TỈ SỐ THỂ TÍCH NÂNG CAO KÈM ĐÁP ÁN

Câu 1. Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M N, lần lượt là trung điểm AB CD , . Gọi 1 2 V V, lần lượt là thể tích của MNBC và MNDA . Tính tỉ lệ V V 1 2 V  . A. 1. B. 1 2 . C. 1 3 . D. 2 3 . Lời giải Vì M N, lần lượt là trung điểm AB CD , nên ta có: d A MCD d B MCD d C NAB d D NAB , , ; , ,           , do đó: . . . 1 . . ; ; 2 2 4 B MCD A MCD B MCD MNBC C MNB D MNB V V V V V V V V V        . 2 . . 2 4 A MCD MNAD D MNA C MNA V V V V V V      . 1 2 1 4 4 2 V V V V V V      . Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm các cạnh SA SC , , mặt phẳng ( ) BMN cắt cạnh SD tại P . Tỉ số SBMPN SABCD V V bằng : Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trang 5 A. 1 16 SBMPN SABCD V V  . B. 1 6 SBMPN SABCD V V  . C. 1 12 SBMPN SABCD V V  . D. 1 8 SBMPN SABCD V V  . Lời giải Dựng SO MN I     , SI S P   D   , OE BP ; Khi đó: I là tung điểm của MN SO , nên 1 2 SP SI SE SO   ; 1 2 DE DO DP DP   Vậy: 1 D 3 SP SP PE ED S     D 1 1 1 1 D 3 2 6 12 SMPB SMPB SADB SABC V V SP SM V S SA V      D 1 1 1 1 D 3 2 6 12 SNPB SNPB SCDB SABC V V SP SN V S SC V      D 1 1 1 12 12 6 SMPNB SBMPN SBMP SBPN SABC V V V V V       Câu 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi B C  , lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó tỷ số thể tích của khối đa diện AB C D   và khối tứ diện ABCD bằng A. 1 2 . B. 1 4 . C. 1 6 . D. 1 8 . Lời giải Chọn B Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET Trang 6 . Ta có:.           1 1 . , . .sin 3 , 1 1 1 2 . . 1 1 , 2 2 4 . , . .sin 3 2 DC A AB C D B AC D ABCD BACD DCA S d B DC A DC DA ADC V V d B DC A V V d B DCA S d B DCA DC DA ADC

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcị  Vmíi B Cắt đáy Vcị Giao cị IA   Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao khơng đổi) S Vcị  đÊy Vmíi SđÊy míi T Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác A IL IE U O N T H I N E T - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Công thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS A1 B1C1D1 SA SB SC SD Nếu  A1 B1C1 D1    ABCD      k  k3 VS ABCD SA SB SC SD Kết trường hợp đáy n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V thể tích khối lăng trụ, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5  V E I N N T H V 2V ; VA ' B ' ABC  3 T A IL IE U O Ví dụ: V A ' B ' BC  T V 4  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA ' CC ' BB ' mn p Khi đó: V2  V Khi M  A ', N  C AM CN  1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V thể tích khối hộp, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  (hai đường chéo hai mặt phẳng song song)  V A V V , V A' C ' D' D  T Ví dụ: VA ' C ' BD  IL IE U O N T H I N E T V  (trường hợp lại)  V Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM   x xy  DD ' V   V2  BP  y  BB ' Câu Cho tứ diện ABCD tích V với M , N trung điểm AB, CD Gọi V1 , V2 thể tích MNBC MNDA Tính tỉ lệ A B V1  V2 V Lời giải C D Vì M , N trung điểm AB, CD nên ta có: d  A,  MCD    d  B,  MCD   ; d  C,  NAB    d  D,  NAB   , đó: V V V ; V1  VMNBC  VC MNB  VD.MNB  B.MCD  ; 2 V V V2  VMNAD  VD.MNA  VC.MNA  A.MCD  V V  V1  V2 4    V V E I N H T N O IE U Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M N trung điểm cạnh V SA, SC , mặt phẳng ( BMN ) cắt cạnh