VIETMATHS.NET ° © 22 9 2 Chuong MENH DE - TẬP HỢP @ $1 MENH DE
A TOM TAT GIAO KHDA
Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc sai Một - câu khăng định đúng gọi là một mệnh đề đúng, một câu khăng định sai gọi là một mệnh đề sai Một mệnh đề khơng thẻ vừa đúng vừa sai
Cho mệnh đề + Mệnh đề “khơng phải P” được gọi là mệnh đê phủ định của P và kí hiệu là P Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu khẳng định trái ngược nhau Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
Cho hai mệnh đề P va Q Mệnh đề “Nếu P thi Q” duoc goi 1a ménh đề kéo
theo va ki hiệu là P>Q Mệnh đề P=>Q sai khi P đúng, Q sai và đúng
trong các trường hợp cịn lại |
Cho ménh dé P => s2 Mệnh đề O— P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề
P>Q
Cho hai mệnh dé P va Q Mệnh đề cĩ dạng “P nếu và chỉ nếu Ở” được gọi là mệnh đê ương đương và kí hiệu là P © QO Mệnh đề P © @ đúng khi và chi khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai
Mệnh đê chứa biến P(x) là một câu chứa biến (khơng phải là mệnh dé dung hay sai), nhưng với mỗi giá trị của biến x x trong tập xác định X nào đĩ ta được một mệnh đè :
Cho mệnh để chứa biến P() với xe X Khi đĩ khăng định “với mọi x thuộc X, P(x) đúng” là một mệnh đề Mệnh đề này sai nếu cĩ Xp € X sao cho P(xạ)
Trang 2SN A RS ae Lek kẻ ty TẾ an ch ¬ ˆ
\>¿ Cho mệnh đề chứa biên P(x) với xe 4’ Khi đĩ khăng định “tơn tại x thuộc X, — P() đúng” là một mệnh để Mệnh đề này đúng nều cĩ xạ X sao cho P(xạ)
là một mệnh đề đúng Mệnh đề trên được kí hiệu là “3x e X, P(x)” (>) Ménh đề phủ định của “Vxe Y, P(+)” là 3xe X, P@Œ)
Mệnh đê phủ định của “3x X, P(x)” là Vxe X, P(x)
8 PHUONG PHAP GIAI TO È Vấn đề 1 Xác định mệnh đề, tính đúng sai của mệi „1 PHƯƠNG PHÁP Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đứng sài a chúng Lưu ý rằng : * P,P khơng cùng tính đúng sai ý
* P => Q chỉ sai khi P đúng, sa «
* P<>Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Ĩ đều đúng hay đều sai * Wxe X,P(x) dúng khi P(xạ) đún * 3xe X,P(x) đúng khi cĩ xọ X: sao chĩ P(xạ) đúng ˆ 2 Vi ou
Trang 3VIETMATHS.NET h) n 1a s6 chin néu va chi nếu ø“ chia hết cho 4 i) Jn € N,n? —n khong 1a bi cuia 3 j) Vee R,x7-x+1>0 Gidi a) Đây là mệnh đê đúng
b) Đây là câu hỏi, khơng phải là mệnh đè
_e) Đây là mệnh đề sai vì phương trình cĩ nghiệm x = 2 d) Day là câu cảm, khơng phải là mệnh đề |
e) Đây khơng phải là mệnh đề Ta cĩ đây là mệnh đề chứa biến
f) Đây là mệnh đề sai vì ø là số chăn nhưng ø chưa chắc chia hết cho 4 ø) Đây là mệnh đề đúng h) Đây là mệnh đề đúng ¡) Đây là mệnh dé sai vi VneN, n° —n=(n-1)n(n41) : 3 j) Day la ménh dé dung 3 BÀI TẬP Bài 1 Tìm mệnh đề trong các câu sau và cho biết chúng đúng hay sai ? — a) § là số chẵn |
_b) Néu AB* + AC? = BC? thì tam giác 4BC vuơng
c) 2 cĩ phải là số nguyên tơ khơng 2 |
d) Hém nay trời khơng mưa, chúng ta đi xem ca nhạc nhé ! e) Nếu phương trình bậc hai cĩ A >0 thì nĩ cĩ nghiệm
Trang 4Mệnh đề phủ định của “Vx X, P(x)” là 3xe X, P(x) Mệnh đề phủ định của “ 3x X, P(x)” là Vxe X, PŒ) Mệnh đề Q => P là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Ĩ 2 Vi DU
1% đụ 1 Tìm mệnh đề đáo của mệnh dé sau va cho biết ménh dé dao nay dung
hay sai : “Nếu hai gĩc đối đỉnh thì chúng bằng nhau” Giải Mệnh để đã cho cĩ dạng : P => QO trong đĩ P là “h gĩc bằng nhau” Vậy mệnh đề đảo là “Nếu hai gĩc ba đỉnh” Mệnh đề này sai Ốc đơi đình”, O là “hai hau thi ching déi 4 du 2 Tim ménh dé phủ định của các mệnh để sau và cho biết chúng đúng hay sai ; a) P=“Vre R,(x-1)° >0” b) @ = “Cĩ một tam giác khơng cĩ gĩc # a) Mệnh đề phủ định của P là P =* b) Mệnh để phủ định của Q 1a O 60°”, Đây là mênh đề sai vì tả A ——*—.- ^ © le e3 ` oy 3 E œ o wm fa 3 BÀI TẬP Bài 2 Nêu mệnh để phủ định củ định đĩ đúng hay sai?
ác mệnh để sau và cho biết chúng đúng hay sai ? Vì sao ?
Trang 5VIETMATHS.NET
b) Nếu tam giác cĩ hai gĩc bằng 60” thì tam giác đĩ đều c) Nếu ø là số nguyên lẻ thì 3z + 1 là số nguyên chẵn
d) Phương trình bậc hai ax?+bx+c=0 cĩ a, c trai dấu thì nĩ cĩ hai
nghiệm phân biệt
Bài 4 Cho tam giác 48C cĩ 47 là trung tuyến Xét hai mệnh đề sau :
P: “Tam giác 415C vuơng tại A”;
Q:“4I bang một nửa cạnh 8C”
a) Viết mệnh dé P Ĩ, chứng minh đây là mệnh đề đúng
b) Phát biểu mệnh đề P © @, chứng minh đây là mệnh đề đúng
Bài 5 Cho mệnh đề chita bién P(x) : “x4 =x?
a) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau : P(0), P(1), P(2) b) Dùng kí hiệu V, 3 để sửa P(x) thành mệnh đề đúng
Bài 6 Viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sạu, mệnh đề phủ định này đúng hay sai ? Vì sao ?
a) Vxe R,x*-x+1>0
b) axe R,x* -6x+9<0
c) VneN,m—n:3
§2 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ
VÀO SUY LUẬN TỐN HỌC A TOM TAT BIÁU KHA |
@ Trong tốn “hoc, định lí là một mệnh đề đúng Nhiều định lí được phát biểu dudi dang “Vx e X » P(x) => Q(x)” trong d6 P(x) va O(x) la các mệnh đề chứa
biến, X là tập hợp nào đĩ
Trang 6Ơ>Ì Mệnh đề “Vxe Y,O(x) = P(@œ)” (2) là mệnh đề đảo của định lí (1) Nếu
mệnh đề (2) đúng thì nĩ được gọi là định 1í đáo của định lí (1) Khi đĩ định lí
(1) gọi là định 1í thuận Định lí thuận và đảo cĩ thê viết gộp thành định lí “Wx eX, P(x) <= O(x)”, doc là P() là điều kiện cần và đủ để cĩ ỢŒ) H PHƯƠNG PHÁP BIẢI THÁN' Š Vấn đề † Phương pháp chứng mỉnh phản chứng 1 PHƯƠNG PHÁP * Để bải yêu cầu chứng mình ?(x) => Qœ) Xã @(&) của đnhH gs * Gia sit O(x) sai ta suy ra vơ lí (kết hợp với 2 Vi ov
Chứng minh răng : “Nếu nhốt h con thỏ Ý
Giả sử khơng cĩ chuồng nào cĩ nhiề Suy ra mỗi chuồng cĩ tối đa mộ Suy ra số thỏ tối đa là # con oo
Vậy cĩ một chuồng cĩ nhiều hờn-một con thỏ
3 BAI TAP
Bài 1 Chứng minh nếu zˆ là số chẫn thì ø cũng là số chin
Trang 7VIETMATHS.NET % Van dé 2 Phát biểu định li, định lí đảo dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ I1 PHƯƠNG PHÁP * Một định lí thường cĩ dạng “ Vx e Y, P(x) => Q(x)”, xdc định P@), Qœ).`
* Lấy xe X sao cho P(x) đúng, chứng minh Q(x) dung
* P(x) là diéu kién du dé cd O(x) hay Q(x) 1a diéu kién cần dé c6 P(x) 2 Vi DU | Vi du 1 Chứng minh rằng nếu ø là số nguyên lẻ thì 3z + 2 cũng là số nguyên lẻ Giải | Lay sé nguyén lén,n=2k+ 1 (klasé nguyén) =3n+2=3(2k +])+2=6k+5=2(3k+2)+l => 3n+ 2 lẻ (đpcm) | Vi du 2 Sir dung thuat ngir “diéu kién can”, “diéu kién đủ” phát biểu các định li sau : |
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng cĩ diện tích bằng nhau
b) Nếu ø + b > 0 thì ít nhất cĩ một số ø hay b dương |
| Gidi
a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác cĩ diện tích bằng
nhau Hai tam giác cĩ diện tích băng nhau là điêu kiện cân dé chung bang nhau
b)a+ b> 0 là điều kiện đủ để trong hai số a, b cĩ ít nhất một số dương Trong
hai sơ a, ð cĩ ít nhât một sơ dương là điêu kiện cân đê cĩ a + ư > 0
3 BAI TAP’
Bài 3 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” dé phát biểu các định lí sau :
a) Néu ABCD là hình thoi thì chúng cĩ hai đường chéo vuơng gĩc b) Nếu 4BCD là hình chữ nhật thì chúng cĩ hai đường chéo bằng nhau c) Nếu một số nguyên dương lẻ là tổng của hai số chính phương thì số
Trang 8Bài 4 Sử dụng thuật ngữ “điêu kiện cần” đề phát biêu các định lí sau : a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chứng đồng dang
a) Tam giác ABC vuơng tại 4 khi và chỉ khi AB? +
Trang 10Bài 2 Cho A = {2; 3: 4; 5; 6}; B=|xeZ|-3<x<2}; C=[xeN|2x?~5x+2 =0},
a) Ding phương pháp liệt kê phần tử xác định các tap h¢
b) Xác định cac tap hop sau: AN B,BOAC,AQNC
c) X4c dinh cdc tap hop sau: AUB,BUC,AUC |
đ) Xác dinh cac tap hop sau: 4\B,B\C,A\C Bài 3 Cho 4 ={0;:2;4;6;8§;10};B=({0;1;2; 3: 3 C={14;5;6;7;8;9; 10) Hay liệt kê phần tire a các tập hợp dưới đây a) AN(BOC); b) AU(BUC); h c) AN(BUC); d) AU(BNC); e) (ANB)UC Bài-4 Tìm tất cả các tập con của tập hợp 4 $ Vấn đẻ 2 Xác định tận hợp và các phét 4 ên tập hợp các số thực 1 PHUONG PHAP |
* Biểu diễn các tập hợp lên‡
Trang 11VIETMATHS.NET -2 b) (-2 ; 15)U(3 ; +00) =(-2 : +00) | 2 -1 2 c) (0; 2)U[-13 1) =[-1; 2) LLL LM Sf} > ¥ d) (-0 ;1)U(-1; +0)=R ` Hình 1.1 1% đụ 2 Xác định các tập hợp sau và biêu diễn chúng trên trục số : a)[-l12;3)¬(C1;4]; | b)4; 70C 7;-4); c) (2; 3) [335); d) (-00 3 1) (-1; +00) ee Giải a) [—12 ; 3)(—1; 4]=[—1; 3] a oe b)(4;7)¬(-7;-4)=Ø.- | Na sa c)(2:3)a [3;5)= Ø _ —2111/12—* đ)(—œ ; l) (l1; +œ)=(-—I ; l) “2> Hình 1.2 3 BÀI TẬP Bài 5 Cho 4= {2;3;4;5;6;7);B={0;2;4; 6; 8} Tìm tất cả các tập X sao cho X c 4 và X c Ưð Bai 6 Cho 4=[-2 ; 4]; B=(2;+0); C=(-0 ;3)
Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số
a) AUB;BUC ;AUC; b) ANB;BOC ;ANC,;
c) A\B;B\A; d) R\A;R\B;R\C
Bai 7 Cho tap hop A = {a;53¢;d;e;f; g} Tim tất cả tập con cé 6 phan tir cha A Bai 8 Tim m sao cho : (m—7 ; m)c(-4;3)
Trang 12% Van dé 3 cee prey ¢ 1d ok À Giải bài tốn băng biêu đơ Venn 1 PHƯƠNG PHÁP
*-Vẽ các vịng trịn đại diện các tập hợp (mỗi vịng trịn là mộttập hợp), lưu ý hai vịng trịn cĩ phần chung nêu giao của hai tập hợp * Dung cac biến để chỉ số © phan tử của từng phân khơng giao nhau, z VÍ HỤ ¬
Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, lớp 10 ` bạn được cơng nhận học sinh giỏi Văn, 25 bạn học sinh giỏi Tốn Tìm số học sinh giỏi cả Văn và Tốn biết lớp 10A cĩ 45 học sinh và cĩ 13 học sinh ạt học sinh giỏi
13 = 32 (hoc sinh)
32 = 10 (học sinh)
Số bạn được cơng nhận học sinh giỏi
Số học sinh giỏi cả Văn và Tốn là : 34 3 BAI TAP
Bai 10 Trong sé 45 học Xinh của Note 10A cĩ 15 bạn được xếp học lực giỏi, 20 bạn được khen thường, biết rằng muốn được "phải cĩ học lực giỏi hay hạnh kiệm t tốt ?
Trang 13VIETMATHS.NET
BAI TAP ON CUOI CHUONG 1
A BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1 Phát biểu nào sau đây là mệnh đề ? a) Phở là mĩn ăn của người Việt Nam
b) Hơm qua trời đẹp qua ! c)6:2=3 d)6ĩ—2=3 e) 929 Bài 2 Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau : Bài 3 a) 2007 là số nguyện tố
b) Phuong trinh x7 —3x+2=0 v6 Nabi
c) Vne N; n> —n chia hét cho 2
d) VxeR: x 2T—2x+2>0
Cho mệnh đề : “Nếu tam n giác cân thì nĩ cĩ hai đường trung tuyến bằng
nhau”
_a) Chứng minh mệnh đề trên đúng _
b) Phát biểu mệnh đề trên dùng thuật ngữ “điều kiện cần”
c) Phát biểu mệnh đề trên dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”
d) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đẻ trên và cho biết mệnh đề đảo đúng
hay sai
Bài 4 Chứng minh ^/5 là số vơ tỉ
Trang 14i) (AUB)UC : AU(BUC) GI) (AR BYAC :AR(BAC) HD) AU (BAC); (AUB)AN(AUC) -ivyA¬(BUC); (4 B}U(41CY Bài 6 Cho các tập hợp 4={xeR|~3<x<1); #={xeRl: : Care RI 22}, : Bai 7
khong dat loai gidi bat ki mơn nao, 5 em dat
chỉ đạt loại giỏi một mơn Bai 8 # sao cho: a) B, < By B BALT
1 Trong các câu sau, câu nà khơn phải là mệnh đề ?
a) Paris cĩ phải là thủ đơ của nước Pháp khơng ?
b) Paris là thủ đơ của nước Pháp, c) V3 là số nguyên
d) Tam giac ABC luén'e
2 Cho ménh dé “Phu inh x°+2x+1=0 cĩ nghiệm” Tìm mệnh đề phủ
Trang 15VIETMATHS.NET
c) “Phuong trinh x7 +2x+1=0 v6 nghiém” Day la ménh dé sai
d) “Phuong trinh x? +2x41 =0 vơ nghiệm” Đây là mệnh đẻ đúng Trong các mệnh đề sau, mệnh dé nao sai ?
a) 7<7; b) 7<10; czZ2>10; d)z2<l0,
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? a) Nếu a> thì a? >bŸ
b) Nếu zˆ >ð' thì a>b
c) Nếu a chia hết cho 9 thi a chia hét cho 3
d) Néu a chia hét cho 3 thi a chia hét cho 9
- Trong các mệnh đê sau, mệnh đê nào cĩ mệnh đê đảo đúng ?
a) Nếu cả hai số chia hết cho 3 thì tổng hai số đĩ chia hết cho 3
b) Nếu hai tảm giác bằng nhau thì chúng cĩ điện tích băng nhau
c) Nếu số đĩ tận cùng bằng 0 thì nĩ chia hết cho 5
Trang 1610 mệnh đề nào đưới đây ? 11 14 16
Cho a, ở là hai số tự nhiên Mệnh để nào sau đây sai ?'
Trang 17VIETMATHS.NET 17 18 19, 20 21 22
Cho hai đa thức P(z) và O(x) Xét cac tap hop sau :
A={xeR|P(x)=0}; B={xeR|Q(x)=0}; C={xe R| P(x).O(x) =0} | Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
a) C=ANB; b) C=AUB;
c) C=A\B; d) C=B\A
Cho hai đa thức P{x) và Ĩ(z) Xét các tập hợp sau :
A={xeR|P(x)=0}; B={xeR|Q(x)=0}; c={xeR/Z2-0},
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
a) C=ANB; ' b)C=AUB; - c) C=A\B; d) C=B\A
Cho M =[-4; 7] va N =(-o ;-2)U(3 ;+0) Khidé MON la: a) [-4 ;-2]; | b) @; 7]; ©) [-4;—=2)0(; 7]; d) [-4 5-2) 4G; 7] Cho sé thực a < 0 Điều kiện cần và đủ để hai tập hợp (—œ ; 9a) và (< +2] cĩ giao khác rỗng là : a a) ~~ ca<d: b) 2 <aco: c) -2<a<0; đ) - <a<0 3 | 3 4 4 Tim ménh dé dung
a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để chúng đồng dạng b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng đồng dạng
c) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ đê chúng đồng dạng
- đ) Nếu hai tam giác đồng dạng thì chúng bằng nhau
Cho mệnh đề: “Với mọi số nguyên ø khơng chia hết cho 3, n* —1 chia hết cho 3”
- Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là mệnh đề nào dưới đây ?
a) “Tơn tại số nguyên ø khơng chia hết cho 3, n> -1 khơng chia hết cho 3” b) “Tơn tại số nguyên ø khơng chia hết cho 3, n* —1 chia hét cho 3”
c) “Tén tai sé nguyên ø chia hết cho 3, z” —1 khơng chia hết cho 3” — `,
Trang 1823 Tìm mệnh đề đúng
a) AC vuơng gĩc 8D là điều kiện cân để 48CD là hình thoi b) 4C vuơng gĩc BD 1a diéu kién du dé ABCD là hình thoi „ c) AC vuơng gĩc 8D là điều kiện cần và đủ đề ABCD 1a hin
d) Néu AC vuéng géc BD thi ABCD là hình thoi 24, Cho x là số thực, mệnh để nào sau đây đúng ? a) 12-3x>0=>x>4; b) 12-3x> c) 12-3x>0>3x>12;
a) “Néu / 1a trung diém AB thi Oï= AB” b) “Nếu / là trung diém 4B thi OJ 1 AB”
c) “Néu / la trung diém AB thi O/ //AB”
Trang 19VIETMATHS.NET HUONG DAN GIAI VA DAP SO CHUONG 1 $1 MENH 8E a) mệnh đề sai ; b) mệnh đề đúng : c) khơng là mệnh đè ; d) khơng là mệnh đề; e) mệnh đề đúng ; f khơng là mệnh đè ._a) Cĩ hữu hạn số nguyên tố (Sai)
-b) Một năm cĩ hơn 52 ngày chủ nhật (Đúng)
c) Cĩ số nguyên tơ chăn (Đúng)
d) Giải thưởng lớn nhất của Tốn học khơng phải giải Nobel (Đúng)
a) Néu (a+b) chia hét cho c thi a, b chia hét cho c (Sai)
b) Tam giác đều thì cĩ hai gĩc bang 60° (Dung) c) Nếu 3ø + 1 là số chẵn thi 7 là số lẻ (Đúng)
đ) Nếu phương trình bậc hai ax” +¿x+=0 cĩ hai nghiệm phân biệt thì a, c trái dấu (Sai)
P =Q: “Nếu tam giác 4BC vuơng tại 4 thì 47 bằng một nửa cạnh BC”
a) P(O) dung, P(1) dung, P(2) sai b) dxe R, P(x) dung
a) See Rx? —x+1<0 (Sai) b) Vxel,x“—6x+9 >0 (Sai)
c) ANEN, n° —n/3 (Sai)
$2 AP DUNG MENH iE VAO SUY LUAN TOAN HOC Giả sử V2 là số hữu tỉ = cĩ hai số m, n nguyên tố cùng nhau sao cho
V2 = Ta chimg minh m, n déu chia hết cho 2 n
a) ABCD 1a hinh thoi 1a diéu kién du dé cé hai duong chéo vuơng gĩc b) 4BCD là hình chữ nhật là điều kiện đủ để cĩ hai đường chéo băng nhau
Trang 20, 8) Hai tam giác đồng dạng là điều kiện cần để chúng băng nhau b) Hai gĩc đối bù nhau là điều kiện cần de tir giác ABCD ndi Hep
Trang 21
VIETMATHS.NET 9, m<5:;m>5:(Š;m 10 a) 25; b) 20 BÀI TẬP ON CUG!I CHUONG 1 A BÀI TẬP TỰ LUẬN 7 Gọi a, b, c lần lượt là số học sinh đạt loại giỏi một mơn, hai mơn, ba mơn Ta cĩ : a+b+c=39 a+2b+3c = 63 c=5
_ Tu do suy ra số em đạt loại giỏi một mơn là 20 em