Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho phương trình 2 2 2 log 2 2 log 2 0 x m x m ( m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 là A. 1; 2. B. 1;2. C. 1;2. D. 2;. Lời giải Chọn C 2 2 2 log 2 2 log 2 0 x m x m 2 2 1 log 2 log 2 0 x m x m Đặt t x g x log2 0 1 t và mỗi giá trị của x sẽ cho một giá trị của t trở thành 2 1 2 2 0 t m t m 2 t t mt t m 2 1 2 2 0 2 t m t 1 1 t t m 1 1 0 1 1 1 2 t m t Với t 1 thì phương trình có một nghiệm x 2 Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình 1 phải có một nghiệm t 1 0 1 1 m 1 2 m Vậy m1;2 để thoả mãn yêu cầu bài toán.
Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 9-10 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tìm m để f x, m có nghiệm (hoặc có k nghiệm) D ? — Bước Tách m khỏi biến số đưa dạng f x A m — Bước Khảo sát biến thiên hàm số f x D — Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A m để đường thẳng y A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y f x — Bước Kết luận giá trị cần tìm A m để phương trình f x A m có nghiệm (hoặc có k nghiệm) D Lưu ý — Nếu hàm số y f x có giá trị lớn giá trị nhỏ D giá trị A m cần tìm m thỏa mãn: f x A m max f x xD xD — Nếu tốn u cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y f x k điểm phân biệt Dạng Phương trình logarit chứa tham số (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho phương trình log 22 x m log x m ( m tham số thực) Tập hợp tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 B 1; 2 A 1; C 1; D 2; Lời giải Chọn C log 22 x m log x m 1 log x m log x m * Đặt t log x g x t giá trị x cho giá trị t * trở thành 1 t m t m t 2t mt 2t m t m t 1 t 1 t m A IL IE U O N T H I N E T t m 1 2 t Với t phương trình có nghiệm x Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt phương trình 1 phải có nghiệm t 1 m 1 m Vậy m 1; để thoả mãn yêu cầu tốn T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số 2 3log 27 x m 3 x m log x x 3m Số giá trị ngun m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 15 là: A 14 B 11 C 12 Lời giải D 13 Chọn D Ta có: 3log 27 x m 3 x m log x x 3m log3 x m 3 x m log x x 3m 2 x x 3m 2 2 x m 3 x m x x 3m x x 3m * x x 3m * x m x m x 2m 1 x Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân m2 m 3m m 4m m 2 biệt thỏa mãn (*) 22 3m m m Theo giả thiết x1 x2 15 x1 x2 x1 x2 225 m 4m 221 13 m 17 Do 13 m Vậy số giá trị nguyên m thỏa mãn 13 Câu (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m với m 64 để phương trình log x m log x có nghiệm Tính tổng tất phần tử S A 2018 B 2016 C 2015 Lời giải D 2013 Chọn C x Ta có: log x m log x log x m log x 2m x 2m Vì x nên m 2 Kết hợp với m 64 Khi 2 m 64 Vì m nên m 1; 0;1 63 có 65 giá trị T https://TaiLieuOnThi.Net H N O U IE T Trang T D Vô số A giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm? A B C Lời giải Chọn C Xét phương trình log x log x 1 log m I N (Mã 102 2019) Cho phương trình log x log x 1 log m ( m tham số thực) Có tất IL Câu 1 63 65 2015 E Vậy tổng S giá trị m để phương trình có nghiệm là: S Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x Điều kiện: m Khi log x log x 1 log m log x log m log x 1 mx x x m 1 +) Với m , phương trình (1) trở thành (vô lý) +) Với m , phương trình (1) có nghiệm x 6m 1 1 m 0 m 6m 6m 6m Vậy m Mà m m 1; 2;3; 4;5 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn (Mã 103 2019) Cho phương trình log x log x 1 log m ( m tham số thực) Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vô số Lời giải Chọn A x Điều kiện: m D Xét phương trình: log x log x 1 log m 1 Cách 1 log3 x log x 1 log m log 