PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT VẬN DỤNG CAO KÈM ĐÁP ÁN

Câu 1. (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình   1   2 2 log 1 log 1 1. x x     A. S  3 B. S      2 5;2 5 C. S     2 5 D. 3 13 2 S             Lời giải Chọn C Điều kiện 1 0 1 () 1 0 x x x          . Phương trình     2 2      2log 1 log 1 1 x x     2 2 2      2log 1 log 1 log 2 x x     2 2 2     log 1 log 2 1 x x     2      x x x 2 1 2 2   2 2 5 4 1 0 2 5 x L x x x            

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ + GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1.1 Phương pháp đưa số + Nếu a  0, a  1: log a x  b  x  a b 1 + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  2 + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a g  x  (mũ hóa)  3  Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit  Bước Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga), ta cần ý: log  f  x   0  a   a  log a b    b  log a  f  x   ĐK  f  x  mũ lẻ ĐK Câu  f  x   ĐK mũ chẵn  Bước Dùng công thức biến đổi đưa trên, giải  Bước So với điều kiện kết luận nghiệm (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log  x  1  log  x  1   A S  3  B S   5;  C S      13  D S       Lời giải Chọn C x 1  Điều kiện   x  (*) x 1  Phương trình  2log2  x 1  log2  x 1   2log2  x 1  log2  x  1  log2  log  x  1  log   x  1   x2  x   x  Hàm Rồng Thanh log3  x  x   log  x  3  Hóa 2019) Số nghiệm phương I N (THPT T O D U C Lời giải IE B N A trình H A IL Viết lại phương trình ta T Câu  T  E x    L  x2  4x     Vậy tập nghiệm phương trình S    x   Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  x  2 x    log  x  x   log3  x  3     x  x 1  x  4x  2x     x  3 Câu (Đề Tham Khảo 2018) Tổng log x.log x.log 27 x.log 81 x  80 A B giá trị tất nghiệm C D phương trình 82 Lời giải Chọn D Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   log x  1 log log x log x log x   (log x)  16    x   log x  2  Câu Nghiệm phương trình log x  log x  log A x  B x  3 C x  D x  Lời giải Điều kiện: x  1 Ta có: log x  log x  log  log x  log x   log 2  2log x  log x  log   3log x  log   log x3  log   log  3x3    3x3   x  So với điều kiện, nghiệm phương trình x  Câu (THPT trình log Lê Quý Dôn  x  1  log  x A 2 Dà Nẵng 3 3 2019) Gọi    Số phần tử tập S B S C Lời giải tập nghiệm phương D E  x  0(TM ) x2    x  4( L) I N H  x  1  log  x      x  1  T log T ĐK: x  1 Sơn Thanh Hóa 2019) Số nghiệm thục O Lam 3log  x  1  log  x    phương U (Chuyên IE Câu N Vậy tập nghiệm có phần tử A B C Trang https://TaiLieuOnThi.Net D T A IL trình Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Điều kiện: x  3log  x  1  log  x     3log3  x  1  3log3  x    3  log3  x  1  log3  x  5   log3  x  1 x      x  1 x     x2  x    x   Đối chiếu điều kiện suy phương trình có nghiệm x   Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng nghiệm phương trình log  x    log3  x    S  a  b (với a , b số nguyên) Giá trị biểu thức Q  a.b A B C Lời giải D Chọn D Điều kiện:  x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương log3  x    log x    log3  x   x     x   x    x   x     x2  6x   x      x   x   x    1  x  x   So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm x1   2; x2  Ta được: S  x1  x2    a  6; b  Vậy Q  a.b  Câu (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Tổng tất nghiệm phương trình log  x  1  log x  A B 1 C Lời giải D 2 Chọn A Điều kiện: x   x  1(N) Phương trình tương đương log  x  1 x     x  