0

Luận văn định lý bốn bình phương của lagrange và một số cải tiến

37 3 0

Đang tải.... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/01/2023, 13:11

1 Mở đầu Định lý bốn bình phương của Lagrange (hay Định lý Lagrange) nói rằng mọi số nguyên dương luôn có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của bình phương của bốn số nguyên (tổng bốn số chính phương)[.] 1 Mở đầu Định lý bốn bình phương Lagrange (hay Định lý Lagrange) nói số nguyên dương ln biểu diễn dạng tổng bình phương bốn số ngun (tổng bốn số phương) Ví dụ 23 = 12 + 22 + 32 + 32 Định lý bốn bình phương lần nhà toán học Hy Lạp Diophantus đề cập sách Arithmetica ông Bộ sách Bachet (Claude Gaspard Bachet de Méziriac) dịch tiếng La tinh vào năm 1621 Bachet phát biểu định lý sổ ghi Tuy nhiên khơng có chứng minh đưa năm 1770 nhà toán học người Ý Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) đưa chứng minh định lý Năm 1797 nhà toán học người Pháp Adrien-Marie Legendre (1752-1833) tiến thêm bước cách đưa định lý ba bình phương Định lý phát biểu số nguyên dương biểu diễn dạng tổng ba bình phương khơng có dạng 4k (8l + 7) với k, l số nguyên Sau đó, vào năm 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851, nhà toán học người Đức) tìm cơng thức đơn giản cho số biểu diễn số nguyên thành tổng bốn bình phương Định lý bốn bình phương Lagrange cải tiến theo nhiều cách khác Gần đây, Zi-Wei Sun [SUN17] chứng minh số tự nhiên viết dạng tổng sáu lũy thừa (hoặc bốn lũy thừa) ba bình phương Hoặc giả thuyết 1-3-5 Z.W Sun nói số tự nhiên ln viết dạng a2 + b2 + c2 + d2 với a, b, c, d số nguyên không âm cho a + 3b + 5c bình phương Ngồi có cải tiến Zhi Wei Sun - Yu Chen Sun [SS18], Leo Goldmakher - Paul Pollack [GP18] cách thêm thông tin số a, b, c, d Một cách tiếp cận khác Paul Pollack - Enrique Trevi˜ no [PT17] đưa thuật tốn hữu hiệu để tìm số ngun a, b, c, d biết số n Mục đích luận văn dựa theo số tài liệu tìm hiểu Định lý bốn bình phương Lagrange số cải tiến định lý Z.W Sun, Y.C Sun-Z.W Sun, L Goldmakher-P Pollack đưa Luận văn chia thành chương Chương dành để trình bày biểu diễn số tự nhiên tổng bốn bình phương, kết Định lý Bốn bình phương Lagrange Một số mở rộng cổ điển Định lý Lagrange Định lý Ba bình phương Legendre - Gauss, Bài toán Waring vài tập ứng dụng tốn phổ thơng đề cập phần sau Chương Chương tập trung trình bày số cải tiến Định lý bốn bình phương Zhi-Wei Sun Zhi Wei Sun - Yu Chen Sun Trong Chương chúng tơi trình bày số cải tiến Định lý Bốn bình phương Goldmakher Pollack số hệ Phần cuối chương chúng tơi đề cập đến thuật tốn để phân tích số thành tổng bốn bình phương Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Đoàn Trung Cường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy Khoa Tốn-Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, toàn thể thầy trường tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K11D (khóa 2017-2019), bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 12 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Nguyệt Thư Chương Định lý bốn bình phương Lagrange Mục đích chương trình bày biểu diễn số tự nhiên thành tổng bình phương, trung tâm Định lý bốn bình phương Lagrange Chúng tơi đề cập (phát biểu, khơng chứng