THỂ TÍCH KHỐI CHÓP+ LĂNG TRỤ NÂNG CAO KÈM ĐÁP ÁN

Câu 1. (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C .   , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng   A B C    là trung điểm M của B C  và 2 3 3 A M  . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 2 B. 1 C. 3 D. 2 3 3 Lời giải Chọn A Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết diện là tam giác A B C1 1  có các cạnh 1 A B 1; 1 A C  3 ; 1 1 B C  2 . Suy ra tam giác A B C1 1  vuông tại A và trung tuyến A H của tam giác đó bằng 1. Gọi giao điểm của AM và A H là T . Ta có: 2 3 3 A M  ; A H 1 1 3   MH . Suy ra MA H    30 . Do đó MA A    60  4 cos 3 A M AA MA A       . Thể tích khối lăng trụ ABC A B C .    bằng thể tích khối lăng trụ 1 1 2 2 A B C AB C  . và bằng 1 1 4 3 . 2 3 2 V AA SA B C       . Câu 2. (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C . , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( ) A B C là trung điểm M của B C và A M 2  . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP LĂNG TRỤ Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET Trang 2 A. 2 3 3 B. 1 C. 3 D. 2 Lời giải Chọn D Gọi 1 2 A A, lần lượt là hình chiếu của A trên BB, CC . Theo đề ra 1 2 1 2 AA AA A A    1; 3; 2. Do 2 2 2 AA AA A A 1 2 1 2   nên tam giác AA A1 2 vuông tại A. Gọi H là trung điểm A A1 2 thì 1 2 1 2 A A AH   . Lại có 1 2 MH BB MH AA A MH AH  ( )     suy ra 2 2 MH AM AH    3 . nên 1 2 3 cos(( ),( )) cos( , ) cos . 2 MH ABC AA A MH AM HMA AM     Suy ra 1 2

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chun đề 12 MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC  , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC   trung điểm M BC  AM  Thể tích khối lăng trụ cho A B C 3 D Lời giải Chọn A Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A vng góc với AA ta thiết diện tam giác AB1C1 có cạnh AB1  ; AC1  ; B1C1  Suy tam giác AB1C1 vuông A trung tuyến AH tam giác Gọi giao điểm AM AH T ; AH   MH  AM  A  60  AA  Do MA   A cos MA  H  30 Suy MA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  thể tích khối lăng trụ AB1C1 AB2C2 E I N H T N O IE (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' A IL 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M  Thể tích khối T Câu   U V  AA.S AB1C1  T Ta có: AM  lăng trụ cho Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A 3 B C D Lời giải Chọn D Gọi A1 , A2 hình chiếu A BB ' , CC ' Theo đề AA1  1; AA2  3; A1 A2  Do AA12  AA2  A1 A2 nên tam giác AA1 A2 vuông A Gọi H trung điểm A1 A2 AH  A1 A2  Lại có MH  BB '  MH  ( AA1 A2 )  MH  AH suy MH  AM  AH  nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 ))  cos( MH , AM )  cos HMA  Suy S ABC  S AA1 A2 cos(( ABC ),( AA1 A2 )) MH  AM  Thể tích lăng trụ V  AM  S ABC  Nhận xét Ý tưởng câu dùng diện tích hình chiếu S '  S cos  (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' D T 15 Lời giải C 15 E B I N H A 15 Thể tích khối lăng trụ cho T trung điểm M B ' C ' , A ' M  N Câu T A IL IE U O Chọn C Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Kẻ AI  BB ' , AK  CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1;  AI  , AK  Gọi F trung điểm BC A ' M  Ta có 15 15  AF  3 AI  BB '    BB '   AIK   BB '  IK BB '  AK  Vì CC '  BB '  d (C , BB ')  d ( K , BB ')  IK   AIK vuông A Gọi E trung điểm IK  EF  BB '  EF   AIK   EF  AE Lại có AM   ABC  