12. Bất Phương Trình Mũ - Logarit (Đa-Vdc).Pdf

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9 10 ĐIỂM DẠNG 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ Câu 1 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho a là số thực dương,[.]

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 20 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho a số thực dương, a  Biết bất phương trình log a x  x  nghiệm với x  Số a thuộc tập hợp sau đây? B  3;5 A  7;8 C  2;3 D  8;   Lời giải Chọn A Ta có: với x  log a    Ta tìm a để đường thẳng y  x  nhận làm tiếp tuyến đồ thị hàm số y  log a x điểm x 1 Có y   2  y  1  x lna ln a  x  1 ln a Vậy để đường thẳng y  x  nhận làm tiếp tuyến đồ thị hàm số y  log a x Phương trình tiếp tuyến y    ln a   a  e ln a Thử lại a  e ta chứng minh log e2 x  x   ln x  x   f  x   ln x  x   x  1 x 1   f  x   x  x x Bảng biến thiên Có f   x   Từ bảng biến thiên suy f  x    ln x  x  x  (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho   a số nguyên dương lớn thỏa mãn   E D 23 I N C 25 Lời giải H B 26 T A 19 T 3log3  a  a  2log2 a Giá trị log  2017a  xấp xỉ bằng: O N Từ giả thiết 3log3  a  a  2log2 a IE IL A Ta bất phương trình: 3log 1  x  x   x   8x  x  x U Đặt log a  x  a  64 x T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x x x 1 8 4           9 9 9 x x x 1 8 4 Đặt f  x           9 9 9 x x x 1 1 8 8 4 4  f   x     ln      ln      ln    ,  x   9 9 9 9 9 9 Vậy f  x  hàm số nghịch biến  Và ta lại có f    x x x 1 8 4 Từ           f  x   f    x  9 9 9 Suy a  64  4096 mà a số nguyên dương lớn thỏa mãn suy a  4095 Vậy log  2017a   log  2017  4095   22.97764311  23 Câu (Chuyên Hưng Yên 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình   log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m có nghiệm với x   ;0  A m  B  m  ;m  Đk: x    C m  Lời giải D m   Ta có: log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m , x   ;0   log  x  1  m , x    ;   3x   2m , x    ;0  Xét hàm f  x   3x    ;  Ta có f   x   3x.ln  0, x    ;0  Bảng biến thiên: x ∞ y' + y Để phương trình có nghiệm với x   ;0  ta phải có 2m   m  (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Gọi S tổng tất giá trị nguyên m để bất phương trình ln  x    ln  mx  x  m  nghiệm với x thuộc  Tính S C S  12 Lời giải D S  35 T B S  E A S  14 I N Câu T H Chọn C Ta có: N 7 x   mx  x  m   m  x  x   m  1   ln  x    ln  mx  x  m    mx  x  m  mx  x  m    O IE U Trang A IL Bất phương trình cho với x   bất phương trình 1 ,  2 với T x https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét   m  x  x   m  1 + Khi m  ta có 1 trở thành 4 x   x  Do m  khơng thỏa mãn + Khi m  ta có 1 với x   m  7  m  m   m       '  m   m  4    m   Xét mx  x  m    + Khi m  ta có  2 trở thành 4 x   x  Do m  khơng thỏa mãn + Khi m  ta có   với x   m  m  m      m     '  4  m  m  2  m  Từ      ta có  m  Do m  Z nên m  3; 4;5 Từ S     12 (Chuyên Bắc Giang 2019) Có giá trị nguyên dương m để bất phương trình log  x    log  mx  x  m  nghiệm với x A B C Lời giải D Chọn D Cách 1: 7 x   mx  x  m Bpt: log  x    log  mx  x  m     mx  x  m   f  x    m   x  x  m     g  x   mx  x  m   f  x   , x   Bpt cho nghiệm với x      g  x   , x    Trường hợp 1: m   f  x   4 x    7 x  x    g  x   Vậy m  không thỏa yêu cầu toán  Trường hợp 2: m  7 x  x    f  x     4 x   g  x   I N E T Vậy m  không thỏa yêu cầu toán  Trường hợp 3: m  0; m  IL IE U O N T H a f  m   m    m   m    f  x   