5x 5x 1 log m m 5 m x x x 2 1 khoảng ; x 5 1 1 Có f x 0, x ; lim f x lim x x x x 5 Ta có bảng biến thiên hàm số f x : E T Xét f x H T N U O Mà m m nên m 1;2;3;4 I N Phương trình 1 có nghiệm phương trình có nghiệm x Từ bảng biến thiên suy phương trình 1 có nghiệm m A IL IE Vậy có giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm Cách T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x Với , ta có: m 5x 5x log m m 5 m x x x Với m , phương trình thành 0.x (vô nghiệm) 1 log x log x 1 log3 m log3 2 5m m 1 0 0 m Xét x 5. m 5m Với m , x Mà m m nên m 1;2;3; 4 Vậy có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm Câu (Mã 101 - 2019) Cho phương trình log9 x log x 1 log3 m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có nghiệm? A B C D Vô số Lời giải Chọn A Điều kiện: x m Phương trình cho tương đương: log x log x 1 log x m 3x m x với x 3x 1 0, x Có f x 3x 1 Xét hàm số f x Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm Do m m 1, 2 (Mã 104 2019) Cho phương trình log9 x 4log3 4x 1 log3 m ( m tham số thực) Có tất E I N H T N O x 1 f x x 1 log log m m x m x 1 IE T A IL log x log x 1 log T giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vô số D Lời giải Chọn C Điều kiện: x Phương trình cho log3 x 4log3 4x 1 log3 m Trang https://TaiLieuOnThi.Net U Câu 1 0m3 m Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét hàm số f x x 1 x có f x 16 x x 1 x 1 x2 x 1 12 x 1 0, x x2 Suy bảng biến thiên: Do phương trình có nghiệm m Vậy có vơ số giá trị ngun m Câu (THPT Lương Thế log mx 5 x x 12 log mx 5 Vinh Hà Nội 2019) Cho phương trình x , gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình cho có nghiệm Tìm số phần tử S A B C Lời giải x x 2 + Điều kiện 0 mx 5 mx Với điều kiện trên, phương trình log mx 5 x x 12 log log mx 5 x x 12 log mx 5 x mx 5 D x2 * x x x 12 x x m m , m Z m Z m x nghiệm phương trình * 5m m , m Z m Z + Phương trình log mx 5 x x 12 log mx 5 x có nghiệm m m x nghiệm phương trình * 2m Thử lại m : log x 5 x x 12 log x 5 x log x 5 x x 12 log x5 x x 5 x log x 5 x x 12 log x 5 x x x 12 x x x5 0 x m : log x 5 x x 12 log E I N x 4m2 2m log 2 x mx 2m2 Hỏi có H T 2x A IL IE U giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x12 x22 ? A B C D Lời giải Chọn B Phương trình cho tương đương với phương trình: N O Cho phương trình log 2 T Câu T x x 12 x x x5 0 x Vậy có hai giá trị m Z thỏa mãn ycbt Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x x 4m 2m log x mx 2m log x x 4m 2m log x mx 2m log 2 2 2 2 2 52 52 x 2mx 2m x 2mx 2m 2 2 2 x x 2m 4m x mx 2m x m 1 x 2m 2m x mx 2m x1 2m x m Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x12 x22 2m 2 m 2m 2m 4m 1 m m 1 m 2m 2m m 2 5m 2m 2m 1 m m 1 11 1 m m 11 11 ;m m 5 Vậy khơng có giá trị ngun m thỏa yêu cầu đề Câu 10 (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình log x log x m có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0;1 A m B m C m D m0 Lời giải Ta có: log x log x m log x log x m log x log x m 1 Đặt t log x với t ;0 1 t t m Xét f t t t f ' t 2t f ' t t T A IL IE U O N T H I N E T Bảng biến thiên Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Dựa vào bảng biến thiên m m 4 m Tìm để 5 trình : m 1 log 21 x m 5 log 4m có nghiệm , 4 x2 2 2 7 A m B 3 m C m D 3 m 3 Lời giải Điều kiện: x Phương trình cho Câu 11 (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) phương 2 m 1 log x m log x 4m m 1 2 log x m log x 4m m 1 log22 x 2 m 5 log x 2 4m m 1 log 22 x 2 m 5 log x 2 m (1) 5 Đặt t log2 x 2 Vì x ; t 1;1 2 Phương trình (1) trở thành m 1 t m 5 t m , t 1;1 (2) t 5t f t , t 1;1 