Chuyên đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình vô tỷ (BM Toán - ĐH Phương Đông)

Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 1 1. 2 4 2x x x 2    2. x 4 1 x 1 2x     3. 2 x 4x 5 3x 17    4. 2 3 x 19x 20 4x 4    5. x 12 2x 1 x 3     PHẦN I PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH ► 2 B0 AB AB       ► B0 AB AB       ► B0 AB AB       ► 2 B0 A B A 0 AB           ► 2 A0 B0 AB B0 AB                  TỔNG QUÁT: Đối với những những phƣơng trình, bất phƣơng trình không có dạng chuẩn nhƣ trên, ta thực hiện: - Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa, - Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm, - Bình phƣơng cả hai vế để khử căn. VÍ DỤ - BÀI TẬP Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 1. 2 4 2x x x 2      2 2 2 x 2 0 4 2x x x 2 x2 x2 x3 x 0 x 3 x 3x 0                           Vậy: x3 2. x 4 1 x 1 2x     x 4 1 x 1 2x      Điều kiện: x 4 0 1 1 x 0 4 x 2 1 2x 0              2 x 4 2 3x 2 2x 3x 1       2 2 x 1 2x 3x 1     22 2 x 1 0 (2x 1) 2x 3x 1          22 2 x 1 0 4 x 4 x 1 2 x 3 x 1           2 1 x 2 2 x 7x 0         1 x 2 x0 7 x 0 x 2                So điều kiện nhận x0 Vậy: x0 3. 2 x 4x 5 3x 17    2 22 2 x 4x 5 0 3x 17 0 x 4x 5 (3x 17) x 1 x 5 x 1 x 5 17 17 xx 33 21 8x 98x 294 0 x x 7 4 x7                                               Vậy: x7 4. 2 3 x 19x 20 4x 4    2 2 2 4x 4 0 4x 4 0 3x 19x 20 0 3x 19x 20 (4x 4)                2 x1 x1 4 x 5 x 13x 51x 4 0 3                   x1 4 x 5 x 1 1 3 x4 13                  4 x 5 x 1 1 x 4 3          Vậy: 4 x 5 x 1 1 x 4 3          5. x 12 2x 1 x 3     x 12 x 3 2x 1      (*) CÁC DẠNG CƠ BẢN Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 2 Điều kiện: x 12 0 x 3 0 x 3 2x 1 0            (*) x 12 x 3 2x 1      2 2 x 12 x 3 2x 1 2 (x 3)(2x 1) 14 2x 2 (x 3)( 2x 1) (x 3)(2x 1) 7 x (x 3)(2x 1) 0 7 x 0 (x 3)(2x 1) 49 14x x 1 x x 3 2 x7 x 9x 52 0 1 x x 3 2 1 x 7 x 3 x 4 2 x 4 x 13                                                                         So điều kiện 3 x 4 . Vậy: 3 x 4 Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 1. 6 3 x 9 5x 3x      (1) Điều kiện: 3 x 0 9 x 9 5x 0 5       (1) 2 9 x 5x 24x 27     22 9 x 0 81 18x x 5x 24x 27           2 x9 4 x 6x 54 0 x9 9 x x 3 9 2 x x 3 2                         So điều kiện nhận x3 Vậy: x3 2. 2 x 16 5 x3 x 3 x 3      (2) Điều kiện: 2 x 4 x 4 x 16 0 x4 x3 x 3 0                Do x 3 0 nên quy đồng bỏ mẫu ta đƣợc: (2) 2 x 16 8 x    2 22 x 16 0 8 x 0 8 x 0 x 16 (8 x)                     x 4 x 4 x8 x8 16x 80                      x8 x5 5x8         So điều kiện nhận x5 Vậy: x5 3. 2 ( x 1) 16x 17 8x 15x 23     (3) Điều kiện: 17 1 6x 17 0 x 16      (3)   ( x 1) 16x 17 (x 1) 8x 23        ( x 1) 16x 17 8x 23 0      x1 1 6x 17 8x 23         2 x1 8 x 23 0 16x 17 64x 368x 529                x1 x1 23 x x4 8 x 2 x 4                       So điều kiện nhận x1 hoặc x4 Vậy: x1 hoặc x4 1. 