TÍCH PHÂN NÂNG CAO KÈM ĐÁP ÁN

Câu 1. (Chuyên Biên Hòa Hà Nam 2020) Cho hàm số f x  liên tục trên  và thỏa mãn   1 5 f x xd 9    . Tích phân   2 0   f x x 1 3 9 d     bằng A. 15 . B. 27 . C. 75. D. 21. Lời giải Chọn D Ta có     2 2 2 0 0 0   f x x f x x x 1 3 9 d 1 3 d 9d             2 0    f x x 1 3 d 18  . Xét   2 0 f x x 1 3 d   , đặt t x  1 3 d d 3d d 3 t       t x x . Đổi cận khi x t    0 1; x t     2 5 . Suy ra   2 5 1 0 1 5 1 1 1 3 d ( )d ( )d 3 3 f x x f t t f t t          . Khi đó   2 1 1 0 5 5 1 1 1 3 9 d ( )d 18 ( )d 18 21 3 3 f x x f t t f x x                 .

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM Dạng Tích phân Hàm ẩn Dạng 1.1 Giải phương pháp đổi biến b Thơng thường tốn xuất  f u  x  dx ta đặt u  x   t a Câu (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  f  x  dx  Tích phân 5   f 1  3x    dx A 15 B 27 D 21 C 75 Lời giải Chọn D Ta có 2 2 0 0   f 1  3x   9 dx   f 1  3x  dx   9dx   f 1  x  dx  18 Xét  f 1  3x  dx , đặt t   3x  dt  3dx  dx   Đổi cận x   t  ; x   t  5 Suy  dt f 1  x  dx   Khi 1 5 5 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số 10    f 1  3x   9 dx   f (t )dt  18   f ( x)dx  18  21 10 f  x  liên tục đoạn 0;10 thỏa mãn f  x  dx  7,  f  x  dx  Tính P   f  x  dx A P  B P  6 C P  Lời giải D P  12 Chọn C 10  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  Xét P   f  x  dx Đặt t  x  dt  2dx  dx  E dt T Ta có: 10 U IE IL 1 f  t  dt   f  x  dx   20 20 A Lúc đó: P   f  x  dx  O N T H I N Đổi cận: T Câu 5 1 f (t )dt   f (t )dt  31 5 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho I   f  x  dx  26 Khi J   x  f  x  1  1 dx A 15 B 13 C 54 Lời giải D 52 Chọn A 2 0 + Ta có: J   x  f  x  1  1 dx   xdx   xf  x  1 dx + Xét A   xdx 2 x2  A   xdx  0 + Xét B   xf  x  1 dx Đặt t  x   dt  xdx Đổi cận: x Ta có: t 2 B   xf  x  1 dx  0 5 1 f  t  dt   f  x  dx  26  13  21 21 Vậy J  A  B  15 Câu (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số y  f ( x) liên tục  thỏa mãn  f  x  dx  x   f  sin x  cos xdx  Tích phân I   f ( x) dx A I  B I  C I  Lời giải D I  10 Chọn C Đặt t  x  dt  Suy  f x  x dx  x 1  dx Khi x   t  1; x   t  3 f (t )dt    f (t )dt  T     ;   dt  cos dx Khi x   t  0; x   t   2 (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết  1 A P  15 B P  37 I N T N O U IE Câu H f  x dx  15 Tính giá trị P    f   x    dx C P  27 Trang https://TaiLieuOnThi.Net IL A  f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx    D P  19 T Suy E Đặt t  sin x; x    Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Đặt t   x  dt  3dx  dx =  dt Đổi cận: x  t  ; x  t  1 2 1 0 Ta có: P    f   x    dx   f   3x  dx +  7dx   f t  dt  x   f  t  dt  14 1 3  15  14  19 Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho  f  x  dx  2018 Tính tích phân I    f  x   f   x   dx A I  B I  2018 2 0 C I  4036 Lời giải D I  1009 Ta có I   f  x  dx   f   x  dx  H  K Tính K   f  x  dx Đặt t  x  dt  2dx ; đổi cận: x   t  2; x   t  Nên K   f  t  dt  1009 20 Tính H   f   x  dx , Đặt t   x  dt  2dx ; đổi cận: x   t  4; x   t  Nên H  f  t  dt  1009 0 Suy I  K  H  2018 Cho y  f  x  hàm số chẵn, liên tục  6;6 Biết  f  x  dx  ; 1  f  2 x  dx  Giá trị I   f  x  dx 1 A I  B I  C I  14 Lời giải Ta có y  f  x  hàm số chẵn, suy f  2 x   f  x  Khi đó: D I  11 3 1  f  2 x  dx   f  x  dx  I N E T Xét tích