y B2 Mà B2 thuộc (E) nên y 2B b a b y B2 b Ta thấy B2 nằm bên điểm O trục Oy nên yB2 yB2 b B2(0; b) Khi OB2 = 0 b 0 2 b2 b (vì b > 0) Vậy OB2 = b Hoạt động trang 40 Chuyên đề Toán 10: x y2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình tắc 1, a b a > b > Cho điểm M(x; y) nằm (E) (Hình 3) a) Gọi M1 điểm đối xứng M qua trục Ox Tìm toạ độ điểm M1 Điểm M1 có nằm (E) hay không? Tại sao? b) Gọi M2 điểm đối xứng M qua trục Oy Tìm toạ độ điểm M2 Điểm M2 có nằm (E) hay không? Tại sao? c) Gọi M3 điểm đối xứng M qua gốc O Tìm toạ độ điểm M Điểm M3 có nằm (E) hay khơng? Tại sao? Lời giải: x y2 Theo đề bài, M(x; y) nằm (E) nên ta có: a b a) M1 điểm đối xứng M qua trục Ox, suy M1 có toạ độ (x; –y) x2 y x y2 Ta có Do M1 thuộc (E) a b a b b) M2 điểm đối xứng M qua trục Oy, suy M2 có toạ độ (–x; y) Ta có x a2 y2 x y2 Do M2 thuộc (E) b2 a b2 c) M3 điểm đối xứng M qua gốc O, suy M3 có toạ độ (–x; –y) Ta có x a2 y b2 x y2 Do M3 thuộc (E) a b Trang 41 Hoạt động trang 41 Chuyên đề Toán 10: a) Nêu nhận xét vị trí bốn đỉnh elip (E) với bốn cạnh hình chữ nhật sở b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E) Tìm giá trị nhỏ lớn x y Lời giải: a) Bốn đỉnh elip trung điểm cạnh hình chữ nhật sở x y2 b) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) a b x2 y2 +) Vì nên x a –a ≤ x ≤ a a b Do đó: Giá trị nhỏ x –a x = –a, y = Giá trị lớn x a x = a, y = y2 x2 +) Vì nên y b – b ≤ y ≤ b b a Do đó: Giá trị nhỏ y –b x = 0, y = –b Giá trị lớn y b x = 0, y = b Luyện tập trang 41 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình tắc elip, biết A1(– 4; 0) B2(0; 2) hai đỉnh Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc elip cho (a > b > 0) a b Elip cho có hai đỉnh A1(– 4; 0) B2(0; 2) nên a = 4, b = a = 2, b = Mà a > b nên a = 4, b = x y2 x y2 Vậy phương trình tắc elip cho hay 16 4 Hoạt động trang 41 Chuyên đề Tốn 10: Quan sát elip (E) có phương trinh tắc x y2 , a > b > hình a b2 chữ nhật sở PQRS (E) (Hình 5) a) Tính tỉ số hai cạnh b) Tỉ số QR hình chữ nhật PQRS PQ QR phản ánh đặc điểm (E) hình dạng? PQ Lời giải: a) Ta thấy Q(a; b), R(a; –b) nên QR = Ta thấy P(–a; b), Q(a; b) nên PQ = Vậy a a b b a a b b 2 2b 2a 2 2b 2a QR 2b b PQ 2a a b) Tỉ số b phản ánh cụ thể hình dạng (E) sau: a – Nếu tỉ số b bé hình chữ nhật sở "dẹt", (E) "gầy" a – Nếu tỉ số b lớn b gần a hình chữ nhật sở gần với hình a vng, (E) "béo" Trang 42, 43 Luyện tập trang 42 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình tắc elip (E), biết tiêu cự 12 tâm sai Lời giải: x y2 Gọi phương trình tắc elip cho (a > b > 0) a b Theo đề elip có tiêu cự 12 2c = 12 c = Elip có tâm sai c 3 a = 10 b a c2 102 62 a 5 a Vậy phương trình tắc elip cho x y2 x y2 hay 100 64 102 82 Hoạt động trang 43 Chuyên đề Toán 10: Giả sử đường elip (E) tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF + MF2 = 2a, F1F2 = 2c với < c < a Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc trung điểm đoạn thẳng F1F2 Trục Oy đường trung trực F1F2 F2 nằm tia Ox (Hình 8) Khi đó, F1(– c; 0), F2(c; 0) tiêu điểm elip (E) Giả sử điểm M(x; y) thuộc elip (E) Chứng minh rằng: a) MF12 = x2 + 2cx + c2 + y2; b) MF22 = x2 – 2cx + c2 + y2; c) MF12 – MF22 = 4cx Lời giải: a) MF12 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 b) MF22 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2 c) MF12 – MF22 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx Trang 44, 45 Hoạt động trang 44 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng đẳng thức c) đẳng thức MF1 + MF2 = 2a, chứng minh: a) MF1 – MF2 = 2c x; a b) MF1 = a + c x; a c) MF2 = a – c x a Lời giải: a) MF12 – MF22 = 4cx (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx 2a(MF1 – MF2) = 4cx MF1 – MF2 = 4cx 2c = x a 2a b) Từ MF1 + MF2 = 2a MF1 MF2 (MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = 2a + 2c 2c c x 2MF1 = 2a + x MF1 = a + x a a a c) Từ MF1 + MF2 = 2a MF1 MF2 (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2a – 2c x ta suy ra: a 2c x ta suy ra: a 2c 2c c x 2MF2 = 2a – x MF2 = a – x a a a Luyện tập trang 45 Chuyên đề Toán 10: x y2 với tiêu điểm F2 ( 5;0) Tìm toạ độ điểm M (E) cho Cho elip (E): độ dài F2M nhỏ Lời giải: Có a2 = 9, suy a = Gọi toạ độ M (x; y) Theo cơng thức độ dài bán kính qua tiêu ta có F2M = – Mặt khác, M thuộc (E) nên x ≤ x 5 5 x 3 x 5 x 3 3 F2M = – x≥3– Đẳng thức xảy x = Vậy độ dài F2M nhỏ M có hồnh độ 3, tức M trùng với đỉnh (3; 0) elip Hoạt động trang 45 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip (E) có phương trình tắc (a > b > 0) Xét đường thẳng Δ1: a b a x= e Với điểm M(x; y) (E) (Hình 9), tính: a) Khoảng cách d(M, Δ1) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng Δ1 b) Tỉ số MF1 d M, 1 Lời giải: a) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 dạng: x 0y thuộc (E), ta có: d M, 1 x 0y 12 02 a e a Với điểm M(x; y) e | a ex | e b) Do MF1 = a + ex > nên MF1 = |a + ex|, suy d M, 1 Trang 46, 47 Luyện tập trang 46 Chuyên đề Toán 10: MF1 MF1 Vậy e d M, 1 e Viết phương trình tắc elip, biết tiêu điểm F2(5; 0) đường chuẩn ứng với tiêu điểm x = 36 Lời giải: Elip có tiêu điểm F2(5; 0) nên c = Theo đề ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(5; 0) x = 36 a 36 a 36 a 36 a 36 a 36 Suy c e c 5 a Suy b2 = a2 – c2 = 36 – 52 = 36 – 25 = 11 Vậy phương trình tắc elip cho x y2 36 11 Hoạt động trang 46 Chuyên đề Tốn 10: x y2 Cho elip (E) có phương trình tắc (a > b > 0) Xét đường tròn (C) a b tâm O bán kính a có phương trình x2 + y2 = a2 Xét điểm M(x; y) (E) điểm M1(x; y1) (C) cho y y1 dấu (khi M khác với hai đỉnh A1, A2 (E)) (Hình 10) a) Từ phương trình tắc elip (E), tính y2 theo x2 Từ phương trình đường trịn (C), tính y12 theo x2 b) Tính tỉ số Lời giải: HM y theo a b HM1 y1 a x b2 x y2 y2 x2 a2 x2 y ; a) Ta có: a b b a a2 a2 x y12 a y12 a x a y2 b) Từ a) ta suy y1 x b2 a2 a2 x2 b2 y b HM y b Vậy a y1 a HM1 y1 a Hoạt động trang 47 Chuyên đề Toán 10: x y2 Vẽ elip(E) : 25 Lời giải: Để vẽ elip (E), ta làm sau: Ta thấy a = 5, b = (E) có đỉnh A1(– 5; 0), A2(5; 0), B1(0; – 3), B2(0; 3) Bước Vẽ hình chữ nhật sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = – 5, x = 5, y = – 3, y = 9 Bước Tìm số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm M 4; điểm 5 9 9 9 12 N 3; thuộc (E) Do điểm M1 4; ,M 4; ,M3 4; , 5 5 5 5 12 12 12 N1 3; , N 3; , N3 3; , thuộc (E) 5 5 5 Bước Vẽ đường elip (E) qua điểm cụ thể trên, nằm phía hình chữ nhật sở tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở bốn đỉnh (E) A1(–5; 0), A2(5; 0), B1(0; –3), B2(0; 3) Trang 48 Bài trang 48 Chuyên đề Tốn 10: Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn tiêu điểm F1(–2; 0); b) Tiêu cự 12 tâm sai c) Tâm sai ; 5 chu vi hình chữ nhật sở (E) 20 Lời giải: x y2 a) Gọi phương trình tắc elip cho (a > b > 0) a b Theo đề ta có: – Độ dài trục lớn 6, suy 2a = 6, suy a = 3, suy a2 = – Elip có tiêu điểm F1(– 2; 0), suy c = 2, suy b2 = a2 – c2 = 32 – 22 = x y2 Vậy phương trình tắc elip cho x y2 b) Gọi phương trình tắc elip cho (a > b > 0) a b Theo đề ta có: – Elip có tiêu cự 12, suy 2c = 12, suy c = 6, suy c2 = 36 – Elip có tâm sai c , suy a 10 a a 5 b a c2 102 62 x y2 Vậy phương