6 3 x 9 5x 3x      2. 2 x 16 5 x3 x 3 x 3      3. 2 ( x 1) 16x 17 8x 15x 23     4. 22 ( x 3) x 4 x 9    5. 22 2 x 8x 6 x 1 2x 2      6. 2 5 1 2x x 1 1x    Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 3 4. 22 ( x 3) x 4 x 9    (4) Điều kiện: 2 x 4 0 x 2 x 2       (4)   2 ( x 3) x 4 x 3 0      (*) Do ta chƣa biết dấu của ( x 3 ) nên ta chia làm 3 trƣờng hợp:  Trƣờng hợp 1: x3 (*) 2 x 4 x 3    2 22 x 3 0 x 4 0 x 3 0 x 4 x 6x 9 x3 x 2 x 2 x3 6x 13 x3 13 x 13 6 3x 6                                                         Trƣờng hợp 2: x3 thỏa (*)  Trƣờng hợp 3: x3 (*) 2 x 4 x 3    2 x 4 x 3    2 22 x 4 0 x 3 0 x 4 x 6x 9              x 2 x 2 x3 6x 13              x2 x 2 x 3 13 x 6             Vậy: 13 x 6   hoặc x3 5. 22 2 x 8x 6 x 1 2x 2      (5) Điều kiện: 2 2 2 x 8x 6 0 x 1 0 x 1 x 1 2x 2 0                  Trƣờng hợp 1: x1 thỏa (5).  Trƣờng hợp 2: x1 (5)   2 ( x 1)(2x 6) (x 1)(x 1) 2 x 1          2 2 2 x 6 x 1 2 x 1 2x 6 x 1 2 (2x 6)(x 1) 4(x 1) 2 (2x 6)(x 1) x 1 x 1 4(2x 6)(x 1) (x 1) 7x 18x 25 0 x1 x1 25 x 7                                         Vậy: x1 hoặc x1 6. 2 5 1 2x x 1 1x    (6) Điều kiện: 2 5 1 2x x 0 1 2 13 x 1 2 3 1 x 0 x1                    Do ta chƣa biết dấu của ( 1 x) nên ta chia làm 2 trƣờng hợp.  Trƣờng hợp 1: 1 x 0 x 1    (6) 2 5 1 2x x 1 x     2 22 1 x 0 51 2x x 0 51 2x x (1 x)               x1 1 2 13 x 1 2 13 x 5 x 5                  1 2 13 x 5       Trƣờng hợp 2: 1 x 0 x 1    (6) 2 5 1 2x x 1 x     2 1 x 0 51 2x x 0         x1 1 2 13 x 1 2 13              1 x 1 2 13     Vậy: 1 2 13 x 5     hoặc 1 x 1 2 13    Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 4 Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 1. x 3 2 x 4 x 2 x 1 1           22 x 4 2 x 4 1 x 1 2 x 1 1 1 x 4 1 x 1 1 1 x 4 1 x 1 1 1 ( 1)                          Điều kiện: x 4 0 x4 x 1 0       (1) x 4 1 x 1 1 1       x 4 1 2 x 1 2 x 1 0 x 4 1 2 x 1 x 4 1 2 x 1 x5 VN do x 5 x 4 1 x 1 1 x 4 x5 x 1 1 x 4 2 x 4 x5 x5 x5 x5 x 4 1                                                                                Vậy: x5 2. x 14x 49 x 14x 49 14      1 4x 14 14x 49 14x 14 14x 49 14       22 ( 14x 49 7) ( 14x 49 7) 14       1 4x 49 7 14x 49 7 14       (2) Điều kiện: 49 1 4x 49 0 x 14     (2) Đặt t 1 4 x 4 9 7 1 4 x 4 9 t 7       Phƣơng trình trở thành: t 7 7 t 14    t t t 0     1 4x 49 7 0 14x 49 7 7 14x 49 0 x 7 x7 2 14x 98 2 x7                        Vậy: 7 x7 2  3. 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2       3 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 2                22 3 x 1 1 x 1 1 2        3 x 1 1 x 1 1 2        3 x 1 1 x 1 1 2        (3) Điều kiện: x 1 0 x 1    (3) 1 x 1 1 x 1 2       1 x 1 1 x 1 2 1 x 1 1 x 1 (*) 2                   (*) luôn đúng nên hệ đúng với mọi x thỏa điều kiện. Vậy: x1 Chú ý: CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI ► AB AB AB       ► B0 AB AB AB             ► A B (A B)(A B) 0     ► AB AB AB       ► AB AB AB       1. x 3 2 x 4 x 2 x 1 1       2. x 14x 49 x 14x 49 14      3. 