Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z a bi a b, thỏa mãn z i 4 3 5 . Tính P a b khi z i z i 1 3 1 đạt giá trị lớn nhất. A. P 8 B. P 10 C. P 4 D. P 6 Lời giải Chọn B Goi M a b ; là điểm biểu diễn của số phức z. Theo giả thiết ta có: 2 2 z i a b 4 3 5 4 3 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 4;3 bán kính R 5 Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET Trang 4 Gọi: 1;3 1 3 1 1; 1 A Q z i z i MA MB B Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D Ta có: 2 2 2 Q MA MB 2 . MA MB 2 2 2 2 2 2 2 Q MA MB MA MB MA MB 2 Vì ME là trung tuyến trong MAB 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 MA MB AB AB ME MA MB ME 2 2 2 2 2 2 2 4 2 AB Q ME ME AB . Mặt khác ME DE EI ID 2 5 5 3 5 2 2 Q 4. 3 5 20 200 10 2 10 2 4 2( 4) 6 2 6;4 10 2 2( 3) 4 max D D D D MA MB Q Q M D x x EI ID M P a b y y Cách 2:Đặtz a bi . Theo giả thiết ta có: 2 2 a b 4 5 5. Đặt 4 5 sin 3 5 cos a t b t . Khi đó: 2 2 2 2 Q z i z i a b a b 1 3 1 1 3 1 1 2 2 2 2 5 sin 5 5cos 5 sin 3 5 cos 4 t t t t 30 10 5 sin 30 2 5 3sin 4cos t t t Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: Q t t 2 60 8 5 2sin cos 2 60 8 5. 5 200 10 2 10 2 10 2 Q Qmax Dấu bằng xảy ra khi 2 sin 5 6 10. 1 4 cos 5
Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CỰC TRỊ SỐ PHỨC Chuyên đề 36 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Một số tính chất cần nhớ Mơđun số phức: Số phức z a bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b Tính chất z a b zz OM z 0, z , z z z z z z ' z z ' , z ' 0 z z ' z z ' z z ' z' z' kz k z , k 2 Chú ý: z a b 2abi (a b ) 4a 2b a b z z z.z Lưu ý: z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 z1 z2 z z z z 2 2 z 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax by c (1) z a bi z c di (2) x a y b Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax by c (2) Đường trung trực đoạn AB với A a, b , B c, d R Đường tròn tâm I a; b , bán kính R R Hình trịn tâm I a; b , bán kính R z a bi R x a y b z a bi R b d z a1 b1i z a2 b2i 2a x a b 2 y c d2 1 T E I N 11 1 Elip 2 Elip 2a AB , A a1 , b1 , B a2 , b2 H T y c N O x a Parabol Đoạn AB 2a AB Hypebol U y ax bx c c 0 x ay by c IE r z a bi R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I a; b , bán kính r , R IL A Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: T r x a y b R Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z Min Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b 1 z Min z0 a b z a b i 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm z Ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A a; b , B c; d z Min d O, AB a b2 c d 2 a c b d 2 Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Khi ta biến đổi z a bi z c di z a bi z c di Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di Khi ta biến đổi a bi c di z z b z d ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn iz a bi iz c di z TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z z0 R Tìm z Max , z Min Ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường tròn tâm I a; b bán kính R z OI R a b R z0 R Max 2 z Min OI R a b R z0 R Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng a bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z (Chia hai vế cho i ) i i z b R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R (Lấy liên hợp vế) E I N N T H z1 R (Chia hai vế cho z0 ) z0 z0 O Hay viết gọn z0 z z1 R z T Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi R R c di z a bi R z c di c di c d2 Trang https://TaiLieuOnThi.Net A x2 y2 1 a2 a2 c2 T Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z Elip: IL IE U Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi ta có Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z Max a 2 z Min a c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z 2a Thỏa mãn 2a z1 z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z z1 z z2 2a , z1 z2 2a z1 , z2 c, ci ) Tìm Max, Min P z z0 z1 z2 2c Đặt 2 b a c Nếu z0 z1 z2 0 PMax a (dạng tắc) PMin b z1 z2 a z0 Nếu z z k z z z1 z2 PMax z0 a P z z1 z2 a Min z1 z2 a z0 Nếu z z k z z Nếu z0 z1 z0 z2 z1 z2 a PMin z0 z1 z2 b (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z a bi a, b thỏa mãn z 3i Tính P a b z 3i z i đạt giá trị lớn A P B P 10 C P Lời giải D P Chọn B Goi M a; b điểm biểu diễn số phức z Theo giả thiết ta có: z 3i a b 3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2 A IL IE U O N T H I N E T z đường trịn tâm I 4;3 bán kính R T Câu PMax z0 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A 1;3 Gọi: Q z 3i z i MA MB B 1; 1 Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường trịn D Ta có: Q MA MB MA.MB Q MA2 MB MA2 MB MA2 MB Vì ME trung tuyến MA2 MB AB AB MA2 MB ME MAB ME 2 AB 2 Q 2ME 4ME AB Mặt khác ME DE EI ID Q2 20 200 MA MB Q 10 Qmax 10 M D 4 2( xD 4) x EI ID D M 6; P a b 10 2 2( yD 3) yD Cách 2:Đặt z a bi Theo giả thiết ta có: a b 2 a sin t Đặt Khi đó: b cos t Q z 3i z i a 1 b 3 sin t cos t sin t a 1 b 1 cos t 2 30 10 sin t 30 3sin t cos t Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: Q 60 sin t cos t 60 5 200 10 Q 10 Qmax 10 sin t Dấu xảy cos t (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z i z 7i Gọi m, M T Câu 2 a P a b 10 b 5 73 D P 13 73 O Lời giải T A IL IE U Chọn A Trang https://TaiLieuOnThi.Net I N C P H B P 73 T 73 N A P E giá trị nhỏ giá trị lớn z i Tính P m M Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D A H E N Gọi A điểm biểu diễn số phức z , E 2;1 , F 4; N 1; 1 Từ AE A F z i z 7i EF nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi 3 73 H hình chiếu N lên EF , ta có H ; Suy P NH NF 2 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z 34, z mi z m 2i (trong m số thực) cho z1 z2 lớn Khi giá trị z1 z2 A B 10 C Lời giải D 130 Chọn C T Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 T O N Ta có z 34 M , N thuộc đường trịn C có tâm I 1;0 , bán kính R 34 H I N E Gọi z x iy, x, y 2 x m y 2 2 IE IL x 1 y m A U Mà z mi z m 2i x yi mi x yi m 2i T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group m 1 x m y Suy M , N thuộc đường thẳng d : m 1 x m y Do M , N giao điểm đường thẳng d đường trịn C Ta có z1 z2 MN nên z1 z2 lớn MN lớn MN đường kính C Khi z1 z2 2OI Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2i Số phức z i có mơđun nhỏ là: A 52 B C Lời giải D 2 Cách 1: Đặt w z i z w i Gọi M x; y điểm biểu diễn hình học số phức w Từ giả thiết z 2i ta được: w i 2i w i x y 1 i x y 1 2 Suy tập hợp điểm M x; y biểu diễn cho số phức w đường trịn C có tâm I 2;1 bán kính R Giả sử OI cắt đường tròn C hai điểm A, B với A nằm đoạn thẳng OI Ta có w OM Mà OM MI OI OM MI