Skkn một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

PHẦN I MỞ ĐẦU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí do chọn đề tài Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang ti[.]

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Toán học là một những môn khoa học bản mang tính trừu tượng, mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Tuy nhiên, mơn học khó, khơ khan địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh công việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một những chuyên đề xuyên suốt năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp và hoàn thiện bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ giải phương trình một cách thành thạo Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối giải các loại phương trình này Thực ra, cũng là một những vấn đề khó Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì là một những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân lại được Nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi các cấp Huyện và Tỉnh, cũng rất trăn trở về vấn đề này Vấn đề đặt là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm cách giải một cách tốt nhất? ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Với tất cả những lí nêu Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” khuôn khổ chương trình bậc THCS II Mục đích đề tài Trên sở kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn học tập của học sinh, tìm phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách hiệu quả nhất III Phạm vi nghiên cứu Để thực đề tài này, thực nghiên cứu tại đơn vị cơng tác là Trường THCS Bình Minh Cụ thể là những học sinh lớp 9D 9E IV Cơ sở nghiên cứu Để thực đề tài này, dựa sở kiến thức học Trường Cao đẳng sư phạm, tài liệu phương pháp giảng dạy, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo mơn Tốn bậc trung học sở V Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm VI Thời gian nghiên cứu Đề tài thực từ ngày 15.08.2014 đến ngày 30.4.2015 VII Giới hạn đề tài Đề tài được sử dụng việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinhlớp bộ môn Toán ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Khảo sát tình hình thực tế Năm học 2014 – 2015, Đây là một hội rất tốt để thực hiện đề tài này, phương trình vô tỉ là một những dạng phương trình khó Trong quá trình giải toán học sinh còn rất lúng túng, kể cả những học sinh tham thì những dạng phương trình vô tỉ cũng là một dạng toán mới Trước bồi dưỡng học sinh, đã thực hiện việc khảo sát môn toán học sinh của lớp 9D, 9E Kết quả thu được sau: Giỏi: 10 em Khá: 12 em Trung bình: 11 em II Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Phương pháp nâng lên lũy thừa a) Dạng 1:  Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: (1)  Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = b) Dạng 2: Ví dụ Giải phương trình: (2) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có: (2)     ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = c) Dạng 3: Ví dụ Giải phương trình: (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3)     4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16  76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 =  5x2 – 84x + 352 =  x1 = ; x2 = Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = d) Dạng 4: Ví dụ Giải phương trình: (4) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có: (4)      45 + 14x + 14 =0 Với x ≥  vế trái của phương trình là một số dương  phương trình vô nghiệm 2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ Giải phương trình: (1) ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Giải: (1)  Với điều kiện x ≤ Ta có: (1)  |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1)  x – = – x  x = HD: Đáp số: x = Ví dụ Giải phương trình (2) Giải: (2)   Đặt y = (y ≥ 0)  phương trình đã cho trở thành: – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, đó phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình Cách điều kiện x ≥  vế trái âm Với x ≥ thì: Vế trái: Vế phải: ≥  vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có:   Vế trái là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: Ta có (1)   Dấu “=” xảy  x = –1 Ta có: Vế trái ≥ Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) Ví dụ Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + Mà: VP > > 2.22 + = VT < Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = Ví dụ Giải phương trình: Giải: Thử với x = Ta có: (1)  Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Giải: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm Thật vậy: Tương tự với Với x < nghiệm phương trình Ta cần chứng minh :  < x < 2: Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: (1) Nếu 3x = –(2x + 1)  x = biểu thức hai vế Vậy x = nghiệm phương trình Hơn nghiệm (1) nằm khoảng Ta chứng minh nghiệm Với : 3x < –2x – <  (3x)2 > (2x + 1)2   (1) khơng có nghiệm khoảng Suy ra: Chứng minh tương tự, ta đến kết luận (1) khơng có nghiệm d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ Giải phương trình Giải: điều kiện Áp dụng bất đẳng thức Với điều kiện với ab > Nên: ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Dấu “=” xảy   Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế phương trình:   PT vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1)   x1 = 0; x2 = Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) (1)  x=2 5) Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt (1) = y (y ≥ 0) y2 = x +  x = y2 –  x2 = (y2 – 1)2  (2)  (y2 – 1)2 + y – =  y(y  1)(y2 + y  1) = Từ suy tập nghiệm phương trình là: Ví dụ Giải phương trình: HD: ĐK: x ≥ Đặt (1) =y ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** (1)   y3 + y2 – =  (y – 1)(y2 + 2y + 2) =  y =  x = b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: 2(x2 + 2) = Giải Đặt u = (3) (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: ,v= u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 +  (3)  2(u2 + v2) = 5uv  (2u  v)(u  2v) = Giải ra, xác định x Kết là: x  Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải ĐK: x ≥ –2 (1)  Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = (1)  (a – b)(1 + ab) = a2 – b2  (a – b)(1 – a + ab – b) =  (a – b)(1 – a)(1 – b) = Giải ra: x = –1 nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ Đặt (1) = u, Mà a + b + >  a = b  x = = v (u, v ≥ 0): (1)  b – a = a2 – b2  (a – b)(a + b + 1) = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt = u, (1) = v (u, v ≥ 0) (1)   u – (v2 – u2) – v =  (u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v Giải ta được: x = c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: (1) ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Giải ĐK: x ≥ (1)  Đặt: = a, = c (a, b, c ≥ 0): (1)  ab + c = b + ac  (a – 1)(b – c) = = b,  a = b = c Thay ngược trở lại ta x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : Giải Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0)  x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu Từ ta có hệ: Nhân vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (4) Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng vế (5) ; (6) ; (7) ta có: (8) Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta có: d) Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình Cách 1: Giải tương tự Ta x = Cách 2: Đặt Ta có hệ:   x = ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang 10 skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt =u,  (u, v ≥ 0): Giải ta có x = nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt  = u,  = v (u, v ≥ 0) Thế ngược trở lại: x = nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt  (u, v ≥ 0)  Ví dụ Giải phương trình: (u, v ≥ 0)  Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt = u, (1) = v (u, v ≥ 0)  (1)  Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt (1)   kết 6) Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ Giải và biện luận phương trình: ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang 11 skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ******************************  Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  – Nếu m ≠ 0: ≥m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải biện luận phương trình với m tham số: √ x2−3=x−m (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  – Nếu m ≠ 0: + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ Tóm lại: – Nếu – Nếu hoặc hoặc Phương trình có một nghiệm: : phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải và biện luận theo tham số m phương trình: Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm  có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m = 0: phương trình trở thành – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang 12 skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m II Kết quả thực hiện Qua việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn: Toán và giải toán máy tính cầm tay Tôi đã áp dụng các nội dung của đề tài vào việc bồi dưỡng cho các em 9D, 9E biết cách vận dụng làm tập III Bài học kinh nghiệm Qua việc thực hiện chuyên đề giải phương trình vô tỉ chương trình của cấp THCS Bản thân đã rút được một số bài học kinh nghiệm sau: Về công tác chỉ đạo: Đây là một công tác quan trọng hàng đầu việc bồi dưỡng học sinh giỏi Trong năm học vừa qua, nhận được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tâm thường xuyên từ phía Ban giám hiệu Nhà trường và Phòng giáo dục đào tạo Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đã và gặt hái được những thành công lớn Nhờ có sự quan tâm đó, mà ngành giáo dục Bình Minh Về phía học sinh: Học sinh là nhân vật trung tâm việc bồi dưỡng đào tạo, là nhân tố giữ vai trò quyết định sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng Vì chính các em mới là người học Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn Một sự quyết tâm học tập 100% khả của bản thân mình Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên tham gia làm công tác bồi dưỡng là rất lớn Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các em Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên làm công tác bồi dưỡng cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn công việc học tập của mình Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn Toán, là một môn học khó, có rất ít học sinh lựa chọn tham gia thi môn này Cũng chính vì lí này, công tác bồi dưỡng học sinh đặc biệt môn Toán càng trở nên khó khăn rất nhiều Về phía giáo viên tham gia trực tiếp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi: ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang 13 skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Nếu học sinh giữ vai trò trung tâm công tác bồi dưỡng học sinh đặc biệt thì vị trí của người thầy lại giữ vai trò chủ đạo Để thực hiện thành công việc đào tạo bồi dưỡng học sinh đặc biệt với môn Toán thì khó khăn rất nhiều so với các môn học khác Thực tế đã chứng minh điều đó, những năm qua.Toán học là một môn học khó, khô khan và lượng kiến thức rất rộng, vì học sinh đã được học toán từ vào lớp 1, tức là các em đã được học toán năm liền Chính vì vậy, những giáo viên tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán cần phải có thời gian bồi dưỡng nhiều hơn, phải đầu tư thời gian, công sức, tiền bạc nhiều so với những giáo viên tham gia bồi dưỡng những môn học khác Vấn đề là thời gian, vì học sinh không phải là những cái máy, chúng ta không thể cùng một lúc nhồi nhét vào đầu các em mọi vấn đề mà chúng ta cho rằng các em nên học Mà việc tiếp thu, học tập của các em là cả một quá trình bền bỉ, lâu dài thì mới mong đạt được hiệu quả Bản thân là giáo viên tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán năm là năm thứ hai, nói về kinh nghiệm thì chưa nhiều Song cũng nhận thấy rằng, để bồi dưỡng được một đội tuyển thi có giải là cả một vấn đề nan giải, khó khăn Ở tồn tại hai vấn đề: Một là, kiến thức của người thầy, giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả Nói tóm lại là kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán Hai là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực Cập nhật thường xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao PHẦN III KẾT LUẬN Trên là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ khuôn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình vô tỉ của lớp Ngoài những phương pháp mà chắt lọc nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của không thể không còn những sơ suất Chính vì vậy, rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Bình Minh ngày 03 tháng năm 2015 Người thực hiện ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang 14 skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Phạm Thị Châu NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ BGH NHÀ TRƯỜNG ******************************************* ******************************* Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu Năm học: 2014 - 2015 Trang 15 skkn ... – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương. .. 10 skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt =u,  (u, v ≥ 0): Giải ta có x = nghiệm Ví dụ Giải phương. .. Trang skkn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ****************************** Dấu “=” xảy   Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