phân: I1   f  x  dx 6 T H dt  dx Đổi cận: x   t  ; x   t  N Đặt t  x  dt  2dx   1 U IE IL  1 f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx    14 A Vậy I  O 1  I1   f  t  dt   f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx 6 22 2 T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số   f  x  liên tục   f  x  dx  2018 , tính I   xf  x  dx A I  1008 B I  2019 C I  2017 Lời giải D I  1009  Xét I   xf  x  dx Đặt t  x  dt  xdx  xdx  dt Đổi cận: x   t  0; x    t   Khi I  2  f  t  dt  2  f  x  dx  1009 Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho  f  x dx  Khi B x t  Đặt Suy  Vậy  f f x x  x  dx   C Lời giải  x dx x D dx  2dt Khi x  t  ; x  t  x dx  dt   x dx   f 1 A f  t  2dt   f  t dt  2.2  x Câu 10 (Sở Hà Nội 2019) Cho  f x A  1xdx  Khi I   f  x  dx B D 1 C Lời giải dt Đổi cận x   t  2; x   t  Đặt x   t  xdx  dt  xdx  5 T E I N H Câu 11 Cho f , g hai hàm số liên tục 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x  dx=10 đồng thời T f  t  dt   f  t  dt   I   f  x  dx  2 2 N Suy ra:   f  x  1 dx  1 U O Trang https://TaiLieuOnThi.Net D IL C Lời giải A B T A IE  2 f  x   g  x dx=6 Tính  f   x dx +2  g  x  1dx Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ta có: 3   f  x   3g  x  dx=10   f  x dx+3 g  x dx=10 1 3 1  2 f  x   g  x dx=6  2 f  x dx- g  x dx=6 3 1 Đặt u   f  x dx; v =  g  x dx 3   f  x dx=4 u  3v  10 u   Ta hệ phương trình:    13  2u  v  v   g x dx=2    1 + Tính  f   x dx Đặt t   x  dt  dx; x   t  3; x   t  3 3 1  f   x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f  x  dx  + Tính  g  x  1dx Đặt z  x   dz  2dx; x   z  1; x   z   g  x  1 dx  Vậy  3 1 g  z  dz   g  x  dx   21 21 f   x dx +2  g  x  1dx = Câu 12 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa A I  16 B I  18 0  f  x  dx   f  x  1 dx  Tính I   f  x  dx C I  Lời giải D I  20 A   f  x  dx  , B   f  x  1 dx  đặt t  x   dt  3dx Đổi cận : x   t 1 x2t 7 Ta có: B  7 f  t  dt    f  t  dt  18   f  x  dx =18 1 1 7 0 A 80 E I N O U IE 3 B 60 C 40 Lời giải Đặt t  10  x Khi dt  dx D 20 IL  f  x  dx  Tính I   xf  x  dx A N T H (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f 10  x  T Câu 13 T Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Đổi cận: x   t  x   t  3 7 Khi I    10  t  f 10  t  dt   10  t  f 10  t  dt   10  x  f 10  x  dx 7 7 3   10  x  f  x  dx  10  f  x  dx   xf  x  dx  10  f  x  dx  I Suy I  10  f  x  dx  10.4  40 Do I  20 Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho  f  x  dx  Tính  I   f  sin x  cos xdx A I  B I  D I  C I  Lời giải Đặt t  sin 3x  dt  3cos 3x.dx x   t   Đổi cận:    x   t   I 1 f  sin x  cos xdx   f  t  dt   30 Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân I   f  x  dx  32 Tính tích phân J   f  x  dx A J  32 B J  64 Đặt t  x  dt  2dx  C J  Lời giải D J  16 dt  dx Đổi cận: x   t  0; x   t  4 1 f  t  dt   f  t  dt  I  16 20 Câu 16 (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết f  x  hàm liên tục   f  x  dx  Khi giá trị I N T H  f  3x  3 dx O D U C 27 Lời giải IE B 24 N A A IL Xét I   f  x  3 dx T Đặt t  x   dt  3dx Trang https://TaiLieuOnThi.Net T E J   f  x  dx   Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 9 x   t  1 Đổi cận:  Vậy I   f  t  dt   f  x  dx   30 x   t  0 Câu 17 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn  f (2 x)dx  Tích