OA AI OM OA Nên w nhỏ OA OI IA M A Cách 2: Từ z 2i a b với z a bi a, b 2 1 sin x 4 cos x 2sin x 5 4sin x cos x 2 cos x T Trang https://TaiLieuOnThi.Net E I N H T 1 A Nên z i nhỏ N 2 sin x cos x 4sin x cos x O 2 U 4 IE 6 sin x 1 cos x IL Khi đó: z i sin x cos x i i T a sin x; b cos x a sin x, b cos x Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 5 5 Ta z i Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức z1 z2 z1 z2 z1 z2 z i z 2i i z 2i i Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 2z i M P với z số phức khác thỏa mãn z Tính tỉ số z m M M D 2 m m Lời giải 2z i 2z i 2z i 2z i 1 Ta có P P 2 P 2 P z z z z z z 2 A M m Vậy Câu B M m C M m Cho số phức z thoả mãn z 3i Tìm giá trị lớn z i A 13 B 13 C 13 Lời giải D 13 Chọn C Ta có z 3i z 3i z 3i z 3i z 3i z 3i z 3i z 3i 1` z i 2i 1(*) +Đặt w z i , w 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w z i đường tròn I ;1 w khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đường tròn Do giá trị lớn w đoạn OQ I N E Xét tất số phức z thỏa mãn z 3i Giá trị nhỏ z 24i nằm D 4036; T C 2018; 4036 N B 1009; 2018 O A 0;1009 H khoảng nào? Đặt z0 3i z0 5, z0 24i A Ta có z 3i z 3i z 1 z z IL IE U Lời giải T Câu T w max 32 22 13 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Ta có A z 24i z zo z zo z zo Mà z zo z zo z.zo zo z z zo 4 Suy A z zo z zo z z 2 o z z o z zo z o z z.zo 2 z z 1201 Hàm số y 2t 2t 1201 đồng biến 4;6 nên A 2.44 2.42 1201 1681 z Dấu xảy z 3i Do z 24i nằm khoảng 1009; 2018 Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z z z z Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ P z 2i Đặt A M m Mệnh đề sau đúng? A A 34;6 B A 6; 42 C A 7; 33 D A 4;3 Lời giải Giả sử: z x yi, x, y N x; y : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: • z z z z x y N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ) y I B E F C O -2 x D -2 2 P d I ; N với I 2; T x 2 y 2 E • P z 2i P T O U 34;6 môđun lớn nhỏ z Tính M n A M n B M n C M n Trang https://TaiLieuOnThi.Net A IL (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z z 20 Gọi M , n T Câu IE Vậy, A M m 1 1 N M Pmax ID 22 m Pmin IE H I N Từ hình ta có: E 1;1 D M n 14 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Gọi z x yi , x, y Theo giả thiết, ta có z z 20 x yi x yi 20 x 6 x 6 y2 y 20 Gọi M x; y , F1 6;0 F2 6;0 Khi MF1 MF2 20 F1F2 12 nên tập hợp điểm E đường elip E có hai tiêu điểm F1 F2 Và độ dài trục lớn 20 Ta có c ; 2a 20 a 10 b2 a c2 64 b x2 y2 100 64 Suy max z OA OA' 10 z 10 z OB OB ' z 8i Do đó, phương trình tắc E Vậy M n Câu 10 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 4i w z i Khi w có giá trị lớn A 74 B 130 C 130 Lời giải D 16 74 Theo bất đẳng thức tam giác ta có w z i z 8i 9i z 8i 9i 130 Vậy giá trị lớn w 130 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có M M Số phức z 3i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Biết M , M , N , N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ điểm biểu diễn z 4i A 34 B C 13 D T Lời giải I N E Gọi z x yi , x, y Khi z x yi , M x; y , M x; y T H Ta đặt w z 3i x yi 3i x y 3x y i N x y;3 x y Khi O N w z 3i x y x y i N x y ; x y IE U Ta có M M ; N N cặp đối xứng qua trục Ox Do đó, để chúng tạo thành hợp điểm M hai đường thẳng: d1 : x y d2 :3x y A IL hình chữ nhật yM yN yM yN Suy y x y y 3 x y