t2 t 1 t 4t Ta có f ' t 0 2 t 2 t t 1 m Bảng biến thiên 5 Phương trình cho có nghiệm x ; phương trình (2) có nghiệm t 1;1 2 Từ bảng biến thiên suy 3 m Phương trình trở thành: t 2t m (2) IL A Cách 1: (Tự luận) Đặt t log x , với x [1;8] t [0;3] IE U O N T H I N E T (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm m để phương trình log 2 x log x m có nghiệm x [1;8] A m B m C m D m Lời giải Chọn C log 2 x log x m (1) Điều kiện: x (*) pt (1) log x log x m T Câu 12 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Để phương trình (1) có nghiệm x [1;8] phương trình (2) có nghiệm t [0; 3] f (t ) m max f (t ) , f (t ) t 2t [0;3] [0;3] m (bấm máy tính) Câu 13 (HSG Bắc Ninh-2019) Cho phương trình log 2 x log x m log x m * Có giá trị nguyên tham số m 2019; 2019 để phương trình (*) có nghiệm? A 2021 B 2019 C 4038 Lời giải D 2020 x Điều kiện: m log x log 2 x 2log x m log x m log 2 x 8log x m log x 4m log 2 x log x m log x m log x m log x 2log x 2 2log x 1 m log x m log x 2 log x m log x log x m log x log x 0 x log x * TH : m log x log x 2 m log x log x log x log x m 1 Đặt: t log x t , phương trình (1) trở thành: t t m t t m Đặt: g (t ) t t (t ;0 Bài tốn trở thành: Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm t Ta có: g (t ) t t g (t ) 2t 0t Ta có BBT: Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình có nghiệm t m (*) log x m log x log x m log x log x log x log x log x 3log x m Đặt: t log x t 1 , phương trình (1) trở thành: t 3t m m t 3t 1 Trang https://TaiLieuOnThi.Net IE IL A T Ta có: g (t ) t 3t g (t ) 2t 3 g (t ) 2t t 1; E I N H T N U O Đặt: g (t ) t t 1, t 1; T * TH : Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bài tốn trở thành: Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm t Ta có BBT: Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình có nghiệm t m Kết hợp (*) (**), m 2019; 2019 m 1;0;1; 2; ; 2019 (**) Vậy có tất 2021 giá trị m thỏa mãn ycbt Câu 14 (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có giá trị m nguyên 2017; 2017 để phương trình log mx log x 1 có nghiệm nhất? A 4014 B 2018 C 4015 Lời giải D 2017 Chọn B Điều kiện x 1, mx log mx log x 1 mx x 1 Xét hàm f x x 1 x 2 x 1 m x 1, x ; x f x x x2 0 x x 1 l Lập bảng biến thiên E T m Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm m Vì m 2017; 2017 m nên có 2018 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu I N m 2017; 2016; ; 1; 4 T N O ln ln B ; ; A ln ln A ; IL IE U (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình mx ln x có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 2;3 T Câu 15 H Chú ý: Trong lời giải, ta bỏ qua điều kiện mx với phương trình log a f x log a g x với a ta cần điều kiện f x Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group ln C ; e ln D ; e Lời giải Chọn D mx ln x m ln x , x 2;3 x ln x , x 2;3 x ln x ; f x x e f x x2 BBT Đặt f x ln ; Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m e Câu 16 (THPT Dơng Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất giá trị tham số m cho phương trình: 2 x 1 log x x A B x m log x m có ba nghiệm phân biệt là: C D Lời giải Tập xác định D 2 x 1 log x x x m log x m 2 x 1 log ( x 1) 2 x m log x m (*) Đặt f (t ) 2t log (t 2), t ; f '(t ) 2t ln 2.log (t 2) 2t 0, t (t 2) ln Vậy hàm số f (t ) 2t log (t 2) đồng biến (0; ) 2( x m) ( x 1) Từ (*) ta có f ( x 1) f x m ( x 1) x m 2( x m) ( x 1) T A IL IE U O N T H I N E g ( x ) x x 2m ( a ) x 2m (b) Do phương trình ( a ) (b ) phương trình bậc hai nên để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt ta có trường hợp sau: TH1: m , (b) có nghiệm kép (a) có nghiệm phân biệt khác (thỏa mãn) TH2: m , (b) có nghiệm phân biệt x 2m (a) có nghiệm phân biệt có nghiệm 2m T Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình x 5x m có nghiệm m hay m log Ta suy ln ln có 19 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 11 Tổng tất giá trị tham số m để phương trình x x 5 m2 log x2 x 6 m 1 có nghiệm A 2 B D C Lời giải Chọn D Đặt t x x , t Thế vào phương trình cho ta phương trình sau t ln t 1 m ln m 1 t m x x m 2 (Do hàm đặc trưng f u 2u ln u 1 có f u Vậy x 2u 2u ln u 1 ln 0, u f u đồng biến 0; ) u 1 x m2 log x2 x 6 m2 1 có nghiệm x x m có nghiệm m m 1 Tổng tất giá trị m Câu 12 Tổng tất giá trị tham số m để phương trình ba nghiệm phân biệt là: A B C Lời giải Chọn B Phương trình tương đương 3x 3x 2 x2 x 1 x m x 3 (2 x m 2) D ln x m ln x x 3 ln x x 3 2 x 3 log x2 2 x 3 x m có ln x m (*) x m I N H T N O U IE IL A T x x 2m x m 2 x x m g ' x Có g x x m x m x 2m 2 x x x m g ' x x x m Xét trường hợp sau: TH1: m ta có bảng biến thiên g x sau: E x2 x x m g x x2 x x m T Xét hàm đặc trưng f t 3t ln t , t hàm số đồng biến nên từ phương trình (*) suy Trang 75 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Phương trình có tối đa nghiệm nên khơng có m thoả mãn TH2: m tương tự TH3: m , bảng biến thiên g x sau: m m 12 Phương trình có nghiệm 2m 2m m 2 m m m Cả giá trị thoả mãn, nên tổng chúng Câu 13 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Có giá trị nguyên tham số a đoạn 10;10 để phương trình e x a e x ln 1 x a ln 1 x có nghiệm A B 10 C Lời giải D 20 Chọn D x 1 a Điều kiện xác định (*) x 1 Phương trình tương đương với e x a e x ln 1 x a ln 1 x Đặt f x e x a e x , g x ln 1 x a ln 1 x , Q x f x g x Phương trình cho viết lại thành Q x +) Với a Q x (ln với x thoả mãn (*)) +) Với a có (*) tương đương với x 1 , f x đồng biến g x nghịch biến với x 1 E T H U O N I N 1 x a a Q x lim e x a e x ln lim e x a e x ln xlim x 1 x x 1 x 1 Ta có (2) lim Q x lim e x e a ln 1 a x x x Kết hợp (1), (2) phương trình Q x có nghiệm T Khi đó, Q x đồng biến với x 1 (1) Trang 76 https://TaiLieuOnThi.Net A T x 1 a Khi đó, Q x nghịch biến với x 1 a (3) IL IE +) Với a có (*) tương đương với x 1 a , g x đồng biến f x nghịch biến với Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ta có: 1 x a a Q x lim e x a e x ln lim e x a e x ln 1 x lim x 1 a x x 1a x 1 a (4) lim Q x lim e x ea ln 1 a x x x Kết hợp (3), (4) suy Q x có nghiệm Do a số nguyên đoạn 10;10 nên kết hợp trường hợp thấy có 20 giá trị a thoả mãn điều kiện Câu 14 (Chuyên Sơn La - 2020) Có giá trị nguyên tham số m thuộc 2020; 2020 để phương trình e x ln x 2m 2m có nghiệm? A 2019 B 2020 C 2021 Lời giải D 4039 Chọn A ln x m Ta có e x ln x 2m 2m e x x ln x 2m x 2m e x x e ln x 2m (*) Xét hàm số f t et t với t f t et 0, t Suy hàm số f t đồng biến Do * f x f ln x 2m x ln x 2m x 2m e x 2m e x x Xét hàm số g x e x x g x e x g x x Bảng biên thiên Từ bảng biên thiên suy phương trình có nghiệm 2m m Mà m , m 2020; 2020 nên m 1;2;3; ; 2019 Vậy có 2019 giá trị nguyên tham số m thuộc 2020; 2020 để phương trình e ln x 2m 2m có nghiệm x Dạng Phương trình mũ – logarit chứa nhiều ẩn (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có cặp số nguyên x ; y thỏa mãn x 2020 log 3 x 3 x y y ? A 2019 B C 2020 Lời giải D I N E T Chọn D Cách 1: Ta có: log 3 x 3 x y y log x 1 x y 32 y 1 T H Đặt log x 1 t x 3t O N Phương trình 1 trở thành: t 3t y 32 y 2 IE IL f u 3u ln , u nên hàm số f u đồng biến U Xét hàm số f u u 3u A Do 2 f t f y t y log x 1 y x y x y T Câu Trang 77 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Vì x 2020 y 2020 y 2021 y log 2021 log 2021 3, 464 Do y y 0;1; 2;3 , có giá trị y nên có giá trị x Vậy có cặp số nguyên x ; y Cách 2: Ta có: log 3 x 3 x y y log x 1 x y 32 y Xét hàm số f x log x 1 x với x 0; 2020 Ta có f x 0, x x 0; 2020 Hàm số f x đồng biến đoạn x 1 ln 0; 2020 Suy f 0 f x log x 1 x f 2020 f x log 2021 2021 y y log 2021 2021 2028 Nếu y y y y 90 y Khi y 2 y y y y 2027 y 2027 y 2027 y log 2027 3, 465 y y y 0;1; 2;3 Do f x hàm số đồng biến nên với giá trị y cho giá trị x +) y log x 1 x x +) y log x 1 x 11 log x 1 x 10 x +) y log x 1 x 85 log x 1 x 84 x 80 +) y log x 1 x 735 log x 1 x 734 x 729 Câu Vậy có cặp số nguyên x ; y (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log ( x y ) log x y ? A B C Lời giải D Vô số Chọn B Cách 1: t x y Đặt t log ( x y ) log x y 1 t x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 9t 9t x y x y 4t t t log 2 1,89 x 1; 0;1 E log I N x y t x 4t T Như vậy, T A IL IE U O N T H y 3t t Trường hợp 1: x t y y 1 t t y Trường hợp 2: x t y y Trang 78 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y 3t t Trường hợp 3: x 1 x y mâu thuẫn với t t y y log x y suy loại x 1 Vậy có hai giá trị x 0;1 Cách 2: t x y Đặt t log ( x y ) log x y 1 t x y Suy x, y tọa độ điểm M với M thuộc đường thẳng d : x y 3t đường tròn C : x y 4t Để tồn y tức tồn M nên d , C có điểm chung, suy d O, d R O 0;0 , R 2t nên 3t 2t t log 0 x y Khi 1 log x2 y Minh họa quỹ tích điểm M hình vẽ sau log Ta thấy có giá trị x thỏa mãn x 1; x 0; x Thử lại: y 3t t Trường hợp 1: x t y 1 y y 3t t Trường hợp 2: x t y y t t y Trường hợp 3: x 1 x y mâu thuẫn với t t y y log 2a m ln a a n I N H U O N D IE Ta có 2a m n ln a a C 10 Lời giải IL Chọn D B A A T cặp m; n tồn số thực a 1;1 thỏa mãn 2a m n ln a a ? T Câu E T x y suy loại x 1 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có cặp số nguyên dương m; n cho m n 10 ứng với Trang 79 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Xét hai hàm số f x ln x x g x m x 1;1 n f x 0 nên đồng biến f x x2 f x ln x x ln ln x x f x nên f x hàm số lẻ x x 1 + Nếu m chẵn g x hàm số chẵn có bảng biến thiên dạng Ta có Suy phương trình có nhiều nghiệm, m lẻ + Nếu m lẻ hàm số g x hàm số lẻ ln đồng biến Ta thấy phương trình ln có nghiệm x Dựa vào tính chất đối xứng đồ thị hàm số lẻ, suy phương trình cho có nghiệm 1;1 có nghiệm 0;1 , hay f 1 g 1 ln 2 n 2, 26 n 1; 2 n ln Đối chiếu điều kiện, với n suy m 1;3;5;7;9 , có cặp số thỏa mãn Với n m 1;3;5;7 có cặp số thỏa mãn Vậy có cặp số thỏa mãn toán Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Có cắp số nguyên dương m, n cho m n 14 ứng với cặp m, n tồn ba số thực a 1;1 thỏa mãn 2a m n ln a a ? B 12 A 14 C 11 Lời giải D 13 Chọn C Xét f x x m ln x x 1;1 n 2m m 1 Đạo hàm f x x 0 n x2 Theo đề f x có ba nghiệm nên Xét đồ thị hàm y x m 1; y x2 2m m1 x n x2 có hai nghiệm , suy m chẵn m I N E T x Suy m3;5;7;9;11;13 Khi f x có nghiệm x2 Trang 80 https://TaiLieuOnThi.Net T N O U IL A IE 2 n ln n n 1; 2 ln n T H f 1 Phương trình có nghiệm f 1 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 n1;2 m3;5;7;9;11;13 , m n 14 nên ta có 11 cặp m ; n thỏa yêu cầu toán Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có cặp số nguyên dương ( m, n) cho m n 12 ứng với cặp ( m, n) tồn số thực a (1,1) thỏa mãn a m n ln( a a 1) ? A 12 B 10 C 11 D Lời giải Chọn D Ta có 2a m n ln(a a 1) a m ln( a a 1) (*) n Xét hàm f (a ) ln( a a 1) (1,1) (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến R ), có BBT: Xét hàm g (a ) a m ( 1,1) n Với m chẵn, g (a ) hàm chẵn g (a ) 0, a R , (*) khơng