minh) Định lý ba bình phương Legendre-Gauss vài tập tốn phổ thơng có liên quan Các kết chương tham khảo từ tài liệu [Lal02] 1.1 Biểu diễn tổng bình phương Định lý bốn bình phương Lagrange Trong số học vấn đề biểu diễn số tự nhiên thành tổng bình phương số nguyên vấn đề cổ điển dành quan tâm nhiều người Ta bắt đầu với số biểu diễn cụ thể = + 12 + , = 22 + 12 + 12 + 12 , 25 = 52 = 32 + 42 , 2017 = 182 + 212 + 242 + 262 Tổng quát, ta có định lý đẹp sau Lagrange Định lý 1.1.1 (Định lý Lagrange) Mọi số ngun khơng âm viết dạng tổng bốn bình phương số nguyên, nghĩa với n ∈ N, ta có n = a2 + b2 + c2 + d2 (1.1) với a, b, c, d ∈ Z Chứng minh Trước hết nhận xét cần chứng minh định lý cho trường hợp n số nguyên tố Thật vậy, ta có đồng thức Euler (x21 + x22 +x23 + x24 )(y12 + y22 + y32 + y42 ) =(x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 + (x1 y2 − x2 y1 + x3 y4 − x4 y3 )2 + (x1 y3 − x3 y1 + x2 y4 − x4 y2 )2 + (x1 y4 − x4 y1 + x2 y3 − x3 y2 )2 Do đó, ta chứng minh khẳng định trường hợp số nguyên tố ta có biểu diễn mi = a2i + b2i + c2i + d2i , với số nguyên , bi , ci , di , i = 1, , r Sử dụng đồng thức Euler, ta suy m1 m2 = (a21 + b21 + c21 + d21 )(a22 + b22 + c22 + d22 ) = x22 + y22 + z22 + w22 m1 m2 m3 = (x22 + y22 + z22 + w22 )(a23 + b23 + c23 + d23 ) = x23 + y32 + z32 + w32 Tương tự n = (m1 mr−1 )mr = x2r + yr2 + zr2 + wr2 Vì ta cần chứng minh khẳng định cho trường hợp n số nguyên tố Trường hợp n = ta ln có = 12 + 12 + 02 + 02 Giả sử n số nguyên tố lẻ Trước hết ta chứng minh có số x, y k thỏa mãn + x2 + y = nk (0 < k < n) Cho x0 = 0, x1 = 1, x2 = = n−1 2, , x n−1 Khi số xi đơi khơng đồng dư với theo n−1 modulo n Thật vậy, x2i ≡ x2j (mod n) (i, j = 0, , , i 6= j) n | (xi − xj )(xi + xj ) n−1 Nếu n | (xi − xj ) − n−1 ≤ xi − xj ≤ nên xi − xj = 0, hay xi = xj (mâu thuẫn) Mặt khác, n | (xi +xj ) xi +xj = ≤ xi +xj ≤ n−1, dẫn đến xi = −xj = vô lý n−1 Đặt y0 = 0, y1 = 1, y2 = 2, , y n−1 = Khi số −1 − yi2 2 đôi không đồng dư với theo modulo n Ta thu tập hợp n+1 X = {x20 , x21 , , x2n−1 } gồm lớp đồng dư khác theo modulo n 2 n+1 lớp đồng dư 2 khác theo modulo n Vì có nhiều n lớp đồng dư theo modulo n nên X Y phải giao nhau, nghĩa có số i, j cho tập hợp Y = {−1 − y02 , −1 − y12 , , −1 − y 2n−1 } gồm x2i ≡ −1 − yj2 (mod n) x2i Từ suy +  n 2 nên yj < yj2 nk = + + = nk với k ∈ N Do cách chọn x2i + yj2 số nhỏ để m0 n có biểu diễn m0 n = tổng bốn bình phương Ta có nhận xét m0 ln tồn m0 ≤ k ln có nk = + x2 + y = 02 + 12 + x2 + y theo (1.2) Bài toán quy chứng minh m0 = Giả sử m0 > 1, đặt m0 n = x21 + x22 + x23 + x24 Nếu m0 chẵn, m0 n chẵn nên ta có xi số chẵn xi số lẻ hai số chẵn hai số lẻ Giả sử x1 , x2 chẵn Khi ta xét x1 6= x2 x3 6= x4 chẵn, ta viết  2  2 m  x + x x − x 2 n= + 2  2   x3 + x4 x3 − x4 + + 2 Vì m0 nhỏ nên điều mâu thuẫn Như m0 số lẻ Ta chọn yi cho yi ≡ xi (mod n), |yi | < m0 m0 − m0 − ≤y≤ hệ thặng dư đầy đủ (tập lớp thặng 2 dự modulo n số trùng với hệ thặng dự ¯ 0, ¯1, , n − Ta có m0 - xi y12 + y22 + y32 + y42 = suy y12 = y22 = y32 = y42 = P n | xi , ∀i suy m0 | xi , ∀i m20 | xi = m0 n Vậy m0 | n Suy m0 số lẻ Vậy Do − y12 + y22 + y32 + y42 > m0 m20 m0 − m0 − ≤ yi , ≤ suy yi < Do Khi − 2 y12 + y22 + y32 + y42 < m20 y12 + y22 + y32 + y42 ≡ 0(mod m0 ) Do x21 + x22 + x23 + x24 = m0 n (m0 < n) y12 + y22 + y32 + y42 = m0 m1 (0 < m1 < m0 ) m1 m20 n = (x21 + x22 + x23 + x24 )(y12 + y22 + y32 + y42 ) = z12 + z22 + z32 + z42 Với z1 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 z1 ≡ x21 + x22 + x23 + x24 ≡ (mod m0 ) Suy m0 | z1 Tương tự ta chứng minh z2 ≡ x1 x2 − x2 x1 + x3 x4 − x4 x3 ≡ (mod m0 ) z3 ≡ x1 x3 − x3 x1 + x2 x4 − x4 x2 ≡ (mod m0 ) z4 ≡ x1 x4 − x4 x1 + x2 x3 − x3 x2 ≡ (mod m0 ) Ta viết zi = m0 wi với số nguyên wi Chia m1 m20 n cho m20 , ta có m1 n = w12 + w22 + w32 + w42 Điều mâu thuẫn với giả thiết m0 nhỏ Từ suy m0 = Định lý bốn bình phương Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) chứng minh vào năm 1770 Ơng nhà tốn học nhà thiên văn học nhà trị Pháp gốc Ý Lagrange có nhiều thời gian làm việc Ý, Đức Pháp Ơng có đóng góp quan trọng nhiều lĩnh vực giải tích tốn học, lý thuyết số, học cổ điển học thiên thể Liên quan đến biểu diễn bốn bình phương, cách tự nhiên quan tâm số lượng biểu diễn Nghiên cứu theo hướng nhà toán học người Đức Carl Gustav Jakob Jacobi tiến hành ông công bố năm 1834, ngày gọi Định lý bốn bình phương Jacobi Kết đưa công thức cho số cách biểu diễn số nguyên dương n dạng tổng bốn bình phương Để phát biểu kết Jacobi, với số tự nhiên n, ký hiệu Q(n) số các số nguyên (x1 , x2 , x3 , x4 ) (khơng tính sai khác thứ tự) thoả mãn n = x21 + x22 + x23 + x24 Định lý 1.1.2 (Định lý bốn bình phương Jacobi) Cho số tự nhiên n viết n dạng n = 2r (2t + 1) Khi ( 8S(2t + 1) với r = 0, Q(n) = 24S(2t + 1) với r 6= S(n) = X d d|n Có số cách chứng minh cho định lý Jacobi, ví dụ xem chứng minh Hirschhorn [HIR85] sử dụng đồng thức tích ba thừa số 1.2 Định lý Legendre-Gauss Bài tốn Waring Có nhiều tác giả cố gắng mở rộng định lý Lagrange theo nhiều khía cạnh khác nhau, ta xét số mở rộng gần định lý chương sau Trong tiết ta xét số mở rộng cổ điển định lý Legendre-Gauss Bài tốn Waring Định lý Lagrange khẳng định bốn bình phương đủ để biểu diễn số tự nhiên Nói cách khác, tổng ba bình phương khơng đủ để biểu diễn tất số tự nhiên Thật vậy, x2i ≡ 0, (mod 8) nên x21 + x22 + x23 6≡ (mod 8), khơng có số có dạng 8t + biểu diễn dạng ba bình phương Với trường hợp hai bình phương, ta có định lý sau Định lý 1.2.1 Một số nguyên dương n biểu diễn dạng tổng hai bình phương tất thừa số nguyên tố n có dạng 4t + với số mũ chẵn phân tích n thành thừa số nguyên tố Định lý hai bình phương chứng minh tương tự chứng minh cho bốn bình phương cách sử dụng đồng thức (x21 + x22 )(y12 + y22 ) = (x1 y1 + x2 y2 )2 + (x1 y2 − x2 y1 )2 Trường hợp biểu diễn tổng ba bình phương nội dung Định lý Legendre-Gauss Định lý 1.2.2 (Legendre-Gauss) Một số tự nhiên n có dạng n = 4k (8l + 7) với k, l ∈ N n không biểu diễn thành tổng ba bình phương Chứng minh Ta trình bày chứng minh điều kiện cần Chứng minh điều kiện đủ cần nhiều kiến thức nằm phạm vi luận văn Giả sử ngược lại, n = 4k (8l + 7) n = x2 + y + z với x, y, z ≥ số nguyên Vì bình phương số đồng dư với 0, 1, modulo nên n = x2 + y + z ≡ a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (mod 8) Mặt khác, k > n ≡ (mod 4), x2 + y + z ≡ (mod 4) Vì x2 , y , z đồng dư với 0, modulo nên suy x2 ≡ y ≡ z ≡ (mod 4) Vì x = 2x1 , y = 2y1 , z = 2z1 x21 + y12 + z12 ≡ 4k−1 (8l + 7) Tiếp tục dẫn đến x2k + yk2 + zk2 = (8l + 7) ≡ (mod 8) Điều mâu thuẫn với lập luận phần đầu Vậy n không tổng ba bình phương Một hướng khác để mở rộng Định lý Lagrange thay cho bình phương, ta xét luỹ thừa cao Đây nội dung toán Waring Cho trước số nguyên dương s k Bài tốn Waring nói biểu diễn số tự nhiên dạng s lũy thừa k , cụ thể n = xk1 + · · · + xks Câu hỏi đặt với k cho trước liệu có s = s(k) cho tốn biểu diễn n = xk1 + · · · + xks giải với n hay không Ngay Lagrange đưa chứng minh cho định lý vào năm 1770 nhà tốn học người Anh Edward Waring (1736-1798) phát biểu giả thuyết số tự nhiên biểu diễn dạng tổng bình phương, lập phương, 19 trùng phương, Nói cách khác số s = s(k) tồn trường hợp k = 2, 3, 4, Hilbert người chứng minh khẳng định với số nguyên dương k vào năm 1909 Ngày kết mang tên Định lý Hilbert-Waring Với số k , số s nhỏ ký hiệu g(k) Như Định lý Lagrange Định lý Legendre-Gauss khẳng định g(2) = Trong phần hai tiết ta xét số kết g(k) số trường hợp đặc biệt Trước hết ta có chặn g(k) trường hợp k = Định lý 1.2.3 g(4) tồn g(4) ≤ 53 Chứng minh Ký hiệu Bs tập hợp số tổng s số trùng phương (luỹ thừa bậc số nguyên) Theo định lý Lagrange, số tự nhiên x ln có biểu diễn x = a2 + b2 + c2 + d2 Từ đồng thức 6(a2 + b2 + c2 + d2 )2 = (a + b)4 + (a − b)4 + (c + d)4 + (c − d)4 + (a + c)4 + (a − c)4 + (b + d)4 + (b − d)4 + (a + d)4 + (a − d)4 + (b + c)4 + (b − c)4 suy 6x2 = 6(a2 + b2 + c2 + d2 )2 ∈ B12 Mỗi số nguyên dương n viết dạng n = 6t + r với ≤ r ≤ Áp dụng Định lý Lagrange lần nữa, ta có n = 6(x21 + x22 + x23 + x24 ) + r suy n ∈ B12 + B12 + B12 + B12 + r = B48 + r ⊆ B53 Do g(4) tồn tối đa 53 10 Trường hợp k bất kỳ, ta có chặn số g(k) sau Định lý 1.2.4 "  # k k g(k) ≥ + − 2 "  # k Chứng minh Đặt q = Ta xét số n = 2k q − < 3k Rõ ràng n biểu diễn thành tổng số hạng có dạng 1k 2k Vì n = (q − 1)2k + (2k − 1)1k nên để biểu diễn n thành tổng luỹ thừa bậc k , ta cần 2k + q − lũy thừa Vậy g(k) ≥ 2k + q − Ký hiệu G(k) số s nhỏ cho số nguyên dương đủ lớn tổng s lũy thừa k Hiển nhiên G(k) ≤ g(k) Số G(k) bất biến thú vị khác liên quan đến biểu diễn tổng luỹ thừa bậc k Với k = 2, ta G(2) = theo định lý Lagrange G(2) ≤ g(2) ≤ theo Định lý Legendre-Gauss (chiều xi) có vơ hạn số tự nhiên (tất số dạng 8l + 7) không biểu diễn thành tổng ba bình phương Cho đến số G(k) biết xác trường hợp k = 2, Kết cho đánh giá số G(k) trường hợp tổng quát Định lý 1.2.5 G(k) ≥ k + với k ≥ Chứng minh Với số tự nhiên N , ký hiệu A(N ) số số nguyên dương n ≤ N biểu diễn dạng n = xk1 + · · · + xkk ... đưa Luận văn chia thành chương Chương dành để trình bày biểu diễn số tự nhiên tổng bốn bình phương, kết Định lý Bốn bình phương Lagrange Một số mở rộng cổ điển Định lý Lagrange Định lý Ba bình phương. .. Tác giả luận văn Nguyễn Thị Nguyệt Thư Chương Định lý bốn bình phương Lagrange Mục đích chương trình bày biểu diễn số tự nhiên thành tổng bình phương, trung tâm Định lý bốn bình phương Lagrange. .. có định lý sau Định lý 1.2.1 Một số nguyên dương n biểu diễn dạng tổng hai bình phương tất thừa số nguyên tố n có dạng 4t + với số mũ chẵn phân tích n thành thừa số nguyên tố Định lý hai bình phương
- Xem thêm -

Xem thêm: Luận văn định lý bốn bình phương của lagrange và một số cải tiến,