Vậy tập T Câu 11 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Đặt P z 4i x 5 y 2 Ta có P MA với A 5; 4 , d A; d2 , 34 Pmin MAmin MA d A; d1 MA d A; d Mà d A; d1 Pmin d A; d1 Câu 12 Biết số phức z thỏa mãn iz z i z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z bằng: A B C Lời giải D Đặt z x yi ( x , y ) Khi iz z i x y 3 x 2 y 1 2 x y x 2 y 1 2 Lại có z x y Thay 1 vào ta được: z x2 y 2 2 y 1 y2 5y2 y 1 5 y 5 5 5 Dấu đẳng thức xảy y y Thay y vào 1 suy x 5 Vậy phần thực số phức z Câu 13 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét số phức z thỏa mãn z 3i Số phức z mà z nhỏ B z i C z 3i Lời giải D z i T A z 5i I N E Gọi z x yi , x, y Khi M x; y điểm biểu diễn số phức z Theo ta có z 3i x 1 y 3 H T O U y I M với I 1; IE IL x 1 T A Khi z N Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I 1; 3 bán kính R Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra, điểm C nằm đường tròn C Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn C hai điểm Do đó, để A MA MC đạt giá trị nhỏ M phải nằm hai điểm A C A MA MC AC , AC 13 A 13 a b Vậy, a b 18 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho z1 , z2 nghiệm phương trình 3i iz z 9i thỏa mãn z1 z2 A 56 Giá trị lớn z1 z 28 B C Lời giải D Chọn A Gọi z1 x1 y1i, z2 x2 y2i , với x1 , y1 , x2 , y2 Do z1 z2 8 x1 x2 y1 y2 i 5 x1 x2 y1 y2 2 8 y1 y2 Mà z1 nghiệm phương trình 3i iz z 9i Gọi M x1 ; y1 , M x2 ; y M 1M x1 x2 y1 x1 3 i x1 y1 i y1 x1 3 2 x1 y1 x12 y12 x1 y1 24 M x1 ; y1 đường tròn (C ) : x y x y 24 Tương tự M x2 ; y C Đường tròn (C ) có tâm I 3; , bán kính R Goị M trung điểm M M IM M M , IM R M M , 5 z1 z2 2OM Mà OM OI IM , dấu xảy O , I , M thẳng hàng Khi OM M M , 28 T 56 A IL IE U O N T H I N z1 z đạt giá trị lớn OI IM , E OM OI IM T Câu 65 Trang 45 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Hoặc đánh giá chọn đáp án sau: Gọi N x ; y NM1 x1 x2 y1 y2 2 z1 z2 Và N đối xứng với M qua gốc tọa độ O , N đường tròn (C1 ) : x y x y 24 (C1 ) có tâm I1 3; , bán kính R1 , ( C1 ) đối xứng với C qua gốc tọa độ O Có I1 I 10 I1 I R R1 Nhận xét: với điểm M C , N C1 M1 N I1 I R R1 Loại đáp án B,C,D 56 H T N C Lời giải T Chọn B D O U B IE IL A z i Tìm giá trị lớn T w i w 1 A Câu 66 Cho số phức z w thỏa mãn i z I N E T z1 z M N đạt giá trị lớn Trang 46 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z z z 1 i z 1 z i 3 i z w 1 w 1 w 1 z 1 1 z 2 Đặt t z ; t (vì z khơng thỏa phương trình trên) (1) trở thành: w 1 t w 1 3t 1 10 t t2 1 t w t 2 1 2 2 t Ta ln có: w i w i 10t 8t 2 ; t wi 2 t z z i Dấu = xảy w k 1 i w i wi 2 Vậy: Giá trị lớn T 2 Câu 67 Cho số phức z thỏa mãn z z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z i z 3 2i z 3i B D 10 E I N 2; , điểm biểu diễn cho số phức z x yi , T Gọi M x; y , F1 2; , F2 H Chọn A N O 2, C Lời giải T A 12 T A IL IE U Có z z MF1 MF2 , có F1F2 2 Trang 47 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Suy M x; y chạy E có tiêu cự 2c 2 , độ dài trục lớn 2a , độ dài trục nhỏ x y2 2b phương trình tắc E x Có M x; y E 1 y Có P z i z 3 2i z 3i y 1 2 y x y 3 x y 1 3 x y 2 y 3 3 x y 3 y 1 (Bất đẳng thức tam giác) x2 x x 3 2 2 2 2 2 y 12 y 84 y Đặt f y y 3y 21 y , với 1 y Có f y 2y y 3y 21 1 f y y 3y 21 y , y nhận Có 1 y 1 3y y 12 y 4 loại Có f 1 19 , f 1 12 Suy Min f y 12 P 12 y 1;1 x 0, y Đẳng thức 1 xảy