phân  f ( x)dx A B C Lời giải D dt , Đặt t  x  dt  2dx  dx  x 0t 0 x 1 t  2 0 Ta có   f (2 x)dx   Theo tính chất tích phân 2 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt  20 2 0  f (x)dx   f (t)dt  Vậy  f ( x)dx  Câu 18 Cho hàm f  x  thỏa mãn A I  2017 2017 0  f  x  dx  Tính tích phân I   f  2017 x  dx B I  D I  C I  2017 Lời giải dt 2017 Đổi cận: x   t  ; x   t  2017 Đặt t  2017 x  dt  2017dx  dx  2017 Vậy I   1 f t  dt  2017 2017 2017  f  t  dt  2017 Câu 19 Cho tích phân  f  x  dx  a Hãy tính tích phân I   xf  x   dx theo a B I  A I  4a a C I  a D I  2a T Lời giải Đặt t  x   dt  xdx I N E 2 U dt 1 a   f  t  dt   f  x  dx  21 21 IE IL  A  T I   xf x  dx   f  t  O N T H Đổi cận Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 20 (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn   tan x f  cos x  dx  2  x ln x e A f  ln x  e2 dx  Tính  f 2x B  x dx D C Lời giải  * I1   tan x f  cos x  dx  f  cos x  sin2xdx 0 cos x Đặt cos2 x  t  sin xdx  dt Đổi cận Khi I1   e * I2   e x t  2 f t  f t  d t  dt    21 t t f  ln x  x ln x 2 e f  ln x  ln x dx e ln x x dx  ln x dx  dt x Đặt ln x  t  Đổi cận f t  dt   1 t Khi I  * Tính I   4 f  2x  x x t f t  dt  t e e2 dx Đặt 2x  t  dx  dt Đổi cận x t t dt   f t  dt    t T t dt   f t  H E Khi I   f t  I N N T  x  3x ; x  (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x    Tính 5  x ; x  U O Câu 21 0 T I   f  sin x  cos xdx  3 f   x  dx IL A IE  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 71 A I  B I  31 D I  C I  32 32 Lời giải  Xét tích phân I1   f  sin x  cos xdx Đặt t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận x  t 1 Ta có I1    x2  f  t  dt   f  x  dx     x  dx   x    0  0 1 Xét tích phân I   f   x  dx Đặt t   x  dt  2dx  dx  dt Đổi cận 1 x t Ta có 3 3  1 1  x3 1 10  22 I   f   x  dx   f  t  dt   f  x  dx    x  3 dx    x   18    21 21 21 2 3 1   0 Vậy I   f  sin x  cos xdx  3 f   x  dx   22  31 Câu 22 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình- 2019) Cho I   f  x  dx  Giá trị 3cos x  3cos x   dx B  A Lời giải D  C Đặt u  3cos x   u  3cos x    udu  sin xdx Đổi cận  Do   3cos x  3cos x   dx  2 2uf  u  2 d u  f u d u  f  x  dx    2 3u   31 31  f  x  dx   f  x  dx  20  f e  e 2x 2x dx IL ln A  f  x  3 dx  Tính T IE O (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết U Câu 23 N T sin xf   x   u    x   u  T  sin xf E  I N H  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 15 A I  C I  Lời giải B I  15 D I  25 Chọn A Đặt t  x   dt  4dx  f  x   dx  5  1 1 25 f t dt  f t dt  f  t  dt     20         41 41 4  Đặt u  e x  du  2e x dx ln  f  e  e dx   f  u  du  21 2x 2x 25 15   4 Vậy I  Câu 24 (Chuyên Thái Bình 2019) f ( x ) Cho hàm số liên tục  thỏa mãn f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   Tính tích phân I   f ( x ) dx A I  e 1 4 B I  2e  C I  e  D I  e  Lời giải Đặt x   t  dx   dt 2 0  I   f   t   dt    f   t  dt    f   x  dx 2  I    f  x   f   x   dx   xe x dx  Vậy I  x2 e d  x2   ex  20 2  e4  e4  (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x  , A I   f  x  dx  Tính tích phân I   f  x  dx B I  C I  Lời giải 1 0 Ta có:  3.1  3. f  x  dx   f  x  dx   D I  1 f  x  dx   f  x  d  x  , x   20 T x   Biết E Câu 25 2 H N T 1 f  x  d  x    f  t  dt   f  x  dx , x   (do hàm số f  x  liên tục  )  20 20 20 IE T IL  f  x  dx  