Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện α nào đó ta làm như sau: + Coi tham số như số đã biết + Giải hệ phương trình tìm nghiệm x; y.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Hệ phương trình bậc ẩn: Phần I : Kiến thức cần nhớ Dạng tổng quát : by=c {ax+ a ' x+ b ' y=c ' Số các nghiệm hệ: a b a b c a b c + Nếu a' ≠ b ' ⇔ Hệ có nghiệm + Nếu a' = b ' ≠ c ' ⇔ Hệ vô nghiệm + Nếu a' = b ' = c ' ⇔ Hệ có vô số nghiệm Các phương pháp giải hệ phương trình: Phương pháp thế: - Từ phương trình hệ biểu thị ẩn (chẳng hạn ẩn x) theo ẩn - Thay biểu thức x vào phương trình còn lại để tìm y - Thay y vừa tìm vào biểu thức x để tìm x KL : Nghiệm hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau : a) y=6 {2 xx +3+ y=3 (1) (2) Từ phương trình (2) ta có: x = – y (*) Thay x = – y vào phương trình (1) ta : 2(3 - y) + 3y = 6 – 2y + 3y = ⇒ y = Thay y = vào phương trình (*) ta : x = Vậy nghiệm hệ là: b) {42xx−5+ y=5 y=3 {x=3 y=0 (1) (2) Từ phương trình (1) ta có : y = – 2x (*) Thay y = – 2x vào phương trình (2) ta : 4x – (5 – 2x) = 4x -25 + 10x = 14x = 28 ⇒ x=2 Thay x = vào (*) ta : y = – 2.2 ⇒ y=1 (2) Vậy nghiệm hệ là : {x=2 y=1 Phương pháp cộng : - Biến đổi các hệ số cùng ẩn cho có giá trị tuyệt đối - Cộng trừ vế hệ để khử ẩn - Giải phương trình tìm ẩn chưa khử - Thay giá trị vào phương trình hệ để tìm ẩn còn lại KL : nghiệm hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau : a) {−x+x+23yy=14 =−9 ¿ (1) ¿(2) ¿ Cộng vế hệ ta : 5y = ⇒ y=1 Thay y = vào phương trình (1) ta : x + 2.1 = 14 ⇒ x=12 Vậy nghiệm hệ là (x; y) = (12; 1) b) {−53xx++44yy=11 =3 (1) (2) Trừ vế hệ ta : -8x = ⇒ x=−1 Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được: 5.(-1) + 4y = ⇔ 4y = ⇒ y=2 Vậy nghiệm hệ phương trình là : =−1 {xy=2 Chú ý : Với hệ phương trình by=c {ax+ a ' x+ b ' y=c ' +Nếu a = a’ b = b’ ta nên sử dụng phép cộng vế +Nếu a = -a’ b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ +Nếu các hệ số a; a’; b; b’ -1 thì ta nên dùng phương pháp + Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ±1 và không có giá trị tuyệt đối thì ta tìm BCNN (a;a’) BCNN (b; b’) Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau : a) {43 xx+3−2y=−1 y=12 (1) (2) Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với ta : Cộng vế hệ ta : 17x = 34 ⇒ x=2 Thay x = vào phương trình (1) ta : 4.2 + 3y = -1 ⇒ y=− ⇒ y=− =−2 {89 xx+6− 6yy=36 (3) Vậy nghiệm hệ phương trình là : b) y=− {53 xx −4 −2 y=− x=2 { y=−3 (1) (2) Nhân phương trình (2) với ta : {56 xx −− 44 y=− y=− Trừ vế hệ ta : -x = ⇒ x=− Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được: 5.(-2) – 4y = -6 - 4y = ⇒ y=− Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) = (-2; -1) Phần II : Một số bài tập Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a) y=8 {23xx+3− y=1 y=17 {67xx+5−5y=− b) c) y=−5 {129 xx−5+7y=− 14 Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện tham số để nghiệm hệ thoả mãn điều kiện α nào đó ta làm sau: + Coi tham số số đã biết + Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số + Giải các phương trình (Bất phương trình) biểu thức chứa tham số Ví dụ: Cho hệ phương trình: {mxx −2−3y=0 y=2 (1) (2) a) Giải hệ với m = -2 b) Tìm m để hệ có nghiệm dương - Giải a) Với m = -2 ta có hệ : y=0 {− x2−2 x −3 y=2 (1) (3) Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được: -2.2y – 3y = ⇒ y=− thay vào (*) ⇒ x=− Vậy nghiệm hệ là : { y=− x=− b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được: m.2y – 3y = ⇔ y (2 m− 3)=2 ⇒ y= 2 m−3 (4) Thay vào (*) ta : x= 2m −3 { Để hệ có nghiệm ⇒ >0 x >0 ⇔ m−3 y> >0 m−3 { ⇒ 2m – > m> Vậy với m > thì hệ phương trình có nghiệm dương Bài 2: Cho hệ phương trình y=a {25xx+3− y=1 a) Giải hệ phương trình với a = b) Giải hệ với a c) Tìm a để hệ có nghiệm dương Bài 3: Cho hệ phương trình y=6 {−4 5x −3 x+ ay=8 a) Giải hệ phương trình với a = b) Tìm giá trị a để hệ co nghiệm âm Bài 4: Cho hệ phương trình − y=2 {mx x+ my=5 Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x = 1; y = √ 3− Bài 5: Cho hệ phương trình x +(m− 1) y=12 (m− 1) x +12 y =24 { a) Giải và biện luận hệ phương trình b) Tìm m để hệ có nghiệm cho x < y Bài 6: Cho hệ phương trình x − y=3 {(a+1) ax+ y =a a) Giải hệ với a = b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm x + y > Bài 7: Cho hệ phương trình x+(m− ) y=16 (4 −m)x − 50 y=80 { a) Giải và biện luận hệ phương trình b) Tìm m để hệ có nghiệm x +y >1 Bài : Cho hệ phương trình (5) {(1mx+my=−3 − m) x + y =0 a) Giải hệ với m = Bài 9: Cho hệ phương trình b)Tìm m để hệ có nghiệm âm (a+b) x+(a − b) y=1 (2 a −b) x+(2 a+b) y +2 { a) Giải hệ với a = và b = b) Tìm tất các cặp giá trị nguyên a và b để hệ có nghiệm nguyên Bài 10: Cho hệ phương trình: y =3 a −1 {ax+x+ ay=a+1 a) Giải và biện luận hệ phương trình trên b) Tìm giá trị nguyên cho nghiệm hệ có gia strị nguyên Bài 11: Cho hệ phương trình: x +ay =b+ {ax+ by=8+ a Xác định a, b để hệ có nghiệm x = 3; y = -1 Baif 12: Cho hệ phương trình {2bxx+− by=− ay=− Xác định a, b để hệ có nghiệm x = 1; y = -2 B.Phương trình bậc hai ẩn số: Phần I: kiến thức cần nhớ I.Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = (a ≠ ) Trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số Ví dụ: các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn số: a) x3 + 3x + = b) x2 – = c) 2x2 – 3x + = d) x – = Đáp án : Phương trình : b, c là các phương trình bậc hai II Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn: a) Công thức nghiệm: Với phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Δ = b2 – 4.a.c + Δ < phương trình vô nghiệm + Δ = Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = −b 2a (6) + Δ > phương trình có hai nghiệm phân biệt : x 1= − b+ √ Δ 2a x 1= − b −√ Δ 2a b)Công thức nghiệm thu gọn: Với phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Nếu b chẵn Đặt b = 2b’, ta có Δ’ = b’2 – a.c + Δ’ < phương trình vô nghiệm + Δ’ = Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = −b' a + Δ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt : − b '+ √ Δ' − b ' −√ Δ ' x= x= 1 a a Ví dụ : Giải các phương trình sau: a) 3x2 – 2x + = Δ = (-2)2 – 4.3.1 = – 12 = -8 ; Δ < Phương trình vô nghiệm b) 4x2 -12x + = Δ = (-12)2 -4.4.9 = 144 – 144 = 12 = Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = c) -2x2 +5x + = Δ = 52 – (-2) = 25 + 24 = 49; √ Δ=7 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1= − 5+7 =− −4 x 2= − −7 =3 −4 II Hệ thức vi ét – Áp dụng: a)Định lý vi ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 Thì: x1 + x2 = −b a c x1.x2 = a b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) c + Nếu a + b + c = th ì x1 = 1; x2 = a + Nếu a – b + c = th ì x1 = -1; x2 = + Nếu có hai số x1, x2 cho −c a (7) x1 + x2 = S; x1.x2 = P ( v ới P2 – 4S ≥ 0) Thì x1, x2 là nghiệm phương trình : X2 – SX + P = Ví dụ : a) Tìm hai số biết tổng chúng 17 và tích chúng 72 - Giải Gọi x1, x2 là hai số cần tìm Ta có: x1 + x2 = 17 x1 x2 = 72 Vậy x1, x2 phải là nghiệm phương trình : X2 – 17X + 72 = Δ = (-17)2 - 4.72 = 289 – 288 = x1 = (17+ 1) : = 9; x2 = (17 - 1) : = Vậy hai số cần tìm là và b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là -3 và - Giải – Ta có : x1 + x2 = -3 + = X1 x2 = -3 = -21 Vì 42 – (-21) ≥ Vậy x1 , x2 là nghiệm phương trình : x2 – 4x – 21 = III CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài tập số nghiệm phương trùnh bậc hai: Với phương trình : ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Δ = b2 – 4.a.c + Phương trình có hai nghiệm phân biệt Δ > (Δ’ > 0) + Phương trình có nghiệm kép Δ=0 (Δ’ = 0) + Phương trình vô nghiệm Δ<0 (Δ’< 0) Chú ý: Phương trình ax2 + bx + c = a=0 ; b ≠ có nghiệm a ≠ ; Δ=0 ¿ Ví dụ 1: Tìm các giá trị m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : a) x2 -3mx + m2 – = b) 2x2 + 4x – m = - Giải a) Ta có : Δ = (-3m)2 – 4.( m2 – 1) = 9m2 – 4m2 +4 Δ = 5m2 + > với m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m Δ = 16 + 8m > m > -2 (8) Vậy với m > - thì phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ : Tìm các giá trị m để các phương trình sau có nghiệm kép a) (m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = b) 15x2 – 90x + m = -Giảia) ĐK để phương trình : (m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = là phương trình bậc hai thì : m+ ≠ m ≠ -7 Ta có: Δ’ = (m - 9)2 + (m + 7) (7m - 15) = m2 - 18m + 81 + 7m2 – 15m +49m – 105 Δ’ = 8m2 + 16m – 24 = (m2 + 2m - 3) Δ’ = (m2 + 2m - 3) = m = m = -3 (thoả mãn) Vậy với m = m= - thì phương trình có nghiệm kép b) Ta có : Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m Δ’ = 2025 – 15m = m = 135 Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép Ví dụ 3: : Tìm các giá trị m để các phương trình sau vô nghiệm a) 3x2 – 2x + m = b) x2 + mx + = -Giải2 a) 3x – 2x + m = Để phương trình vô nghiệm Δ< Ta có : Δ ' =1 −3 m ; Δ ' < ⇔1 −3 m< ⇒ m> Vậy với m > thì phương trình vô nghiệm b) x2 + mx + = Để phương trình vô nghiệm Δ< Ta có: Δ=m2 − 3=m2 −12 Δ< ⇔ m < 12⇒ − √ 12< m< √12 Vậy với - √ 12< m< √12 thì phương trình vô nghiệm Ví dụ 4: Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm nhất: (m-4)x2 – 2(m - 2)x + m – = -Giải- (9) Phương trình có nghiệm m −4=0 ⇔m=4 m −2 ≠0 m− ≠ ¿ m− 2¿ −(m −4 ).(m −1)=0 ¿ ¿ ¿ {a=0 b≠0 {Δa≠'=00 ¿ { (∗) Giải phương trình (*) ta : m2 -4m + – m2 + 5m -4 = ⇒ m=0 Vậy với m = m = thì phương trình có nghiệm 2.Bài tập dấu các nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình : : ax2 + bx + c = (a ≠ 0) a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu: { Δ≥ c >0 a b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : Δ≥0 c >0 a b − >0 a { c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm: { Δ≥0 c >0 a −b <0 a d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a.c < Ví dụ : Xác định giá trị m để các phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu: a) x2 – 3x + m – = b) x2 – 2mx + = -Giải2 a)x – 3x + m – = Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu : (10) { { Δ≥0 13 −4 m+ ≥ ⇔ m≤ ⇔ c >0 m− 1> a m>1 { Vậy với < m 13 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu b)Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu: m≥ √3 m ≤− √3 Δ' ≥ m2 −3 ≥ { c ⇔ >0 a { 3>0 ⇔¿ 3.Bài tập: dạng thành lập hệ thức đối xứng các nghiệm Cho phương trình : : ax2 + bx + c = Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm phương trình bậc hai thường gặp : a) x12 + x22 