x y x 0, y 3 x y Thử lại: Khi x 0, y có P 12 Vậy MinP 12 x 0, y Câu 68 Cho số phức z x yi , x , y thỏa mãn z y 16 Biểu thức P z i z đạt giá trị lớn x0 ; y0 với x0 0, y0 Khi đó: x02 y02 D 20 T 20 Lời giải C E 20 B I N 20 H A N T Chọn D x x 2 y2 U x y 1 2 x y y 1 y Trang 48 https://TaiLieuOnThi.Net IE x 2 IL A x y 1 T P O Ta có: z y 16 x2 y 16 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Pmax x y x y x y 1 x y 2 y y 16 x x x 2 x y 1 y y 1 y x 2 x 5 2 x y 16 x y 16 y 1 y x x x y y y x0 1 20 y 2 x0 y0 x 1 y0 Nhận xét: Bài ta dùng bất đẳng thức véc tơ sau Cho a a1 ; a2 , b b1 ; b2 a b a1 b1 ; a2 b2 , ta có: 2 a b a b a1 b1 a2 b2 a12 a22 b12 b22 a1b2 a2b1 Dấu “ = ” xãy a , b ngược hướng a1b1 a b 2 Câu 69 Cho số phức z a bi a, b thỏa mãn z z 10 z lớn Tính S a b A S 11 B S 5 C S 3 Lời giải D S Chọn B Trong mp tọa độ Oxy , Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z x yi M x ; y ; z 4 0i F1 4;0 ; z 0i F2 4;0 Ta có: z z 10 MF1 MF2 10 (1) MF12 x 2 y 8x (2) MF12 MF2 16 x MF1 MF2 2 MF2 x y 4x Từ (1) (2), suy MF1 4x x2 y2 2 Mặt khác MF12 x y x y 25 Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z z 10 Elip có phương trình x2 y 25 Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc E sau cho z lớn H Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z 0i A 6;0 ; z a bi M a ; b E ; I N E T E : O N T z 5 0i C 5;0 T A IL IE U Do đó, z lớn MA lớn Trang 49 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Dựa, vào hình vẽ ta thấy để MA lớn M C 5;0 a 5; b S 5 Câu 70 Cho số phức z a bi a, b thỏa z z 10 z lớn Tính S a b ? A S 3 B S C S 5 D S 11 Lời giải Chọn C Gọi M a; b điểm biểu diễn số phức z a bi a, b z z 10 a bi a bi 10 a 4 b2 a 4 b 10 * Xét F1 4;0 F2 4;0 Khi * MF1 MF2 10 c b a2 c2 Suy M thuộc Elip có 2a 10 a Ta có: z a 6 b IM , I 6; , suy max z IA hay điểm M A 5;0 z 5 0i S 5 Câu 71 Cho số phức z thỏa mãn z , M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A z z Giá trị biểu thức M m D T C B E A I N Lời giải T H Chọn A O U y 1 x y x 2 x T Xét hàm số f x x 2 x với x 1;1 IE IL x 1 A A 1 z 1 z N Gọi z x yi với x , y z x y x y Trang 50 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hàm số f x liên tục đoạn 1;1 1 x 1 x 2x 2x 1 x f x f x x x x 1;1 3 Khi f 1 ; f ; f 1 5 3 Do M max f x f ; m f x f 1 Suy M m 1;1 1;1 5 Câu 72 Xét tập hợp S số phức z x yi x, y thỏa mãn điều kiện z z 1 i 2i Biểu thức Q z z x đạt giá trị lớn M đạt z0 x0 y0 i ( z thay đổi tập S ) Tính giá trị T M x0 y 02 A T B T C T D T Lời giải Chọn D Ta có: z z 1 i 2i x 16 y 16 x y y x Do đó, Q z z x y x x x f x , 2 x f x 2x2 2x , 2 x x2 x 1 f x x 1 x 2 ; Mặt khác, f 2 0, f 0, f 1 3 Suy M 3 x0 1, y02 Vậy T (THPT Hậu Lộc 2019) Cho z1, z2 hai số phức thỏa mãn z 3i D C E B I N A T z1 z2 Giá trị lớn z1 z2 H Lời giải N T Chọn A 22 IE IL A M , N C : x y z1 3i z2 3i Do nên z1 z2 MN 2.2 U O Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 T Câu 73 9 Trang 51 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Như MN đường kính đường trịn C với tâm I 3; , bán kính R , I trung điểm MN , OI 12 Ta có z1 z2 OM ON 1 1 OM ON MN 2OI Dấu " " xảy OM ON MN đường kính C vng góc với OI Câu 74 (Chun Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 i z1 7i iz2 2i Tìm giá trị nhỏ biểu thức T z1 z2 A 2 B 1 C 2 Lời giải D 1 Chọn C Trên mặt phẳng Oxy , gọi M a; b điểm biểu diễn cho số phức z1 ; A 2;1 , B 4;7 điểm biểu cho số phức 2 i 7i AB Từ ta MA MB AB nên tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z1 đoạn thẳng AB nằm đường thẳng d : x y Đặt z3 z2 , I N E I 2;1 điểm biểu diễn cho số phức i , IN nên tập hợp điểm biểu diễn cho số T iz2 2i iz3 2i z3 i Gọi N c; d điểm biểu diễn cho z3 ; phức z3 đường tròn C : x y 1 H N T z1 z2 z1 z3 MN Trang 52 https://TaiLieuOnThi.Net T IE IL Do MN KH d I , AB R 2 Vậy z1 z2 2 A AB suy MN KH với H giao điểm IK với C thuộc đoạn IK U O Dễ thấy hình chiếu vng góc điểm I 2;1 đường thẳng d điểm K 0;3 thuộc đoạn Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75 (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z, z1 , z2 thỏa mãn z1 5i z2 z 4i z 4i Tính z1 z2 A P z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ B 41 C D Lời giải Chọn D Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 Suy A thuộc đường tròn C1 tâm I1 4;5 , R Gọi B điểm biểu diễn số phức z2 Suy B thuộc đường tròn C2 tâm I 1;0 , R Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z x yi Theo giả thiết z 4i z 4i x y Suy M thuộc đường thẳng d x y Gọi C2 ' có tâm I ' 4; 3 , R đường tròn đối xứng với đường tròn C2 tâm I 1; , R2 qua đường thẳng d Gọi B ' điểm đối xứng với đối xứng với B qua đường thẳng d Ta có P z z1 z z2 MA MB MA MB ' AB ' I1I ' R1 R2 Dấu = xảy A, B ', I1 , I ', M thẳng hàng Khi I1 A I1 I ' suy A 4; I B ' I ' I1 suy B ' 4; 2 B 2;0 AB E i Tìm giá trị lớn I N z H (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho số phức z thỏa mãn i z Lời giải Chọn A N 2 D O C U IE B IL A A T T i T Câu 76 T Vậy z1 z2 Trang 53 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 2 i z z z 1 i z i z i z 1 z 1 i f t z z 1 z 1 z 2 z 2 z 2 t2 2t 4t t f ' t f ' t t t 5t 2t 5t 2t Bảng biến thiên Ta có T i z i 2 Câu 77 Cho số phức z gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z 8i ( z1 có phần thực dương) Giá trị nhỏ biểu thức P z z1 z2 z z z1 z2 viết dạng m n p q (trong n, p ; m , q số nguyên tố) Tổng m n p q A B C Lời giải D Chọn A z 8i z1 2i z2 2 2i P z z1 z2 z z z1 z2 z z z1 z z2 z z1 MA MB MC 2 Trong M , A 2; 2 , B 2; , C 3; 3 điểm biểu diễn cho số phức z , z1 , z2 3 3i T A IL Gọi H hình chiếu vng góc M OC Ta có MA MB HA HB MA MB MC HA HB HC Do Pmin MA MB MC HA HB HC M H M OC : y x IE U O N T H I N E T z , 2 z1 Trang 54 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gỉa sử M x; x x 3;0 P MA MB MC x 2 x P 2 x x 4 P x 3;0 3 Vậy Pmin 2 3 Suy m , n , p , q m n p q Câu 78 Trong số phức z thỏa mãn z z gọi z1 z số phức có mơđun nhỏ 2 lớn Giá trị biểu thức z1 z A B 2 C Lời giải D Chọn A Đặt z a bi ; a , b z a b abi a b 1 a 2b ; z a b Ta có z z a b 1 4a 2b a b a b 4a 2b a b a b a b 2a 6b 2 a b a b 4a Vì 4a 0, a nên a b a b 2 a b 2 Suy m a b2 m M M a a M 1 2 a b 2 b 1 E T a a m 1 2 a b 2 b I N 5w i z H (Sở Nam Định - 2019) Xét số phức w , z thỏa mãn w i N O C 58 D 13 U B 53 IE A T Tìm giá trị lớn biểu thức P z 2i z 2i A Chọn C Cách IL Lời giải T Câu 79 Trang 55 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Ta có: 5w i z 5w 5i i z 5i w 5i i z 5i w i 1 2i z 2i z 2i z 2i z 2i Ta có: 2 z z1 z z1 z z1 z z1 z z ; z, z (1) 2 ; z , z1 (2) Ta có: P z 2i z 2i z 2i z 2i Áp dụng (1) (2), ta có: z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i