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2       Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 5 ► 33 3 A B C   33 3 A B 3 A.B A B C     Thay 33 3 A B C ta đƣợc: 3 A B 3 A.B.C C    ► f (x) g(x) h(x) k(x)   Mà có: f (x) h(x) g(x) k(x) f(x).h(x) g(x).k( x)         Biến đổi phƣơng trình về dạng: f (x) h(x) k(x) g(x)  Bình phƣơng, giải phƣơng trình hệ quả VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau: w 1. 33 3 x 1 x 2 x 3 0            33 3 3 33 3 3 3 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3                          Ta thay 33 3 x 1 x 2 x 3      3 3 2 3 (x 1)(x 2)(x 3) 3(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) (x 2) (x 2) (x 1)(x 3) (x 2) 0 (x 2)( 1) 0 x2                             Thử lại nhận x2 Vậy: x2 Nhận xét:  Khi thay 33 3 x 1 x 2 x 3      ta chỉ nhận đƣợc phƣơng trình hệ quả do phƣơng trình đầu chƣa biết có nghiệm hay không?  Bài toán cũng có thể giải:   33 3 3 3 3 3 x 1 x 2 x 3 2 x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3                       2. x 3 3x 1 2 x 2x 2      (2) Điều kiện: x 3 0 3x 1 0 x0 x0 2x 2 0             (2) 3 x 1 2x 2 4x x 3 (*)       22 2 5 x 3 2 (3x 1)(2x 2) 5x 3 2 4x(x 3) (3x 1)(2x 2) 4x(x 3) 6x 8x 2 4x 12x 2x 4x 2 0 x1                         Thử lại nhận x1 Vậy: x1 Nhận xét:  Do ta chƣa xác định đƣợc 2 vế phƣơng trình (*) đều dƣơng nên khi bình phƣơng ta chỉ thu đƣợc phƣơng trình hệ quả.  Bài toán vẫn có thể giải theo cách biến đổi tƣơng đƣơng nhƣng so với cách này thì phức tạp. 3. 3 2 x1 x 1 x x 1 x 3 x3          (3) Điều kiện: x1 (3) 3 2 x1 x 3 x x 1 x 1 x3             2 3 2 2 3 2 x1 x 3 x x 1 x 1 x3 x1 x x 1 x3                     2 x 1 3 x 2x 2 0 x 1 3            Thử lại nhận x 1 3 ; x 1 3 Vậy: x 1 3 ; x 1 3 Nhận xét chung:  Thấy trƣờng hợp phƣơng trình căn bậc ba và phƣơng trình chứa bốn căn bậc hai nhƣ trên thì ta có thể nghĩ đến phƣơng trình hệ quả.  Nếu khi giải cách phƣơng trình ở phần trƣớc cảm thấy khó khăn trong việc giải các điều kiện và sợ “sót điều kiện” thì ta cũng có thể giải bằng phƣơng trinh hệ quả sau đó thử lại. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. 33 3 x 1 x 2 x 3 0      2. x 3 3x 1 2 x 2x 2      3. 3 2 x1 x 1 x x 1 x 3 x3          Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 6 ► a .f(x) b f(x) c 0; a 0.    Phƣơng pháp: Đặt t f(x), t 0 ► a ( A B) b(A B 2 AB) c 0      Phƣơng pháp: Đặt t A B ►         nn 22 n 22 a . A b. AB c. B 0 a.A x bB x c A x .B x A B mA nB                Phƣơng pháp: Bằng cách đặt ẩn phụ u, v ta đƣa đƣợc về dạng phƣơng trình: 22 u uv v 0    B1: Thử trƣờng hợp v = 0  B2: Xét v0 phƣơng trình trở thành : 2 uu 0 vv                 Đặt t = u v phƣơng trình trở thành 2 t t 0   ►Tham số biến thiên VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 1. 