SD P Tỉ số SBMPN : VSABCD T A IL Câu T VA.MCD  VB.MCD  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V A SBMPN  VSABCD 16 V B SBMPN  VSABCD V C SBMPN  VSABCD 12 D VSBMPN  VSABCD Lời giải Dựng SO  MN  I  , SI  SD   P , OE / / BP ; Khi đó: I tung điểm MN , SO nên SP SI DE DO   ;   SE SO DP DP SP  SD V SP SM 1 1     SMPB  SD SA VSABCD 12 Vậy: SP  PE  ED  VSMPB VSADB VSNPB SP SN 1 V     SNPB  VSCDB SD SC VSABCD 12 VSBMPN  VSBMP  VSBPN  VSMPNB 1    VSABCD 12 12 T A IL IE U O N T H I N E T Câu Cho tứ diện ABCD Gọi B , C  trung điểm AB CD Khi tỷ số thể tích khối đa diện ABC D khối tứ diện ABCD 1 1 A B C D Lời giải Chọn B Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có: S d B , DC A  VABC D VBAC D DC A      VABCD VBACD S DCA d  B ,  DCA   DC .DA.sin  ADC  d  B ,  DC A  1   DC.DA.sin  ADC d  B ,  DCA   2 Câu Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành Gọi M , N trung điểm SA, SC Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD P Tỉ số A VS BMPN  VS ABCD 16 B VS BMPN  VS ABCD C VS BMPN bằng: VS ABCD VS BMPN  VS ABCD 12 D VS BMPN  VS ABCD Lời giải H SM SN   SA SC Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus cho SOD ta PS BD IO PS PS SP có :   1  1      PD BO IS PD PD SD Cách 2: Kẻ OH // BP , ta có O trung điểm BD nên H trung điểm PD Ta có OH // IP mà I trung điểm SO nên P trung điểm SH I N E T Chọn B T A IL IE U O N T Ta có M , N trung điểm SA, SC nên Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SP Suy SP  PH  HD   SD Theo công thức tỉ số thể tích ta có : VS BMPN 2VS BMP SM SP 1       VS ABCD 2VS BAD SA SD Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K , M trung điểm đoạn thẳng SA , SB , ( ) mặt phẳng qua K song song với AC AM Mặt phẳng ( ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A V1  V2 25 B V1  V2 11 C V1  V2 17 V1 V2 V1  V2 23 D Lời giải Chọn D Gọi V thể tích khối chóp S ABCD ; I , H trung điểm SC , SM Do ( ) / / ( ACM ) nên ( ) cắt ( SAD ), ( SBD ), ( SCD ) KL , HP, IJ song song với OM VB HQP Ta có VB.SAC VA KQL VA.SBD   BH BQ BP 3 27 27 27 27   Suy VB HQP  VB SAC  V  V BS BA BC 2 16 16 16 32 AK AQ AL 1 1 1 1    VA.KQL  VA.SBD  V  V AS AB AD 2 8 16 V 16  27 1 23 Do V2     V  V  V1  V  32 16 16  32 32 Tương tự:  VC.IPJ  T V1  V2 23 E Vậy tỉ số H I N (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng  P  N T qua A vng góc với SC cắt SB , SC , SD B , C , D  Biết C trung điểm U O SC Gọi V1, V2 thể tích hai khối chóp S ABC D S ABCD Tính tỷ số A IL IE V1 V2 T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Lời giải Chọn D Ta có V2  2.VS ABC  2.VS ACD Gọi O  AC  BD , J  SO  AC  Vì C trung điểm SC nên J trọng tâm SAC Vì BD   SAC   BD  SC mà  P  qua A vng góc với SC nên  P  // BD Trong  SBD  qua J kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD B , D  Ta có SB SD SJ    SB SD SO Khi V1 VS ABC VS ACD  SA SB SC SA SD SC  1         V2 2VS ABC 2VS ACD  SA SB SC SA SD SC  3 Câu Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B , C , D  theo thứ tự trung điểm SA, SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D  S ABCD 1 A B C 16 Lời giải Chọn C E T VS ABC  SA SB  SC  VS AD C  SA SD SC    ;   VS ABC SA SB SC VS ADC SA SD SC I N Ta có: D N T H Mà VS ABCD  VS ABC  VS ACD , suy T A IL IE U O VS AB C D VS AB C   VS AC D VS ABC  VS ACD     VS ABCD