1 x   x  x      x  2(L) Vậy tổng nghiệm phương trình log  x  x  1  log x  log x C D Lời giải B E A T Tổng tất nghiệm thực phương trình I N Chọn C log  x  x  1  log x  log x điều kiện x    8x   log  x  x  1  log    4x   x2  x 1  T N O U IE IL A  log  x  x  1  log  2  H Phương trình T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group  x  1  x  Nghiệm x  1 loại, x  thỏa mãn Suy tổng nghiệm Câu 10 Gọi S tập nghiệm phương trình log  x    log  x  3   Tổng phần tử S A  B  D  C Lời giải Chọn D x  Điều kiện:  x  log  x    log  x     log  x    log  x  3  2  log  x   x  3     x  x    22 2  x  x   1 2x  8x      x  x      x  x   2 x   +) 1    x   (l ) +)    x     S  2;  Vậy tổng nghiệm S là:     Câu 11 (SGD Nam Định log x  x   log A 10 2019) Tổng tất x   log  x   81 B 10 nghiệm C Lời giải phương trình D Chọn A Điều kiện: x  log x  x   log  x2  log  x   81 1 log3  x  x    log  x     log3  x  3 2 I N E T  log3  x  x    log3  x    log  x  3  T H  log  x    Lời giải Trang https://TaiLieuOnThi.Net IL C x  y D x  y A đề đúng? A x  y B x  y IE U O (SGD Gia Lai 2019) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log  x  y    log xy Mệnh T Câu 12 N  x    x  10 (do điều kiện) Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A Với x , y  ta có: log  x  y    log xy  log  x  y   log 2 xy  x  y  xy  x y Câu 13 Biết phương trình log  x  x  1  log có hai nghiệm thực x1 , x2 Tích x1.x2 bằng: A 8 B 2 C Lời giải D Chọn B Ta có: log  x  x  1  log  log  x  x  1  log  x  5x     x     x  x   * Phương trình * có a.c  2  nên ln có nghiệm phân biệt Vậy x1.x2  2 Câu 14 (Chuyên Long An-2019) Tìm nghiệm phương trình 2log x  log  x  3  A x  B x  C x  Lời giải D x  16 Chọn A Điều kiện: x  log x  log  x  3   log x  log  x  3   log x  x  3   x  3x    x4   x  1 Kết hợp điều kiện, nghiệm phương trình là: x  (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Số nghiệm phương trình log3  x  1  log B C Lời giải  x  1  D T A  x  1  , điều kiện x  , x  T N O log  x  1  log H I N E Chọn B Ta có  log  x  1  log  x  1  log  log  x  1 x  1   log U IE 2 A   x  3x  1  IL T Câu 15 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  x  x   3  2 x  3x    x    x  Thử lại ta có nghiệm x  thỏa mãn Câu 16   (Sở Quảng Trị 2019) Số nghiệm phương trình log3 x  x  log  x  3  B A C D Lời giải Chọn D   x  4  x  x    x    x0 Điều kiện:  2 x     x   Ta có log  x  x   log  x  3   log  x  x   log3  x  3  x   log  x  x   log  x  3  x  x      x   x  3(l ) Câu 17 Biết nghiệm lớn phương trình log x  log  x  1  x  a  b ( a, b hai số nguyên ) Giá trị a  2b A B C D Lời giải Chọn A Điều kiện x  log x  log  x  1   2log x  log  x  1   log 2 x2   x2  x   2x 1 Nghiệm lớn phương trình x    a  2, b   a  2b   x    log3  x  4  D T C  Lời giải B E A  I N Câu 18 Tính tổng tất nghiệm thực phương trình log T H Chọn A O U    x   x    IE 2 IL  x    log  x   A T Ta có: log N x  Điều kiện:  x  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x    nhan    x   x     x  6x       x    loai    x   x    1  x  x    x   nhan  Vậy tổng tất nghiệm thực phương trình log Câu 19 Gọi S tổng tất nghiệm phương trình A S  10  x    log3  x  4   log x  log  x  10    log Tính S ? C S  10  B S  15 D S   Lời giải Chọn C x  Điều kiện phương trình:   x  10 log x  log  x  10    log  log x  log  x  10   log  2 Phương trình:  log  x  x  10     x  x  10   100  x  x  10   25  + Khi 10  x  : Phương trình     x  x  10   25  x  10 x  25   x  5  t/m  + Khi x  :  x  