b) x13 + x23 1 c) x + x v v Cách giải: Bước1: Nêu tổng và tích hai nghiệm { −b a c x x 2= a x + x 2= Bước 2:Biến đổi các hệ thức đối xứng này sau : x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2) 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 Bước 3: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng Ví dụ : Cho phương trình x2 + mx + = Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình Hãy tính: a) x12 + x22 b) x13 + x23 -GiảiTheo vi et ta có : x1 + x2 = m ; x1.x2 = a) Mà x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2.x1.x2 = m2 - b) x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2) (11) = m3 – 3.m 4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức: Cho phương trình : : ax2 + bx + c = + Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm + Bước 2: Nêu hệ thức vi et : { −b a c x x 2= a x + x 2= (1) (2) + Bước 3: Nêu hệ thức bài toán (3) + Bước : giải hệ gồm phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để tìm m Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (m + 5)x – m + = Xác định giá trị m để nghiệm x1 , x2 phương trình thoả mãn hệ thức : 2x1 + 3x2 = 13 -Giải2 Phương trình có nghiệm m+5 ¿ − (6 − m)≥0 ¿ ⇔ m2 +10 m+ 25− 24+ m≥ ¿ ⇔ m +14 m+1≥ ¿ ¿ Δ ≥0 ⇔ ¿ m≥− 7+ √ 48 Vậy với m≤ −7 − √ 48 thì phương trình có nghiệm ¿ Theo vi et ta có : x1 + x2 = m + x1.x2 = – m Theo bài : 2x1 + 3x2 = 13 Giải hệ phương trình (*) (1) (2) (3) x 1+ x 2=m+5 x 1+ x 2=13 { (1) (3) Nhân phương trình (1) với ta x 1+ x 2=2 m+10 x +3 x2 =13 { Trừ vế hệ ta : x2 = – 2m thay vào phương trình (1) ta : x1 + – 2m = m + x1 = 3m + Thay x1 = 3m + và x2 = – 2m vào phương trình (2) ta (3m + 2) (3 – 2m) = – m 9m – 6m2 + – 4m = – m (12) m=0 m=1 ⇒¿ 6m – 6m = thoả mãn ĐK (*) Vậy với m = m = thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn : 2x1 + 3x2 = 13 5.Bài tập dạng tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số: Cho phương trình : ax2 + bx + c = Cách giải: + Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm ( Δ≥ ) + Bước 2: Lập S , P (x1 + x2 = −b ), x1.x2 = a c a theo tham số m + Bước 3: Dùng quy tắc cộng để khử m + Bước : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta hệ thức cần tìm Ví dụ : Cho phương trình: x2 – 2.(m - 1)x + m2 – = Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m -GiảiPhương trình có nghiệm : Δ' ≥ 2 m− 1¿ −(m − 1)=−2 m+2 ≥ ⇔m ≤1 Δ' =¿ S=2(m −1) (1) Áp dụng vi et ta có : (2) P=m − S S +2 Từ (1) ta có : m = +1 ⇔ m= thay vào (2)ta : S+2 ¿ ¿ P = S +2 ¿2 − ¿ ¿ Ta có : { S2 + 4S – 4P = Vậy hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc vào m là (x1 + x2 )2 + 4(x1 + x2 ) – 4x1.x2 = 6.Bài tập dạng so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số bất kì: Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( Δ≥ ) Bước 2: Áp dụng vi et tính x1 + x2 ; x1.x2 (*) +Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm > α ⇒ ( x − α )+( x2 − α )> ( x − α ) ( x − α )>0 { Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m + Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm < α (13) ⇒ (x − α )+(x2 − α )< (x − α ).(x − α )>0 { Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m + Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm , đó nghiệm x1 > α nghiệm x2 < α ⇒( x1 −α ).