2 ( x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6      22 22 x 5x 4 3 x 5x 2 6 x 5x 2 3 x 5x 2 0               Điều kiện: 2 x 5x 2 0   5 17 5 17 xx 22         Đặt 2 t x 5x 2 (t 0)    22 22 t x 5x 2 x 5x t 2         Phƣơng trình trở thành: 2 t1 t 3t 4 0 t 4 t4            Với t4 22 x 5x 4 2    2 x 5x 14 0 x 2;x 7        Vậy: x2 hoặc x7 2. 22 2 x 15 x 5x 6 10x     22 2 x 1 0 x 1 5 x 5 x 6 0       Điều kiện: 2 x 5x 6 0 x 1 x 6       Đặt 2 t x 5x 6 (t 0)    22 22 t x 5x 6 x 5x t 6         Bất phƣơng trình trở thành: 2 2 (t 6) 15 t 0    2 3 t 2 t t 3 0 t 1 2 t1              Với 2 t 1 x 5x 6 1     2 x 5x 6 1    2 x 5x 7 0 5 53 5 53 xx 22          Vậy: 5 53 5 53 xx 22     3. 22 2 x 5x 2 2 2x 5x 6 1      Điều kiện: 2 2 x 5x 6 0   5 73 5 73 xx 44         Đặt 2 t 2x 5x 6 (t 0)    2 2 x 5x 2 t 8     Phƣơng trình trở thành: t 8 2 t 1   t 8 1 2 t      2 t 8 1 2 t    4 t 7 3t   2 7 3t 0 t1 16t (7 3t)         Với 2 7 t 1 2x 5x 6 1 x 1;x 2          Vậy: x1 hoặc 7 x 2  CÁC DẠNG ĐẶT MỘT ẨN PHỤ 1. 2 ( x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6      2. 22 2 x 15 x 5x 6 10x     3. 22 2 x 5x 2 2 2x 5x 6 1      4. x x 1 3 x 1 x 2    Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 7 4. x x 1 3 x 1 x 2    Điều kiện: x 0 x 0 x 1 x1       Đặt x t (t 0) x1   Bất phƣơng trình trở thành: 13 t t 2  2 2 t 3t 2 0    1 t t 2 2     Với 1 t 2  x1 x1 2   x1 0 x 1 2     x 0 x 1 1x1           1 x 0    Với t2 x 2 x1   x 2 x1   x 2x 2 0 x1    x2 0 1 x 2 x1        Vậy: 1 x 0   hoặc 1 x 2  Cách khác: x x 1 3 x 1 x 2    (*) Điều kiện: x 0 x 0 x 1 x1       (*)  2 x x 1 9 x 1 x 2        22 x x 1 5 x 1 x 2 2x 2(x 1) 5x(x 1) 0 2(x 1)x            2 x x 2 0 2(x 1)x      1 x 0    hoặc 1 x 2 Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau: 1. 2 x 1 4 x x 3x 4 5        x 1 4 x (x 1)(4 x) 5        Điều kiện: x 1 0 1 x 4 4 x 0          Đặt t x 1 4 x (t 0)     2 2 t x 1 4 x 2 (x 1)(4 x) t5 (x 1)(4 x) 2              Phƣơng trình trở thành: 2 t5 t5 2   2 t3 t 2t 15 0 t 3 t5             2 2 25 x 3x 4 2       22 x0 x 3x 4 2 x 3x 0 x3                Vậy: x0 hoặc x3 2. 2 2 x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16        Điều kiện: 2 2 x 3 0 x 1 0 x 1 2x 5x 3 0               Đặt t 2x 3 x 1 (t 0)     22 22 t 3x 4 2 2x 5x 3 3x 2 2x 5x 3 t 4             Phƣơng trình trở thành: 2 t t 4 16   2 t5 t t 20 0 t 4 ( )           loaïi Với t5 2 x 3 x 1 5     22 2 2 3x 2 2x 5x 3 5 4 2 2x 5x 3 21 3x 1 x 7 x 146x 429 0 1 x 7 x3 x 3 x 143                                  Vậy: x3 1. 2 x 1 4 x x 3x 4 5        2. 2 2 x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16        Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 8 Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình sau: 1. 