Do góc hai mặt phẳng  ABC   AIK  góc EF AM   30   AE    FAE  Ta có cos FAE góc  AME  FAE AF 15 Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng  AIK  AIK nên ta có:  1  S   S ABC S AIK  S ABC cos EAF ABC 15 AF  AM   AM  AMF  Xét AMF vuông A : tan  AM 3 I N E (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC AB C  Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB H , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC  , hình chiếu O N T vng góc A lên mặt phẳng  ABC   trung điểm M BC  AM  Thể tích 15 Lời giải C D IE B 15 IL A A U khối lăng trụ cho T Câu 2 15  3 T Vậy VABC A ' B 'C '  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Chọn D Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB CC  , H hình chiếu vng góc C lên BB Ta có AJ  BB 1  2 BB   AJK   BB  JK  JK //CH AK  CC   AK  BB Từ 1   suy  JK  CH  Xét AJK có JK  AJ  AK  suy AJK vuông A Gọi N trung điểm BC , xét tam giác vng ANF ta có: Gọi F trung điểm JK ta có AF  JF  FK  AF     cos NAF NAF  60 ( AN  AM  AN //AM AN  AM ) AN S 1 Vậy ta có S AJK  AJ AK  1.2   SAJK  SABC cos 60  S ABC  AJK    cos 60 2 15    Xét tam giác AMA vng M ta có MAA AMF  30 hay AM  AM tan30  Vậy thể tích khối lăng trụ V  AM S ABC  (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy tam giác vng   120 Gọi M trung điểm cạnh BB  (tham   90 , BAA A , AB  , AC  Góc CAA khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ cho C V  Lời giải Chọn C Trang https://TaiLieuOnThi.Net  O   33 D V   33 U  33 IE B V  IL  A   33 T A V  N T H I N E T Câu 15 15  3 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do AC  AB , AC  AA nên AC   ABBA  Mà AB   ABBA  nên AC  AB Có AB  AC , AB  CM nên AB   AMC   AB  AM         Đặt AA  x  x   Ta có AB  AB  AA AM  AB  BM  AB  AA            1 Suy AB AM  AB  AA  AB  AA   AB  AA2  AB AA 2   1   22  x  2.x.cos120   x  x   AB  AA2  AB AA.cos BAA 2 2 2    33 1 Do AB  AM nên AB AM    x  x    x  2     Lại có S ABB A  AB AA.sin BAA      33  33 (đvdt) .sin120  2  33  33 1 Do AC   ABBA  nên VC ABB A  AC S ABB A   (đvtt) 3 2 Mà VC AB C   VABC AB C   VC ABB A  VABC AB C   VC AB C   VABC AB C  3   3  33  33 Vậy VABC AB C   VC ABB A   (đvtt) 2 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy ABC tam giác vuông cân C , AB  2a góc tạo hai mặt phẳng  ABC    ABC  60 Gọi M , N trung điểm AC  BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ 3a 24 B 6a 6a 24 Lời giải C 3a3 D T A A IL IE U O N T H I N E Chọn A T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Gọi I trung điểm AB , suy AB   CIC   nên góc  C AB   ABC  góc  CI , C I  ,  IC  60 suy C  IC  Tam giác C IC vuông C nên C C  CI  tan C AB  tan 60  a  AB  CI  a Diện tích tam giác ABC S ABC  Thể tích khối lăng trụ V  CC   S ABC  a  a  a 3 Trong  ACC A  , kéo dài AM cắt CC  O Suy C M đường trung bình OAC , OC  2CC   2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN   S ACN  OC    S ABC  2CC   V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.CME   SC ME  OC    S ABC   OC   V 3 24 Vậy phần thể tích nhỏ VC EM CAN  (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  Gọi D , E trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD  AE D 21 27 H 21 Lời giải C T 21 N B O 21 U A I N E Câu 7 3a3 24 T Do VC EM CAN  VO ACN  VO.C ME 1 7 3a  V  V  V  a  24 24 24 24 T A IL IE Chọn D Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi O tâm tam giác ABC Do S ABC hình chóp nên ta có SO   ABC            Ta có AE  SE  SA  SC  SA ; BD  SD  SB  SA  SB 2  ASC  BSC ASB   Đật            BD  AE  BD AE    SA  SB   SC  SA   2         SASC  SA  SB.SC  SA.SB  2  Áp dụng định lý hàm số cơsin tam giác SAC , ta có:  cos    cos   cos    cos   AC  SA2  SC  2SA.SC.cos   Diện tích tam giác ABC S ABC   AC  3 2 2 AO   ; SO  SA2  AO  3 3 T vuông góc với  ABC  mặt phẳng  ABBA  tạo với  ABC  góc 450 Thể tích khối N  BCCB H I N E (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC tam giác vng  BC nhọn Mặt phẳng ABC  600 Biết tứ giác BCCB hình thoi có B A , cạnh BC  2a  7a3 Lời giải C U a3 D 7a3 21 IE B IL 7a3 A A O lăng trụ ABC ABC T Câu T 1 21  Thể tích khối chóp S ABC V  SO.S ABC  3 3 27 Chọn B Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group B' C' A' B C H K A  BCC B    ABC  Có  Do  BCCB kẻ BH vng góc với BC H  BCC B    ABC   BC BH   ABC  hay BH chiều cao hình lăng trụ Trong  ABC  kẻ HK vng góc với AB K Khi AB   BHK   ABBA    ABC   AB  Ta có  BHK   AB   BHK    ABBA   BK ,  BHK    ABC   KH  Góc  ABBA   ABC  góc B K KH   KH  45 KH góc nhọn Do B BHK vng H nên B  KH  45  B HK vuông cân H  BH  KH BHK vuông H có B  BH  Xét hai tam giác vng B BH BKH , ta có tan B  BH 1 21     BH   cos B BH     sin B  1    BB BH    tan B 1  BH  BB Ta có S ABC  21 2a 21 (vì BCCB hình thoi có cạnh BC  2a )  7  1 AB AC  BC.cos 600 2 Vậy V ABC ABC   BH S ABC  Câu BH KH   sin  ABC  sin 60  BH BH 2  BC.sin 60   12 2a 12 2a 23  a 2a 21 a 3 a  7 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác Mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ cho D T C 16 Lời giải E B I N A 64 T A IL IE U O N T H Chọn D Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi I trung điểm cạnh BC Vì ABC ABC lăng trụ đứng có đáy tam giác nên ABC ABC khối lăng trụ Do ta có: AB  AC Suy tam giác ABC cân A  AI  BC Mặt khác: tam giác ABC  AI  BC Suy BC   AIA  Vậy góc mặt phẳng  ABC  mặt đáy góc  AIA  300 Ta có: tam giác ABC hình chiếu tam giác ABC mặt đáy nên S ABC  S ABC cos   8.cos 300  Đặt AB  x  S ABC  Ta có: AI  x2   x  4 x   AA  AI tan  AIA  Suy ra: VABC ABC   AA.S ABC  2.4  (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A, AB  a , BC  2a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng  BCB ' C '  ABC  60 Thể tích khối lăng E 3a3 Lời giải C a3 16 D I N 3a3 H B T 3a N A T trụ cho bằng: A IL IE U O Chọn C T Câu 10 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Ta có BC  a Từ H kẻ HI vng góc với BC HI HC AB.HC a   HI   AB BC BC Gọi K trung điểm A’C’ từ K kẻ KM vng góc với B’C’ Ta có HIC  BAC nên Tứ giác KMIH hình bình hành nên KM  IH  a Gọi N điểm B’C’ cho M trung điểm C’ N  A ' N  KM  a  Do A ' H   ABC  nên  A ' NIH    ABC  Mà A ' N  HI nên HIN góc tù Suy   HIN  1200  A ' NI  600 Gọi H ’ hình chiếu I lên A’ N suy H ’ trung điểm A’ N 3a  A ' H  IH '  NH '.tan 600   V  A ' H S ABC  Câu 11 3a a 3 3a  (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc hai mặt phẳng  SBC   SCD   , với a3 Thể tích khối chóp cho B a3 2a Lời giải C D 2a T E A I N cos  T A IL IE U O N T H Chọn A Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group + Gọi M trung điểm BC , H trọng tâm tam giác ABC  A ' H   ABC  + AM  BC AH  BC  BC   AA' M  + Trong tam giác AA' M , kẻ M N  A A ' N A MN  BC M BC   AA' M  c a  MN đoạn vng góc chung AA' BC  