0, x    f  4   m       Khi đó:  2m5  a   g  x   0, x    g m  m      m  2  m  4  m   g A Do m   nên m  3; 4;5 T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Cách 2: 7 x   mx  x  m log  x    log  mx  x  m     mx  x  m  2 7 x  x   m  x  1  m   x  x  m      mx  x  m   m  x  1  4 x 4 x 4 x  x2  x    m  x  7  x   m m   x     (*) m  4 x  m  4 x  m  4 x 2  x 1 x 1   x 1 4 x Xét hàm số g ( x )   x 1 4( x  1)  x ( x  1) x  g '( x)   ( x  1) ( x  1)  x  1 g '( x)    x 1 Bảng biến thiên m   2 Vậy đk (*)    2m5 m  Do m   nên m  3; 4;5 Câu (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log  x 1  log  x3  x  m có nghiệm A m  C m  2 B m   D Không tồn m Lời giải Chọn A I N E T  x  Điều kiện    x  x  m  Phương trình tương đương f  x   x   m,  x  1  m  f  x Trang https://TaiLieuOnThi.Net IL A T f   x  3x   x   1;  IE 1; Ta có T N O Khi ta có U H log  x 1  log  x3  x  m  x 1  x3  x  m  x3 1  m Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên Câu Dựa vào bảng biến thiên đề hỏi “có nghiệm” nên ta chọn m   (THPT Chun Thái Bình - 2019) Có tất giá trị tham số m để bất phương     trình log x  mx  m   log x  nghiệm với x   A B D C Lời giải Chọn D Ta thấy x   x   Do bất phương trình log  x  mx  m    log  x2  2  x2  mx  m   x   mx  m      Bất phương trình log x  mx  m   log x  nghiệm với x   mx  m  x    m  (Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập S tất giá trị thực số m để tồn cặp   số  x; y  thỏa mãn log x2  y2  x  y   m2  x  y  x  y   A S  5; 1;1;5 B S  1;1 C S  5;5 D S  7  5; 1;1;5;7 Lời giải Chọn A y m I -3 J O -1 x Nhận thấy x  y   với x, y  nên: E T log x2  y2   x  y   m2    x  y   m  x  y   x  y  x  y   m    x     y    m (*) I N A IL IE U O N T H x  Khi m  (*)   Cặp  2;  khơng nghiệm phương trình y  x2  y  x  y   T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Khi m  , tập hợp điểm  x; y  thỏa mãn (*) hình trịn tâm J  2;  , bán kính m Trường hợp này, u cầu tốn trở thành tìm m để đường tròn tâm I  1;  , bán kính hình trịn tâm J  2;  , bán kính m có điểm chung (hình vẽ)  m 1  m  1 Điều xảy   (thỏa mãn m  )  m  5  m  Vậy S  5; 1;1;5 Câu (Bình Giang-Hải Dương 2019) Xét bất phương trình log 22  x    m  1 log x   Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng A m    ;    B m   0;   C m   ;    2; D m    ;     Lời giải Chọn D Bất phương trình log 22  x    m  1 log x    log 22 x  2m log x   1 Đặt t  log x , x    1  2;   t   ;   2  Bất phương trình trở thành t  2mt    2mt  t   2m  Đặt f t   1  t 1 với t   ;    t Bất phương trình 1 có nghiệm thuộc khoảng  t2 1 2 t  2; bất phương trình 2 có 1  nghiệm thuộc khoảng  ;   2  Ta có f   t    1   t   ;   t 2   E  I N 2; H Từ bảng biến thiên suy bất phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng T Bảng biến thiên O N T 3 2m    m   IE U Câu 10 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình T tập hợp S A A IL m  x5  x   m  x  x3   x  ln x   thỏa mãn với x  Tính tổng giá trị B C Trang https://TaiLieuOnThi.Net D 2 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C     Đặt f  x   m x  x  m x  x3  x  ln x  Ta có f  x  liên tục, có đạo hàm x Bất phương trình cho viết thành f  x   Giả sử y  f  x  có đồ thị (C)  0;        f   x   m x  x  m x  x   f  x   với x  đồ thị (C) khơng nằm phía trục Ox Mặt khác (C) Ox có điểm chung A 1;  Nên điều kiện cần để đồ thị (C) khơng nằm phía trục Ox Ox tiếp xúc với (C) A 1;  m  Suy ra, f ' 1   m  m   m  Với m  ta có bất phương trình cho