VS ABCD VS ABCD Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình SM hành, cạnh SA lấy điểm M đặt  x Giá trị x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối SA chóp cho thành hai phần tích là: A x  B x  1 C x  1 D x  Lời giải Chọn B Ta có:  BC / /  SAD  SM SN   SAD    BMC   MN / / BC    x  SA SD  BC   BMC  VS MBC 2VS MBC SM   x VS ABC V SA VS MCN 2VS MCN SM SN    x2 VS ACD V SA SD  VS MCN  VS MBC  V  x  x2  2VS MBCN V x  x2  x  x2  S MBCN  1 V V Mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp cho thành hai phần tích Từ 1   ta có:  x  x  x  VS MNBC  V 2 1 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng  MNI  chia khối chọp S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích Lời giải C D T B E I N A IA ? IS H k lần phần cịn lại Tính tỉ số 13 T A IL IE U O N T Chọn B Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Mặt phẳng  MNI  cắt khối chóp theo thiết diện hình Đặt VS ABCD  V Ta có S APM  S BMN  d  I ,  ABCD   d  S ,  ABCD     1 S S ABC  S ABCD  APM  S ABCD IA k  SA k  d  I ,  ABCD   VI APM S k k  APM   VI APM  V VS ABCD S ABCD d  S ,  ABCD    k  1  k  1 Do MN / / AC  IK / / AC  IK / /  ABCD   d  I ;  ABCD    d  K ;  ABCD   Mà S APM  S NCQ  VI APM  VK NCQ  k V  k  1 Kẻ IH / / SD ( H  SD ) hình Ta có : IH AH AI k    SD AD AS k  IH PH PA AH PA AH 2k 3k          ED PD PD PD PD AD 3  k  1  k  1 d  E ,  ABCD   ED 3k ED IH ID 3k     :  SD SD ED 3k  d  S ,  ABCD   SD 3k  S ABCD  VE PQD 27k 27k    VE PQD  V VS ABCD 24k  24k  VEIKAMNCD  13 13 V  VE PDC  VI APM  VK NQC  V 20 20 27 k k k 13 V V V V  3k  1  k  1  k  1 20  27 k k 13   k  3k  1 k  T H I N  T SPQD E  U O N   90o ,  ASC  120o Mặt Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có SA  6, SB  2, SC  4, AB  10, SBC Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net A VS BMN VS ABC T Tính tỉ số thể tích k  IL IE phẳng  P  qua B trung điểm N SC đồng thời vng góc với  SAC  cắt SA M Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 35 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích V Gọi M trung điểm BB ' , điểm N thuộc cạnh CC ' cho CN  2C ' N Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V 7V 7V V 5V A VA BCMN  B VA.BCMN  C VA BCMN  D VA.BCMN  12 18 18 Lời giải Chọn B Cách 1: 1 Ta có: VB ' BAC  d ( B ', ( ABC )).SABC  V 3 V 1 V BM Theo công thức tỷ số thể tích: B.MAC    VB MAC  VB B ' AC  V  2 VB B ' AC BB ' Ta có: BB '  BM  3 NC  BM  NC BM d (C , BB ') SBMC    SNMC NC.d ( M , CC ') S V 7  BCNM     A BCNM  SBMC 3 VA BMC IE U O N T H I N E T 7 V 7V Vậy: VA BCNM  VA.BMC   3 18 Cách 2: IL Gọi h, k độ dài đường cao hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' hình chóp A.BCMN , S T A diện tích tam giác ABC Trang 51 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  độ dài đường cao hình chóp M ABC là: h h hS (1) VMABC  S  h hS Mặt khác: VMABC  S  k SBCM  k SBCM  3 4 Ta có SMNC  SBCM (vì tam giác MNC BCM có chiều cao CN  BM ) 3 1 4 hS 2hS  VAMNC  k SMNC  k SBCM  k SBCM  (2) 3 9 hS 2hS hS 7V Từ (1) (2) ta có: VA BCMN  VMABC  VAMNC     18 18 Câu 36 (Chuyên Quang Trung - 2018)   CSA   60, ASB  BSC Cho khối chóp S ABC có  SA  a, SB  2a, SC  4a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A 8a3 B 2a 4a Lời giải C D a3 E I N H T O U IE A   CSA   60 ASB  BSC (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Cho