Skkn tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho trước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN: TỐN HỌC Đề tài: “TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC” Họ tên: ĐỖ VĂN SƠN Tổ Toán Chức vụ: Phó bí thư Đồn Trường Đơn vị : Trường THPT Vinh Xuân Vinh Xuân, tháng năm 2014 MỤC LỤC Trang Phần A - MỞ ĐẦU…………………………………… …… …… trang skkn Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Phạm vi nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu đề tài Phần B - NỘI DUNG………………………….…………… ….…….… CƠ SỞ LÝ THUYẾT ……… ……………………… .………… .3 MỘT SỐ BÀI TỐN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC” CÁC BƯỚC TÌM TỌA TỘ TIẾP ĐIỂM, KHI BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 4 CÁC VÍ DỤ …………… ……….… ……… 5 BÀI TẬP… ……………………………………… … … …… 15 Phần C - KẾT LUẬN -16      —&–      trang skkn PHẦN A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán: “Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số” tốn quen thuộc chương trình tốn phổ thông, bậc THPT, thường xuyên xuất đợt kiểm tra học kỳ dành cho khối 12, kỳ thi tốt nghiệp cuối cấp THPT kỳ thi đại học cao đẳng Tuy nhiên, toán lập phương trình tiếp tuyến bậc THPT thường điểm có hệ số góc k cho hồnh độ tiếp điểm ,hoặc cho tung độ tiếp điểm ….Nhưng thi đại học cao đẳng với mức độ yêu cầu cao “Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước”, mà tọa độ tiếp điểm hệ số góc k Do muốn lập phương trình tiếp tuyến phải tìm tọa độ tiếp điểm dựa vào điều kiện tiếp tuyến điểm Mục đích nghiên cứu đề tài Đề tài “Bài tốn “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến điểm thỏa mãn điều kiện cho trước”, tốn ngược tốn viết phương trình tiếp tuyến điểm cho trước Bài toán sở để lập phương trình tiếp tuyến cách dễ dàng biết tiếp điểm Nhằm khắc sâu nắm chắt lý thuyết vấn đề tiếp tuyến cho học sinh giúp cho học sinh khối 12 thi vào trường đại học cao đẳng gặp toán Phạm vi nghiên cứu đề tài - Chương trình tốn trung học phổ thơng - Các toán thi đại học năm trước Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Chuyên đề “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến điểm thỏa mãn điều kiện cho trước”, cung cấp cho học sinh phương pháp, kỹ hệ thống tập để chuẩn bị kỷ kiến thức lập phương trình tiếp tuyến Phương pháp nghiên cứu đề tài Đề tài nghiên cứu phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết trang skkn PHẦN B NỘI DUNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT y M 1.1Khái niệm tiếp tuyến Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C) Giả sử (C) đồ thị hàm số y=f(x) M(x0; f(x0))(C) Kí hiệu M(x; f(x)) điểm di chuyển (C) T (C) f(x0) M0 Đường thẳng M0M cát tuyến (C) (hình vẽ H.1) Nhận xét rằng: x x0 M(x; f(x)) di chuyển x0 (C) tới điểm M(x0; f(x0)) ngược lại Giả sử cát tuyến M0MOcó vị trí giới hạn,H.1 kí hiệu M0T M0T gọi tiếp tuyến (C) M0 Điểm M0 gọi tiếp điểm (Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007) 1.2 Ý nghĩa hình học đạo hàm Định lí: Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M0T (C) điểm M(x0; f(x0)) (Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007) 1.3Phương trình tiếp tuyến Định lí: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y=f(x) điểm M(x0; f(x0) y0= f(x0) (Đại số&Giải tích 11, trang 152, nxb GD 2007) Lưu ý: Nếu tiếp tuyến M0T cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A B hệ số góc tiếp tuyến M0T Với góc tạo trục Ox tiếp tuyến M0T theo chiều dương MỘT SỐ BÀI TỐN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC” trang skkn x Cho hàm số hàm số bậc ba hàm biến ) có đồ thị (C) ( Tìm tọa độ tiếp điểm đồ thị (C) biết tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện sau: 2.1 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A B cho , 2.2 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A B cho tam giác vuông cân 2.3 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A B cho tam giác có diện tích S cho trước 2.4 - Tạo với