5   t/m  Phương trình    x  x  10   25  x  10 x  25     x  5   l    Vậy S  5  5   10  Câu 20 Cho phương trình log  x  1   log  x  log   x  Tổng nghiệm phương trình B 4 A  C  Lời giải D  Chọn C  x  12    x  1 Điều kiện:   x      x   4  x    x  log8   x   log x   log  log   x   log   x  I N E T log  x  1   log   x  1  16  x  x  x  12    log x   log 16  x   x   16  x    2   x  1   16  x   x  x  20  x   x  6  x     x   H T A IL IE U O N T Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group So với điều kiện phương trình trình có nghiệp x  2; x   Vậy tổng nghiệm  2 Câu 21 Cho log8 x  log y  log8 y  log x  Tìm giá trị biểu thức P  x  y A P  56 B P  16 C P  Lời giải D P  64 Chọn A Ta có: 1 log x  log y   log x  log y   log x  log y   x y  25  x y   25   215 1 3 Tương tự: log y  log x   y x  21   Lấy 1 nhân   x4 y  236  x2 y  218  3 Lấy 1 chia   y2   x  26 y   x 26 Thay   vào  3 26 y  218  y  212   23   y  23  Thay y  vào  4 x  26.64   26   x  26  64 Do P  x  y  56 Câu 22 Cho a , b, x  0; a  b b, x  thỏa mãn log x Khi biểu thức P  A P  a  2b  log x a  log b x 2a  3ab  b có giá trị bằng: (a  2b) 2 16 B P  C P  15 Lời giải D P  Chọn A log x a  2b a  2b  log x a   log x  log x a  log x b log b x  a  2b  ab  a  5ab  4b   a  ba  4b   a  4b (do a  b ) I N E T 2a  3ab  b 32b 12b  b2   (a  2b)2 36b H P T A IL IE U O N T   Câu 23 Cho x   0;  , biết log  sin x   log  cos x   2 log  sin x  cos x    log n  1  2 Giá trị n A B C D 2 Lời giải Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn D   Ta có sin x  ; cos x  , x   0;   2 Theo log2  sin x   log2  cos x   2  log  sin x.cos x   2  sin x.cos x  Do log  sin x  cos x    log n  1  log  sin x  cos x   log n   log n   log  sin x  sin x.cos x  cos x   log n   log  log n  log n Câu 24 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Biết phương trình ln  x    ln  ln x  ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 A  x1  x2  Tính P x1 x2 64 Lời giải B 64 D C x   Điều kiện   x   * x  2 Phương trình  ln  x    ln  ln x  ln 34  ln   x     ln  x.34      x  16  x.34  x  x1   thỏa mãn *     P  x  x2 64   x    81x    x2  16 Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Phương trình log 49 x  log  x  1  log log 3 có nghiệm? A B C D Lời giải    E T x  Điều kiện  x   log  x  1   log Văn Tụy - Ninh Bình -  x  log   x  có nghiệm? 2018) IL Lương Phương trình A (THPT T Câu 26 IE U O N T H I N log 49 x  log  x  1  log log 3  log x  log x   log  log x  x  1  log 2  x  x  1   x2  x   x     x   x  x    x  x  1  2   Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A Vô nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm Lời giải D Ba nghiệm Điều kiện: 4  x  x  1 Ta có log  x  1   log  x  log   x   log  x    log   x   x   x   x  6   x  1  16  x  x  x  12     x   16  x   x   x  x  20    x  1  x  16    x   2 Đối chiếu điều kiện, phương trình cho có hai nghiệm x  x   Câu 27 (SGD&ĐT BRVT - 2018) Tổng giá trị tất nghiệm phương trình log  x    log  x    log  2 A B C D 12 Lời giải  x  2 Điều kiện   * x  Ta có log  x    log x   log   log  x   x    log   x   x   x   x    thỏa mãn *   x  2 x       x   17   x        x    x     17  17   2 Định 2018) Vậy tổng nghiệm phương trình  Câu 28 (Xuân Trường    - Nam  Cho phương trình log x  x  log3 x  x   log x  x  Biết phương trình có nghiệm nghiệm cịn lại có dạng x  logb c a  a  logb c (với a , c số nguyên tố a  c ) Khi   giá trị a  2b  3c bằng: A B E   I N  T 1  x  Điều kiện   *  x  x    D C