khối chóp S ABC có góc  SA  , SB  , SC  Thể tích khối chóp S ABC T Câu 37 VS AMN SM SN 1 2a     VS ABC  8VS AMN  VS ABC SB SC IL Mặt khác : a3 12 N Do đó: VS AMN  T  SM  SB  Lấy M  SB, N  SC thoả mãn: SM  SN  SA  a    SN   SC   CSA   600  S AMN khối tứ diện cạnh a Theo giả thiết:  ASB  BSC Trang 52 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 2 B D C Lời giải S C A O M B C B SB C  SC cho SC   SC Khi SA  SB  SC    S ABC  khối tứ diện Gọi B SB cho SB  Ta có: AM  2   AO  AM  3 Nên SO  SA2  AO  S ABC  2 Khi VS ABC   S ABC  SO  3 V SA SB SC Mà ta lại có: S ABC    VS ABC  3VS ABC   2 VS ABC  SA SB SC  Cách khác: SA.SB.SC   cos CSB   2cos  .cosCSB  2 VS ABC   cos  ASB  cos BSC ASB.cos.BSC (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện ABCD tích 2017 Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ 4034 81 8068 27 Lời giải C 2017 27 D Q C T N O D F U B H N P M E I N E T A IE B G IL 2017 A A T Câu 38 Trang 53 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group VAEFG S EFG 1    VAEFG  VABCD VABCD S BCD 4 ( Do E , F , G trung điểm BC, BD, CD ) VAMNP SM SN SP 8    VAMNP  VAEFG  VABCD  VABCD VAEFG SE SE SG 27 27 27 27 Do mặt phẳng  MNP  //  BCD  nên VQMNP VAMNP  1  VQMNP  VAMNP 2 2017 VQMNP  VABCD  VABCD  27 27 27 Câu 39 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB , N điểm thuộc cạnh SD cho SN  ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V  a B V  a C V  a3 D V  a 12 36 Lời giải a3 Cách Ta có VS ABCD  SA.S ABCD  3 1   a3 VNDAC  NH S DAC  a  a   3   18 1 a   a3 VMABC  MK S ABC   a   3   12 a3 d  A,  SMN   SSMN  18 Suy VNSAM  1  a  a3 NL.SSAM  a  a   3  2  18 1 a3 Mặt khác VC SMN  d  C ,  SMN   SSMN  d  A,  SMN   S SMN  3 18 Vậy VACMN  VS ABCD  VNSAM  VNADC  VMABC  VSCMN  a3 a a a3 a3      a 18 18 12 18 12 S M K H O E B I N A N T L D N T H U O C Trang 54 https://TaiLieuOnThi.Net IL A T a3 Ta có VS ABCD  SA.S ABCD  Vì OM //SD nên SD //  AMC  3 IE Cách Gọi O giao điểm AC BD Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do d  N ;  AMC    d  D;  AMC    d  B;  AMC   a3  VACMN  VN MAC  VD.MAC  VB.MAC  VM BAC  VS ABCD  12 1 (do d  M ;  ABC    d  S ;  ABC   SABC  S ABCD ) 2 Câu 40 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA  2a Gọi B; D hình chiếu vng góc A cạnh SB, SD Mặt phẳng  ABD cắt cạnh SC C  Tính thể tích khối chóp S ABC D A a3 B 16a 45 Ta có VS ABC D  2VS ABC  1 mà a3 Lời giải C 2a D VSABC  SB SC   * VSABC SB SC  SAC vuông A nên SC  SA2  AC   2a   a 2   a suy SC  a Ta có BC   SAB   BC  AB SB  AB suy AB   SBC  nên AB  BC Tương tự AD  SC Từ suy SC   ABD    ABC D  nên SC  AC  SC  SA2 4a 2    Ta có SC SC 6a SB SA2 SA2 4a  2   2 SB SB SA  AB 4a  a V 8 8 Từ  *  SABC   suy VSABC   VSABC  VSABCD  VSABCD mà VSABC 15 15 15 30 I N E T Mà SC .SC  SA2 suy T N U IE IL 16a 45 A Từ 1 suy VS ABC D  2VS ABC   O 2a 8a3  30 45 T Suy VSABC   H 2a VSABCD  S ABCD SA  3 Trang 55 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 41 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên cạnh AB CD      lấy điểm M N cho MA  MB  NC  2 ND Mặt phẳng  P  chứa MN song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V  18 B V  11 216 C V  216 D V  108 Lời giải Từ N kẻ NP //AC , N  AD M kẻ MQ //AC , Q  BC Mặt phẳng  P  MPNQ AH S ABCD  12  VAMPC  VMQNC  VMPNC Ta