hai tiệm cận với điểm I thành tam giác có chu vi nhỏ , với I giao điểm hai tiệm cận 2.5 - Cắt đường tiệm cận (C) A B cho đường trịn ngoại tiếp tam giác có diện tích nhỏ nhất, với I giao điểm hai tiệm cận 2.6 - Cắt đường tiệm cận (C) A B cho đoan thẳng AB ngắn 2.7 - Tạo với đường thẳng góc cho trước 2.8 - Vng góc với đường thẳng cho trước 2.9 - Cắt hai tiệm cận A B cho tiệm cận , với I giao điểm hai Các bước tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) tọa độ tiếp điểm Suy hệ số góc tiếp tuyến Bước 2: Từ điều kiện tốn suy hệ số góc tiếp tuyến Giải phương trình k tìm tọa độ tiếp điểm viết phương tiếp tuyến M(x0; f(x0)) Từ điều kiện toán suy trực tiếp tọa độ tiếp điểm Bước 3: Kết luận CÁC VÍ DỤ trang skkn Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M cắt hai trục Ox, Oy A B cho , với O gốc tọa độ Giải: Gọi M(x0; f(x0)) tọa độ tiếp điểm Suy hệ số góc tiếp tuyến Cách 1: Vì tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A B hệ số góc tiếp tuyến ta có Vậy có hai tọa độ tiếp điểm Cách 2: Phương trình tiếp tuyến M với Đường thẳng d cắt trục Ox cắt trục Oy Ta có Với phương trình tiếp tuyến loại A,B phân biệt Với Vậy có hai tọa độ tiếp điểm trang skkn Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M cắt trục Ox, Oy A B cho , với O gốc tọa độ Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi M(x0; y0) tọa độ tiếp điểm với Suy hệ số góc tiếp tuyến Cách 1: Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A B cho Suy hệ số góc tiếp tuyến Nhưng nên hệ số góc tiếp tuyến ta có phương trình Vậy có hai tọa độ tiếp điểm Cách 2: Phương trình tiếp tuyến M Đường thẳng d cắt trục Ox với cắt trục Oy Ta có Với phương trình tiếp tuyến loại A,B phân biệt trang skkn Với , nên hệ số góc tiếp tuyến Vậy có hai tọa độ tiếp điểm Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số , biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A B cho tam giác cân gốc tọa độ O Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi (C) nên Hệ số góc tiếp tuyến M Vì tiếp tuyến M cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A B cho tam giác vuông cân gốc tọa độ O suy , nên hệ số góc tiếp tuyến nên hệ số góc tiếp tuyến Ta có phương trình Với ta có phương trình tiếp tuyến Với ta có phương trình tiếp tuyến Vậy điểm cần tìm (loại qua gốc tọa độ) thỏa mãn trang skkn Ví dụ 4: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số , biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A B cho tam giác OAB có diện tích Giải: TXĐ: D=\ , Gọi (C) Hệ số góc tiếp tuyến M Phương trình tiếp tuyến M Mà d cắt trục Ox cắt trục Oy Cách 1: Vì tam giác OAB vuông O, nên Suy hệ số góc tiếp tuyến d nên hệ số góc tiếp tuyến Ta có phương trình Vậy có hai điểm thỏa mãn u cầu tốn M (1;1), Cách 2: Vì tam giác OAB vng O, nên trang skkn     Vậy có hai điểm thỏa mãn u cầu tốn M (1;1); Ví dụ 5: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số , biết tiếp tuyến (C) M tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Giải: Ta có TXĐ: D=\ Gọi (C), hệ số góc tiếp tuyến M Phương trình tiếp tuyến M Ta có d cắt tiệm cận đứng cắt tiệm cận ngang , giao điểm hai tiệm cận Chu vi tam giác IAB Để chu vi nhỏ đạt Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 6: Cho điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số , biết tiếp tuyến trang skkn (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B ,gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giải: : Ta có TXĐ: D=\ Gọi (C), hệ số góc tiếp tuyến M Phương trình tiếp tuyến M Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng cắt tiệm cận ngang , giao điểm hai tiệm cận Ta có Mặt khác suy M trung điểm AB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác bán kính IM, nên diện tích đường trịn ngoại tếp tam giác Suy diện tich đường trịn ngoại tếp tam giác có tâm M nhỏ Đạt Vậy có hai điểm thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 7: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A B