thể có nghiệm Với m lẻ, g (a ) hàm lẻ, đồng biến R tiếp tuyến đồ thị điểm a đường thẳng y Dễ thấy (*) có nghiệm a (1;1) Để (*) có nghiệm tức cịn có nghiệm a0 với a0 2 Muốn vậy, g (1) 1m f (1) ln(1 2) n 2, 26 n 1; n n n ln(1 2) Cụ thể: + m 3;5;7;9 n 1;2 : Có cặp (m, n) + m 11 n 1 : Có cặp ( m, n) + m : Đồ thị hàm số g ( a ) đường thẳng ( g ( a ) a; g ( a ) 2a ) cắt đồ thị hàm số f ( a ) giao điểm a0 tiếp tuyến hàm số f ( a ) điểm có hồnh độ a đường thẳng y a Vậy có thảy cặp ( m, n ) (Chuyên Biên Hịa - Hà Nam - 2020) Có tất giá trị thực tham số m 1;1 cho phương trình log m 1 x y log x y có nghiệm nguyên x; y nhất? B C Lời giải D T A I N E Chọn B A Thay vào phương trình ta log m2 1 x02 log x0 IL IE U O N T H x2 y2 Điều kiện: x y 1 Nhận xét: Vì x, y có vai trị nên phương trình có nghiệm x0 ; y0 y0 ; x0 nghiệm phương trình *) Điều kiện cần: Phương trình cho có nghiệm x0 y0 T Câu Trang 81 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Vì x0 x0 Lại có x02 x0 log x0 log m log x0 2 log x0 m 1 1 x log x0 m 1 log x0 m 1 log x0 2 m m mà m 1;1 m 1 *) Điều kiện đủ: Với m 1 phương trình cho trở thành x y 1 2 log x y log x y x y x y x 1 y 1 2 Suy phương trình cho có nghiệm 1;1 Câu Vậy có hai giá trị m cần tìm m 1 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Có số nguyên y để tồn số thực 2 x thỏa mãn log11 3x y log x y ? A B C Lời giải D vô số Chọn B 3x y 11t 2 log 3x y log x y t Đặt (*) 11 4 t x y Hệ có nghiệm đường thẳng : 3x y 11t đường tròn C : x y 4t có điểm chung t 11t 11 d O, R 2t t log 11 2 t Do x y nên y 2 t log11 1.9239767 Vì y nên y 1;0;1 Thử lại: 3x 11t 11t t t t t - Với y 1 , hệ (*) trở thành 121 8.11 25 9.4 (**) t x 11t Nếu t 1 121t 4t Nếu t 121t 4t 11t 4t 25 t t 8.11 8.4 Vậy (**) vô nghiệm t t log 11 3x 11t 121t 11 t - Với y hệ (*) trở thành t log x 11 t x IE U O N T H I N E T 3x 11t 11t t t t t - Với y hệ (*) trở thành 121 8.11 25 9.4 t x 1 1 Xét hàm số f (t ) 121t 8.11t 25 9.4t , liên tục ;1 có f f 1 nên phương 2 2 1 trình f (t ) ln có nghiệm thuộc đoạn ;1 Khi hiển nhiên tồn x thỏa mãn 2 Vậy có giá trị nguyên y thỏa mãn y 0, y A IL (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Có cặp số thực x; y thỏa mãn đồng thời điều kiện x x 3 log3 y 5 y y y 3 ? Trang 82 https://TaiLieuOnThi.Net T Câu Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B A C Lời giải D Chọn D Ta có: Vì x x 3 log3 x x 3 y 4 5 y 3 30 y 3 5 3 x x 3 (*) y y 3 Với y 3 ta có: y y y 3 4 y y 1 y 3 y y 2 3 y Kết hợp với y 3 suy y 3 Thế y 3 vào (*) ta được: x2 x 3 x 1 x2 x x Vậy cặp số thực x; y thỏa mãn 1; 3 ; 3; 3 Câu (Chuyên Bến Tre - 2020) Giả sử x 1 sin x A x0 x 1 y 1 sin x x 1 B 2 x0 x0 ; y0 nghiệm phương trình y 1 Mệnh đề sau đúng? C x0 Lời giải D 5 x0 2 Chọn B Ta có x 1 x sin x 1 y 1 x sin x 1 y 1 x 4.2 x x sin x 1 y 1 x x sin x 1 y 1 sin x 1 y 1 cos x 1 y 1 x x sin x 1 y 1 2sin x 1 y 1 cos x 1 y 1 2 x sin x 1 y 1 cos x 1 y 1 x 2sin x 1 y 1 cos x 1 y 1 Vì cos x 1 y 1 sin x 1 y 1 1 sin x 1 y 1 x (vô nghiệm) sin x 1 y 1 1 x x x0 2; (Chuyên Lào Cai - 2020) Có cặp số nguyên x; y thỏa mãn x 4000 25 y y x log5 x 1 ? C Lời giải D T B E A T H I N Chọn A Đặt log x 1 t x 5t y log 4001 y y 0;1; 2 A Vậy để f y f t 1 y t y t log x 1 IL IE Xét hàm số f u 5u u f u 5u.ln nên hàm số đồng biến U O N Phương trình trở thành: 52 y y 5t 5t 52 y y 5t 1 t 1 T Câu 10 Trang 83 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Với nghiệm y ta tìm nghiệm x tương ứng Câu 11 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có ( x; y ) với x , y nguyên 2y 2x 1 x, y 2020 thỏa mãn xy x y log x y xy log ? x 3 y2 A 2017 B 4034 C D 2017.2020 Lời giải Chọn B Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ bất phương trình ta có: y 2020; x 2020; x, y Z ,(1) 2y 2x Ta có: xy x y log x y xy log x 3 y2 2y 2x x (y 2) log x (y 2) log (*) x3 y2 2x 1 Xét f ( x ) log log 0, x 4; 2020 (2) x 3 x 3 + Với y thay vào (*) ta được: 2 2x 3( x 4) log ( x 3) log ( x 4; 2020 (1) (2) ) 3 x3 Suy có 2017 ( x; y ) + Với y thay vào (*) ta thấy x 4; 2020 Suy có 2017 ( x; y ) + Với y 2020 y 2y y y y2 Xét g(y) log log log 0, y (3) y2 y2 y2 Suy (*) vô nghiệm ( Do (2) (3) ) Vậy có 4034 ( x; y ) Câu 12 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho x số thực dương y số thực thỏa mãn x x log 14 ( y 2) y Giá trị biểu thức P x y xy 2020 A 2022 B 2020 C 2021 Lời giải D 2019 Chọn C x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x x 2, x x x x Đặt y t , t thu 14 ( y 2) y 14 (t 3)t t 3t 14 16 (t 1) (t 2) 16, t Dẫn đến log 14 ( y 2) y log 16 T I N E Như hai vế dấu đẳng thức xảy tức T N O U IE IL nhiêu cặp số x; y x 2020 ; y thỏa mãn phương trình cho? Trang 84 https://TaiLieuOnThi.Net A (Sở Hưng Yên - 2020) Cho phương trình log3 3x x y y x x Hỏi có bao T Câu 13 H t 2 x x 1; y P x y xy 2020 2021 x x Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B C Lời giải D Chọn D log3 3x x 3y y x x log3 x x y y x x 2 log3 x x y y x x log3 x x x x y y (1) Đặt log x x z x x 3z (1) trở thành: 3z z y y (2) Xét hàm số f t 3t t f t 3t ln 0, t Suy hàm số f t đồng biến (2) f z f y z y Thay trở lại cách đặt ta có: log3 x x y x x y Xét hàm số: g x x x 2, x 0; 2020 g x x g x x Bảng biến thiên: Suy ra: g x 4076362 y 4076362 y log 4076362 Do y y log 4076362 3, y 0;1; 2;3 g x g x g x g x 39 Dựa vào bảng biến thiên hàm số g x ta thấy phương trình có nghiệm x 2020 Vậy có cặp số x; y thỏa mãn đề I N D 10 H C 2019 Lời giải T B thỏa mãn x 2021 E 2x y ? x; y O N Chọn D Đặt log x y 1 t Suy x y 1 2t , x 2t y 1 IL Phương trình cho trở thành: y t 2t y 1 y 2.2 y y 2.2t t U A 2020 y 1 IE log x y T (Sở Phú Thọ - 2020) Có cặp số nguyên A Xét hàm số g x 2.2 x x có g x 2.2 x ln 0, x nên hàm số y g x đồng biến T Câu 14 Trang 85 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Khi 2.2 y y 2.2t t y t hay y log x y 1 Suy x y 1 y x y y 1 y 1 Mà x 2021 nên y 1 2021 y log 2021 hay y log 2021 Lại có y số nguyên nên y 2,3, ,11 tức 10 giá trị thỏa mãn Xét biểu thức x y 1 , giá trị nguyên y cho tương ứng giá trị nguyên x nên có 10 cặp số nguyên x, y thỏa mãn yêu cầu đề Câu 15 x; y (Sở Bắc Ninh - 2020) Có cặp số nguyên dương 3x y x 3x 1 x 1 y x , với x 2020 ? A 13 B 15 C thảo mãn D Lời giải Chọn D Ta có x y x x 1 x 1 y x y 3x x 1 x 3x x 1 3x x 1 y x Ta thấy x x 0, x x x 1 y x y x y log x x 3k Vì x 2020 3k 2020 3k 36 k 0;1; 2;3; 4;5;6 Câu 16 (Sở Bình Phước - 2020) Biết a, b số thực cho x y a.103 z b.10 z , đồng thời x , y, z số số thực dương thỏa mãn log x y z log x y z Giá trị 1 thuộc khoảng a b A (1;2) B (2;3) C (3; 4) Lời giải D (4;5) Chọn D log x y z x y 10 z Ta có: x y 10 x y 2 z 1 z log x y z x y 10 10.10 Khi x y a.10 z b.10 z x y x xy y a.10 z b.10 z x y x xy y a. x y b. x y x xy y a. x y b. x y 2 b b x y x y xy a x y 2a.xy 10 10 b a a 1 Đồng hệ số ta 4, 008 4;5 10 4 a b 225 2a 1 b 15 Câu 17 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có cặp số nguyên x; y thỏa mãn x xy y a. x xy y T D E C Lời giải I N y 2020 3x 3x y log y A 2020 B O N T H Chọn C Ta có: log y x x x x y log y x y 3log y x 3log y * Trang 86 https://TaiLieuOnThi.Net T IL Khi đó: * f x f log y x log y y 3x A Ta có: f t 3t.ln 0, t Suy hàm số y f t đồng biến IE U Xét hàm số: f t 3t t Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do y 2020 x2 nên: 2020 x log 2020 x 2;3; 4;5; 6; 7;8 nguyên x, y Ứng với giá trị x có giá trị y nên có cặp số x; y nguyên thỏa mãn u cầu tốn Câu 18 (Đơ Lương - Nghệ An - 2020) Giả sử a, b số thực cho x3 y a.103 z b.102 z với số thực dương x, y, z thỏa mãn log( x y ) z log( x y ) z Giá trị a b 25 31 31 29 A B C D 2 2 Lời giải Chọn D x y 10 z x y 10 z log( x y ) z 2 2 z 1 z log( x y ) z x y 10 ( x y ) xy 10.10 x y 10 z x y 10 z 2z 102 z 10.10 z z 10 xy 10.10 xy 102 z 10.10 z z Khi x3 y ( x y )3 xy ( x y ) 103 z 10 1 2.103 z 3.103 z 30.102 z 103 z 30.102 z 103 z 15.10 z 2 3 3z 2z Lại có x y a.10 b.10 29 a Suy ab b 15 Câu 19 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Có số hữu tỉ a thuộc đoạn 1;1 cho tồn số thực b thỏa mãn 2a 4a 1 a a a a 1 1 C D Vô số Lời giải log 1 a b2 2b A B Chọn C T E 1 H 2x 4x Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x 1 4.2 x I N 2x 4x x 2x 4x 2 x 4x 2x x 4.2 x T 2x 8x 1 2x 4x 2x 1 x x 1 x x 2x N Ta có: U IE IL A 2x 4x 1 x 1 x x x 1 1 2 T Từ 1 ; suy O 3 x 3 x 1 3 x Lại có x x 0 4 4 4 2x Trang 87 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group log 1 a b2 2b a b 2b a b 2b a b 1 a b a 0 1;1 nên chọn phương án C Câu 20 x ; y thoả (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có cặp số nguyên mãn x y 0; 20 x 20 log x y x y xy x y ? A 19 B C 10 Lờigiải D 41 Chọn C + Điều kiện: x y + Ta có: x y nên log x y x y xy x y log x y x y x y 3xy x y x y log x y 3xy log x y x y xy x y log x y 3xy x y 3xy log x y x y Xét hàm số: f t log t t , ta có: f 't biến ; (1) 1 t 0; nên hàm số f t đồng t ln Do đó: 1 f x y xy f x y x y xy x y x y x y 1 x y x y nên x y 1 y 19 y 1 + Do y nên y 9; 8; ; 1; 0 , với giá trị y cho ta giá trị x thoả mãn YCBT + Do 20 x 20 suy (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho số thực x , y thỏa mãn x , y log x log y log x log y log xy Giá trị biểu thức P x y gần với số số sau A B C 10 D Lời giải Chọn B Đặt a log x , b log y Do x , y nên a , b log 9 Theo giả thiết ta có: a b 1 2ab a b 2a 2b a 2b 7b 1 1 2 Coi 1 phương trình bậc hai ẩn a , b tham số Để phương trình 1 có nghiệm a T A IL IE N O U 2b 7b 12 36b 4b 28b3 45b 22b thì: 2b 7b 2b 7b 2b 7b 2b T H I N E Câu 21 T Vậy có 10 cặp số nguyên x ; y thoả mãn YCBT Trang 88 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 b b 12 4b 20b 1 4b 20b 2b 7b 2b 7b Với b 2a 6a a Khi P x y 8,1 2 4b 20b Với : hệ vô nghiệm b log3 2b 7b Vậy giá trị biểu thức P x y gần với (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Có cặp số nguyên dương x; y với x 2020 thỏa mãn A 1010 x y 1 y log x 1 B 2020 C Lời giải D Chọn C Đặt log3 x 1 t x 3t 1, ta 3t 1 y 1 32 y t 3.3t t 3.32 y y (*) Xét hàm số f u 3.3u u f u 3.3u ln 0, u f u đồng biến Do (*) t y , nên x 32 y y x Vì x 2020 y 4039 y log 4039 Vì y nguyên dương nên y 1; 2;3 Ta thấy với A IL IE U O N T H I N E T giá trị nguyên y tìm giá trị nguyên x Vậy có cặp x; y thỏa mãn T Câu 22 Trang 89 https://TaiLieuOnThi.Net ... hệ phương trình 1 đồng 2010 thời x0 thỏa mãn điều kiện * Do x0 nghiệm phương trình cho Từ đó, điều kiện Với nghiệm t0 phương trình x0 cần đủ để phương trình cho có nghiệm phương trình. .. 44 Do đó, phương trình có nghiệm 44 2m 22 m Vậy có 25 số nguyên tham số m Câu 26 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Gọi a; b tập giá trị tham số m để phương trình 2e x 8e... thiên có f t 4-m x -? ?? - f''(x) +∞ + +∞ f(x) +∞ f( 4-m ) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt f x x m x có hai nghiệm phân biệt lớn 2 phương trình E I N H T N O U