Hệ thức Viet và ứng dụng VnDoc PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ THỨC VI ÉT VÀ ỨNG DỤNG I Tóm tắt lý thuyết 1 Cách giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ∆ = b2 4ac * Nếu > 0 phương trình có hai ngh[.]
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG I Tóm tắt lý thuyết Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac * Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = * Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b+ ∆ − b− ∆ ; x2 = 2a 2a -b 2a * Nếu < phương trình vơ nghiệm Chú ý: Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải phương trình cơng thức nghiêm thu gọn ∆ = b'2 - ac * Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = * Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b '+ ∆ ' − b '− ∆ ; x2 = a a - b' a * Nếu ' < phương trình vơ nghiệm Hệ thức Vi-et ứng dụng: Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình thì: Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: X - X.S+ P = (Điều kiện để có u v S2 ≥ P ) c a −c Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = −1; x = a Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = 1; x = Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: Có nghiệm Vô nghiệm Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) Có hai nghiệm phân biệt Hai nghiệm dấu Hai nghiệm trái dấu Hai nghiệm dương Hai nghiệm âm Hai nghiệm đối 10 Hai nghiệm nghịch đảo 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu n.dương có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S> Tính giá trị biểu thức nghiệm Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng tích nghiệm để áp dụng hệ thức Vi-et rổi tính giá trị biểu thức II Bài tập: Bài 1: Định giá trị tham số m để phương trình: x + m(m + 1) x + 5m + 20 = Có nghiệm x = - Tìm nghiệm Bài 2: Cho phương trình: x + mx + = (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài 3: Cho phương trình: x − x + m + = (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm nghiệm phương trình trường hợp Bài 4: Cho phương trình: (m − 4) x − 2mx + m − = (1) a) m = ? (1) có nghiệm x = b) m = ? (1) có nghiệm kép Bài 5: Cho phương trình: x − 2(m + 1) x + m − = (1) a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với m b) m =? (1) có hai nghiệm trái dấu c) Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình (1) CMR: M = ( − x2 ) x1 + ( − x1 ) x2 không phụ thuộc m Bài 6: Cho phương trình: x − 2(m − 1) x + m − = (1) a) Chứng minh (1) có nghiệm với m b) Đặt M = x12 + x22 ( x1 , x2 nghiệm phương trình (1)) Tìm M Bài 7: Cho phương trình: x + ax + b − = 0(1); x + bx + c − = 0(2); x + cx + a − = 0(3) Chứng minh phương trình phương trình có nghiệm Bài 8: Cho phương trình: x − ( a − 1) x − a + a − = (1) a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới a 2 b) x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Tìm B = x1 + x2 Bài 9: Cho phương trình: x − 2(a − 1) x + 2a − = (1) a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với a b) a = ? (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 < < x2 c) a = ? (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 = Bài 10: Cho phương trình: x + (2m − 1) x + m − = (1) a) m = ? (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 − x2 = 11 b) Chứng minh (1) khơng có hai nghiệm dương c) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc m Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương → vơ lý Bài 11: Cho hai phương trình: x − (2m + n) x − 3m = 0(1) x − ( m + 3n) x − = 0(2) Tìm m n để (1) (2) tương đương Bài 12: Cho phương trình: ax + bx + c = 0(a ≠ 0) (1) điều kiện cần đủ để phương trình (1) có nghiệm gấp k lần nghiệm kb − (k + 1) ac = 0(k ≠ 0) Bài 13: Cho phương trình: mx + 2(m − 4) x + m + = (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 − x2 = c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài 14: Cho phương trình: x − (2m + 3) x + m + 3m + = (1) a) Chứng minh phương trình có nghiệm với m b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài 15: Cho phương trình: (m − 2) x + 2(m − 4) x + (m − 4)(m + 2) = (1) a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép b) Giả sử p.trình có hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m c) Tính theo m biểu thức A = 1 + ; x1 + x2 + d) Tìm m để A = Bài 16: Cho phương trình: x − mx − = (1) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với b) Tìm giá trị lớn biểu thức A = 2( x1 + x2 ) + x12 + x22 c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phương trình nghiệm nguyên Bài 17: Với giá trị k phương trình x + kx + = có hai nghiệm đơn vị Bài 18: Cho phương trình: x − ( m + 2) x + m + = (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm Bài 19: Cho phương trình: x − ( m + 1) x + m = (1) a) CMR phương rình (1) ln có nghiệm phân biệt với m 2 b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tính x1 + x2 theo m 2 c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = Bài 20: Cho phương trình: x + (2m + 1) x + m + 3m = (1) a) Giải phương trình (1) với m = -3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm tích hai nghiệm Tìm hai nghiệm Bài 21: Cho phương trình: x − 12 x + m = (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 toả mãn x2 = x1 Bài 22: Cho phương trình: (m − 2) x − 2mx + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn ( + x1 ) ( + x2 ) = −1 Bài 23: Cho phương trình: x − 2(m − 1) x + m − = (1) a) Giải phương trình với m = b) CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với m c) Tính A = 1 + theo m x13 x23 d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối Bài 24: Cho phương trình: (m − 2) x − 2mx + m − = (1) a) Tìm m để phương trình (1) phương trình bậc hai b) Giải phương trình m = c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khơng âm Bài 25: Cho phương trình: x + px + q = (1) ( ) a) Giải phương trình p = − + ; q = 3 b) Tìm p, q để phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = −2, x2 = c) CMR: (1) có hai nghiệm dương x1 , x2 phương trình qx + px + = có hai nghiệm dương x3 , x4 d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1va3x2 ; 1 x1 x2 và ; x1 x2 x2 x1 Bài 26: Cho phương trình: x − (2m − 1) x − m = (1) a) CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x1 − x2 = ; c) Tìm m để x12 + x22 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài 27: Cho phương trình: x − 2(m + 1) x + 2m + 10 = (1) a) Giải phương trình với m = -6 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 Tìm GTNN biểu thức A = x12 + x22 + 10 x1 x2 Bài 28: Cho phương trình: (m + 1) x − (2m − 3) x + m + = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính nghiệm theo nghiệm Bài 29: Cho phương trình: x − 2(m − 2) x + (m + 2m − 3) = (1) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thoả mãn 1 x1 + x2 + = x1 x2 Bài 30: Cho phương trình: x + mx + n = có m = 16n CMR hai nghiệm phương trình, có nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài 31: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x − x − = Không giải phương trình, tính: a) 1 + ; b) ( x1 − x2 ) ; c) x13 +x2 d) x1 − x2 x1 x2 Bài 32: Lập phương trình bậc hai có nghiệm bằng: a) ; b) - + Bài 33: CMR tồn phương trình có hệ số hữu tỷ nhận nghiệm là: a) 3− ; 3+ b) 2+ ; 2− c) + Bài 33: Lập phương trình bậc hai có nghiệm bằng: a) Bình phương nghiệm phương trình x − x − = ; b) Nghịch đảo nghiệm phương trình x + mx − = Bài 34: Xác định số m n cho nghiệm p.trình x + mx + n = m n Bài 35: Cho phương trình: x − 2mx + (m − 1)3 = (1) a) Giải phương trình (1) m = -1 b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm bình phuơng nghiệm cịn lại Bài 36: Cho phương trình: x − x + = (1) Tính x1 x2 + x2 x1 (Với x1 , x2 hai nghiệm phương trình) Bài 37: Cho phương trình: (2m − 1) x − 2mx + = (1) a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) 2 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 − x2 = Bài 38: Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = (k tham số) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm Bài 39: Tìm giá rị a để ptrình: (a − a − 3) x + ( a + 2) x − 3a = Nhận x=2 nghiệm.Tìm nghiệm cịn lại ptrình ? Bài 40 Xác định giá trị m phương trình bậc hai: x − x + m = để + nghiệm phương trình Với m vừa tìm được, phương trình cho cịn nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ấy? Bài 41: Cho phương trình: x − 2(m + 1) x + m − = (1), (m tham số) a) Giải phương trình (1) với m = -5 b) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt m c) Tìm m để x1 − x2 đạt giá trị nhỏ ( x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) nói phần 2/) Bài 42: Cho phương trình a) Giải phương trình b= -3 c=2 b) Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng Bài 43: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m tham số x ẩn số a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt GTNN Bài 44: Cho phương trình (ẩn x): x4 - 2mx2 + m2 – = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 45: Cho phương trình (ẩn x): x2 - 2mx + m2 – = (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Bài 46: Lập p.trình bậc hai với hệ số ngun có nghiệm là: Tính: P = + 3+ 3− x1 = 3+ x2 = 3− Bài 47: Tìm m để phương trình: x − x − x −1 + m = Bài 48: Cho hai phương trình sau: x − (2m − 3) x + = x2 + x + m − = có hai nghiệm phân biệt (x ẩn, m tham số) Tìm m để hai phương trình cho có nghiệm chung Bài 49: Cho phương trình: x − 2(m + 1) x + m − = với x ẩn, m tham số cho trước a) Giải phương trình cho kho m = b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dương x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều kiện x12 − x22 = 2 Bài 50: Cho phương trình: ( m + ) x + ( − 2m ) x + m − = (x ẩn; m tham số) a) Giải phương trình m = - b) CMR phương trình cho có nghiệm với m c) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài 52: Cho phương trình x2 + x – = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1 nghiệm âm phương trình Hãy tính: P = x18 + 10 x1 + 13 + x1 Bài 53: Cho phương trình: x2 - 2(m – 2) x + m - =0 (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép Bài 54: Cho phương trình: x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1) a) CMR phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để nghiệm x1 , x2 (1) thoả mãn: x12 + x22 = 14 Bài 55: Cho a = 11 + , b = 11 − a) CMR a,,b hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên b) Cho c = + 10, d = − 10 CMR c , d hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên Bài 56: Cho phương trình bậc hai: x + 2(m + 1) x + m + m + = (x ẩn, m tham số) a) Tìm tất giá trị tham số m để p.trình có nghiệm phân biệt âm b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 + x2 = c) Tìm tất giá trị tham số m để tập giá trị hàm số y = x + 2(m + 1) x + m + m + chứa đoạn [ 2;3] Bài 57: Cho phương trình: x2 - 2(m-1) x +2m - =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Bài 58: Cho phương trình : x + x + 6a − a = a) Với giá trị a phương trình có nghiệm b) Giả sử x1 , x2 nghiệm p.trình Hãy tìm giá trị a cho x2 = x1 − x1 Bài 59: Cho phương trình: mx2 -5x – (m + 5) = (1) m tham số, x ẩn a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với m c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , tính theo m giá trị biểu thức B = 10 x1 x2 − 3( x12 + x22 ) Tìm m để B = Bài 60: Cho phương trình: x − 2mx + m − = (m tham số,x ẩn số) Tìm tất giá trị ngun m để ptrình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện 2000 < x1 < x2 < 2007 Bài 61: a) Cho a, b, c, số dương thoả mãn đẳng thức a + b − ab = c CMR phương trình x − x + (a − c)(b − c) = có hai nghiệm phân biệt b) Cho phương trình x − x + p = có hai nghiệm dương x1 , x2 Xác định giá trị p 4 5 x1 + x2 − x1 − x2 đạt giá trị lớn Bài 62: Cho phương trình: (m + 1) x2 – (2m + 3) x +2 = 0, với m tham số a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để ptr có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm gấp lần nghiệm Bài 63: Cho phương trình: x − y + xy − x − 10 y + = (1) a) Tìm nghiệm (x; y) phương trình (1) thoả mãn x + y = 10 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình (1) Bài 64: Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x: a1 x + b1 x + c1 = a2 x + b2 x + c2 = Có nghiệm chung CMR: ( a1c2 − a2 c1 ) = ( a1b2 − a2b1 ) ( b1c2 − b2c1 ) Bài 65: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x − 2(m − 1) x + 2m − 3m + = a) Chứng minh phương trình có nghiệm ≤ m ≤ b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình, chứng minh: x1 + x2 + x1 x2 ≤ Bài 66: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x + 2mx + m − = a)Xác định m để phương trình có hai nghiệm b) Gọi x1 , x2 nghiệm ptr, Tìm