MN  + Tam giác AA' M có S AA ' M b a B 1  A ' H AM  MN A A ' 2 C M  A ' H AM  MN AA '  A ' H AM  MN A ' H  AH  A' H  MN A ' H  AH  AM 2 a 3 a A' H    3  a 2 a 3 A' H      2  a 3 a  A ' H  A ' H     A ' H    2 a a2 a3  12 Vậy thể tích khối lăng trụ VABC A' B 'C '  A ' H SABC  (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng E  ABC  tam giác T Câu 15 a3 C VS ABC  a3 D VS ABC  a3 IL IE Lời giải T A Chọn C Trang 14 https://TaiLieuOnThi.Net N B VS ABC  O a3 U A VS ABC  T H I N trung trực BC góc 300 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 + Lấy M trung điểm BC , tam giác ABC cân A  AM  BC SA  BC  BC   SAM  trung điểm M   SAM  mặt phẳng trung trực cạnh BC   450 Góc SB mặt phẳng  SAM  = góc SB SM = BSM   300 Góc SB mặt phẳng  ABC  = góc SB AB = SBA BC   SAM   BC  SM  khoảng cách từ S đến cạnh BC SM  a + Tam giác vng cân SBM có BM  a, SB  a  BC  BM  2a Tam giác vng SAB có sin 300  SA a a ; AB   SA  a  SB 2 Tam giác vng ABM có AM  a 6 a 2 AB  BM     a    2 1 a a a3 2a  Vậy thể tích khối chóp S ABC VS ABC  SA.SABC  3 2 (Chu Văn An - Hà Nội - BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD  2019) Cho  ABD    ABC  tứ diện có ABCD Thể tích tứ diện ABCD A B 27 27 Lời giải C 2 27 D A IL IE U O N T H I N E T Chọn B T Câu 16 Trang 15 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Gọi H , K trung điểm cạnh CD , AB Đặt AH  x,  x    ACD BCD cân A D nên AH BH hai đường cao tương ứng  ACD    BCD    ACD    BCD   CD  AH   BCD    ACD   AH  CD Do AH  BH 1 ACD  BCD  c.c.c  AH  BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AHB vuông cân H  AB  AH  x (3)  Chứng minh tương tự ta CKD vuông cân K CD 2.HD  CK    AD  AH   x 2 Mặt khác, ACD cân A có CK đường cao nên: AB  AK  AC  CK   1  x  (4) Từ (3), (4) ta có: x   1  x   x   x  1 E I N H U O 1 6 3 AH S BCD   3 3 27 T A IL VABCD  3 T CD  2.HD   AH  T  x  0 N  x 3 IE  x2  Trang 16 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 17 (Chun Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA  a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD) Thể tích khối chóp S ABCD 10 A 3a3 B 9a3 C 4a3 Lời giải D 12a3 Chọn C Gọi H tâm hình vng ABCD nên SH  ( ABCD) Đặt m  HA , n  SH Do tam giác SAH vuông H nên m2  n2  11a2 Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B(m ;0;0) , D(m ;0;0) , C(0; m ;0) , S (0;0; n) x y z Khi phương trình mặt phẳng (SBC) là:    hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng m m n  (SBC) n1  (n; n; m) x y z    hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng Khi phương trình mặt phẳng ( SCD) là: m m n  (SBC) n2  (n; n; m)   | n1 n2 |    hay Do cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD) nên 10 | n1 | | n2 | 10 m2 mà n  11a  m  2 2n  m 10 Vậy m2 m2     m  2a  m  a  SH  3a 2 2 2n  m 10 22a  m 10 m  HA  a nên AB  2a , Chiều cao hình chóp SH  3a Diện tích hình vng S ABCD  4a E I N H U O 15 , từ B đến  SCA  , từ C đến  SAB  10 IE cạnh , biết khoảng cách từ A đến  SBC  N T (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác A IL 30 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối 20 chóp VS ABC T Câu 18 T 1 Thể tích khối chóp S ABCD là: V  S ABCD SH  4a 3a  4a 3 Trang 17 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC , BC , AB h  Đặt SH  h  VS ABC  h 12 Ta có AP  2S SAB 6VS ABC h 30  S SAB   :  h 10 AB 20 d  C ;  SAB   Tương