6, x     f  x  dx   f  x  dx  6, x   A  U O 3 I N Đặt x  t  d  x   dt , với x   t  ; x   t  Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 Ta có: I   Hay I   3 0   f   x  f  x d  x   0 3  0 cos xd  x     2cos xd  x   3 2 3 3  3  f  x  d  x    f  x  d  x    f  x  d  x    f   x  d  x    f  x  d  x  3 I 3 2(1  cos x) d  x    cos x d  x    cos xd  x    cos xd  x   3 Vậy I  sin x |02 2sin x |   Câu  b  15 Khi a  b  c bằng: A 10 B  sin x  I   x2  x a  c , với a, b, c   , b dx   D 12   dx  1 x  x C 11 Lời giải  sin x  (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho  x sin xdx    x sin xdx  4    I1 I2 Ta nhận thấy  x sin x hàm lẻ nên I1  u  x  du  dx  dv  sin xdx Choïn v   cos x   I   x cos x 4   4   cos xdx        sin x 4     4   2      16 Vậy a  b  c  11 Suy I  (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho f  x  hàm số chẵn đoạn  a; a k  f  x a Giá trị tích phân  1 e kx dx a kx a a Xét tích phân f  x  1 e kx kx dx   f  x  e kx T E H T f  x  1 e Lời giải N dx  a dx O f  x  1 e 0 IE a a a D  f  x  dx I N C  f  x  dx a Ta có  a f  x  dx U B dx IL  a f  x  dx A a A a T Câu Đặt t   x  x  t Trang 87 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  dt  dx  dt  dx Đổi cận: x  a  t  a x  0t  Khi đó, 0 a f  x f  t  f t   a  ekx dx  a  ek  t   dt   0  e kt dt a  e kt f  t  a dx    ekt f  x a  1 e Do đó, a Câu (Việt ekx f  x  Đức kx ekx f  x  a dx    e kx Hà f  x   f  x   dx  ekx Nội f  x a dx    e kx 2019) Cho e a dx    1 f  x  kx  ekx f  x, f x a dx   f  x  dx liên tục  thỏa mãn  I  f  x  dx  Khi giá trị m Biết  x 4 m 2 A m  B m  20 C m  Lời giải D m  10 Hàm số f  x  , f   x  liên tục  thỏa mãn f  x   f   x     f  x   f   x   dx  2 x 2 nên ta có: x 4 dx 1 4 2 2 2 2 2   f  x   f   x   dx   f  x  dx   f   x  dx Đặt K  Đặt  x  t  dx  dt ; f   x   f  t  , x  2  t  2; x   t  2 2 Do 2  f   x  dx   f  t   dt    f  t  dt   f  x  dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  K   f  x  dx   f   x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   dx    ; x  tan  ,     ;  , 4  2  d    d   2     Từ 1 ,     , ta có K  J   f  x  dx    2 Mà theo giả thiết, I    f  x  dx  m 2 nên  m   20 E  T  3 I N tan   4 H  1  tan     T Do J  4 ; Với x      N    f  x  dx  20 O x  2     U Với 2d  1  tan   d cos  2  m  20 Trang 88 https://TaiLieuOnThi.Net IE Ta có: dx  d  tan    IL 2 A x T Đặt J  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 dx Chú ý: Có thể tính nhanh  công thức: x 4 2 dx x  x2  a2  a arctan a  C Từ đó: dx x  x2   arctan  C dx x 1    arctan   arctan1  arctan  1    x 4 2 2 24 2 Câu            (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa -2019) Cho hàm số f  x  , f   x  liên tục  thõa mãn f  x  f x  A I   20 Tính I   f  x  dx  4 x B I   10 C I   20 D I   10 Lời giải Tính  f   x  dx 2 Đặt t   x  dt  dx Đổi cận x t 2 2   f   x  dx    2 2 2 2 2 2 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx 2 1 dx    f  x   f   x   dx    2  x2 4 x 2 dx   f  x  dx   2 2  x 2 1     1  x dx  arctan          f  x  dx   2 2  x   2 10  4  20 f  x  f x   4; 4 biết (Hà Nội - 2018) Cho hàm số y  f  x  hàm lẻ liên tục 2  f   x  dx   f  2 x  dx  Tính A I  10 B I  6 I   f  x  dx C I  Lời giải D I  10 Xét tích phân  f   x  dx  2 2 0 E I N H  2 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt    f  x  dx  T T Đặt  x  t  