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      (1) Ta có: 2 x 0 x 2    không là nghiệm phƣơng trình. Chia 2 vế cho: 2 3 ( 2 x) ta đƣợc: (1) 2 3 3 x 2 x 2 4 7 3 0 2 x 2 x          Đặt 3 x2 t 2x    phƣơng trình trở thành: 2 t1 4 t 7t 3 0 3 t 4           Với 3 x 2 x 2 t 1 1 1 x 0 2 x 2 x          Với 3 3 x 2 3 x 2 27 74 tx 4 2 x 4 2 x 64 91            Vậy: x0 hoặc 74 x 91    Cách khác: 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      Đặt 3 u x 2 và 3 v 2 x Phƣơng trình trở thành: 22 4 u 7uv 3v 0   Do v0 không là nghiệm phƣơng trình. Chia 2 vế cho v0 ta đƣợc: 2 2 uu 4 7 3 0 vv    u u 3 1 v v 4     Với u 1 v  3 x 2 x 2 1 1 x 0 2 x 2 x         Với 3 u x 2 3 x 2 27 74 1x v 2 x 4 2 x 64 91            Vậy: x0 hoặc 74 x 91   2.   23 2 x 2 5 x 1   (2) Điều kiện: 3 x 1 0 x 1     (2) 22 2 (x x 1) 2(x 1) 5 (x 1)(x x 1)         Do   2 x x 1 0   chia hai vế cho   2 x x 1 : 22 x 1 x 1 2 2 5 x x 1 x x 1         Đặt 2 x1 t (t 0) x x 1    Phƣơng trình trở thành: 2 t2 2 t 5t 2 0 1 t 2           Với 22 x 1 x 1 t 2 2 4 (VN) x x 1 x x 1           Với 22 1 x 1 1 x 1 1 t 2 x x 1 2 x x 1 4           5 37 x 2   Vậy: 5 37 x 2   Nhận xét:  Khó khăn của ta là trong việc phân tích:   22 2 x 2 2(x x 1) 2(x 1)      .  Việc này có thể thực hiện dễ dàng do: 32 x 1 (x 1)(x x 1)      Bằng cách đồng nhất hệ số:   2 2 2 (x x 1) (x 1)2 x 2 2(x 2)        ta dễ dàng chọn  và  .  Một số khai triển đa thức thành nhân tử:      32 x 1 x 1 x x 1        4 2 4 2 2 x x 1 x 2x 1 x         22 x x 1 x x 1         4 2 2 x 1 x 2x 1 x 2x 1          4 2 2 4x 1 2x 2x 1 2x 2x 1      3. 2 2 4 2 x 3 x 1 x x 1     Điều kiện: 2 x 1 0 x 1 x 1       Ta đặt: 2 ux , 2 v x 1 (u,v 0)   . Phƣơng trình trở thành : 22 u 3v u v   2 2 2 2 u 6uv 9v u v     2 v0 1 0v 6uv 0 v 0 3 vu 5             Với 22 v 0 x 1 0 x 1 x 1         Vậy: x1 1. 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      2.   23 2 x 2 5 x 1   3. 2 2 4 2 x 3 x 1 x x 1     Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 9 Ví dụ 4: Giải các phƣơng trình sau: 1. 22 x 2(x 1) x x 1 x 2 0       (1) Điều kiện: 2 x x 1 0 x       22 ( 1) x x 1 2(x 1) x x 1 2(x 1) 1 0           Đặt 2 t x x 1; t 0.    phƣơng trình trở thành: 2 t 2(x 1)t 2x 1 0, t 0      , 2 'x t1 t 1 2x       Với 2 t 1 x x 1 1 x 0; x 1.          Với 2 t 1 2x x x 1 1 2x        22 2 1 2x 0 x x 1 (1 2x) 1 x x0 2 3x 5x                    Vậy: x0 hoặc x1 2.   22 x 1 x 2x 3 x 1       22 x 1 x 2x 3 x 2x 3 2x 2         Điều kiện: 2 x 2x 3 0 x     Đặt 2 t x 2x 3   . Phƣơng trình trở thành:   2 x 1 t t 2x 2        2 t2 t x 1 t 2 x 1 0 t x 1             Với 2 x 1 2 t 2 x 2x 3 2 x 1 2             Với 2 t x 1 x 2x 3 x 1       22 x 1 0 (VN) x 2x 3 x 2x 1           Vậy: x 1 2 Phƣơng pháp chung:  Đặt các ẩn phụ. Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ. Kết hợp với phƣơng trình ban đầu của bài toán ta đƣợc hệ phƣơng trình.  Lƣu ý các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình. Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau: 1.   33 33 x 25 x x 25 x 30    Đặt 3 3 3 3 y 35 x x y 35     Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: 33 x y(x y) 30 x y 35      Đây là hệ đối xứng loại 1. Giải hệ ta tìm đƣợc cặp nghiệm là ( 2;3) hoặc ( 3;2) Vậy: x2 hoặc x3 2. 33 1 x 1 x 2    Đặt 3 3 u 1 x v 1 x        . Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: 22 u v 2 u v 2      u v 2 uv 1       u v 1 x 0     Vậy: x = 0. 3. 3 2 x 1 x 1    Điều kiện: x 1 0 x 1    Đặt 3 u 2 x v x 1 (v 0)          Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: 32 u + v =1 u + v =1    2 u (u u 2) 0 v 1 u         1. 22 x 2(x 1) x x 1 x 2 0       2.   22 x 1 x 2x 3 x 1     ĐẶT ẨN PHỤ ĐƢA VỀ HỆ 1.   33 33 x 25 x x 25 x 30    2. 33 1 x 1 x 2    3. 3 2 x 1 x 1    4. 3 3 x 1 2 2x 1   5.     22 3 2 33 3 x 1 3x 1 9x 1 1      Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ Trang 10 u0 x2 u1 x1 u2 x 10 v 1 u                          Vậy: x2 hoặc x1 hoặc x 10 4. 3 3 x 1 2 2x 1   Đặt 3 3 y 2x 1 y 1 2x     . Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: 3 3 x 1 2y y 1 2x        3 33 x 1 2y x y 2(y x)           3 22 x 1 2y (x y)(x xy y 2) 0             (Do 2 2 2 2 y3 x xy y 2 x y 2 0 24            ) 3 x 1 2y x y 0       3 x1 x 1 2x 15 x y 0 x 2               Vậy: x1 hoặc 15 x 2   5.     22 3 2 33 3 x 1 3x 1 9x 1 1      Đặt: 3 u 3x 1 và 3 v 3x 1 Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: 22 33 u v u.v 1 u v 2          u v 2 u v 2      Do đó:     2 2 v 2 v v v 2 1       2 2 3v 6v 3 0 3 v 1 0 v 1 u 1             3 3 u 3x 1 1 x0 v 3x 1 1                Vậy: x0 Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau: 1. 2 x3 2 x 4x 2   Cách 1: 2 x3 2 x 4x 2   (1) Điều kiện: x3 . (1) 2 ( x 1) 2 2(x 1) 2 2      2 1 x 1 (x 1) 1 1 22       . Đặt 2 t y1 x 1 t t x 1;y 1 1 2 22 y0                . Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: 2 2 1 t 1 y 2 1 y 1 t 2          ty 1 ( t y)(t y ) 0 1 2 yt 2               Với 2 2 t t1 2 t t 2 0 ty 2 t0 t y 0                 1 17 3 17 tx 44        (thỏa). Với 2 2 1t ( t ) 1 4t 2t 3 0 1 22 yt 1 1 2 t t 2 2                       1 13 5 13 tx 44         (thỏa) Vậy: 3 17 5 13 x ;x 44      . 1. 2 x3 2 x 4x 2   2. 2 x x 1000 1 8000x 1000    3. 2 4 x 7x 1 2 x 2    4. 32 3 4 8 1x 8 x 2x x 2 3      5. 2 2 2 3 7x 13x 8 2x . x(1 3x 3x )     6. 22 4 x 11x 10 (x 1) 2x 6x 2      Khoa Công nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) . Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ. nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên. nghệ Thông tin & Truyền Thông - Trường Đại học Phương Đông (cntt.phuongdong.edu.vn) Tổ bộ môn toán - Khoa CNTT & Truyền Thông - ĐH Phương Đông (sưu tầm & biên soạn) Chuyên