tự, tính HM  2h, HN  h  PH  SP  SH  3h Ta có S ABC  S HAB  S HAC  S HBC  Vậy VS ABC  3  12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a   SCB   900 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  MBC  SAB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  3a 12 B V  3a C V  3a 3 D V  3a 12 T Câu 19 3  HP  HM  HN   3h   h  12 I N E Lời giải T A IL IE U O N T H Chọn B Trang 18 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   SCB   900  S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Vì SAB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN / / IO Khi đó, BC   JND  nên  JND    MBC  Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  Do d  N ;  MBC    NE d  A,  MBC   AD AD AD AD     d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 1 10a Xét JND có nên NJ     OI  NJ  5a  SH  10a 2 NE ND NJ Ta có  1 a 3a Vậy VSABC  SH S ABC  10a  3 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC 390 C 390 390 D U O N T H I N E T Lời giải IE B IL 390 12 A A T Câu 20 Trang 19 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group + Dựng hình chóp S A ' B ' C ' cho A trung điểm B ' C ' , B trung điểm A ' C ' , C trung điểm A ' B ' + Khi SB  AC  BA '  BC '  nên SA ' C ' vuông S SA '2  SC '2   2.SB   64 (1)  SA '2  SB '2  80 (2) + Tương tự SB ' C ' , SA ' B ' vuông S   SB '  SC '  36 (3) + Từ 1 ;   ;   ta suy SC '  10 ; SB '  26 ; SA '  54 1 390 + Ta tính VS A ' B 'C '  SC ' .SA '.SB '  390 VS ABC  VS A ' B 'C '  (đvtt) 4   60 ,  ASB  CSB Câu 21 Cho hình chóp S ABC có  ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 18 a3 12 Lời giải C D a3 Chọn A Cách 1: T H I N E T Gọi M điểm nằm SC cho SM  SC  a Ta có: O U IE IL A T Vậy AB  BM  AM  Tam giác ABM tam giác vuông B N Tam giác SAM vuông S  AM  SA2  SM  a Tam giác SBM tam giác có độ dài cạnh SM  SB  BM  a Tam giác SAB tam giác có độ dài cạnh SA  SB  AB  a Trang 20 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a  IB  SI  SB2  Tam giác SIB vuông I  ABM  ASM  SI  IB   SI  IB   SI   ABM   SI đường cao khối chóp SABM  SI  AM 1 a3 Thể tích khối chóp S ABM VS ABM  S ABM SI  AB.BM SI  ( đvtt ) 12 Mà VS ABM SM a3    VS ABC  3.VS ABM  VS ABC SC abc  cos   cos   cos   cos  cos  cos   Trong a  SA ; b  SB ; c  SC ;    ASC ;   BSC ASB ;    Cách 2: Ta có VS ABC   VS ABC  a.a.3a a3 ( đvtt )  cos 60  cos 60  cos 90  cos 60.cos 60.cos 90   Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA ,   SCB   90 , biết khoảng cách từ A đến  MBC  6a Thể tích khối chóp SAB 21 S ABC A 10a 3 Chọn B 8a 39 4a 13 Lời giải D 2a 3 C A S M H J E A N I C O D B   Vì SAB  SCB  90  S , A, B , C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có E T OI   ABC  H I N Gọi H điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI đường trung bình SHB ) T Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB O N Trong AID , kẻ JN // IO Khi đó, BC   JND  nên  JND    MBC  T A IL IE U Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  Do d  N ;  MBC    NE Trang 21 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group d  A,  MBC   AD AD AD AD     d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 Ta có Xét JND có  1 10a 5a 10a nên NJ     OI  NJ   SH  NE ND NJ 3 1 10a  2a  10 3a  SH S ABC   3 Vậy VSABC Câu 23 (Cụm liên trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a    90 