( x − α )>0 Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m Hoặc có thể sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai: * Nếu a f (α )<0 ⇒ x 1< α < x Ví dụ 1: Tìm các giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm lớn x2 - 2mx + = (1) -GiảiĐể phương trình có nghiệm Δ' ≥ m≥ √ Ta có : Δ ' =m2 − ≥0 m≤ −2 √ Vậy với ⇒ ⇔¿ m≥ √ m≤ −2 √ thì phương trình có nghiệm ¿ Theo vi et ta có: x1 + x2 = 2m x1 x2 = Để phương trình có hai nghiệm lớn (x − 2)+( x2 −2)>0 (x − 2) ( x −2)>0 { { (x + x 2)− 4>0 x x − 2( x 1+ x )+ 4> ⇒ Vậy với {8 2−4m−m+4>4>0 ⇔ {m>2 m<3 √ ≤ m<3 thì phương trình có hai nghiệm lớn Phần II : Một số bài tập Bài 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu: a) x2 – 2x + m = b) x2 – 2mx + 2m – = Bài 2: Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a) 2x2 – 6x + m–2=0 b)(3 – 2m )x2 + (m - 1)x – = Bài 3: Tìm các giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương: (14) 2x2 – mx + 2m – = Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình nhận x = là nghiệm Bài : Tìm m để phương trình : (3 – 2m)x2 + (m - 1)x + = nhận x = là nghiệm đó tìm nghiệm còn lại? Bài 6: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = a) Chứng minh phương trình có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó xác định dấu các nghiệm Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = a) Giải phương trình với m = -2 b) CMR phương trình có nghiệm với m c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình Tìm m để x12+x22 = Bài 8: Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m = a) CMR phương trình luôn có nghiệm Tìm các nghiệm đó b) Với x1, x2 là hai nghiệm phương trình, tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 9: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn các điều kiện sau đây: a) x12 + x22 = b) x12 – x22 = 12 Bài 10: Cho phương trình : x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 3m = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có đúng nghiệm âm c) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm còn lại d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 = Bài 11: Cho phương trình :x2 +2x + m = Xác đinh m để phương trình x1, x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = Bài 12: Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m -1 = a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức 3x1 – 4x2 = 11 b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm c) Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 13: Xác định k để để phương trình sau có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2 a) x2 + 6x + k = b) x2 + kx + = Bài 14: Cho phương trình : x2 – 6x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 3x1 + 2x2 =20 Bài 15: Cho phương trình: 3x2 – (3m - 2)x – (3m + 1) = (15) a)Chứng tỏ phương trình có nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại b) Xác định m để phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 – 5x2 = c) Tìm hệ thức các nghiệm độc lạp với m Bài 16: Cho phương trình : x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = a)Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b)Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm còn lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn -3 < x1 < x2 < d) Xác định m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Bài 17: Cho phương trình: x2 – (m - 3)x + 2m + = a)Giải phương trình với m = -1 b)Tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 18: Cho phương trình: x2 – (2m +1)x + m2 + m -1 = a)Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m b)Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trinh Tìm m cho ( 2x1 – x2 ) ( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ c) Tìm hệ thức liện hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 19: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2.