dx  dt Đổi cận: x  2 t  ; x  t  1 O U IL IE  f   x  dx    f  x  dx   f  x  d x   A Do N Do hàm số y  f  x  hàm số lẻ nên f  2 x    f  x  T Câu Trang 89 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  f  x  dx Xét 1 Đặt 2x  t  dx  dt Đổi cận: x  t  ; x  t   f  x  dx  4 f  t  dt  4 2   f  t  dt  8   f  x  dx  8 2 4 0 Do I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    6 Câu (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục đoạn   ln 2; ln  thỏa mãn f  x   f   x   A P  Biết x e 1 ln  f  x  dx  a ln  b ln  a; b    Tính P  a  b  ln B P  2 C P  1 D P  Lời giải ln Gọi I   f  x  dx  ln Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: Với x   ln  t  ln ; Với x  ln  t   ln  ln Ta I    f  t  dt  ln   ln ln ln Khi ta có: 2I   f  x  dx   ln ln f  t  dt   f   x  dx  ln ln  f   x  dx   ln ln   ln  f  x   f   x   dx  ln dx e 1  ln  x ln Xét dx Đặt u  e x  du  e x dx e   ln  x Đổi cận: Với x   ln  u  ln ln ln Ta ; x  ln  u  1 ex du d x  dx   x   x x e 1 u u  1  ln  ln e  e  1  ln  ln 2  1  ln u  ln u   d u    ln    u u     ln 1 Vậy ta có a  , b   a  b  2 Do  f  x  dx  1 E T dx f  x  dx    f  x  dx 1 1 N x O 2  f  x  dx  Trang 90 https://TaiLieuOnThi.Net U f  x 3 C Lời giải B A D IE f  x  dx  Giá trị 1 IL  f  x  dx  A H I N (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho y  f  x  hàm số chẵn liên tục  Biết T Câu T  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  f  x Mặt khác  2 3 dx  1 x f  x x 2 1 f  x dx   3x  dx y  f  x  hàm số chẵn, liên tục   f   x   f  x  x   f  x 3 Xét I  x 2 f  x 3 I  1 x 2 f  x  3 1 x 2 1 dx Đặt t   x  dx  dt dx    dx  f  t  3 t  f  x 3 1 x 2 dt = dx    f  x 1 x t x f t  f  x f  t  dt =  x dx dt =  t 1 1 0  3t dx   3x f  x  1 x dx   f  x 1 x dx   3 x  1 f  x  3x  dx   f  x  dx  Câu  f  x  dx  10 Tính (SGD&ĐT BRVT - 2018) Hàm số f  x  hàm số chẵn liên tục  I f  x 2 1 x 2 dx B I  A I  10 10 C I  20 D I  Lời giải Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: x  2  t  , x   t  2 I f t  2 t 1 2  2I  f  x 2 2 dt  x 1 2t 2x f t d t     2t   x  f  x  dx 2 2 2 2x f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10 2x  2 2 2 2 dx   Mặt khác f  x  hàm số chẵn nên f   x   f  x  Xét J   f  x  dx , đặt t   x  dt  dx 2 2 0  J   f  t  dt   f   x  dx   f  x  dx  10  I  20  I  10 (Yên Phong - 2018) Cho hàm số y  f  x  hàm số chẵn, liên tục đoạn  1;1 T E dx I N x T U f  x   2018 D x dx Đặt x  t ; dx   dt ; x  1  t  ; x   t  1 IE C Lời giải N B H 1 A Xét tích phân f  x   2018 O 1 1 IL  f  x  dx  Kết A T Câu 10 Trang 91 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group f t  2018t f  t  dt   dt =   2018x dx =  1  2018t dt = 1 1  2018t 1 1 1 2018t f  x f  x Vậy f  t  1   2018 x dx + f  x Do   2018 x dx = 1 Câu 11  1 1 2018 x f  x   2018 x  2018 x f  x   2018 x 1 dx dx =  f  x  dx = 1  (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho f  x  hàm liên tục đoạn  0; a  thỏa mãn a  f  x  f  a  x   dx ba b   , b , c hai số nguyên dương phân số  1 f  x c c  f  x   0, x   0; a  tối giản Khi b  c có giá trị thuộc khoảng đây? A 11; 22  B  0;9  C  7; 21 D  2017; 2020  Lời giải Cách Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x   t  a; x  a  t  0 a a a f  x  dx dx dt dx dx      f  x a 1 f  a  t  1 f a  x  1 f  x 0 f  x a Lúc I   a f  x  dx a dx   1dx  a Suy I  I  I    f  x  0  f  x  