có VABCD  V  VACMPNQ AM AP VABCD  VABCD  VABCD AB AD 3 1 CQ CN 11 VMQNC  VAQNC  VABCD  VABCD  VABCD 2 CB CD 22 2 2 AM 11 VMPNC  VMPCD  VMACD  VABCD  VABCD  VABCD 3 3 AB 32 Ta có VAMPC  11 11 1 1 Vậy V      VABCD  V  VABCD  18 216 3 9 Câu 42 (Chun Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy hình bình hành tích V Lấy điểm B  , D  trung điểm cạnh SB SD Mặt phẳng qua  ABD  cắt cạnh SC C  Khi thể tích khối chóp S ABCD B 2V V3 Lời giải C D V T V T A IL IE U O N T H I N E A Trang 56 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD SO  BD  H Khi H trung điểm SO C  AH  SO Trong mặt phẳng  SAC  : Ta kẻ  d  //AC AC  cắt  d  K Khi áp dụng tính đồng dạng OH OA SK SK SC  SC     SK  OA   ;     SH SK AC AC CC  SC V SA SB SD 1 V     VS ABD  V  VS ABCD  nên ta có S ABD  VS ABD SA SB SD 2 tam giác ta có: Vì VS ABD  VS BCD VS BC D SB SC  SD SC  SC  V       VS BC D   VS BCD SB SC SD SC SC SC  V V  SC   V Suy VS ABC D  VS ABD  VS BC D  V    1   SC 8  SC  Câu 43 (Tốn Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SA  a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB , SD , SC B , D , C  Thể tích khối chóp SABC D là: A V  2a 3 B V  2a C V  a3 2a 3 D V  Lời giải S C' D' B' D A O B C a3 Ta có: VS ABCD  a a  3 Ta có AD   SDC   AD  SD ; AB   SBC   AB   SB Do SC   ABD   SC  AC  Tam giác SAC vuông cân A nên C  trung điểm SC SB SA2 2a 2    SB SB 3a  SB SC  SD SC   SB SC  1        SB SC SD SC  SB SC 3 H IE U (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P , Q A V B V C V A IL trung điểm AC , AD , BD , BC Thể tích khối chóp AMNPQ D T Câu 44 a3 O Vậy VS ABC D  E VS ABCD I N VSABC   VSACD T VS ABCD  N VS ABCD T Trong tam giác vng S AB ta có V Trang 57 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Lời giải Ta có VAMNPQ  2VAPMQ (do MNPQ hình thoi), AB // MQ  VAPMQ  VBPMQ Mặt khác P trung điểm BD nên d  P,  ABC    d  D,  ABC   , đồng thời 1 1 S ABC  VBPMQ  d  P,  ABC   S BQM  d  D,  ABC   S ABC 1 V V  d  D,  ABC   S ABC   VAMNPQ  8 Câu 45 (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình đa diện hình vẽ C 30 D 10 Lời giải Trên SA , SB , SC lấy điểm A , B , C  cho SA  SB  SC   SD  Ta có AB   BC   C D  DA  Khi hình chóp S ABD hình chóp S CBD hình chóp tam giác có tất cạnh T H B 23 2  12 T VS ABD  VS C BD  A IL IE U O N A I N E   CSD   DSA   BSD   60 Thể tích khối Biết SA  , SB  , SC  , SD   ASB  BSC đa diện S ABCD T S BQM  Trang 58 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt khác VS ABD SA SB SD 2 9  3   , nên VS ABD  VS ABD    VS ABD SA SB SD 2 2 VS CBD SC SB SD 2    , nên VS CBD  3VS C BD  2 VS C BD SC  SB SD Thể tích khối đa diện S ABCD V  VS ABD  VS CBD   2  (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB , N thuộc cạnh SD cho SN  ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 a A V  a3 B V  a3 C V  D V  a 36 12 Lời giải Cách 1: Phân rã hình: A IL IE U O N T H I N E T a3 Thể tích khối chóp S ABCD là: V   a  3 T Câu 46 Trang 59 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 2 1 Thể tích tứ diện SMNC là: VSMNC   VS BDC    V  V 3 2 1 Thể tích tứ diện NACD là: VNADC   V  V 1 Thể tích tứ diện MABC là: VMABC   V  V 2 2 1 Thể tích tứ diện SAMN là: VSAMN   VS BDC    V  V 3 2 Mặt khác ta có: VSMNC  VNACD  VMABC  VSAMN  VAMNC  VS ABCD 1  a3 1 Suy VAMNC  V  VSMNC  VNACD  VMABC  