(m - 4) =0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x2 - x1 = 17 b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 20: Cho phương trình mx2 + 2(m - 2)x + m – = a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn c) Tìm hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x12 + x22 Bài 21: Cho các phương trình: x2 + ax + bc = x2 + bx + ca = Trong đó bc ca Giả sử x1, x2 là các nghiệm phương trình (1) x2, x3 là các nghiệm phương trình (2) Hãy viết phương trình bậc hai có nghiệm là x1, x3 Bài 22: Tìm các giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ 3x2 – 4x + 2.(m - 1) = Bài 23: Cho phương trình : x2 – 3x + m + = Tìm m để phương trình có nghiệm lớn 3, nghiệm còn lại nhỏ Bài 24: Cho phương trình : x2 – (2m + 1)x – m2 +m – = (16) a)CMR phương trình có nghiệm với giá trị m b)Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 25: Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 – = a)CMR phương trình luôn có nghiệm với m b)Tìm biểu thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc và m c)Tìm các giá trị m để hai nghiệm x1, x2 phương trình thoả mãn hệ thức x1 x2 + =− x2 x1 Phần III : Hướng dẫn đáp số: Bài 1: : Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu: a)x2 – 2x + m = b)x2 – 2mx + 2m – = -Ga)Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu: { Δ'>0 ⇔ − m>0 ⇔ m<1 c >0 m>0 m>0 a { { Vậy với < m < thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu: Δ '>0 ∀m m2 −2 m+ 3>0 ⇔ ⇔ c >0 m> m− 3>0 a { { { Vậy với m> thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu Bài 2: a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 2.(2m - 8)< m < Vậy với m < thì phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < (3 – 2m) (-3) < – 2m > m < Vậy với m < thì phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài 3: Tìm các giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương: 2x2 – mx + 2m – = -GPhương trình có hai nghiệm phân biệt dương (17) m2 −4 (2 m− 8)> Δ>0 c m− >0 >0 ⇔ a −b m >0 >0 a { { m − 16 m+64 >0 ∀m ⇔ ⇔ m>4 m− 4> m>0 m>0 { { Vậy với m > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương Bài 4: Cho phương trình : x2 +4mx + 3m2 + 2m – = a)Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ ' >0 Δ ' =4 m2 −3 m2 − m+1=m2 −2 m+1 ¿ Ta có : m −1 ¿ >0 ⇔ m ≠1 Δ '=¿ Mậy với m≠ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b)Phương trình nhận x = là nghiệm nên ta có : + 8m +3m2 +2m - = m 1=− 3m2 + 10m + = m2= − ⇒¿ −1 Vậy với m = -3 m = thì phương trình nhận x = là nghiệm Bài 5: Đáp số : m = thì PT nhận x1 = là nghiệm nghiệm còn lại là x2 = Bài 6: a) Ta có : m−1 ¿ + 4>0 Δ ' =m − m+5=¿ với ∀m Vậy phương trình có nghiệm với m b) Vì Δ ' > ⇒ phương trình có hai nghiệm cùng dấu 2m – > m> Theo vi et ta có x1 + x2 = 2m Vì m> nên 2m > Vậy với m> thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương Bài 7: (18) Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + 4m = x 1=2 a) Với m = -2 x 2=− ⇒¿ m−1 ¿2 ≥ b)Ta có : m+ 1¿ − m=¿ Δ '=¿ với m Vậy PT có nghiệm với m c) Theo vi et ta có : x1 + x2 = 2m + x1.x2 = 4m Để x12 + x22 = x 1+ x ¿ − x x 2=4 ¿ (2m + 2) – 2.4m = m + 2m +1 – 2m = m=0 Vậy với m = thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 = (19)