cho AB ngắn trang 10 skkn Giải: Ta có TXĐ: D=\ Gọi (C), hệ số góc tiếp tuyến M Phương trình tiếp tuyến M Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng , ta có Do AB ngắn cắt tiệm cận ngang đạt Vậy có hai tọa độ điểm M cần tìm Ví dụ 8: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) tạo với đường thẳng góc Giải: Gọi (C), với Hệ số góc tiếp tuyến M Phương trình tiếp tuyến M Góc hợp đường thẳng d góc ta có trang 11 skkn Với vơ nghiệm Với Vây có hai tọa độ điểm M thảo mãn Ví dụ 9: Cho hàm số ; có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) tạo với đường thẳng Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi góc (C), với Hệ số góc tiếp tuyến M Phương trình tiếp tuyến M Góc hợp đường thẳng d góc ta có Với Vây có hai tọa độ điểm M thỏa mãn Ví dụ 10: Cho hàm số ; có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai đường tiệm trang 12 skkn cận đồ thị (C).Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng IM (Đề dự bị Đại học, Cao đẳng năm 2003, khối B) Giải: TXĐ: D=\ , hệ số góc tiếp tuyến M Ta có I(1;2) giao điểm hai đường tiệm cận (C) (C)  Gọi nên vec-tơ pháp tuyến đường thẳng IM Khi tiếp tuyến M có dạng  có vec-tơ pháp tuyến Đường thẳng IM vng góc với tiếp tuyến      Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu tốn M1(0;1), M2(2;3) Ví dụ 11: Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (C) hàm số Tìm điểm M đồ thị (C), có hồnh độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thỏa mãn Giải: Ta có TXĐ: D=\ Gọi (C), , hệ số góc tiếp tuyến M Phương trình tiếp tuyến M Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng giao điểm hai tiệm cận , cắt tiệm cận ngang trang 13 skkn Theo giả thiết +Với ( loại ) +Với Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu toán      —&–      trang 14 skkn BÀI TẬP 5.1Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M cắt trục Ox, Oy A B cho , với O gốc tọa độ 5.2Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số , biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A B cho tam giác OAB có diện tích 5.3 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai tiệm cận A B cho tam giác IAB có chu vi nhỏ 5.4 Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cân (C) A B cho AB ngắn 5.5Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M cắt trục Ox, Oy A B cho , với O gốc tọa độ trang 15 skkn PHẦN C KẾT LUẬN Qua đề tài “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến điểm thỏa mãn điều kiện cho trước” Nhằm hệ thống lại số dạng tốn tìm tọa độ tiếp điểm, làm sở để giải toán tiếp tuyến chương trình THPT biết số điều kiều kiện cho trước nêu chuyên đề Đây tài liệu nhằm giúp cho học sinh khối 12 chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng đến Trong viết chuyên đề này, chân thành cám ơn quý thầy cô giáo tổ đóng góp nhiều ý kiến giúp đỡ để chuyên đề hoàn thành Rất mong quý thầy tổ đồng nghiệp có nhiều ý kiến nữa, để chuyên đề lần sau viết tốt Chân thành cám ơn! Vinh Xuân, ngày 29 tháng 03 năm 2014 Người thực Đỗ Văn Sơn trang 16 skkn PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TRƯỜNG THPT VINH XUÂN (Chủ tịch HĐ xếp loại, ký đóng dấu) ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Xếp loại: …………………………………………………………………… Vinh Xuân, ngày … tháng ….năm … … CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… trang 17 skkn ... MỘT SỐ BÀI TỐN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC” CÁC BƯỚC TÌM TỌA TỘ TIẾP ĐIỂM, KHI BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 4 CÁC... ? ?Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến điểm thỏa mãn điều kiện cho trước? ??, toán ngược toán viết phương trình tiếp tuyến điểm cho trước Bài tốn sở để lập phương trình tiếp tuyến cách dễ dàng biết. .. đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước? ??, mà khơng biết tọa độ tiếp điểm hệ số góc k Do muốn lập phương trình tiếp tuyến phải tìm tọa độ tiếp điểm dựa vào điều kiện tiếp tuyến điểm Mục đích