GTLN biểu thức: A = x1 x2 + x1 + x2 − Bài 67: Cho phương trình bậc hai ẩn x: (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = với m ≠ (1) a) CMR (1) có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1), tìm m để x1 x2 > x1 = x2 Bài 68: Cho a, b, c đọ dài cạnh tam giác CMR phương trình x + (a + b + c) x + ab + bc + ac = vô nghiệm Bài 69: Cho phương trình bậc hai ẩn x: ax + bx + c = 0(1); cx + dx + a = 0(2) Biết (1) có nghiệm m n, (2) có nghiệm p q CMR: m + n + p + q ≥ Bài 70: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x + bx + c = có nghiệm x1 , x2 ; phương trình x − b x + bc = có nghiệm x3 , x4 Biết x3 − x1 = x4 − x2 = Xác định b, c Bài 71: Giải phương trình sau: a) 3x4 - 5x2 +2 = b) x6 -7x2 +6 = c) (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24 e) 3x2+ 3x = h) k) x2 + x +1 g) (x + i) − x = x −1 1 ) - ( x + ) +6 =0 x x x − 20 = x − 20 x x 48 + = 10( − ) x x Bài 72 giải phương trình sau a) x2 - x - =0 b) - x2- x +1=0 c) (1 - 3) x − ( +1) + = d)5x4 - 7x2 +2 = e) (x2 +2x +1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = f) (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 g) 2x2+ 2x = x + x +1 Bài 73.Cho phương trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có hai nghiệm x , x a) khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: − x1 − x 1 5 7 A= + ; B= + 2 ; C = x1 + x ; D = x1 + x x1 x2 x1 x2 b) lập phương trình bậc hai có nghiệm bằng: 1) u = 2x1- 3, v = 2x2-3 1 2) u = x −1 , v = x −1 2 Bài 74 Cho hai phương trình: x - mx +3 = x2- x +m+2= a) Tìm m để phương trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phương trình tương đương Bài 75 Cho phương trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = a) Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 1 b) Tìm a cho x + x c a − b > c Bài 101 Cho hai phương trình: x2 + mx + = (1) x2 + x + m = (2) a) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phương trình tương đương Bài 102 Cho phương trình: x2 – 2(a + b +c) x + 3(ab + bc+ ca) = (1) a)C/mr phương trình (1) ln có nghiệm b) Trong trường hợp pt (1) có nghiệm kép xác định a, b, c Biết a2 + b2 + c2 = 14 Bài 103 Chứng minh phương trình:x2 + ax + b = x2 + cx + d = có nghiệm chung thì: (b – d)2 + (a- c)(ad – bc) = Bài 104 Cho phương trình ax2 + bx + c = 0.C/mr b > a + c phương trình ln có nghiệm phân biệt Bài 105 G/s x1, x2 hai nghiệm hai phương trình x2 + ax + bc = x2, x3 hai nghiệm phương trình x2 + bx + ac = (với bc khác ac) Chứng minh x1, x3 nghiệm phương trình x2 + cx + ab = Bài 106 Cho phương trình x2 + px + q = (1).Tìm p,q nghiệm phương trình (1) biết thêm vào nghiệm chúng chở thành nghiệm phương trình: x2 – p2x + pq = Bài 107 Chứng minh phương trình: (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = Ln có nghiệm với a,b,c Bài 108 Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + = x1 x2 − x1 − x2 Tìm GTLN biểu thức A = Bài 109 Cho a ≠ G/s x1; x2 nghiệm phương trình x − ax − =0 2a Chứng minh rằng: x 41 + x2 ≥ + Bài 110 Cho phương trình x − ax + = Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình a2 Tìm GTNN E = x14 + x2 Bài 111 Cho phương trình x2 + 2(a + 3) x + 4(a + 3) = a) Với giá trị a phương trình có nghiệm kép b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm lớn – Bài 112 Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – = 0(1) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1; x2 với m b) Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 khơng phụ thuộc vào m c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn: Tải thêm tài liệu tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-9 10 x1 x2 −5 + = x2 x1 ... 72 giải phương trình sau a) x2 - x - =0 b) - x 2- x +1=0 c) (1 - 3) x − ( +1) + = d)5x4 - 7x2 +2 = e) (x2 +2x +1)2 -1 2 (x2 +2x +1) +35 = f) (x2 -4 x +3)(x 2-1 2x +35) =-1 6 g) 2x2+ 2x = x + x +1 Bài... nghiệm chúng chở thành nghiệm phương trình: x2 – p2x + pq = Bài 107 Chứng minh phương trình: (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = Luôn có nghiệm với a,b,c Bài 108 Gọi x1; x2 hai nghiệm phương... trình tương đương Bài 75 Cho phương trình (a-3)x 2- 2(a-1)x +a-5 = a) Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 1 b) Tìm a cho x + x