0 a Do I  a  b  1; c   b  c  2 Câu 12 (Chuyên Sơn La - 2020) Tích phân A S  x 2020 2a d x  Tính tổng S  a  b  ex 1 b 2 B S  2021 C S  2020 Lời giải D S  4042 Chọn D Xét I  x 2020  e x  dx 2 Đặt x  t  dx  dt Đổi cận x  2  t  2; x   t  2 e t  2 Suy I  I  I  2 2 x 2020 x 2020 e x x 2021 2020 d x  d x  x d x   2 e x  2 e x  2 2021 2 2021   2  2021  2021 22022 2021 O N T 22021 Suy a  b  2021 Vậy S  a  b  4042 2021 Biết x e 1 ln  f  x  dx  a ln  b ln 3,  a, b    Tính P  a  b A f  x  f x  IL IE (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục đoạn   ln 2;ln 2 thỏa mãn T Câu 13 U Do I  t 2020 t 2020 et x 2020 e x d t  d t  1  et   ex  dx 2 2 2  et T  dt   E  2020 I N Ta I   t  H 2  ln Trang 92 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B P  A P  2 C P  1 D P  Lời giải Chọn B ln Từ giả thiết suy   ln ln  Ta có  ln  f  x   f   x   dx  ln Mặt khác ln  ln dx e 1  ln f  x  dx   ln ln  x ln f x d x    ln ln  f  x  dx  ln ln 1  1 dx   x d  ex     x  x  d ex  x  x e 1 e e  1  ln  ln  e  1 e  ln  ln   f  x   f   x   dx  ln ln 1 ln d ex    x d  e x  1  x  ln  ln  e x  1  ln  ln  ln  ln  ln x   ln e e 1  ln  ln ln Suy 1  f  x  dx  ln  a  , b   a  b   ln Câu 14 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho f  x  hàm số chẵn  f  x  dx  Giá trị tích phân f  x   2019 x dx 1 A 2019 B C D Lời giải Chọn B f  x   2019 I x dx 1 Đặt t   x   dt  dx Cận x t -1 1 -1 1 f  t  f t  2019t f  t  dt  dt    2019t   2019t dt  2019  t 1 1 2019t 1 f  t  1  2019t  2019t f  t  f t   2I   dt   dt   dt  2019t  2019t  2019 t 1 1 1 1 E 1 I N H  f  t  dt  2 f t  dt  2.2  I  T  2I  T I   O N Dạng 2.2 Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối b IE U Tính tích phân: I   f  x  dx ? T A IL a Trang 93 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Bước Xét dấu f  x  đoạn  a; b  Giả sử đoạn  a; b  phương trình f  x   có nghiệm xo   a; b  có bảng xét dấu sau: x a xo b f  x   Bước Dựa vào công thức phân đoạn dấu  a; xo  ,  xo ; b  ta được: b xo b a a xo I   f  x  dx   f  x  dx     f  x   dx  A  B Sử dụng phương pháp tính tích phân học tính A, B  I a Câu 15 Cho a số thực dương, tính tích phân I   x dx theo a 1 A I  a2  B I  a2  C I  2a  D I  3a  Lời giải Chọn A a 1 a2  a2   2 Vì a  nên I    x dx   x dx  Câu 16 m  2mx  dx  Khẳng (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho số thực m  thỏa mãn định sau đúng? A m   4;6  B m   2;  C m   3;5 D m  1;3 Lời giải  Do với m  1, x  1; m  2mx   2m m m 2mx  dx    2mx  1 dx   mx  x   m3  m  m   m3  2m  1 Do m   2m   m  Vậy m  Từ theo ta có m3  2m     Do m  m  m    (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Khẳng định sau đúng? A C   1 2 x dx   1 2018  x dx B 1 x  x  dx   x 2018 1 e x  x  1 dx   e x  x  1 dx 2  D    x  1 dx   cos xdx   2 sin xdx  T Câu 17 I N E Lời giải H Chọn B 2018 1 N O x  x  1 dx U x  x  dx   IE 1 IL  2018 T A Do đó: T 1 1  Ta có: x  x   x  x     x     0, x   4  2 4 Trang 94 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tích phân  nguyên Tính P = abc A P  36 B P  x2 dx  a  b ln  c ln với a, b, c số x 1 C P  18 Lời giải D P  18 Chọn A Ta có  x2 x2 x2 dx    dx   dx x 1 x 1 x 1 2        1   dx      dx x 1 x 1  1 2    x  3ln x     x  3ln x       3ln 3   3ln   3ln   3ln   ln  3ln Vậy a  2, b  6, c   P  abc  36 (Chuyên Hạ Long 2019) Có số tự nhiên m để  x  2m2 dx  A Vô số B x 2  2m dx  x  2m  dx C Duy Lời giải x  2m  dx D  *  x  m Ta có: x  2m     x  m TH1 Nếu m  *  x  2m  1 TH2 Nếu m  thi *   với x   0; 2  x  2m    ) m  1  m  m    (vô nghiệm)   m  m 2  m  m     m m   m    Suy m   ;     ;    0 giá trị cần tìm I N H T N O U m  m     m m    m  IE 2 IL m  m    (vô nghiệm)   m  m A 1 E T ) m  T Câu 19 Trang 95 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 20 (Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Tính tích phân I  2 x   x dx 1 ln A B ln C 2ln D ln Lời giải 2 I   x dx ta có x  2 x   x  x 1 I  x  2 x dx  1 x  2 x dx   x  2 x dx   1 0 x x    dx  1  2 x   x dx  x  2 x   x  2 x         ln  1  ln  ln Câu 21 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hàm số  f  x  dx  ; f  x  liên tục  có f  x  dx  Tính I   f  x   dx  1 A I  B I  C I  D I  Lời giải Chọn D I 1 1 1  f  x   dx   f 1  x  dx   f  x  1 dx  I  I2 2 3 1 12 Xét I1   f 1  x  dx    f 1  x  d 1  x    f  t  dt   f  x  dx  1 20 20 1 Xét I   f  x  1 dx  1 1 1 f  x  1 d  x  1   f  t  dt   f  x  dx   20 20 21 Vậy I  I1  I  (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số T  f ( x  1)dx 11 C I N B D H 4 Trang 96 https://TaiLieuOnThi.Net U IE IL 1 A  1 f ( x  1)dx   f ( x  1)dx   f ( x  1)dx T 1 O Lời giải Ta có 1 A  f ( x)dx  T  f ( x)dx  Tính E f ( x) liên tục  có N Câu 22 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   1 f (1  x)dx   f (4 x  1)dx  I  J +) Xét I   f (1  x)dx 1 Đặt t   x  dt  4dx;  t  Với x  1  t  5; x  5 1 I   f (1  x)dx   f (t )( dt )   f (t )dt   f ( x)dx 1 40 40 1 +) Xét J   f (4 x  1)dx Đặt t  x   dt  4dx; Với x   t  3; x  1  t  3 1 J   f (4 x  1) dx   f (t )( dt )   f (t )dt   f ( x )dx  40 40 Vậy  f ( x  1)dx  1 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa  f  x  dx  2  f  x  dx  14 Tính  f  x   dx 2 A 30 B 32 C 34 Lời giải D 36 + Xét  f  x  dx  Đặt u  x  du  2dx ; x   u  ; x   u  2 Nên   f  x  dx   f  u  du   f  u  du  20 0 T  f  x  dx  14 E + Xét I N 0  2 T N O U  2 f  x   dx  f  x   dx   f  x   dx IE + Xét 12 IL 12 f  v  dv   f  v  dv  84 0 0 A Nên 14   f  x  dx  H Đặt v  x  dv  6dx ; x   v  ; x   v  12 T Câu 23 Trang 97 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  Tính I1   f  x   dx 2 Đặt t  x  Khi 2  x  , t  5 x   dt  5dx ; x  2  t  12 ; x   t  12  1 1 I1  f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84    16  50 12   Tính I1   f  x   dx Đặt t  x  Khi  x  , t  x   dt  5dx ; x   t  12 ; x   t  12 12  1 1 I   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84    16 52 50  Vậy  f  x   dx  32 2 Câu 24 (Phong - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục  0;3  f  x  dx  2;  f  x  dx  Giá trị tích phân  f  x   dx  ? 1 A Lời giải B 1 1 1 Ta có D C  f  x   dx   f 1  x  dx   f  x  1 dx  I  J Tính I  2  f 1  x  dx 1 Đặt t   x  dt  2dx Đổi cận x  1  t  3; x  I  t 0 1 1 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx    23 20 20 Tính J   f  x  1 dx T E T H 1 f  t  dt   f  x  dx    20 N J  t  0; x   t  I N Đặt t  x   dt  2dx Đổi cận x  U O  f  x   dx  I  J    IE Vậy  f ( x) dx   f ( x ) dx  Tính Trang 98 https://TaiLieuOnThi.Net  f ( x  1)dx A T Câu 25 Cho hàm số f ( x) liên tục  có IL 1 1 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 11 B C D Lời giải Chọn C 1 1 1 Ta có:  f ( x  1)dx   f (4 x  1)dx   f (4 x  1)dx 4  f (4 x  1)dx Đặt t  4 x    dt  dx Tính: A  1 1  A    f (t )dt   f (t ) dt  45 40 Tính: B   f (4 x  1)dx Đặt t  x   dt  dx B f (t )dt  0  f ( x  1)dx  A  B  Vậy 1 Câu 26 Cho hàm số y  f  x  xác định  thỏa mãn f   x   f    x   2x x  x2 1 với số thực x Giả sử f    m , f  3  n Tính giá trị biểu thức T  f  2   f  3 A T  m  n B T  n  m C T  m  n D T  m  n Lời giải Chọn B Với số thực x , thay x  x vào biểu thức f   x   f    x   f  x  f  x  x  x   x 1 hay f   x   f    x   2x x  x2 1 2x x  x2 1 (1), ta (2) x Nhân hai vế (2) với sau trừ theo vế cho (1), rút gọn suy f   x   với x  x2  số thực x  3 f   x  dx  3 x  x  x2  dx Đặt u   x , ta d u   d x T Xét I  I N E Đổi cận: Khi x  3  u  x   u  2 T N  f   x  dx  f  3  f  2  (4) 2 Từ (3) (4), ta f    f  3  f  3  f  2  suy U O  3 f   x  dx  f    f  3 (3) I  IE Mà I  IL A  3 u u x 2  d u  d u  d x     u  u  2 x6  x2  2 f   x  dx  u 6   u 2  2 T 2 I H Ta Trang 99 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group f  2   f  3  f  3  f    n  m Dạng 2.3 Tích phân nhiều hàm 2 x Câu 27 Cho số thực a hàm số f  x    a x  x a 2a  A  B  x   x  Tính tích phân a  Lời giải C  1 D f  x  dx bằng: 2a  Chọn A Câu 28 1 1   xdx   a x  x dx  x x3  1 a  a     1  a     1 6  0    x 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   Ta thấy, e x  m x  (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x    liên tục 2 x  x x    f  x dx =ae  b  c ,  a, b, c  Q  Tổng a  b  3c 1 B 10 A 15 C 19 Lời giải D 17   Ta có lim f  x   lim  e x  m   m  , lim f  x   lim x  x  f    m  x0 x0 x 0 x0 Vì hàm số cho liên tục  nên liên tục x  Suy lim f  x   lim f  x   f   hay m    m  1 x 0 Khi  1 = x 0 1 1 f  x dx =  x  x dx    e x  1dx =   x d   x     e x  1dx 1 3  x2   x2 1   ex  x   e   22 22 Vậy tổng a  b  3c  19 Suy a  , b  , c   Câu 29 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tính tích phân  max e , e dx x 12 x  C e  e D 1 1 e   2 e T  e e E B I N A e  T N O U T A IL IE Ta có: e x  e12 x    e12 x  x    x  1 x  x  Suy ra: max e x , e12 x       e x  x      H Lời giải Trang 100 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Do I   max e x , e12 x dx   e12 x dx   e x dx   e12 x 0  ex 1 3   1   e  e  ee  e e 2    x  x  Câu 30 Cho hàm số y  f  x    Tính I   f sin x  cos xdx  3 f 3  x dx   5  x x  0 71 32 A I  B I  31 C I  32 D I  Lời giải Chọn B  + Xét tích phân: I1   f sin x  cos xdx Đặt: t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận: với x  t  , với x   t   1 0 0 I1   f sin x cos xdx   f t  dt   f  x  dx 2  5  x  dx  10 x  x   1 + Xét tích phân: I  3 f 3  xdx Đặt: t   x  dt  2 dx  dx   dt Đổi cận: với x  t  , với x  t  I  3 f 3  xdx   1 3 f t dt    f  x dx  3       x  3dx   x3  x  22   2 3  0 T A IL IE U O N T H I N E T Vậy: I   f sin x  cos xdx  3 f 3  xdx   22  31 Trang 101 https://TaiLieuOnThi.Net ... sin x  cos xdx   f  t  dt   30 Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân I   f  x  dx  32 Tính tích phân J   f  x  dx A J  32 B J  64 Đặt t  x  dt  2dx  C J  Lời giải... x) thỏa mãn  f (2 x)dx  Tích phân  f ( x)dx A B C Lời giải D dt , Đặt t  x  dt  2dx  dx  x 0t 0 x 1 t  2 0 Ta có   f (2 x)dx   Theo tính chất tích phân 2 f (t )dt   f (t )dt... 2017 Vậy I   1 f t  dt  2017 2017 2017  f  t  dt  2017 Câu 19 Cho tích phân  f  x  dx  a Hãy tính tích phân I   xf  x   dx theo a B I  A I  4a a C I  a D I  2a T Lời