trở thành f  x   x  ln x   f  x   x  Bảng biến thiên hàm số f  x  Dựa vào bảng biến thiên ta có f  x   0, x  Suy m  thỏa mãn điều kiện Với m  ta có bất phương trình cho trở thành f  x   x  x  x3  ln x  x   x5  x  3x3  x   x  1  x  x  1 f   x   x  8x  3x     x x x 2 2       Ta có x  x    x  x    x          32    32  Suy f   x    x  Bảng biến thiên hàm số f  x  sau I N E T Dựa vào bảng biến thiên ta có f  x   0, x  Suy m  thỏa mãn điều kiện O N T (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  C 35 Lời giải Chọn A D Vô số IL B 34 A A 36 IE U Có tất giá trị nguyên m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ? T Câu 11 H Vậy S  0;1 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Ta có: log  x  x     log  x  x   m  , x  1;3  log  x  14 x  14   log  x  x   m  , x  1;3  x  x   m  0, x  1;3  m    x  x   , x  1;3 1   2  x  x   m, x  1;3 6 x  x   m, x  1;3   Xét g  x     x  x   , x  1;3 , có g  x     x      1     12, x  1;3  2 Do 1  m  12 Xét h  x   x  x  9, x  1;3 , có h  x   6.12  8.1   23, x  1;3 Do    m  23 Do m m   12; 23 nên ta tập giá trị m 12; 11; 10; ; 23 Vậy có tổng cộng 36 giá trị m thỏa yêu cầu toán Câu 12 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Gọi m0 giá trị nhỏ để bất phương trình x   log   x   2log  m    khẳng định sau A m0   9;10      x  x     log  x  1 có nghiệm Chọn đáp án  C m0   10;   B m0   8;9  D m0   9;  8 Lời giải Chọn C  1  x   1  x    + Điều kiện xác định:   x  x  m    x  x    m   + Với điều kiện bất phương trình: x    log   x   2log  m    x  x     log  x  1        x  2x    *    x    log    x  x  1  log  m    x  x     x    x  x    m    x  x  2 x  m     x  x     x  x  1     + Ta thấy nghiệm 1 khoảng  1;2  thỏa mãn * T + Đặt t   x  x  ,  t   với x   1;2  2x     x  x  2 I N 2  x  2x  H T 2x  N 1 O f  x  E Xét f  x    x  x  với x   1;2  IE U f  x    2  x  2x   x  T A IL Bảng biến thiên: Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy x   1;2  t  + Ta có t   x  + 1 trở thành m   3;3   x  x    x    x  x    t2  t2   4t  2m  t  8t    + 1 có nghiệm x   1;2     có nghiệm t  + Xét hàm số y  g  t   t  8t    3;3 3;3 Bảng biến thiên: + Do bất phương trình   có nghiệm t  Suy m0   Câu 13  3;3 2m  19  m   19 19   10; 9  (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Gọi S tập hợp tất điểm M  x; y  x, y số nguyên thoả mãn điều kiện log x2  y 1  x  y  m   1, với m tham số Có số nguyên m thuộc đoạn  2020; 2019 để tập S có khơng q phần tử? A B 2020 C 2021 Lời giải D 2019 Chọn C log x  y 1  x  y  m    x  y  m  x  y    x  1   y  1  m  Để bất phương trình có phần tử 2 m 1   m  Bình - Lần - 2020) Cho bất phương trình E Thái I N (Chuyên log  x  x     log  x  x   m  Có tất giá trị nguyên tham số m để H Chọn A Điều kiện xác định x  x   m  N O U D Vô số IE C 34 Lời giải IL B 35 A A 36 T bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ? T Câu 14 T Vậy có 2021 số nguyên m thuộc đoạn  2020; 2019 để tập S có khơng q phần tử Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Khi log  x  x     log  x  x   m   log  x  14 x  14   log  x  x   m   x  14 x  14  x  x  m   x2  8x   m  2 6 x  x   m  6.1    m  Khi ycbt    12  m  23 , x  1;3     x  x   m  1    m  Vậy có 36 giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu 15 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x   Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng   B m    ;0    A m   0;     C m    ;     Lời giải   2;   D m   ;0  Điều kiện: x  log 22 x   m  1 log x    1  log2 x    m  1 log2 x   1 Đặt t  log x Vì x  nên log x  log 2  1 1  Do t   ;   2  thành 1  t    m  1 t    t  2mt     1  Cách 1: Yêu cầu tốn tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  ;   2  Xét bất phương trình (2) có:  '  m   0,  m   f  t   t  2mt   có ac  nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1   t2 1  t2  m  m    m   2 t 1 1  Cách 2: t  2mt    f  t   < m t   2t 2    Khảo sát hàm số f  t   0;   ta m    ;     Khi cần (Chuyên Vinh - 2018) Gọi a số thực lớn để bất phương trình x  x   a ln  x  x  1  nghiệm với x   Mệnh đề sau đúng? 2 A a   2;3 B a   8;    C a   6;  D a   6;  5 T Câu 16 I N E Lời giải H 1 3  Đặt t  x  x    x    suy t  2  N T Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net U IE IL A T Trường hợp 1: t  a ln t  t  với a Trường hợp 2:  t  O Bất phương trình x  x   a ln  x  x  1   t  a ln t    a ln t  t  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 **  m  2 Từ bảng biến thiên ta có, Câu 26 (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 3 x2  x    x  m  có nghiệm nguyên? A 65021 B 65024 C 65022 D 65023 Lời giải Chọn B 3 x2  x    x  m  (1) Th1: Xét 3x x Th2: Xét 3x x  x  1 nghiệm bất phương trình (1)    x2  x    x   x  1    x2  x    x  2 Khi đó, (1)  x  m  x  log m (2) Nếu m  (2) vơ nghiệm Nếu m  (2)   log m  x  log m Do đó, (1) có nghiệm nguyên    ; 1   2;       log m ; log m  có giá trị log m  3;   512  m  65536 (thỏa đk m  ) Suy có 65024 giá trị m nguyên nguyên thỏa mãn Th3: Xét 3x x    x  x   1  x  Vì  1;  có hai số nguyên nên khơng có giá trị m để bất phương trình (1) có nghiệm nguyên Vậy có tất 65024 giá trị m nguyên thỏa ycbt (Cụm Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho bất phương trình m.3x 1  (3m  2)(4  7) x  (4  7) x  , với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình cho nghiệm với x   ;  22 B m  22 C m  22 D m   22 I N  (3m  2).(4  7)  (4  7)  x x x H m.3 E Lời giải x 1 T A m  x U O N T  4   4   3m  (3m  2)           IE x A IL  4  Đặt t       Khi x   t  T Câu 27 Trang 29 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group BPT trở thành 3m   3m  t  , t   0;1 t 1 Xét f (t )  f t (t )  3m   t  0, t   0;1 t t  , t   0;1 t 1 t  2t    t  1 t 1 Vậy ycbt  3m  Câu 28 6 22 m 3 (THPT Thái Phiên - Hải Phịng - 2018) Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x    x  m nghiệm với x    ; log  A m  B m  2 C m  D m  2 Lời giải Đặt  t Vì x  log    x x Yêu cầu toán trở thành log 0t 5 t    t  m , t   0;5  Xét hàm số f  t   t    t với t   0;5  1  t  2 5t 1    t    t  t    t  t  f t    t 3 5t Có f   t   H I N E T Bảng biến thiên 100 841 C m  Trang 30 https://TaiLieuOnThi.Net D m  100 841 A B m  T A m  IL IE U O N T Dựa vào bảng biến thiên ta có: m  Câu 29 (THPT Ngơ Quyền - Hải Phịng - 2018) Tìm tất giá trị m để bất phương trình 2 1  m.4 x  x 1  1  2m  10 x  x 1  m.25 x  x 1  nghiệm với x   ;  2  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải m.4 x  x 1  1  m  10 x 5  m  1  2m    2 5 Đặt t    2 x  x 1  x 1 x  x 1  m.25 x 5  m   2  x 1 x 0   x 1  1 1  , Xét u  x   x  x  , x  ;  2  u  x  2x  ; u  x    x  1 u     ; u 1  2; u    1  u  x   2 , max u  x   1 1  1  2  ; 2  ; 2    2  t  25 1  m  1  2m  t  m.t   mt  1  2m  t  m   m  t  2t  1  t m t t  2t  Xét hàm số f  t   f  t   t  2 ,t   ;  t  2t   25  t  1 l  t  ; f   t    t      t  2t  1 t   l    10   100 ; f  f    49  25  841 100  f  t    2 841  ;   25  Vậy m  100 1  bất phương trình nghiệm với x   ;  841 2  DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 728 số   nguyên y thỏa mãn log x  y  log3 ( x  y ) ? C 116 Lời giải D 115  I N Với x   ta có x2  x E C  H Chọn B 58 T A 59 N T Xét hàm số f ( y )  log3 ( x  y )  log x  y U O Tập xác định D  ( x; ) (do y   x  y   x ) IL IE 1   0, x  D (do x  y  x  y  , ln  ln ) ( x  y ) ln  x  y  ln A f '( y )   f tăng D T Câu Trang 31 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group   Ta có f ( x  1)  log ( x  x  1)  log x2  x   Có khơng q 728 số nguyên y thỏa mãn f  y    f ( x  729)   log3 729  log  x  x  729    x2  x  729  46   x2  x  3367   57,5  x  58,5 Mà x   nên x  57,  56, ,58 Vậy có 58  (57)   116 số nguyên x thỏa Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 242 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 55 C 29 Lời giải B 28 D 56 Chọn D  x2  y  Điều kiện:  x  y  t  x  x  4t  3t  x  y  Đặt log  x  y   t , ta có    t t  x  y   y   x  * Nhận xét hàm số f  t   4t  3t đồng biến khoảng  0;   f  t   với t  Gọi n   thỏa 4n  3n  x  x , *  t  n Từ đó, ta có  x  y  3t  x  3n  x Mặt khác, có khơng q 242 số nguyên y thỏa mãn đề nên 3n  242  n  log 242 Từ đó, suy x  x  4log3 242  242  27,  x  28, Mà x   nên x  27,  26, , 27, 28 Vậy có 56 giá trị nguyên x thỏa yêu cầu đề (Mã 103 - 2020 Lần 1) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 127 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? C 45 Lời giải D 90 T B 46 E A 89 I N Câu Chọn D N T H Ta có log  x  y   log  x  y 1 O Đặt t  x  y   * (do x, y  , x  y  ) IE IL A 1   với y Do g  t  đồng biến 1;  t ln  x  x  t  ln T Đạo hàm g (t )  U (1)  log  x  x  t   log t  g (t )  log t  log  x  x  t     Trang 32 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Vì x ngun có khơng q 127 giá trị t   * nên ta có TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 g (128)   log 128  log  x  x  128    x  x  128  37  44,8  x  45,8 Như có 90 giá trị thỏa yêu cầu toán Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 255 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 80 B 79 C 157 Lời giải D 158 Chọn D Ta có: log  x  y   log  x  y   x  y  3log  x  y   x  y   x  y  log 1 Đk: x  y  ( x, y   , x  y  ) Đặt t  x  y  , nên từ 1  x  x  t log  t   Để 1 khơng có q 255 nghiệm ngun y bất phương trình   có không 255 nghiệm nguyên dương t Đặt M  f  255  với f  t   t log  t Vì f hàm đồng biến 1,  nên     t  f 1  x  x  x  x  Vậy   có khơng q 255 nghiệm nguyên  f 1  x  x   255  x  x  255  78  x  79  x   Vậy có 158 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu toán (Mã 102 - 2020 Lần 2) Xét số thực thỏa mãn x biểu thức P   y 1   x  y  x   x Giá trị lớn 8x  gần với giá trị sau nhất? 2x  y  A B C Lời giải D Chọn C   x  y  x   x 2x  y 1 2x  y  x 1 2 x 1  y 2  x2  y  2x    x  1  y    1   Đặt t   x  1  y 2 1  2t  t     t    x  1  y2  T 8x    P  8 x  P y   P    2x  y  Yêu cầu toán tương đương: 2P   P    3P  12   P    P    P   2  P  8  P A IL IE U O N T H I N E P T Câu Trang 33 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Xét số thực x , y thỏa mãn x biểu thức P  A  y 1   x  y  x   x Giá trị nhỏ 8x  gần với số 2x  y  C Lời giải B D Chọn C Nhận xét x  y  x   0x; y Bất 2x phương  y 1   x  y  x   x  x  y 1 2x trình   x2  y  2x    2x  y  x 1   x2  y2  x  2 Đặt t  x  y  x  2 Bất phương trình  2t  t   2t  t   Đặt f  t   2t  t  Ta thấy f    f 1  Ta có f   t   2t ln    f   t    2t ln   t  log    0,52  ln  Quan sats BBT ta thấy f  t     t   x  y  x     x  1  y  1 Xét P  8x   Px  Py  P  x  2x  y   P     P  x  Py  P   P     P  x  P   Py  3P  12    P  x  1  Py   3P  12     P  x  1  Py     P   P   x  1  y     2 2 Thế 1 vào ta có  P  12     2P   P   P  40 P  80     P     T A IL IE U O N T E H   x      2     P x  2 x 1  y y  x 1  y        y   Dấu “=” xảy  P     2 y    x  12  y  y   x         3      y   T I N Trang 34 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy giá trị nhỏ P   2,76 gần giá trị Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Xét số thực x, y thỏa mãn x biểu thức P  A 2 Chọn B Ta có x  2  y 1 x 1  y 2  y 1   x  y  x   x Giá trị nhỏ 4y gần với số đây? 2x  y 1 B 3 C 5 Lời giải   x2  y2  2x  2 4x  2x  y 1 x D 4  x2  y2  2x    x  1  y  Đặt t   x  1  y  t   , ta BPT: 2t  t  2 Đồ thị hàm số y  2t đồ thị hàm số y  t  sau: Từ đồ thị suy 2t  t    t    x  1  y  Do tập hợp cặp số  x; y  thỏa mãn thuộc hình tròn  C  tâm I 1;  , R  Ta có P  4y  Px   P   y  P  phương trình đường thẳng d 2x  y 1 Do d  C  có điểm chung  d  I ,  d    R  3P 4P   P  4 2   P  P  16   1   P  1  , suy giá trị nhỏ P gần với 3 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Xét số thực x y thỏa mãn x T E D   x2  y2  2x  2 4x  2x  x 1 y   x  x  1  y  N  y 1 O T H C Lời giải U Chọn A Ta có: x   x  y  x   x Giá trị 4y gần với số đây? 2x  y  B A  y 1 I N lớn biểu thức P  IL A Đặt f  t   2t  t  1, t  , ta có: f   t   2t ln  , cho f   t   IE Đặt t  x  x   y  t  Khi ta có 2t  t  , t  T Câu Trang 35 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Ta nhận thấy phương trình f   t   có nghiệm nên phương trình f  t   có tối đa hai nghiệm Mặt khác ta có f    f 1  Suy phương trình f  t   có hai nghiệm t  t  Khi ta có bảng xét dấu hàm số f  t  sau: Khi f  t    t   0;1 Suy x  x   y    x  1  y  Khi tập hợp điểm M  x; y  hình trịn  S  tâm I 1;0  , bán kính R  Ta có: P  4y  Px   P   y  P  2x  y  Khi ta có tập hợp điểm M  x; y  đường thẳng  : Px   P   y  P  Để   S  có điểm chung, ta suy d  I ,     2P  P 2P    P  4   P  5P  P  16  P  P  16   1   P  1  Ta suy Pmax Câu   x   1  Dấu "  " xảy  y    (Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B 65 49 Lời giải C D 57 Chọn B Cách 1: Nhận xét: Giá trị x, y thỏa mãn phương trình x  y  x  y 1  1 làm cho biểu thức P nhỏ Đặt a  x  y , từ 1 ta phương trình nghiệm a  3  x y  2 IE U O N T H T A IL  65 65  Ta viết lại biểu thức P   x  y    x  y    y     Vậy Pmin  4 8  Cách 2: Với x, y khơng âm ta có Trang 36 https://TaiLieuOnThi.Net E a   hàm số đồng biến theo biến a , nên phương trình có y y I N Nhận thấy y  4a 1  T 4a 1  a    y y Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x  y.4 x  y 1   x  y.4 x y   x y   3     x  y    y   1  (1) 2     x  y  32  3  Nếu x  y    x  y    y   1   y  40  1  (vơ lí) 2    Vậy x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta P  x  y  x  y   x  3   y    13 2 13 65    x  y    13      13  22   y   x  y    Đẳng thức xảy   x   y  x   65 Vậy P  (Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 65 B 33 49 Lời giải C 57 D Chọn A Ta có x  y.4 x  y 1   y.22 x  y    x  y.22 y    x  23 x * Hàm số f  t   t.2t đồng biến  , nên từ * ta suy y   x  x  y   1 Ta thấy 1 bất phương trình bậc có miền nghiệm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d : x  y   (phần không chứa gốc tọa độ O ), kể điểm thuộc đường thẳng d Xét biểu thức P  x  y  x  y   x  3   y    P  13 2  2 Để P tồn ta phải có P  13   P  13 Trường hợp 1: Nếu P  13 x  3; y  2 khơng thỏa 1 Do đó, trường hợp khơng thể E T xảy H I N Trường hợp 2: Với P  13 , ta thấy   đường trịn  C  có tâm I  3; 2  bán kính U IE 13 65  P  13  P  2 A IL Để d  C  có điểm chung d  I ; d   R  O N T R  P  13 T Câu 10 Trang 37 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy P  Câu 11 65 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B C 21 D 41 Lời giải Chọn D Ta có x  y.4 x  y 1    x  3 4 x  y.4 y 1   y.22 y    x  232 x (1) Xét TH:  x   x  (1) với giá trị  21 x  2 (2)  P  x  y  2x  y    y  Xét hàm số f  t   t.2t với t  Xét TH:  x    x   f   t   2t  t.2t.ln  với t  (1)  f  y   f   x   y   x  y   x Khi đó: 2 33  41 41 3   P  x  y  x  y  x    x   x    x   x2  5x   2 x     (3) 4 8 2   41 So sánh (2) (3) ta thấy GTNN P x  , y  4 Câu 12 2 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B C 21 D 41 Lời giải N T E I N H  33 x  2 Xét TH  x   x  (1) với giá trị  (2)  P  x  y  4x  y   y  Xét TH  x    x  t Xét hàm số f  t   t với t  T Chọn D Ta có x  y.4 x  y 1    x   4 x  y.4 y 1   y.22 y    x  23 x (1) U O  f   t   2t  t.2t.ln  với t  T A IL IE (1)  f  y   f   x  Trang 38 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  y   2x  y x 2 21 3   P  x2  y  x  y  x2    x   x    x   x2  x  2   41 41   P  2 x     (3) 4 8  So sánh (2) (3) ta thấy GTNN P (Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Trong nghiệm  x; y  thỏa mãn bất phương trình log x2  y2  x  y   Giá trị lớn biểu thức T  x  y bằng: A B Trường hợp 1: x  y  Đặt Lời giải C y  z Suy  x  z  1 z  x2  z 2 log x2  y2  x  y    x  y  x  y  x      x  1   z    2  D  2 Tập hợp điểm M  x; z  miền  H  bao gồm miền hình trịn  C1  : x  z  A IL IE U O N T H I N E T   miền hình trịn  C2  :  x  1   z    2  T Câu 13 41 x  , y  4 Trang 39 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group z  T  x    z   Hệ  x  1   z   T  có điểm chung với   có nghiệm đường thẳng d :2 x  2   x2  z2    miền  H  Để T đạt giá trị lớn đường thẳng d :2 x   d  I;d   z  T  tiếp xúc với đường tròn  C2    với I 1;  tâm đường tròn  C2  2  2 T T  (l ) 9  T   T  4 2 4  2 2  Trường hợp 2:  x  y  log x2  y  x  y    x  y  x  y  T  x  y  (loại) Vậy giá trị lớn biểu thức T  x  y max T  Câu 14 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có  x; y  với x, y nguyên  2y   2x 1   x, y  2020 thỏa mãn  xy  x  y   log     x  y  xy   log  ?  x3   y2 A 2017 B 4034 C D 2017  2020 Lời giải Chọn B  x, y  * : x, y  2020  x, y  * : x, y  2020    + Điều kiện  x  2y   x  3, y   0, 0  y2  x   y2   x4  BPT cho có dạng  x  3 y   log   1   x   y   log   1  (*)  x3   y2   x4  + Xét y  (*) thành   x  3 log   1   x   log  , rõ ràng BPT nghiệm  x 3  I N E Như trường hợp cho ta 2017  x; y    x;1 với  x  2020, x   T  x4  với x    x  3  0, log   1  log   1  0,  x    0, log   x3  T H + Xét y  (*) thành  x   log  , BPT với x mà O N  x  2020, x   IE U Trường hợp cho ta 2017 cặp  x; y  Trang 40 https://TaiLieuOnThi.Net A T Vậy có 4034 số  x; y  thỏa mãn yêu cầu toán IL + Với y  2, x  VT *  nên (*) không xảy Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 15 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ a, b  An 2019) Cho hai số thực thỏa mãn log  a  1  log  b  1  Giá trị nhỏ biểu thức a  b A 12 C 16 Lời giải B 14 D Ta có log  a  1  log  b  1   log  a  1 b  1     a  1 b  1  64 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a  b  , ta  a  1   b  1   a  1 b  1  64  16  a  b   16  a  b  14 Dấu "  " xảy a   b   a  b Vậy  a  b   14 a  b  Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong nghiệm  x ; y  thỏa mãn bất phương trình log x  y  x  y   Khi giá trị lớn biểu thức T  x  y A 9 Lời giải B C D - TH1: x  y  Bất phương trình log x2  y  x  y    2x  y  x  y  2x  y  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-CopSky ta có   2  2 2     x  y    2x  y         2x  y  2  2x  y  9   9   x  y   x  y     x  y   1;  9 2   2 Giá trị lớn T  x  y  Dấu xảy x  2; y  2  x  2y  2  2x  y  - TH2:  x  y  Bất phương trình log x  y  x  y    2x  y  x  y   Vậy giá trị lớn T  x  y  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tập S tất giá trị thực tham số m để tồn   C S  5;5 D S    7;  5;  1;1;5; 7 E B S  5;  1;1;5 I N A S  1;1 T cặp số  x; y  thỏa mãn log x2  y2 2 x  y   m2  x  y  x  y   T H Lời giải N Ta có U O log x2  y2   x  y   m2    x  y   m  x  y   x  y  x  y   m  IL A IE   x     y    m hình trịn  C1  tâm I  2;2  , bán kính R1  m với m  T Câu 17 Trang 41 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group điểm I  2;2  với m  x  y  x  y     x  1   y    đường 2 tròn  C2  tâm J  1;  , bán kính R2  TH1: Với m  ta có: I  2;2    C2  suy m  không thỏa mãn điều kiện toán TH2: Với m  log 2  x  y   m2   Để hệ  x  y  tồn cặp số  x; y  hình trịn  C1  đường 2 x  y  x  y    tròn  C2  tiếp xúc với  IJ  R1  R2  32  02  m   m   m  1 Câu 18 Tìm tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau log 2019  x  y   x  y  xy  m  1 A m   B m  D m   C m  Lời giải Chọn A log 2019  x  y   (1) Xét hệ bất phương trình:   x  y  xy  m  (2)  x; y  nghiệm hệ bất phương trình  y; x  nghiệm hệ bất phương trình Do hệ có nghiệm  x  y Khi đó: (1)   x    x  Với  x  ; (2)  x  x  m   x2  m   x  x2  m   x  x  x2  x   m Đặt f  x   x  x  1  1 1  1 f  x  nghịch biến  0;  nên f  x   f     x   0;   2 2  2 Do hệ có nghiệm  m     10  B m  10  C m  10  D m    E A m  10  I N cho x  y  x  y   m  H  x; y T Câu 19 Trong tất cặp  x ; y  thỏa mãn log x2  y   x  y    Tìm m để tồn cặp T Lời giải U O N Chọn D IE Với x, y   , ta ln có x  y    nên BPT log x2  y   x  y     x  y   x  y    x     y    1 IL T A Trang 42 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BPT 1 mơ tả hình trịn tâm I  2;  bán kính R1  Mặt khác, phương trình x  y  x  y   m    x  1   y  1  m   nên để   có 2 nghiệm m   x  1  TH1: m  Khi đó,     khơng thỏa 1 nên loại m  y 1  TH2: m  Khi đó,   phương trình đường trịn  C2  tâm J  1;1 bán kính R2  m Do  x  2   y  2  đó, yêu cầu đề  Hệ BPT  có nghiệm   C2  tiếp xúc với 2 x   y   m      C1  :  x  2   y  2  có tâm I  2;  bán kính IJ  10   R1 nên  C1  tiếp xúc ngoài, tiếp xúc với  C2   TH2a:  C1  tiếp xúc với  C2   IJ  R1  R2  10   m đường tròn  m  10   m    R1  Vì 10   TH2b:  C1  tiếp xúc với  C2   IJ  R2  R1  10  m   m   10  m   2 IL IE U O N T H I N E T 10  A   10  T Vậy m   Trang 43 https://TaiLieuOnThi.Net ... bảng biến thiên suy để bất phương trình có tập nghiệm   m  Vậy có giá trị nguyên m DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ Câu (VTED 2019) Cho a  Biết a  a0 bất phương trình x a  a x với...  m  1  4x   m  1 x  m  Đặt 2x  t bất phương trình trở thành t   m  1 t  m   2 Bất phương trình 1 nghiệm với x  bất phương trình   nghiệm với t      2t  1 m ... Chọn A log 2019  x  y   (1) Xét hệ bất phương trình:   x  y  xy  m  (2)  x; y  nghiệm hệ bất phương trình  y; x  nghiệm hệ bất phương trình Do hệ có nghiệm  x  y Khi đó: (1)