trình tắc elip cho 100 64 x y2 c) Gọi phương trình tắc elip cho (a > b > 0) a b Theo đề ta có: c c2 a b 5 b2 – Elip có tâm sai 2 1 , suy a a a2 a b2 b 2 b a 1 a a 3 – Chu vi hình chữ nhật sở elip 20 2a 2b 20 a b Thế (1) vào (2) ta 2 a a a a b a 3 3 x y2 x y2 Vậy phương trình tắc elip cho hay Bài trang 48 Chuyên đề Toán 10: Tìm tâm sai elip (E) trường hợp sau: a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé; b) Khoảng cách từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục bé tiêu cự Lời giải: a) Gọi độ dài bán trục lớn bán trục bé a b, ta có a = 2b 2 3a a a b a a 2 Suy c = 2 a c Vậy tâm sai elip e a a b) Giả sử elip có đỉnh trục lớn A(a; 0) (a > 0) đỉnh trục bé B(0; b) (b > 0) Khi theo đề ta có AB = 2c = a b2 0 a b 0 2 a b2 a b2 a b2 3 3a 5b b a c a a a 5 c2 c 10 2 a a 5 Vậy elip có tâm sai 10 Bài trang 48 Chuyên đề Toán 10: Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo đường elip mà Mặt Trời tiêu điểm Biết elip có bán trục lớn a ≈ 149598261 km tâm sai e ≈ 0,017 Tìm khoảng cách nhỏ lớn Trái Đất Mặt Trời (kết làm tròn đến hàng đơn vị) Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 elip Khi đó, áp dụng cơng thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách Trái Đất Mặt Trời là: MF1 = a + ex với x hoành độ điểm biểu diễn Trái Đất –a ≤ x ≤ a Do a + e (–a) ≤ MF1 ≤ a + e a hay 147055090 ≤ MF1 ≤ 152141431 Vậy khoảng cách nhỏ lớn Trái Đất Mặt Trời 147055090 km 152141431 km Bài trang 48 Chuyên đề Tốn 10: x y2 Tìm toạ độ điểm M (E) cho độ dài F2M lớn nhất, biết Cho elip (E) : 25 F2 tiêu điểm có hồnh độ dương (E) Lời giải: Elip (E) có phương trình x y2 a2 = 25 b2 = a = b = 25 c2 = a2 – b2 = 25 – = 16 c = Gọi toạ độ M (x; y) Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có: MF2 = a – ex = a – c x = – x a Mà x ≥ –a hay x ≥ –5 MF2 ≤ – 4 x ≥ (–5) – x ≤ –5 5 (–5) MF2 ≤ Đẳng thức xảy x = –5 Vậy độ dài F2M lớn M có toạ độ (–5; 0) Bài trang 48 Chun đề Tốn 10: Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng phòng bảo tàng với mái vòm trần nhà phịng có dạng nửa đường elip Chiều rộng phòng 16 m, chiều cao tượng m, chiều cao mái vòm m a) Viết phương trình tắc elip biểu diễn mái vòm trần nhà hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị hai trục mét) b) Một nguồn sáng đặt tiêu điểm thứ elip Cần đặt tượng vị tri có toạ độ để tượng sáng rõ nhất? Giả thiết vòm trần phản xạ ánh sáng Biết rằng, tia sáng xuất phát từ tiêu điểm elip, sau phản xạ elip thi qua tiêu điểm lại Lời giải: x y2 a) Gọi phương trình tắc elip cần tìm (a > b > 0) a b Nhìn hình vẽ ta thấy: – Độ dài trục lớn elip 16 2a = 16 a = (m) – Độ dài bán trục bé elip b = (m) x y2 x y2 Vậy phương trình tắc elip cần tìm hay 64 32 b) Vì tia sáng xuất phát từ tiêu điểm elip, sau phản xạ elip thi qua tiêu điểm lại nên để tượng sáng rõ ta đặt tượng tiêu điểm cịn lại Toạ độ vị trí (c; 0) Có c = a b2 82 32 64 55 Vì tượng cao m nên ta cần đặt tượng vị trí có toạ độ 55; ... – c x = – x a Mà x ≥ –a hay x ≥ –5 MF2 ≤ – 4 x ≥ (–5 ) – x ≤ –5 5 (–5 ) MF2 ≤ Đẳng thức xảy x = –5 Vậy độ dài F2M lớn M có toạ độ (–5 ; 0) Bài trang 48 Chun đề Tốn 10: Hình 11 minh hoạ... 44 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng đẳng thức c) đẳng thức MF1 + MF2 = 2a, chứng minh: a) MF1 – MF2 = 2c x; a b) MF1 = a + c x; a c) MF2 = a – c x a Lời giải: a) MF12 – MF22 = 4cx (MF1 + MF2)(MF1 –. .. 2a MF1 MF2 (MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2a – 2c x ta suy ra: a 2c x ta suy ra: a 2c 2c c x 2MF2 = 2a – x MF2 = a – x a a a Luyện tập trang 45 Chuyên đề Toán 10: x y2 với tiêu điểm