Lời giải  N T  O  U   log x  x     T   log x  x  log 6.log x  x   log x  x  IE  x 1 IL  x  A    log x  x  log H log x  x  log3 x  x   log x  x  Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x     1  Suy        y     t Mà t x a  b 1    a  1; b  y 2 Vậy T  a  b  12  52  26 Câu 49 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho số thực dương log a  log6 b  log9 4a  5b1 Đặt T  A  T  B thỏa mãn a, b b Khẳng định sau đúng? a T  C 2  T  D  T  Lời giải Chọn D a  4t  Giả sử: log a  log b  log  4a  5b    t  b  6t 4a  5b  9t 1  t t 2t t 4 6 2 2 Khi 4.4t  5.6t  9.9t                9 9 3 3   t    3   t    1   VN  t Vậy T  Câu 50 9  t  log    t  2 4  2 b 6 3  1          0;  a 4 2  2 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Phương trình x x 1   có hai nghiệm x1 , x2 Tính 3x T  x1.x2  x1  x2 A T   log B T  log C T  1 D T  Lời giải Ta có 3x x 1  x   3x x 1.4 x 1     log 3x x 1.4 x 1  E T  log 3x x 1  log x 1  I N  x  x  1 log   x  1 log  N T H   x  1 x log  log   IE U O  x  1   x   log T A IL Do T  x1.x2  x1  x2  log3  1  log3   1 Trang 44 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng 2.4 Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta vận dụng nội dung định lý (và kết quả) sau:  Nếu hàm số y  f  x  đơn điệu chiều D phương trình f  x   khơng q nghiệm D   Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x  xo phương trình, rõ hàm đơn điệu chiều D (luôn đồng biến nghịch biến D) kết luận x  xo nghiệm  Hàm số f  t  đơn điệu chiều khoảng  a; b  tồn u; v   a; b  f  u   f  v   u  v "   Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f  t  Câu 51 (SGD Nam Định 2019) Tổng tất nghiệm thực phương trình 15 x.5 x  5x 1  27 x  23 A 1 B C D Lời giải Chọn D x Ta có 15 x.5  x 1  27 x  23  x 1  x  1  27 x  23 (1) khơng thỏa mãn phương trình nên ta có 27 x  23 5x 1  x  1  27 x  23  x 1  (2) 3x  Hàm số y  f  x   x 1  5.5 x đồng biến  Dễ thấy x  Hàm số y  g  x   27 x  23 96 , có đạo hàm g   x     , nên nghịch biến 3x   3x  1 1  1  khoảng  ;   ;   3  3  1  1  Do khoảng  ;   ;   , phương trình (2) có nhiều nghiệm 3  3  1  1  Ta thấy x  1 x  nghiệm thuộc khoảng  ;   ;   3     Do (2) (1) có hai nghiệm x  1 x  Tổng hai nghiệm Câu 52 Cho số thực  cho phương trình x  2 x  cos  x có 2019 nghiệm thực Số nghiệm phương trình x  2 x   2cos  x D 4038 T C 4037 Lời giải E B 2018 I N A 2019 O N T x    IE IL A T Ta có:  x U x  x      cos  x   2  2   2.2 cos     x H Chọn D Trang 45 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x  x     2  2  cos  x  (1)      x x  2  2  2 cos  x  (2)     Ta thấy, phương trình x  2 x  cos  x có 2019 nghiệm thực phương trình (1) có 2019 nghiệm thực Nhận xét: + x0 nghiệm phương trình (1)  x0 nghiệm phương trình (2) + x0  khơng nghiệm hai phương trình 1 , 2 Do đó, tổng số nghiệm hai phương trình 1 , 2 4038 Vậy phương trình x  2 x   2cos  x có 4038 nghiệm thực Câu 53 Biết x1 , x2  hai nghiệm phương  x  x 1  log  x 1  x    2x  trình  a  b với a , b hai số nguyên dương Tính a  b A a  b  13 B a  b  11 C a  b  16 D a  b  14 Lời giải Chọn C Điều kiện: x  0, x   x  x 1  x 1  x  log  x  x 1  x  x 1  log 2 x  x Ta có: log     2x  x1  x2  Xét hàm số f t   log t  t có f  t   0;   t  nên hàm số đồng biến t ln Do ta có x  x   x  x  x    x  3 Khi x1  x2  Vậy x1  3 3 3 3 2   x1  x2  2  9 4 4 4     3 3 Do a  9; b  a  b    14 ; x2  4 C D E B I N A T Câu 54 Phương trình x  x 1    x 1  x có tổng nghiệm N    x 1  x  x.2 x 1  4.2 x 1  x  x  O x 2 T A x 1 U Chọn H Lời giải: IL IE Ta có  x1 ( x  4)  x( x  4)   ( x  4)(2 x1  x)  T A x   x   x () Trang 46 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Giải phương trình (*): Xét hàm số f ( x)  x  x có f '( x)  x ln  2; f ''( x)  x ln 2  Suy phương trình f '( x )  có nghiệm, suy phương trình f ( x )  có nhiều hai nghiệm Mà ta thấy f (1)  f (2)  nên phương trình (*) có nghiệm x  1; x  Vậy tổng nghiệm phương trình Câu 55 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Tìm số nghiệm phương trình A  x 1 C B e x 1  log  D Lời giải Chọn A Tập xác định: D    x  t 1 Đặt t  x   1 Với t  1  x  t     x  t  Khi phương trình trở thành t 2et  log  1 Số nghiệm phương trình 1 số điểm chung đồ thị hàm số y  f  t   t 2et  log đường thẳng y  t  (TM ) Ta có: f   t   et t  2t  f   t      t  2 ( L )   Bảng biến thiên  log , dựa vào bảng biên thiên ta phương trình 1 có nghiệm phân biệt e t1 , t2 thỏa mãn 1  t1  t2 hay phương trình cho có nghiệm x phân biệt Ta có  log    11  ; 2019  Câu 56 Tính số nghiệm phương trình cot x  x khoảng   12  A 2019 B 2018 C D 2020 I N Xét phương trình cot x  x E B 1 H Chọn T Lời giải O N T Điều kiện: sin x   x  k , k   A T  11  ; 2019  \ k  , với k    f   x   x.ln   cot x  x    12  IL IE U  11  ;2019  \ k  , với k   Xét hàm số f  x   x  cot x, x    12  Trang 47 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Suy hàm f  x số liên tục đồng biến khoảng  11  ;   ;  ; 2  ; ;  2018 ; 2019    12   11  ;   ta có bảng biến thiên +) Trên khoảng   12   11 Ta có f   12 11   11 12    cot    12    11, 0925  Do phương trình f  x   vô nghiệm   11  ;  khoảng   12  +) Trên khoảng  k ;  k  1   , k  1; 2; ; 2018 ta có bảng biến thiên Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy khoảng  k ;  k  1   , k  1; 2; ; 2018 phương trình f  x   có nghiệm Mà có 2018 khoảng nên phương trình f  x   có 2018 nghiệm Vậy phương trình f  x   có 2018 nghiệm x E I N H T N x T Câu 57 Hỏi phương trình 3.2 x  4.3x  5.4 x  6.5 x có tất nghiệm thực ? A B C D Lời giải Chọn B x Trang 48 https://TaiLieuOnThi.Net U IE IL x A x 2  3 4 Xét hàm số f  x            , x   5 5 5 T x O 2 3 4 Ta có : 3.2 x  4.3x  5.4 x  6.5 x            5 5 5 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x x x 2 3 4 Có f   x     ln    ln    ln  , x   nên hàm số f  x  nghịch biến 5 5 5 5  suy phương trình f  x   có nhiều nghiệm 1  22  176 Mặt khác f 1 f          nên phương trình có nghiệm thuộc  25  125 khoảng 1;    Từ 1  2 suy phương trình cho có nghiệm Câu 58 (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình 2019sin x  sin x   cos2 x có nghiệm thực  5 ; 2019  ? A 2025 B 2017 C 2022 D Vô nghiệm Lời giải Chọn A 1 Xét: 2019sin x  sin x   cos x  2019sin x  sin x   sin x Đặt: t  sin x, t   1;1   Khi 1 trở thành 2019t  t   t  2019t t   t  1 Xét hàm số:  f  t   2019 t   t t  , t   1;1  f   t    2   2019t t   t (  t ln 2019  1) 1 t t   t  Cho f   t     vô nghiệm  f   t   0, t   1;1   t ln 2019      có nghiệm t   s inx   x  k  , k  Z mà x   5 ; 2019   5  k  2019  5  k  2019  k   5; 2019 Kết luận: Có 2025 nghiệm thực  5 ; 2019  log7  x  4 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Số nghiệm phương trình A B C  x D Lời giải Chọn A Điều kiện phương trình: x  4 E T Với x  phương trình cho tương đương với phương trình log  x    log3 x t t t 3 1  x   t t t t Ta có  suy              t 7 7  x  U O N T 1 IL IE t A t 3 1 Xét hàm số f  t         1, t   7 7 H I N Đặt log  x    log x  t T Câu 59 Trang 49 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group t t 3  3 1 1 Ta có f '  t     ln      ln    0,  t   7 7 7 7 Nên f  t  nghịch biến tập  Mà f 1  nên phương trình có nghiệm t   x  Câu 60 Cho số thực x , y với x  thỏa mãn e x 3 y  e xy 1  x  y  1   e  xy 1  e x 3 y  y Gọi m giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  Mệnh đề sau đúng? A m   2;3 B m   1;  C m   0;1 D m  1;  Lời giải Chọn C x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1  Từ giả thiết e  e x 3 y  e x 3 y   x  y   e xy 1  t Xét hàm số f  t  = e  đồng biến  e  xy 1 e x 3 y  3y    xy  1 (1) 1  t với t  ta có f '  t  = et  t   0, t    f  t  hàm số t e e Phương trình (1) có dạng f  x  y   f   xy  1  x  y   xy   y  Khi T  x  y   x   Tmin   Câu 61 (Chuyên 2x  x2  6x  1  T '  1   0, x  2 x3  x  3  x  3 2.0  1   m 03 Vĩnh Phúc - 2018) x  x    x  x  3 83 x 5   x   x A x 1 ( x  0) x3 Số 8 x  nghiệm phương trình B C Lời giải Đặt u  x  x  , v  x  , phương trình cho viết lại D u  v  u.8v  v.8u  u 1  8v   v  8u  1 * Ta thấy u  v  thỏa mãn phương trình * Với u  v  ta có *   8v 8u   v u ** E H I N 8u  8u   u   Do VP **  0, u  u u T  Nếu u  T Ta thấy:  8v  8v  v   Do VT  **  0, v  v v Từ suy ** vô nghiệm O U IE IL A T Như vậy, phương trình cho tương đương với N  Nếu v  Trang 50 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   x   13  x2  8x    u    x   13 v     3 x    x   Vậy, phương trình cho có nghiệm Câu 62 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Tích tất giá trị x thỏa mãn phương trình 3 x  3   x     3x  x   2 B A C Lời giải Phương trình   3x  x   3x  x  1   3x  x    2.4 x       2.4      x x 3    x x x D 1  2 Xét phương trình 1 : 1  x   x  Xét phương trình   : Xét hàm f  x   3x  x   Hàm f  x  liên tục f   x   3x.ln  x.ln  x   nên f  x  hàm đồng biến  Khi đó,    f  x   f 1  x  Vậy tích nghiệm phương trình (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Phương trình e x  e khoảng nào?  5 3   3 A  2;  B  ;  C  1;   2 2   2 Lời giải x 1   x  2 x  có nghiệm 1  D  ;1 2  Chọn A ĐK: x    2x 1 1  * Xét hàm số f  t   et   t  1 với t   f '  t   et   t  1  với t   T  E  I N x 1 H  2x 1 1   Suy hàm số đồng biến   ;     T  e x   x  1  e  N O    x  1  U x 1 IE  ex  e   x2  2x  IL x 1 A ex  e T Câu 63 Trang 51 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  *  f  x   f   2x 1  x  2x 1 x   x  x      x    x  1  x  2x 1 x  2x 1     x   DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP CỦA MŨ VÀ LOGARIT Câu (Tham khảo 2019) Tổng tất nghiệm phương trình log   3x    x A C Lời giải B D Chọn A Điều kiện xác định phương trình  3x   3x   x  log3 log   x    x   3x  32 x   3x  3x Đặt t  x , với  t  , suy x  log t Ta có phương trình t  7t   có hai nghiệm t1   13  13 t2  2 Vậy có hai nghiệm x1 , x2 tương ứng Ta có x1  x2  log3 t1  log t2  log t1 t2 Theo định lý Vi-ét ta có t t2  , nên x1  x2  log  Câu   Tích nghiệm phương trình log x 1  36x  2 A C B log D Lời giải Chọn A       Ta có: log x1  36x  2  2log5 x 1  36x  2  log5 x 1  36 x  6 x  x   x 1  36 x   62 x  6.6 x     x   x  log 6  Vậy tích nghiệm phương trình bằng: 0.log  C Lời giải D E B I N A T Tổng nghiệm phương trình log  – x    x H Câu T A 2x  x   x   tmdk  2   x  IE  22 x  5.2 x   2x IL log   x    x   x  22  x   x  U O N T Chọn C Điều kiện:  x  Trang 52 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy tổng nghiệm phương trình cho Câu (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Số nghiệm phương trình log (4 x  4)  x  log (2 x 1  3) B A D C Lời giải Chọn B Ta có: log (4 x  4)  x  log (2 x 1  3)  log (4 x  4)  log 2 x  log (2 x 1  3) Điều kiện: x 1    x   log (4  4)  log 2 (2 x x x1  3)  x   x (2 x 1  3)  (2 x )  3.2 x    x  1(k t/m))  x  x    4(t/m) Đối chiếu điều kiện ta thấy x  thõa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm Câu   Gọi S tập hợp tất nghiệm nguyên dương phương trình log  102 x  x Số tập S A B C Lời giải D Chọn C   Xét phương trình log  102 x  x , điều kiện  102 x   x  log  x  log 10 x  2  x  log1  Ta có log   10   x   10  10  10  10     x 10  2x 2x x 2x x (Vì 10 x  2  vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x  thỏa mãn điều kiện loại  Số tập S 21  Tổng tất nghiệm phương trình log   x    x A B C Lời giải D I N E T Chọn A Điều kiện xác định  x   x   x  log T N IL IE U c   x1  x2  a A Hơn x1  x2  x1.2 x2   22 x  6.2 x   2x O log   x    x   x  21 x   x  H Ta có: T Câu Trang 53 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (Chuyên Thái Bình - 2018) Tính tích tất nghiệm thực phương trình    x    x  x  log   2  2x  B A C D Lời giải Điều kiện: x   x 1   x   x    PT:  log  2  2x  Đặt t  1 5 x2  1  x  x  2x 2x 2x PT trở thành log t  2t  (2)   Xét hàm f  t   log t  2t t  hàm đồng biến nên:    f  t   f  2  t  (t/m) Với t  Câu 2x2  1   x  x   (t/m) Vậy x1 x2  (theo Viet ) 2x (Thi thử hội trường chuyên 2019) Phương trình log  5.2 x    x có nghiệm nguyên dương? A B C Lời giải D Chọn D 2 x  x   Phương trình log 5.2 x   x  22 x  5.2 x     x x 1 2  Vậy phương trình có nghiệm ngun dương  Câu  (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình log   x    x có hai nghiệm thực x1 , x2 Tính P  x1  x2  x1 x2 A B C D 11 Lời giải Chọn A Điều kiện:  x    x   x  log  x   x  ( n) Phương trình log   x    x   x  22  x  22 x  5.2 x     x    x  ( n) I N E T Khi P  x1  x2  x1 x2  T N C K  24  log D K  32  log O B K  18  log U A K  32  log IE thức K  x1  x2 H Câu 10 Phương trình  x    log x  3  có hai nghiệm x1 , x2 (với x1  x2 ) Tính giá trị biểu T A IL Lời giải Chọn C Điều kiện: x  Trang 54 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2x   2x   x  log  x1  log x       log x       x  log x    x  log x    2    Vậy K  x1  x2  log  3.8  24  log Câu 11 Cho biết phương trình log (3x 1 1)  x  log có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính tổng S  27  27 A S  252 x1 x2 B S  45 C S  Lời giải D S  180 Chọn D Ta có log (3x1 1)  x  log  log 2(3x1 1)  x  2.3 x1   32 x   6.3   2x x Đặt 3x  t , t  0 , phương trình trở thành t  6.t   Phương trình ln có hai nghiệm dương phân biệt Đặt x1  t1 , x2  t , t1  t2  6, t1.t2  Ta có S  (t13  t 23 )  (t1  t2 )3  3t1 t2 (t1  t2 )  216  3.2.6  180 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tính tích tất nghiệm thực phương trình  x   x  21x log  5 2  2x  A B Lời giải C D Chọn C 2 x   Điều kiện:  x   x  0   2x x  x   x  21x  x  21x    2x   Khi đó, log   log x     log x     2 2   2x  2x     2x  1  x  , phương trình trở thành: log t   2t , t  2x 2x   , t  nên f  t  đồng biến  2;  t.ln I N Xét g  t    2t , t  Ta có: g   t   2t.ln  , t  nên g  t  nghịch biến T Xét f  t   log t , t  Ta có: f   t   E Đặt t  x   O N T H  2;   A IL  nghiệm phương trình log t   2t  2;  IE U Từ phương trình f  t   g  t  có nhiều nghiệm t  Ta nhận thấy t  nghiệm, T Câu 12 Trang 55 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  2 x  Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện Suy x    x2  4x     2x  2 x   x  , nên nghiệm phương trình cho Tích hai nghiệm là: 2 2  2 Câu 13 Số nghiệm phương trình log A 2x   x3 x  12 B D C Lời giải Chọn B Phương trình log 2x  2x  2x  x 3  x  x 3  x    x  12  x  12  12 2x  x   x   4.   32    x   8 + Với x   x  + Với x  8 phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm    x    x  x  Câu 14 Tính tích tất nghiệm thực phương trình log   2  2x  B A C D Lời giải Chọn D    x    x  x  2x2  log    Điều kiện 0 x   2x  2x  Ta có x  2 x   2x 2x Xét hàm số f  t   log t  t  f '  t    t ln  0, t  t ln Phương trình f  t   log t  2t   f  t   f    t      2019 x  C log2019 10 Lời giải Trang 56 https://TaiLieuOnThi.Net T N U x IE  IL B 2log 2019 16 2019 D 2log2019 10 A A log 2019 16  T  Câu 15 Tổng tất nghiệm phương trình log 10 O Ta có phương trình x  x   có hai nghiệm dương phân biệt có tích H I N E T  x    x  x  2x2  Vậy log       2x2  x    x x   Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B  Ta có log 10  2019  x   2019 x   10  2019  x  2019 x  16 (1) x t  Đặt t  2019  t   ta có PT (1) trở thành 10t  t  16  t  10t  16    t  x Với t  ta có 2019   x  log 2019  x  log 2019 2 x x  log 2019  x  log 2019 Do tổng tất nghiệm 2 log 2019 2 log 2019   log 2019  log 2019    log 2019 2.8   log 2019 16 Với t  ta có 2019   Câu 16 (THPT Hòa Vang - Đà Nẵng - 2018) Biết x x  log 14   y   y   với x  Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  B A C D Lời giải Do x  nên x  1  x   x x x x  22  , dấu xảy x   y2  Xét hàm f  y     y   y  1, y  1 , ta có f   y     y    y     2y   y       y  Lập bảng biến thiên, suy max f  y   16 y   y   1;     Suy log 14   y   y    log 16  Do x x  Vậy P  x  y  xy    log 14   y   y     y  (Tốn Học Tuổi Trẻ - 2018) Phương trình  x  1  B  ;8 2  A 2;8 log8 x x log8  x  1 1 C  ;  2 8 Lời giải  có tập nghiệm  1 D 2;   8 Điều kiện: x  log8  x  4   4x log8 x   4x  4x log8 x 2 log8 x 4 T x E log8 x I N  4x N T H  log x log  x   log A IL IE U O 2   log8 x   log x   3  Đặt t  log x T Câu 17 x Trang 57 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  t 2  Phương trình trở thành: t   t    t  t      3 3   t  1 1 t   log8 x   x  (nhận) 3 t  1  log8 x  1  x  (nhận)  1 Vậy tập nghiệm 2;   8 Câu 18 (THPT Yên Lạc- 2018) Tính tổng 5 3 ln   6x  A S  x x  x 1 x    5.3  30 x  10   B S  S tất nghiệm phương trình: C S  1 Lời giải D S  Điều kiện x   Phương trình tương đương ln  5x  3x   ln  x     5x  3x    x     ln  5x  3x    5x  3x   ln  x     x   (1) Xét hàm sô f  t   ln t  5t , t  Có f '  t     ,  t  nên f  t  đồng biến Từ 1 suy t f  5x  3x   f  x    5x  3x  x   5x  3x  x   Xét g  x   x  3x  x  , g '  x   x ln  3x ln  2 g ''  x   5x  ln   3x  ln 3  x     Nên g '  x   có khơng q nghiệm suy g  x   có khơng q nghiệm   ;     T A IL IE U O N T H I N E T Mà g    g 1  Vậy phương trình có nghiệm 0,1 Do S  Trang 58 https://TaiLieuOnThi.Net ... - Quốc Tế - 2019) Xét phương trình  log x  1 log3 x    Mệnh đề sau đúng? A Phương trình vơ nghiệm B Phương trình có nghiệm bé C Phương trình có nghiệm lớn nghiệm bé D Phương trình có nghiệm... (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình  16 x A Nghiệm phương trình số vơ tỷ B Tổng nghiệm phương trình số nguyên C Tích nghiệm phương trình số âm D Phương trình vơ nghiệm Lời giải Chọn C... x  4 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Số nghiệm phương trình A B C  x D Lời giải Chọn A Điều kiện phương trình: x  4 E T Với x  phương trình cho tương đương với phương trình log  x  