Vậy, ta có: z 2i z 2i 2 z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i 4i 2 2 P z 2i Do z 2i 2 nên P z 2i 4i 9 P 232 P 58 Cách Ta có: 5w i z thay w i 5 z 2i Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn C : x y 2 Gọi M C Ta có: P z 2i z 2i AM BM ; A 0;2 , B 6;2 Suy P AM BM T Gọi H trung điểm cạnh AB T H I N E AB 2 Ta có: P AM BM 2MH MH AB O N Vậy, P z 2i z 2i đạt giá trị lớn MH đạt giá trị lớn T A IL IE U Dựa vào hình vẽ sau Trang 56 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra, MH đạt giá trị lớn M M ' P 232 P 58 Câu 80 Cho hai số phức z1 ; z2 khác 1 cho z144 z2 58 Tìm giá trị nhỏ T z1 z2 gần với giá trị sau A 11 100 B 205 200 Lời giải C 200 D Chọn D z144 z258 z1 z2 Gọi acgumen z1 ' acgumen z với ; ' 0; 2 z1 cos i sin ; z2 cos ' i sin ' z144 z258 cos 44 sin 44 cos i sin 44 cos 44 i sin 44 1 58 cos 58 ' i sin 58 ' cos ' i sin ' cos 58 ' sin 58 ' cos 44 k ; k sin 22 k; t z2 1 cos 58 ' ' t ; ' t sin ' 29 E I N T N O U IE cos cos ' sin sin ' IL 2 T T z1 z2 cos i sin cos ' i sin ' H t t ; t 29 1 t 57 0; 2 t 29 A k k ; k 22 1 k 43; 0; 2 k 22 T z1 1 Trang 57 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group k t cos cos ' sin sin ' 2cos ' cos 22 29 Tmin z1 z2 1 k 43; k 22 k t cos 1 t 57; k 29 22 29 max 29k 22t Lấy k 3; t 29k 22t ; số nguyên dương nhỏ 3 4 Vậy z1 z2 cos 0.00492 22 29 Câu 81 Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 Tính giá trị lớn biểu thức 2 P z1 z2 z2 z3 z3 z1 A P B P 10 C P Lời giải D P 12 Chọn A Gọi A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 ; C x3 ; y3 điểm biễu diễn số phức z1 ; z2 ; z3 z1 z2 z3 suy A ; B ; C thuộc đường trịn tâm O bán kính Ta có z1 z2 AB ; z2 z3 BC z3 z1 AC Suy 2 2 P z1 z2 z2 z3 z3 z1 AB BC AC AO OB BO OC AO OC OA.OB OB.OC OA.OC OA OB OC 3OG OG ( với G trọng tâm tam giác ABC ) Dấu “ = “ xảy G O , hay ABC Câu 82 Cho số phức z thỏa mãn z z z z 12 Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ z 3i Giá trị M m bằng: B 24 A 28 C 26 D 20 T Lời giải I N 2 2 O U IE x y 3 T Ta có: P z 3i (1) IL Xét z z z z 12 x y N T H x; y A Gọi z x yi ; E Chọn B Trang 58 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Tập hợp điểm biểu diễn z x yi ; TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x; y thỏa mãn (1) miền (tính biên) hình thoi ABCD với A 0;3 ; B 2;0 ; C 0; 3 ; D 2;0 tạo đường thẳng x y Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) đường tròn tâm I 4; 3 bán kính R P P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi ABCD Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường tròn tiếp xúc cạnh CD: x y tương ứng có m 3.4 2.3 2 2 12 Điểm giao xa đỉnh A 0;3 13 hình thoi Do M 13 2 T A IL IE U O N T H I N E T M m 24 Trang 59 https://TaiLieuOnThi.Net ... điểm biểu diễn số phức w z i đường tròn I ;1 w khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đường trịn Do giá trị lớn w đoạn OQ I N E Xét tất số phức z thỏa mãn z 3i Giá trị nhỏ z 24i... z 8i 9i 130 Vậy giá trị lớn w 130 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có M M Số phức z 3i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N... Câu 29 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho số phức z1 2 i , z2 i số phức z thay đổi thỏa 2 mãn z z1 z z2 16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M m2 A 15 B C 11