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) SAB  SCB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  3a 12 B V  3a C V  3a D V  3a 12 Lời giải Chọn B Gọi I trung điểm SB   SCB   90 nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Do SAB Gọi O tâm đáy ABC  OI  ( ABC ) T H T N O U IE IL A Trang 22 https://TaiLieuOnThi.Net E Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu G lên mặt phẳng  ABC   K  AO GK // OI  AK  AO  AN  KN  AN 9 10a  d  K ,  MBC   d  A,  MBC   21 (*) 10a Kẻ KE  GN  KE  BC  KE   MBC   d  K ,  MBC   KE  21 I N BC  CH Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , có tâm O nên O trung điểm BH Do đó, SH  2OI Gọi N trung điểm BC  IN // SC nên BC  IN  BC   AIN  (*) T Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  Ta có AB  ( SAH )  AB  AH Tương tự, Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 10a    GK   SH  2OI  3GK  10a Tam giác GKN vuông K có 2 KE GK KN a2 5a 3 Vậy thể tích khối chóp S ABC V  10a  Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD  BC  , AC  BD  , AB  CD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 2470 12 D Lời giải Chọn D Dựng tứ diện D ABC  cho A , B , C trung điểm BC , AC  , AB Theo cách dựng theo có: AC  BC   BD Xét tam giác DAC  có: BD đường trung tuyến AB  BC   BD  DAC vuông D Chứng minh tương tự ta có: DBC  , DAB vng D Khi tứ diện D ABC  có cạnh DA , DB , DC  đơi vng góc với 1 Ta có: VABCD  VD ABC   DA.DB.DC  24  DA  38  DA2  DB2  48  DA2  38    Theo ta có:  DA2  DC 2  64   DB2  10   DB  10  DB2  DC 2  36  DC 2  26     DC   26 T 1 2470 DA.DB.DC   38 10 26  24 24 12 E Vậy VABCD  H I N   CBD   90; AB  a; AC  a 5;  Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB ABC  135 Biết góc hai N T Chọn C a3 D O a3 Lời giải C U a3 IE B IL a3 A A T mặt phẳng  ABD  ,  BCD  30 Thể tích tứ diện ABCD Trang 23 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Gọi H thuộc mặt phẳng  ABC  DH   ABC   BA  DA  BC  BD Ta có   BA  AH Tương tự   BC  BH  BA  DH  BC  DH   90   Tam giác ABH có AB  a;  ABH  45 suy ABH vuông cân ABC  135; CBH A  AH  AB  a Áp dụng định lý cơsin ta có BC  a 1 a2 Diện tích tam giác ABC : S ABC  BA BC.sin  ABC  a.a  2 2 Kẻ HE , HF vng góc với DA , DB Suy HE   ABD  , HF   BCD  nên góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  góc  EHF Tam giác EHF vuông E , ta có HE   Mặt khác: cos EHF a.DH a  DH 2 , HF  DH a 2a  DH HE DH  2a    DH  a HF 2.DH  2a a3 Thể tích tứ diện ABCD VABCD  DH S ABC  Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC AB C  Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  A V  3a B V  3a C V  a3 2 Tính thể tích khối D V  3a E lăng trụ ABC AB C  T a , góc hai mặt phẳng  ABC   BCC B   với cos   I N Lời giải T A IL IE U O N T H Chọn B Trang 24 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C' A' B' E K y α a A C M x B Gọi M , N trung điểm AB BC  AB  CC   Do   AB   MCC    ABC    MCC     AB  CM Kẻ CK vng góc với CM K ta CK   ABC  , CK  d C ;  ABC   a Đặt BC  x, CC   y ,  x  0, y  0 , ta được: CM  x 1 1      1 2 CM CC  CK 3x y a    , EC  KC  Kẻ CE  BC  E , ta KEC sin  Lại có a 1 12 a 12 11 1 11  2  2 2 x y CE 12a a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là: Giải 1 ,  2 ta x  2a, y  V  y (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có AB vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Góc AA với mặt phẳng  ABCD  45 Khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' DD ' Góc mặt phẳng 60 , Tính thể tích khối hộp cho C Lời giải D 3 T B E A mặt phẳng I N  CCDD   BBC C  A IL IE U O N T H Chọn A T Câu 27 x a a 3 2a   4 Trang 25 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  BA  450 Ta có AB   ABCD    AA, ABCD    AAB  B Vì d  A, BB   d  A, BB   AH  ( H hình chiếu A lên BB ) Suy ta có A'B '  A' H  A ' B  A ' B '.tan  BB ' A '   sin  BB ' A Gán hệ trục tọa độ gốc A với điểm B  Oz , B   Oy mặt phẳng  ABC D    Oxy  Ta có tọa     Ta có D   Oxy  , giả sử D   a , b,  ; a   C   a , b  độ điểm A  0, 0,  , B 0, 0, , B 0, 2,   Chọn n  BB ' C ' C    b, a , a  n  DD' C ' C   1, 0,   2, Vì góc mặt phẳng  BBC C  mặt phẳng  CC DD  60 Ta có cos  600   b b  2a 2 b a  xa  Mặt khác ta có đường thằng DD  có phương trình  y  b  t Vì khoảng cách từ A đến đường  z t  thẳng DD  Ta có:    AD, u DD '  b  2a   d  A, DD0   d  A, DD      b  2a   b    u DD '   Trường hợp 1: D 3, 2,0  VABCD A' B ' C ' D '  A ' B.S A' B 'C ' D '   A ' B ', A ' D '      D 3,  2,0  V  A ' B S  Trường hợp ABCD A ' B ' C ' D ' A' B 'C ' D '  A ' B ', A ' D '    Câu 28   (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD hình chữ I N T H D V  N C V  10 Lời giải T A IL IE U O ABCD ABC D bằng? A V  B V  12 Thể tích khối lăng trụ E mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với góc  thỏa mãn tan   T nhật với AB  6, AD  , AC  mặt phẳng  AAC C  vng góc với mặt đáy Biết hai Trang 26 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H hình chiếu B lên  ACCA  , BH   ACCA  AC  AB  BC  ; BH  AB.BC = AC  ; HC  BC  BH  ; AH  AC  HC  Kẻ HK  AA,  K  AA  , AA  BH BH   ACCA  nên AA  BK  ; BKH vuông H ABBA ;  ACCA   BKH  BH  KH    ; AK  AH  AK  KH KH Gọi M trung điểm AA Tam giác ACA cân C ' ,  AC  AC  AC  3  tan BKH  CM  AA  KH / / CM AK AC  AC.KH  ACM ∽ AHK  AM    AA  ; CM  2 AH AH S ACC ' A '  CM AA  d  A; AC  AC   d  A; AC   VABCD ABCD  d  A;AC  SABCD =  (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  ABC  mặt phẳng  BCC B  60 Tính thể tích V khối đa diện ABCAC  3a3 C a3 a3 D IE U O N T H I N E T Lời giải IL B A A a 3 T Câu 29 Trang 27 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Khối đa diện ABCAC  hình chóp B ACC A có AB   ACC A  Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a ta suy AB  AC  a Gọi M trung điểm BC , suy AM  BC AM  a  AM  BC Ta có   AM   BCC B   AM  BC (1)  AM  BB Gọi H hình chiếu vng góc M lên BC , suy MH  BC (2) Từ (1) (2) ta suy BC   AMH  Từ suy góc mặt phẳng  AB C  mặt phẳng  BCC B  góc AH MH Mà tam giác AMH vuông H nên   AHM  60  MH  AM cot 60  a a  2 a MH  Tam giác BBC đồng dạng với tam giác MHC nên suy sin HCM   MC a    tan MCH   sin MCH  1    tan MCH 2   a  a  BB  BC.tan MCH T A IL IE U O N T H I N E T 1  VABCAC   VB ACC A  BA AC AA  a 3.a 3.a  a 3 3 Trang 28 https://TaiLieuOnThi.Net ... Diện tích tam giác ABC S ABC  Thể tích khối lăng trụ V  CC   S ABC  a  a  a 3 Trong  ACC A  , kéo dài AM cắt CC  O Suy C M đường trung bình OAC , OC  2CC   2a 1 1 Thể tích khối. .. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác Mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ cho D T C 16 Lời giải...  góc 45 Thể tích khối lăng 3a3 6a Lời giải C Trang 12 https://TaiLieuOnThi.Net D a3 IL B A a3 T A U trụ ABC ABC  IE  BCCB T H Câu 13  E Suy thể tích khối lăng trụ cần tìm là: