Luận văn định lý nhị thức số

1 Mở đầu Ta đã biết hệ số nhị thức xuất hiện trong định lý nhị thức khi thực hiện lũy thừa bậc n của một tổng (nhị thức Newton) (x+ y)n = n∑ k=0 ( n k ) xkyn−k, n ∈ N Các hệ số nhị thức ( n k ) được x[.]

1 Mở đầu Ta biết hệ số nhị thức xuất định lý nhị thức thực lũy thừa bậc n tổng (nhị thức Newton) n   X (x + y)n = k=0 Các hệ số nhị thức
n k n k n−k x y , k n ∈ N xác định cụ thể vị trí thứ k, hàng thứ n tam giác Pascal Lấy modulo số hạng tam giác Pascal (hay hệ số nhị thức) ta thu tam giác Sierpinski Năm 2014, H.D Nguyen [4] trình bày định lý tương tự định lý nhị thức Định lý nhị thức số Ký hiệu s(m) tổng tất ký tự biểu diễn nhị phân m Khi Định lý nhị thức số phát biểu sau: Với n ∈ N ta có (x + y)s(m) = X xs(k) y s(m−k) 0≤k≤m (k,m−k) carry-free Một năm sau đó, H.D Nguyen [5] mở rộng kết dạng định lý nhị thức số tổng quát, mà định lý nhị thức trường hợp riêng định lý Luận văn này, chọn đề tài “Định lý nhị thức số” để làm nội dung nghiên cứu Mục tiêu luận văn trình bày lại kết định lý nhị thức thông qua hai báo tiếng Anh H.D Nguyen [4, 5] Ngồi ra, chúng tơi trình bày kết khác liên quan tới hệ số nhị thức, phép biến đổi nhị thức dãy số dựa vào báo Klaudiusz Wójcik [7] Ngồi phần Bảng ký hiệu, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, bố cục luận văn chia làm ba chương Chương Định lý nhị thức số Chương trình bày định lý nhị thức định lý nhị thức dạng số hóa dựa theo hàm tổng kí tự Chương Định lý nhị thức số tổng quát Trong chương ta trình bày định lý nhị thức số tổng quát cho số b ≥ cách xây dựng ma trận tham số ma trận Sierpinski tổng qt Ngồi ra, trình bày công thức cho hệ số đa thức Prouhet–Thue–Morse Chương Ứng dụng định lý nhị thức số Trong chương ta trình bày biến đổi nhị thức T (a) dãy Dold Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Nơng Quốc Chinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên, bảo hướng dẫn tận tình thầy Nơng Quốc Chinh Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phịng Đào tạo, thầy giáo khoa Tốn Tin, thầy cô giáo tận tâm giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt q trình học tập để tác giác hồn thành hóa học hoàn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn Nguyễn Thị Quỳnh Hoa Chương Định lý nhị thức số Nội dung chương trình bày định lý nhị thức định lý nhị thức dạng số hóa dựa theo hàm tổng kí tự Bên cạnh cách chứng minh định lý nhị thức số dạng số hóa tương tự định lý nhị thức, ta cịn chứng minh dựa theo cơng thức ma trận suy rộng tham số tam giác Sierpinski 1.1 Định lý nhị thức Định nghĩa 1.1.1 ([6]) Cho n, m số nguyên không âm Hệ số nhị thức định nghĩa   n m Ví dụ,
= 8! 3!5! = 56 n! , = m!(n − m)! 0,
  n ≥ m; n < m = Hệ số nhị thức n m
ký hiệu số tổ hợp chập m n phần tử phân biệt Nguồn gốc tên gọi hệ số nhị thức xuất phát từ định lý quan trọng sau Định lý 1.1.2 (Định lý nhị thức, [6]) Hệ số xn−k y k khai triển
(x + y)n nk Nói cách khác, ta có cơng thức           n n n n n n (x+y)n = xn + xn−1 y + xn−2 y +· · ·+ xy n−1 + y (1.1) n−1 n Chứng minh Ta chứng minh kết phương pháp qui nạp theo n Với n = 0, công thức hiển nhiên Giả sử công thức với n Ta với n + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: n   hX i n (x + y)n+1 = (x + y)n (x + y) = r=0 r xr y n−r (x + y) = n   X n r r=0   + h n  n−1 hn +  n+1  X n+1 r r=0 r r=0 n n+1 y + = = xr+1 y n−r + n   X n Từ suy (x + y)n+1 =  i n +  i n n xn y + xr y n−r+1 n xy + hn +  i n x2 y n−1 + · · ·   n n+1 x n xr y n+1−r n+1 P r=0 n+1 r
xr y n+1−r Vậy ta suy cơng thức với n + Tóm lại, công thức với số nguyên không âm n Ta áp dụng định lý nhị thức theo nhiều cách khác để thu công thức khác liên quan đến hệ số nhị thức Ví dụ, thay x = y = 1, ta n =       n n + + n     n + ··· n−1 + n n Hệ 1.1.3 Cho x số thực Khi đó, ta có n   X n r x r (1 + x)n = r=0 Hệ số nhị thức thỏa mãn nhiều công thức quan trọng Định lý 1.1.4 ([6]) Hệ số nhị thức thỏa mãn công thức sau:     n k  n ; n−k =   n−1 k−1   n + +  n−1 k   n (1.2)   =   + n  + ··· + Chứng minh Theo định nghĩa ta có:   n k n ; (đẳng thức Pascal) k  n n−1   + n n n! n! = = = k!(n − k!) (n − k)!(n − (n − k))!  (1.3) = 2n  n n−k Xét đẳng thức (n − 1)! (n − 1)! n! = + k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! k!(n − k − 1)! (1.4) Chia hai vế đẳng thức với (n − 1)! nhân hai vế đẳng thức với (k − 1)!(n − k − 1)!, đẳng thức trở thành n 1 = + k(n − k) n−k k Đẳng thức nên (1.3) Thay x = y = vào công thức hệ số nhị thức ta thu (1.4)
n Định lý 1.1.5 ([6]) Hệ số nhị thức m số nguyên với n ≥
Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp Vì m0 = số nguyên, định lý với n = Giả sử định lý vói số nguyên không



k−1 k−1 âm < k Khi đó, k−1 số nguyên Nên tổng chúng k−1 r−1 r r−1 + r số nguyên theo đẳng thức Pascal Do đó, theo nguyên lý quy nạp, tất hệ số nhị thức số nguyên Hệ 1.1.6 ([6]) Tích r số nguyên liêp tiếp chia hết cho r! Chứng minh Ta cần chứng minh hệ với số nguyên dương Gọi n số nhỏ r số Vì n(n + 1) · · · (n + r − 1) (n + r − 1)! = = r! r!(n − 1)! Theo Định lý 1.1.5,   n+r−1 r n(n + 1) · · · (n + r − 1) số nguyên nên n(n + 1) · · · (n + r − 1) r! chia hết cho r! Bổ đề 1.1.7 (Gould, [3])  n  X k=0 x+k k y+n−k n−k   =  x+y+n+1 n (1.5) Chứng minh Gould [3] tìm (1.5) làm trường hợp riêng công thức tích chập Vandermonde Ta chứng minh (1.5) cách trực tiếp công cụ tổ hợp Ký hiệu A tập chứa x phần tử phân biệt, B tập chứa y phần tử phân biệt C = {0, 1, , n} tập chứa n + phần tử phân biệt, n số nguyên dương Với số nguyên không âm k bất kỳ, định nghĩa Ak = A ∪ {0, , k − 1} Bk = B ∪ {k + 1, , n} Cho tập S gồm n phần tử A ∪ B ∪ C, tồn số nguyên kS thuộc C − S, gọi số S A B , cho |S ∩ AkS | |S ∩ BkS | = n − kS Để thấy điều này, định nghĩa SA = A ∩ S, SB = B ∩ S, T = C − S Ta bắt đầu việc xóa |SA | phần tử liên tiếp khỏi T theo thứ tự tăng dần phần tử nhỏ nhất, để thu tập T Sau đó, ta xóa |SB | phần tử liên tiếp khỏi T , theo thứ tự giảm dần đầu từ phần tử lớn để thu tập T 00 , phải chứa phần tử đơn ký hiệu kS Bây rõ ràng |S ∩ AkS | = kS |S ∩ BkS | = n − kS Để chứng minh (1.5), ta đếm tập n phần tử S A ∪ B ∪ C theo hai
cách Một mặt, |A ∪ B ∪ C| = x + y + n + 1, số tập S x+y+n+1 Mặt n khác, ta chia tất tập n phần tử thành hai phần theo giá trị số tập tập Vì |S ∩ Ak | = k |S ∩ Bk | = n − k , suy
y+n−k
số tập S có số k x+k tổng số tập S k n−k   n  X k=0 y+n−k n−k x+k k Cuối cùng, cân hai đáp án ta thu (1.5) Bổ đề 1.1.8 ([5]) Cho p q hai số nguyên dương với p ≤ q Khi ta có     p  X x+p−v−1 y+v−q−1 x+y+p−q−1 = (1.6) v=q p−v v−q p−q Chứng minh Đặt k = v − q n = p − q Khi (1.6) viết lại thành   p−q  X x+p−q−w−1 y+w−1 w=0 p−q−w w  =  x + +y + p − q − , p−q nên theo Bổ đề 1.1.7 1.2 Biểu diễn nhị phân số nguyên Trong hệ thập phân, ta biểu diễn số sử dụng kí tự {0, 1, , 9} với số 10, tức số biểu diễn thành tổng lũy thừa 10 Ví dụ, 23810 = · 102 + · 101 + · 100 Tổng quát, biểu diễn thập phân số X có dạng X di · 10i , X= i (di ∈ {0, 1, 2, , 9}) Máy tính khơng biểu diễn số hệ thập phân, thay vào đó, máy tính biểu diễn số hệ nhị phân Tất phép tốn, tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân phép chia với hệ nhị phân Trong hệ nhị phân, ta có hai kí tự Do đó, ta nói số hệ nhị phân biểu diễn với số 2, tức số biểu diễn thành tổng lũy thừa Ví dụ, 110102 = · 24 + · 23 + · 22 + · 21 + · 20 Tổng quát, biểu diễn nhị phân số X có dạng X di · 2i , X= (di ∈ {0, 1}) i Việc chuyển số nhị phân sang số thập phân đơn giản Ta cần tính tất lũy thừa cộng số lại Ví dụ, 110102 = 16 + + = 26 Để chuyển số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân phức tạp Ở ta xét chuyển số nguyên sang dạng nhị phân Nhắc lại rằng, số nguyên biểu diễn bm−1 bm−2 b2 b1 b0 , bi = có giá trị bm−1 · 2m−1 + bm−2 · 2m−2 + · · · + b1 · 21 + b0 Giả sử ta muốn chuyển số nguyên thập phân N sang dạng nhị phân Nếu ta chia N cho dạng thập phân, thu thương N1 phần dư R0 , ta viết N = · N1 + R0 , R0 = Tiếp theo, ta chia N1 cho Giả sử thương N2 phần dư R1 Khi N1 = · N2 + R1 , R1 = nên N = 2(2N2 + R1 ) + R0 = N2 · 22 + R1 · 21 + R0 Nếu ta có N2 = 2N3 + R3 N = N3 · 23 + R2 · 22 + R1 · 21 + R0 Bởi N > N1 > N2 > , tiếp tiếp dãy sau sinh thương Nm−1 = (ngoại trừ với số thập phân 1, mà có biểu diễn nhị phân tương ứng 1) phần dư Rm−2 Khi đó, ta có N = · 2m−1 + Rm−2 · 2m−2 + · · · + R2 · 22 + R1 · 21 + R0 biểu diễn nhị phân N Do đó, ta chuyển từ hệ 10 sang hệ cách thực liên tiếp phép chia cho Phần dư thương cuối theo thứ tự biểu diễn nhị phân N Ví dụ 1.2.1 Tìm biểu diễn nhị phân 241 Áp dụng thuật toán bên ta có Thương Phần dư Giải thích 120 241 = 120 · + 60 120 = 60 · + 30 60 = 30 · + 15 30 = 15 · + 15 = · + 7=3·2+1 1 3=1·2+1 1=0·2+1 241 Do đó, 24110 = 111100012 Chúng ta liệt kê biểu diễn nhị phân số nguyên không âm từ đến 11: = 02 = 1102 = 12 = 1112 = 102 = 10002 = 112 = 10012 = 1002 10 = 10102 = 1012 11 = 110002 Định nghĩa 1.2.2 ([1]) Cho hai số nguyên không âm i j , số i gọi (nhị phân)-tự j biểu diễn nhị phân i có kí tự vị trí mà j có kí tự 1, hay tương đương ta thực phép cộng i j theo số khơng có “nhớ” Khi ta cịn gọi cặp số ngun khơng âm (i, j) carry-free Ví dụ 1.2.3 Cho i = 101012 , j = 1010102 (i, j) carry-free Cặp (8, 2) carry-free = 10002 , = 102 nên thực + carry-free Ví dụ 1.2.4 Với ≤ i < j ≤ 7, cặp số sau cặp số carry-free: (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (3, 4) Với ≤ i < j ≤ 7, cặp số sau cặp số có nhớ: (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 6), (2, 7), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 6), (5, 6), (5, 7), (6, 7) Bổ đề 1.2.5 ([1]) Cặp số nguyên không âm (i, j) carry-free
i+j số lẻ j Định nghĩa 1.2.6 ([4]) Hàm tổng các kí tự số nguyên k = (bm b2 b1 b0 )2 , ký hiệu s(k), xác định s(k) = bm + · · · + b2 + b1 + b0 Ví dụ 1.2.7 Ta có s(0) = s(02 ) = s(1) = s(12 ) = s(2) = s(102 ) = + = s(3) = s(112 ) = + = s(4) = s(1002 ) = + + = s(5) = s(1012 ) = + + = s(6) = s(1102 ) = + + = s(7) = s(1112 ) = + + = 10 Định nghĩa 1.2.8 ([4]) Hàm nhớ c(n, k) hai số nguyên n k xác định số lần thực nhớ thực phép cộng k n − k biểu diễn nhị phân Ta có s(k) + s(n − k) − s(n) = c(n, k) Suy cặp số (k, n − k) carry-free s(k) + s(n − k) = s(n) 1.3 Ma trận Sierpinski Tam giác Pascal bảng hình tam giác gồm hệ số nhị thức Các hàng tam giác Pascal đánh số bắt đầu với n = hàng (hàng thứ 0) Các số hàng đánh số từ trái qua phải, bắt đầu với k = Tức
là, số hạng hàng thứ n, cột thứ k nk Một số hàng tam giác Pascal minh họa hình bên Lấy modulo số hạng tam giác Pascal (hay hệ số nhị thức) ta tam giác Sierpinski Dồn số hạng tam giác Sierpinski sang bên trái bổ sung số vào vị trí cịn thiếu, ta thu ma trận Sierpinski:   1 1 1 1   1  1  1  1   1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1  0  0  0  0   0  0 ... Chương Định lý nhị thức số Chương trình bày định lý nhị thức định lý nhị thức dạng số hóa dựa theo hàm tổng kí tự Chương Định lý nhị thức số tổng quát Trong chương ta trình bày định lý nhị thức. .. thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn Nguyễn Thị Quỳnh Hoa Chương Định lý nhị thức số Nội dung chương trình bày định lý nhị thức định lý nhị thức. .. cách chứng minh định lý nhị thức số dạng số hóa tương tự định lý nhị thức, ta cịn chứng minh dựa theo cơng thức ma trận suy rộng tham số tam giác Sierpinski 1.1 Định lý nhị thức Định nghĩa 1.1.1