VSAMN   V   V  V  V  V   V  6  12 6 Câu 47 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD AB C D  tích 2110 Biết AM  MA , DN  ND , CP  2C P hình vẽ Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ 5275 B 8440 7385 18 Lời giải C D 5275 12 H I N E T A N O AM C P DN BQ  x,  y,  z,  t Khi x  y  z  t AA CC  DD BB VABD.MQN x  z  t VABD.MQN x z t    VABD ABD VABC D ABCD T Gọi Q giao điểm mặt phẳng  MNP  với BB Trang 60 https://TaiLieuOnThi.Net T A IL IE U Giả sử Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VC BD PQN VC BD.CBD  V  y  z t y  z t   C B D PQN  VABC D ABCD VMNPQ ADC B VABCD ADC B   x  y  AM C P   1         VABCD ADC B  AA CC     12 5275  VMNPQ ADC B  VABCD ADC B  12 VMNPQ ADC B Câu 48 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi E điểm cạnh SC cho EC  ES Gọi   mặt phẳng chứa AE song song với BD ,   cắt SB, SD hai điểm M , N Tính theo V thể tích khối chóp S AMEN 3V V A B C 3V 16 D V Lời giải Gọi G giao điểm AE SO Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: AC GO ES GO 1  1 AO GS EC GS SG SM SN     SO SB SD V V V 1 1 1 Ta có: S AMEN  S AME  S AEN    V 2VS ABC 2VS ACD 2 2  Vậy VS AMEN  V E T (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD AB C D  tích 2110 Biết AM  MA ; DN  ND  ; CP  PC  Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp cho A IL IE U O N T H I N thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ T Câu 49 Trang 61 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group D A C B N P M C D A B 8440 C Lời giải A 5275 B 12 7385 18 D A 5275 C B N D P M Q C D B A Ta có: VMNPQ ABC D VABCD ABC D Vnho  VMNPQ ABC D  5 5275 VABCD ABC D   2110  12 12 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích 2018 Gọi M trung điểm AA ; N , P điểm nằm cạnh BB , CC  cho BN  2BN , CP  3C P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 32288 40360 4036 23207 A B C D 27 27 18 Lời giải T N O IE (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  tích 6a Các AM BN CP điểm M , N , P thuộc cạnh AA , BB , CC  cho  ,   AA BB CC  Tính thể tích V  đa diện ABC.MNP T A IL Câu 51 VABC MNP  AM BN CP  23 23207      Vậy VABC MNP   VABC ABC   AA BB CC   36 18 U Ta có H I N E T Câu 50  AM C P   1          AA C C    12 Trang 62 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 11 a A V   27 B V   a 16 11 C V   a Lời giải D V   11 a 18 Lấy điểm Q  AA cho PQ //AC Ta có MQ  AQ  AM  AA T A IL IE U O N T H I N E T Dễ thấy VABC MNP  VABC ABC  , VM QNP  VABC ABC  12 11 11 Vậy V   VABC MNP  VM QNP  V  a3 18 Trang 63 https://TaiLieuOnThi.Net T A IL IE U O N T H I N E T Tài Liệu Ôn Thi Group Trang 64 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group T A IL IE U O N T H I N E T TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trang 65 https://TaiLieuOnThi.Net ... song song với AC AM Mặt phẳng (? ?? ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A V1  V2 25 B V1  V2 11... O V2  V1 U A V2 là: V1 IE khối đa diện có chứa đáy ABCD Tỉ số E chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S V2 thể tích T Câu 21 (Thpt Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018)... AO.tan 45   2 a a a3  Thể tích khối chóp S ABCD bằng: V  SA.2S ABD  4 a3 Thể tích khối chóp N MCD thể tích khối chóp N ABCD bằng: V   V  16 1 a a a3  Thể tích khối chóp KMIB bằng: