C¸c em cßn cÇn ®îc më réng mét ssã dÊu hiÖu chia hÕt, bæ sung mét sè kiÕn thøc vÒ ¦CLN, BCNN... Häc sinh dÔ dµng thÊy ®îc khi xÐt tæng hoÆc hiÖu cña X vµ Y th× kh«ng thÊy xuÊt hiÖn béi c[r]
(1)Phần : đặt vấn đề
Chúng ta biết toán học sở ngành khoa học, mơn tốn đóng vai trị quan trọng nhà trờng Thơng qua mơn tốn, học sinh nắm vững kiến thức tốn học, từ dễ dàng học tập mơn học khác để ứng dụng kiến thức học vào ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng lao động, quản lý kinh tế, việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Để giúp HS học tốt mơn tốn địi hỏi ngời thày giáo phải có lao động sáng tạo nghiêm túc
Một vấn đề lớn chơng trình tốn THCS vấn đề chia hết Vấn đề đợc đa vào từ lớp 5, phát triển lớp 6, lớp đợc đề cập toán nâng cao dành cho học sinh giỏi lớp 8, lớp Trong kì thi học sinh giỏi cấp, đặc biệt lớp vấn đề chia hết nội dung hay đề cập đến th ờng khó Các tốn chia hết đơn làm tập nh SGK dễ nhng tốn nâng cao khó, đa dạng khơng có quy tắc chung để giải, phải sử dụng phơng pháp khác cách linh hoạt, sáng tạo Trong lực t duy, khả phân tích tổng hợp HS hạn chế nên HS thờng bế tắc việc tìm cách giải cho loại tốn Vấn đề đặt việc giải toán phải biết nhận dạng tốn lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải Hơn để giải đợc tập nâng cao tính chia hết ngồi việc nắm kiến thức có chơng trình, HS phai nắm vững số kiến thức bổ sung mở rộng, kiến thức không đợc phân phối tiết học nên HS đợc vận dụng rèn luyện trừ gặp tập khó.Vì kỹ vận dụng kiến thức cha đợc thành thạo, nhạy bén, HS thờng mắc sai lầm nh : Khi thấy tổng chia hết cho m vội vã kết luận số hạng chia hết
cho m ; thấy am an kết luận amn mà không xem xét
xem m,n có nguyên tố hay không
Để giúp HS gải khó khăn đó, đồng thời bổ sung số kiến thức tính chia hết, làm tài liệu tham khảo cơng tác bồi dỡng HS giỏi, góp phần vào việc “đào tạo bồi dỡng nhân tài” Tơi xin trình bày kinh nghiệm “Hớng dẫn HS lớp giải số dạng tốn nâng cao tính chia hết N” Đây đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phơng pháp nhận dạng toán tính chia hết hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp lý
Phần hai : Giải vấn đề A Vấn đề cần giải :
(2)Ngoài HS cần nắm đợc số dạng tốn điển hình chia hết có ph-ơng pháp giải phù hợp dạng Có đợc kỹ em làm đợc tập cách nhanh gọn, linh hoạt
Để giải đợc vấn nêu HS cần phải phát huy tính tích cực, t sáng tạo Còn giáo viên ngời thiết kế, hớng dấn em, khơi dậy t duy, tạo hứng thú học tập Có nh chơng trình dạy học đạt hiệu cao
B C¸c biện pháp tiến hành :
I Hệ thống lại kiến thức cần ghi nhớ :
HS thuận lợi việc giải tốn tính chất chia hết cần củng cố cho em kiến thức tính chia hết kiến thc cú liờn quan, ú l:
1/ Định nghĩa :
cho hai số tự nhiên a b (b ≠ 0) Ta nãi a chia hÕ cho b tồn số tự
nhiên q cho a = b.q Ta nói a bội b b ớc a, a chia hÕt cho b
2/ C¸c tÝnh chÊt vÒ chia hÕt :
* TÝnh chÊt chung :
a) Sè chia hÕt cho mäi sè b ≠
b) Mọi số a ≠ chia hết cho
c) TÝnh chÊt bắc cầu : Nếu ab, bc ac
+ TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu
d) NÕu a⋮m, b⋮m th× tỉng a + b⋮m, a - b⋮m
+ HƯ qu¶ :
- NÕu (a + b)⋮m (hc a - b⋮m) am bm
- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) bm am
e) NÕu a⋮m, b⋮m th× a + b⋮m, a - b⋮m ;
NÕu a⋮m, b⋮m th× a + b⋮m, a - b⋮m
f) NÕu mét thõa sè cña tÝch chia hÕt cho m th× tÝch chia hÕt cho m
+ Hệ quả: Nếu am anm (n số tự nhiên 0).
g) Nếu am, bn abmn
+ Hệ : nÕu a⋮b th× an⋮bn.
h) NÕu A⋮B th× mA +nB⋮B , mA – nB⋮B
i) NÕu mét tÝch chia hết cho số nguyên tố p tồn t¹i mét thõa sè cđa tÝch chia hÕt cho p
+ Hệ quả: anp (p số nguyên tố) ap.
j) Nếu abm, b m, n guyên tố am
k) NÕu a⋮m, a⋮n th× a⋮BCNN(m,n)
+ HƯ qu¶ :
- NÕu a⋮m, a⋮n, (m,n) = th× a⋮mn
- Nếu a chia hết cho số ngun tố đơi a
chia hÕt cho tÝch cđa chóng
(3)Ngoài dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho mà HS đợc học chơng trình SGK, cần bổ sung thêm số dấu hiệu sau:
a) DÊu hiÖu chia hÕt cho 4, cho 25 :
Một số chia hết cho (hoặc cho25) số có hai chữ số tận chia hết cho ( cho 25)
b) DÊu hiÖu chia hÕt cho 8, cho 125 :
Một số chia hết cho (hoặc cho125) số có ba chữ số tận chia hết cho ( cho 125)
c) DÊu hiÖu chia hÕt cho 10:
Một số chia hết cho 10 số có chữ số tận d) Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Một số chia hết cho 11 hiệu tổng số đứng vị trí lẻ tổng chữ số đứng vị trí chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11
4/ Bỉ sung kiÕn thøc vỊ ƯCLN BCNN :
a) Thuật toán Ơclit :
+ Nếu ab ƯCLN(a,b) = b
+ Nếu ab ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r)
(r lµ sè d phÐp chia a cho b) b) ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = ab
5/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố :
+ Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ớc Số số nguyên tố chẵn
+ Hợp số số tự nhiên lín h¬n 1, cã nhiỊu h¬n hai íc
+ Hai hay nhiều số đợc gọi hai số nguyên tố ƯCLN chúng
II Phân loại số dạng toán điển hình cách giải:
Bi v tớnh chia ht phong phú đa dạng Trong phần đề
cập đến số dạng toán điển hình, phân loại nh sau:
1/ C¸c toán áp dụng tính chất chia hết dấu hiệu chia hết :
* Dạng 1:
Chứng minh biểu thức chia hết cho số: Để chứng minh biểu thức chia hết cho số đó, ngồi việc sử dụng tính chất chia hết dấu hiệu chia hết biết phải tuỳ theo trờng hợp cụ thể để kết hợp với số kiến thức khác nh :Các tính chất phép tốn, phép luỹ thừa, tìm chữ số tận luỹ thừa, phép chia có d, cấu tạo số, số nguyên tố Cụ thể :
a) Kết hợp với kiến thức luỹ thừa tìm chữ số tận luỹ thừa :
VÝ dô 1:
Cho A = + 22 + 23 + + 299 + 2100 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 31.
(4)Gi¶i:
A = (2 + 22 + 23 + 24 + 25) + (26 + 27 + 28 + 29 + 210) +
+ (296 + 297 + 298 + 299 + 2100)
= 2(1 + + 22 + 23 + 24) + 26(1 + + 22 + 23 + 24) +
+ 296(1 + + 22 + 23 + 24)
= 2.31 + 26.31 + +296.31 = 31(2 + 26 + + 296)
VËy A⋮31
VÝ dô :
Chøng minh r»ng 34n + 1 + 5 với n
- Phơng pháp : Tìm chữ số tận 34n + 1 + råi sư dơng dÊu hiƯu chia
hÕt cho
Gi¶i :
34n + 1 + = (34)n + = 81n .3 + 2
Nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn nâng lên luỹ thừa khác
cng cú tn cựng 1, 81n có tận 1.
⇒ 81n .3 cã tËn cïng lµ ⇒ 81n .3 + cã tËn cïng lµ 5.
vËy 81n .3 + ⋮5 hay 34n + 1 + ⋮5
VÝ dô 3:
Chøng minh r»ng 1033 + 82 9
Giải :
1033 + = 10 + = 10 08
33 ch÷ sè 32 ch÷ sè
Sè 10 08 có chữ số tận nên 2, có tổng chữ số
33 chữ số nên9 b) Kết hợp với kiến thøc vÒ phÐp chia cã d :
VÝ dô :
Chøng tá r»ng hai sè tự nhiên a b chia cho số tự nhiên c có số
d hiệu chóng chia hÕt cho c
- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức phép chia có d để biểu diễn a, b tìm hiệu chúng
Gi¶i :
Ta cã a = cq1 + r (0 ≤ r < c)
b = cq2 + r (0 ≤ r < c)
Gi¶ sư a > b, a – b = (cq1 + r) - (cq2 + r) = cq1 + r – cq2 - r = cq1- cq2 =
= c(q1- q2)
VËy a bc
- Khai thác toán :
Ta biết số tự nhiên tổng chữ số có số d phép chia cho 3, cho (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho9) Từ rút nhận xét :
(5)(Yêu cầu HS ghi nhớ nhận xét để vận dụng giải tập)
VÝ dô 5:
Cho n∊N Chøng minh r»ng : n(n + 1)(2n + 1) ⋮6
Gi¶i :
+ Trong số tự nhiên liên tiếp có số béi cđa
Do n(n + 1)(2n + 1) ⋮2
+ Ta cÇn chøng minh n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 th× n(n + 1)(2n + 1)
(Vì hai số nguyên tố nhau) Xét hai trờng hỵp :
- NÕu n ⋮3 ⇒ n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 ⇒ n(n + 1)(2n + 1) ⋮6
- NÕu n ⋮3 ⇒ n = 3k + hc n = 3k + (k∊ N)
Khi n = 3k + th× 2n + = 2(3k + 1) + = 6k + 3⋮3
⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮3⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮6
Khi n = 3k + th× n + = (k + 2) + = 3k + 3⋮3
⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮3⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮6
VËy :Trong mäi trêng hỵp ta lu«n cã n(n + 1)(2n + 1)⋮6
c) Sử dụng cấu tạo số để biến đổi:
VÝ dô 6:
Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia hết cho - Phơng pháp: Sử dụng kiến thức cấu tạo số để phân tích abc thành tổng hai số hạng: số hạng bội 7, số hạng 2a + 3b + c
Gi¶i:
Ta cã abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c)
= 7(14a + b) + (2a + 3b + c) Mµ 7(14a + b) chia hÕt cho
Do (2a + 3b +c) chia hết cho
VÝ dô 7:
Với a, b chữ số H·y chøng minh:
a) aaabbb chia hÕt cho 37
b) (abab – baba) chia hÕt cho vµ 101 (a > b)
- Phơng pháp: Dùng cấu tạo số để biến đổi dạng A = BQ
Gi¶i: a, aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b = 111(1000a + 6) = 337 (1000a +b) VËy aaabbb chia hÕt cho 37
d Tốn chia hết có liên quan đến hai số nguyên tố nhau:
VÝ dô 8:
Cho biÕt 3a + 2b chia hÕt cho 17 (a,b ∊ N), chøng minh r»ng 10a + b chia
hết cho 17
Giải: Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y
(6)Do 2Y – X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia hết cho 17 (hệ tính chất 4) Mặt khác 17 nguyên tố nên Y chia hết cho 17 (tính chất 10) hay 10a + chia hết cho 17
VÝ dô 9:
Cho số chia hết cho gồm chữ số Chứng minh chuyển chữ số tận lên ta đợc số chia hết cho
Gi¶i: Gäi sè chia hết cho gồm chữ số là: X = abcdeg
Nếu chuyển chữ số tận lên ta đợc số: Y = gabcde Đặt abcde = n X = 10n + g, Y = 100000g + n
Ta cã: 10Y – X = 10(100000g +n) – (10n + g)
= 1000000g + 10n – 10n – g = 999999g ⋮7
10 Y – X chia hÕt cho 7, X chia hÕt cho nªn 10Y
Mà 10 hai số nguyên tè cïng nªn Y⋮ hay abcdeg ⋮7
e/ Sư dơng mét sè tÝnh chÊt kh¸c:
VÝ dô 10:
Chøng minh r»ng 10n + 18n – chia hÕt cho 27
- Phơng pháp: biến đổi 10n + 18n – thành tổng số hạng chia hết
cho 27
Gi¶i: Ta cã 10n + 18n – = 10n – – 9n + 27n = 99. – 9n + 27n
n
= (11 – n) + 27n n
Dùa vµo nhËn xÐt ë vÝ dơ ta có:
Số 11 tổng chữ sè cña nã (b»ng n) cã cïng sè d n
phÐp chia cho nªn hiƯu cđa chóng chia hÕt cho 3, nghÜa lµ :
11 – n chia hết cho 3, 9(11 – n) chia hết cho 27 n n
VËy 9(11 – n) + 27n chia hÕt cho 27 n
Hay 10n + 18n – chia hÕt cho 27.
VÝ dơ 11:
Chøng minh r»ng sè gåm 27 ch÷ sè th× chia hÕt cho 27
- Phơng pháp: biến đổi số thành tích hai thừa số, thừa số chia hết cho 9, thừa số chia hết cho áp dụng tính chất
Giải: Gọi A số gồm 27 chữ số 1, B số gồm chữ số
Tổng chữ số B nên B⋮9 (1)
Lấy A chia B đợc thơng là: 100 0100 (d 0) chữ số chữ số
Ta viết đợc A = B.C
Tổng chữ số C nên C3 (2)
(7)* Dạng 2:
Tìm chữ số theo điều kiện chia hÕt.
VÝ dô 12:
Thay dấu * chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 36
- Phơng pháp : Xét điều kiện để A⋮4 cho từ tìm chữ số
Gi¶i :
Để A34 A4 hai chữ số tận A tạo thành số chia hết cho 4,
nghÜa lµ 2*⋮4 ⇒ 2*∊ {20 ; 24 ; 28}
- Trêng hỵp : A = 52*20 Để A9 + + * + + phải chia hết cho 9, tức
9 + * phải chia hết cho 9, * ∊{ ; }
- Trêng hợp : A = 52*24 Lập luận tơng tự nh ta có * = - Trờng hợp : A = 52*28, ta cã * =
Thay dấu * chữ số thích hợp vừa tìm trên, ta tìm đợc số :52020 ;
52920; 52524; 52128 chia hết cho 36
VÝ dô 13 :
Tìm chữ số a b cho a b = 7a5b13
Giải :
V× 13 : d ⇒ a + b : d (1)
Do a, b chữ số a b = nên :
a b ≤5 ⇒ 4≤ a + b ≤ 14 (2)
Do a b số chẵn nên a + b số chẵn (3)
Từ (1),(2),(3) ⇒ a + b ∊ {8 ; 14}
Víi a + b = , a – b = ⇒ a = 6, b =2
Víi a + b = 14, a – b = ⇒ a = 9, b =
Ta đợc số 76521 ; 79551 ⋮
VÝ dơ 14:
Tìm chữ số a 1aaa111
Giải :
Tổng chữ số hàng lẻ + a + = a + Tổng chữ số hàng chẵn a + a = 2a
- NÕu 2a ≥ a + 2, ta cã 2a – (a + 2) = a -
để 1aaa1⋮11 a - 2⋮11, mà – a < ⇒ – a = ⇒ a =
- NÕu 2a < a + 2, ta cã a + – 2a = - a
để 1aaa1⋮ 11 - a⋮ 11 mà – a < ⇒ – a = ⇒ a =
Vậy với a = ta đợc số 12221⋮11
VÝ dô 15 :
Tìm chữ số a, biết 20a20a20a7
Gi¶i :
Ta cã 20a20a20a = 20a.20a.1000 + 20a
= (20a.1000 + 20a).1000 + 20a = 1001.20a.1000 + 20a
(8)mµ 7.143.20a.1000⋮7⇒20a⋮7
20a = 200 + a = 196 + + a = 196 + (4 + a)⋮7
mà 196⋮7 ⇒ + a⋮7 Vì a chữ số ⇒ a = Ta đợc số 2032032037
* Dạng : Tìm số tự nhiên theo ®iỊu kiƯn cho tríc
VÝ dơ 16:
Tìm số tự nhiên x y cho: (2x + 1)(y – 3) = 10
- Phơng pháp : Xét ớc 10
Giải :
x y số tự nhiên nên 2x + y ớc 10 (y>3) Các ớc 10
là 1; ; 5; 10 Vì 2x + số lẻ nên 2x + {1 ; 5}
Ta cã b¶ng sau:
2x + y - x y
1 10 13
5 2
Ví dụ 17 :
Tìm số tự nhiên n cho n + ⋮ 2n –
Gi¶i :
n + ⋮ 2n – ⇒ [2(n+6) – (2n – 1)] ⋮2n –
⇒ (2n + 12 – 2n + 1) ⋮ 2n –
⇒ 13⋮2n –
⇒ 2n – lµ íc cđa 13 ⇒ 2n – ∊ {1; 13}
Ta cã b¶ng sau:
2n – 1 13
n
VÝ dụ 18:
Tìm số tự nhiên n lớn nhÊt cã hai ch÷ sè cho n2 – n chia hÕt cho 5
Gi¶i:
Ta cã n2 – n = n(n -1)
n2 – n chia hết cho ⇒ n(n -1)⋮5 n⋮5 n - 1⋮5
NÕu n5 n có chữ số tận
Nếu n - 1⋮5 ⇒ n có chữ số tận Do n có chữ số tận
cïng lµ ; ; ; Để n lín nhÊt cã hai ch÷ sè cho n2 – n⋮5 ta chän n =
96
VÝ dụ 19 :
Tìm số tự nhiên n cho 18n + ⋮7
Gi¶i :
18n + ⋮7 ⇒ 21n – (18n + 3) ⋮7 ⇒ 21n – 18n - 3⋮7 ⇒ 3n - 3⋮7 ⇒ 3(n –
1)⋮7
V× 3, số nguyên tố nên n – ⋮7
(9)VÝ dơ 20 :
Tìm số có hai chữ số biết số chia hết cho tích chữ số
Gi¶i :
Gäi số có hai chữ số phải tìm ab, theo bµi ta cã ab ⋮ab
ab = 10a + b⋮ab (1)
⇒ 10a + b ⋮a mµ 10a ⋮a ⇒ b⋮a
⇒ b = ka (2) (k∊N; k<10)
Thay (2) vµo (1) ta cã: 10a + ka⋮aka
⇒ 10a + ka⋮ka ⇒ 10a ⋮ka ⇒ 10⋮ka ⇒ k ∊ {1; 2; 5} (v× k < 10)
+ Nếu k = ta có b = a Thay vào (1) đợc :
10a + a⋮a2⇒ 11⋮a ⇒ a = 1, b = Vậy ab = 11
+ NÕu k = ta cã b = 2a
Lần lợt xét số có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục là: 12; 24; 36; 48 ta thấy số 12; 24; 36 thoả mãn đầu
+ NÕu k = ta cã b = 5a Ta thÊy số 15 thoả mÃn đầu Vậy có số thoả mÃn là: 11; 12; 15; 24; 36
VÝ dơ 21:
Tìm số có ba chữ số nh biết số viết đợc dới dạng tổng số tự nhiên liên tiếp từ
Gi¶i:
Gäi sè cần tìm aaa Theo ta có:aaa=1+2+3+ +n=(n+1)n
2 ⇒(n+1)n
2 =111a⇒n(n+1)=2 111.a⇒n(n+1)=2 37a
(n+1)n
2
Vì n (n+1)37 nên tồn hai thõa sè ⋮37 Mµ:
là số có chữ số nên (n + 1) n nhỏ 74
⇒
NÕu n = 37 ⇒ n + = 38, ta cã aaa=(n+1)n
2 = 37 38
2 =703(lo¹i) NÕun+1=37⇒n=36,ta cã aaa=36 37
2 =666(tho¶ m·n)
n = 37 hc n + = 37
Vậy số phải tìm 666
2/ Các toán số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cïng nhau : * D¹ng 1:
Chøng minh số số nguyên tố, hợp số.
(10)Chøng tá r»ng víi mäi sè tù nhiªn n số 11 1211 hợp sè
n n
- Phơng pháp : Phân tích số cho thành tích hai thừa số lớn
Gi¶i:
Ta cã: 11 1211 = 11 100 + 11 = 11 (10n +1) lµ tÝch cña
n n n + n n + n +
hai thừa số lớn Vậy tích cho hợp số
VÝ dơ 23:
Nếu p số nguyên tố lớn 2p + số nguyên tố 4p + số nguyên tố hay hợp số
- Phơng pháp: Xét khả xảy p thay vào 4p + Gi¶i:
p số nguyên tố lớn nên p⋮3 Do p có dạng 3k + 3k +
Với p = 3k + ⇒ 2p + = 2(3k + 1) + = 6k + ⋮3 nên hợp số, trái với đề
cho 2p + số nguyên tố
Do p = 3k + 2, 4p + = 4(3p + 2) + = 12k + ⋮9 12k + >
VËy 4p + số nguyên tố
* Dạng 2:
Tìm số nguyên tố theo điều kiƯn cđa nã
VÝ dơ 24 :
T×m sè nguyªn tè p cho p + 2, p + số nguyên tố
Giải:
Xét trờng hợp:
Vi p = p + 2, p + hợp số, không thoả mãn
Với p = p + = 5, p + = số nguyên tố, thoả mãn
Với p > 3, p số nguyên tố nên p3 p có dạng 3k + 3k +
NÕu p = 3k + p + = 3k + hợp số, không thoả mÃn
Nếu p = 3k + ⇒ p + = 3k + lµ hợp số, không thoả mÃn
Vậy p = giá trị phải tìm
* Dạng 3:
Chøng minh hai sè nguyªn tè cïng
VÝ dô 25:
Chøng minh r»ng 2n + vµ 3n + (n∊N) lµ hai sè nguyên tố
Giải:
Gọi d íc chung cđa 2n + vµ 3n +
Ta cã: 2n + ⋮ d; 3n + 1⋮d
⇒[3(2n+1) – 2(3n + 1)]⋮d
⇒ 6n + – 6n - 2⋮d
⇒ 1⋮d ⇒ d =
VËy 2n + vµ 3n + hai số nguyên tố
(11)Cho a vµ b lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau, chøng minh r»ng ab a + b hai số nguyên tố
- Phơng pháp : Chứng minh ph¶n chøng
Gi¶i:
Gi¶ sư ab a + b chia hết cho số nguyên tố d tồn thừa số a b
chia hÕt cho d
Gi¶ sư a⋮d mµ a + b⋮d⇒ b⋮d ⇒ d lµ íc chung a b nhng (a,b) = nên
điều trái với đề Vậy ab a + b hai sốnguyên tố
* D¹ng 4:
Tìm điều kiện để hai số nguyên tố
VÝ dô 27:
Tìm số tự nhiên n để 4n + 2n + nguyên tố
- Phơng pháp: ta tìm ƯC (4n + 3; 2n + 3) xét điều kiện để ƯCLN chúng
Gi¶i:
Gi¶ sư d ∊ ¦C (4n + 3; 2n + 3), ta cã 4n + 3⋮d vµ 2n + 3⋮d
⇒ [2(2n + 3) – (4n + 3)] ⇒ 3⋮d ⇒ d {1; 3}
Để ƯCLN(4n + 3; 2n + 3) = th× 2n + 3⋮3 hay 2n⋮3 ⇒n⋮3
⇒ n = 3k + hc n = 3k +
VËy víi n = 3k + n = 3k + 4n + vµ 2n + lµ hai sè nguyên tố
3/ Các toán ƯCLN, BCNN : * Dạng :
Tìm ƯCLN hai số thuật toán Ơclit : α = bq + r (0 < r < b) th×
ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r) Từ có cách tìm ƯCLN hai số nh sau :
LÊy a chia cho b d r, LÊy b chia cho r d r1, LÊy r chia cho r1 d r2 Cø tiÕp tôc nh
vậy đợc số d số d cuối khác ƯCLN phải tìm
VÝ dơ 28 :
Tìm ƯCLN(A;B) biết A gồm 1991 ch÷ sè 2, B gåm ch÷ sè Gi¶i :
A = 22 2, B = 22
1991 ch÷ sè ch÷ sè
Ta có 1991 chia cho d 7; chia d nên chia A cho B ta đợc d 22 Tiếp tục phép chia B cho số d ta đợc số d
ch÷ sè
Theo thuËt toán Ơclit ta có ƯCLN(22 ; 22 2) = 1991 ch÷ sè ch÷ sè
¦CLN(22 ; 22 2) =
ch÷ sè 7ch÷ sè
¦CLN(22 ; 2) = ch÷ sè
(12)Tìm ƯCLN, BCNN biểu thức
Ví dụ 28:
Tìm ƯCLN 2n + vµ 9n + (n∊N)
Giải:
Gọi d ớc chung 2n – vµ 9n +
⇒ 2(9n + 4) – 9(2n – 1)⋮d ⇒ 17 ⋮d ⇒ d ∊ {1; 17}
Ta cã 2n - 1⋮17 ⇔ 2n - 18⋮17 ⇔ 2(n – 9)⋮17 ⇔ n – 9⋮17
⇔ n = 17k + (k∊N)
- NÕu n = 17k + th× 2n - 1⋮17 vµ 9n + = 9(17k + + 4) = béi cña 17 + 85
⋮17
Do ƯCLN (2n – 1; 9n +4) = 17
- NÕu n ≠ 17k + 2n không chia hết cho 17
Do ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) =
VÝ dơ 29:
T×m BCNN cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1, n + (n≠ 0)
Gi¶i:
Ta cã [n, n + 1, n + 2] = [(n, n + 1), n + 2] = [n(n + 1), n + 2] v× [n, n + 1] = n(n +1)
Mặt khác: [a, b]=ab
(a, b)nên[n(n+1), n+2]=
n(n+1)(n+2) [n(n+1),n+2]
Ta cã : (n + 1, n + 2) = nªn [n(n + 1), n + 2] = (n, n + 2) = (n, 2)
[n,n+1,n+2]=n(n+1)(n+2)
2
- Nếu n chẵn (n,2) = Do
- Nếu n lẻ (n,2) = Do [n, n + 1, n + 2] = n(n + 1)(n + 2)
* D¹ng 3:
Tìm hai số biết ƯCLN, BCNN
Khi giải toán tìm hai số biết ƯCLN, BCNN ta thờng sử dụng kiến thức sau:
a = da,
(1)¦CLN (a,b) = d ⇔ b = db,
(a,, b,) = 1
(2) ¦CLN (a, b) BCNN (a, b) = ab
ab d =
da, db, d =da
, b,
(3) Tõ (1) vµ (2) ⇒ BCNN (a, b) =
(13)
Tìm hai số tự nhiên a b (a ≥ b), biÕt r»ng ¦CLN (a, b) = 12 ;BCNN (a, b) = 72
Gi¶i :
a = 12a,
¦CLN (a,b) = 12 ⇔ b = 12b,
(a,, b,) = 1
a.b = ¦CLN (a, b).BCNN (a, b) = 12.72 ⇒12a, 12b, = 12.72 ⇒ a,.b, = 6
Do a ≥ b nªn a, ≥ b, Chän hai sè cã tÝch b»ng 6, nguyªn tè cïng vµ a, ≥ b,,
ta đợc
a, 6 3
Do a 72 36
b, 1 2 b 12 24
VÝ dụ 31 :
Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN BCNN chúng có tổng 55
Gi¶i :
Gäi hai sè phải tìm a b (giả sử a b) d ƯCLN (a, b) Ta có :
ab
¦CLN(a,b)=
da, db, d =da
,
.b, a = da, =
Theo đề ƯCLN(a, b) + BCNN(a, b) = 55 nên da, b, + d = 55 ⇒ d(a,b, + 1) = 55
Do a,b, + ớc 55 a,b, + 1≥ Vì a ≤ b ⇒ a,≤ b,
Ta cã b¶ng sau:
d a,b, + 1 a,b, a, b, a b
1 55 54
2
54 27
1
54 27
5 11 10
2
10
5 10
50 25
11 4 11 44
Vậy có cặp số thoả mÃn (1;54) ; (2;27) ; (5;50) ; (10;25) ; (11;44)
III Giúp đỡ học sinh tìm tịi số lời giải toán
phần II nêu số dạng tốn điển hình, cách giải dạng tốn Song
các toán chia hết phong phú, đa dạng khơng có quy tắc chung để giải, có nằm dạng nêu nhng giải tơng tự lại gặp bế tắc Vì hớng dẫn học sinh cần phân tích kỹ đầu để lựa chọn phơng pháp thích hợp, đến lời giải hợp lý Sau số toán cụ thể:
Bµi 1:
Cho B = + 33+ 35 + + 31991
Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 13, cho 41
(14)Đề cho B tổng lũy thừa số nhng lu ý số mũ số lẻ liên tiếp
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Qua phõn tớch học sinh thấy đợc thuộc dạng chứng minh biểu thức chia hết cho số Từ đó, phơng pháp giải cần hớng cho em phải biến đổi B = 13P, B = 13Q cách nhóm số hạng thích hợp sử dụng phép biến đổi để xuất số bội 13, bội 41 Việc chia nhóm số hạng khơng phải đơn giản, giáo viên cần hớng dẫn học sinh xem xét tổng B có m số hạng chia B thành nhóm, nhóm có n số hạng cho n
∊ Ư (m) Từ chọn cách chia xuất bội 13, bội 41 Để tạo cho
học sinh “phản xạ” gặp dạng toán này, giáo viên đặt số câu hỏi phân tích, dẫn dắt:
? Biến đổi B thành tổng nhóm có số hạng? (học sinh dùng phơng pháp thử tính tổng số hạng tìm cách chia đúng, chẳng hạn chia B thành tổng nhóm, nhóm có n s hng)
? Nếu số hạng không chia hÕt cho n th× sao? (sÏ t×m mét vài số hạng mà tổng chúng cha lµ béi cđa 13, 41)
? Nh để đảm bảo không bị rơi vào trờng hợp nêu trên, học sinh kiểm tra tổng B có:
(1991 – 1) : + = 996 (sè h¹ng)
996 chia hÕt cho 2, 3, 4, nhng chia B thành nhãm sè h¹ng, sè h¹ng sÏ xt hiƯn béi cđa 13, béi cđa 41
3, Lêi gi¶i v¾n t¾t:
a, B = (3 + 33 + 35) + (37 + 39 + 311) + +(31987 + 31989 + 31991)
= 3(1 + 32 + 34) + 37(1 + 32 + 34) + + 31987(1 + 32 + 34)
= 91(3 + 37 + + 31987) = 13.7 (3 + 37 + + 31987)
VËy B∶13
b, Tơng tự biến đổi:
B = (3 + 33 + 35+37 )+(39 + 311 + 315) + +(31985 + 31987 + 31989 + 31991)
= 820.(3 + 39 + +31985) = 41.20.(3 + 39 + +31985)
VËy B⋮41
Bµi 2 :
Chøng minh r»ng : 10n – 36n - 1⋮27
1) Ph©n tÝch:
Đề cho biểu thức dạng tổng quát biểu thức có 10n – để đa
vỊ ¸p dơng nhËn xÐt ë ví dụ (hiệu số tự nhiên tổng chữ số chia hết cho cho 9)
2) Hớng dẫn cách tìm lời giải:
§Ĩ chøng minh 10n – 36n – ta dùng cách tính kết cụ thể, biÕn
đổi 10n – 36n – dạng 27Q khó khăn Giáo viên nên gợi ý cho học
(15)Nhận thấy 36n tách thành 27n + 9n, nên dẫn dắt học sinh biến đổi
10n – – 9n thành bội 27 cách khai thác 10n – vµ vËn dơng nhËn xÐt
đã nêu trờn
3, Lời giải vắn tắt:
Ta cã 10n – 36n – = [(10n – – 9n] – 27n = (99 – 9n ) - 27
n
= 9(11 – n) - 27
n
Theo nhËn xÐt nªu trªn :
(11 – n) ∶3 ⇒ 9(11 – n) ∶ 27 ⇒9(11 – n) – 27n ⋮ 27
n n n 4, Khai thác toán:
Cú th thay đổi biểu thức thay đổi 27 số khác nh: 9; 36; 72 ta đợc toán dạng để học sinh luyện tập
Bµi 3:
Cho biÕt a + 4b chia hÕt cho 13 (a,b ∊ N) Chøng minh r»ng 10a + b ⋮13
1, Phân tích đề bài:
Đề cho biết a + 4b ⋮ 13 phải chứng minh 10a + b⋮13 Do cần nghĩ
ngay đến việc sử dụng giả thiết cách làm xuất tổng hiệu hai số, số chứa a + 4b, số chứa 10a + b xét tổng hiệu chúng 2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Để cho gọn ta đặt a + 4b = X, 10a + b = Y Học sinh dễ dàng thấy đợc xét tổng hiệu X Y khơng thấy xuất bội 13 Vì nhân X Y lên số lần để cho cộng hay trừ hai biểu thức xuất bội 13
Vậy cần nhân X Y với để khử số hạng a (hoặc b)? làm để xuất hệ số a (hoặc b) 13?
Giáo viên gợi ý cho học sinh thấy hệ số a X 1, Y 10 nên nhân X với 10 xét hiệu 10X – Y nhằm khử a nhân X với xét tổng 3X + Y, nhằm tạo hệ số a 13 Nếu xét hệ số b ta làm tơng tự nh vậy, từ hớng dẫn học sinh tìm đợc nhiều cách giải tốn
3, Lêi gi¶i vắn tắt:
Đặt a + 4b = X, 10a + b = Y
C¸ch 1 :
X⋮13 nªn 10X ∶ 13
10X – Y = 10(a + 4b) – (10a + b) = 39b ⋮13
Nh vËy 10X – Y ⋮13, mµ 10X ⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b⋮13
Cách 2 :
X13 nên 3X13
XÐt 3X + Y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b
Nh vËy 3X + Y ⋮13 mµ X⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b ⋮13
C¸ch 3 :
(16)Nh vËy X + 9Y⋮13 mµ X⋮13 ⇒ 9Y⋮13
Do (9; 13) = nên Y13 hay 10a + b 13
Cách 4:
XÐt 4Y – X = 4(10a + b) – (a + 4b) = 39a
Nh vËy 4Y – X ⋮13 mµ X⋮13 ⇒ 4Y⋮13
Do (4; 13) = nªn Y⋮13 hay 10a + b13
Bài 4:
Tìm số tù nhiªn n cho 4n – chia hÕt cho 13
1, Phân tích đề bài:
Khác với trên, yêu cầu tìm sè tù nhiªn n cho 4n – chia hết
cho 13 không yêu cầu chứng minh 4n - 513 Mặt khác, tập hợp bội v«
hạn nên khơng thể tìm đợc giá trị cụ thể n mà tìm đợc dạng tổng qt n
2, Híng dÉn c¸ch tìm lời giải:
Giỏo viờn gi ý cho học sinh: để tìm dạng tổng quát n phải làm cho hệ số n 1, ta thấy hệ số n biểu thức cho nên phải tìm cách đa ngồi ngoặc Do đặt câu hỏi cho học sinh phải thêm bớt tách số hạng nh để xuất thừa số chung Từ học sinh tìm đợc cách giải nh sau:
3, Lời giải vắn tắt:
- C¸ch 1:
4n – ⋮13 ⇒ 4n + – 13 ⋮13 ⇒ 4n + ⋮13 ⇒ 4(n + 2)⋮13
Do (4; 13) = ⇒ n + ⋮13 ⇒ n = 13k – (k∊N*)
- C¸ch 2:
4n – ⋮13 ⇒ 4n – + 13⋮13 ⇒ 4n + ⋮13
Từ giải tơng tự cách có n = 13k – (kN*)
Bài 5 :
Tìm số tự nhiªn n cho n2 – chia hÕt cho n2 + 2
1, Phân tích đề bài:
Khác với dạng toán, cho số mũ n nên yêu cầu phải suy nghĩ sáng tạo
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Giáo viên có thĨ gỵi ý häc sinh suy nghÜ theo híng sau:
? Số mũ n nên mn khư n2 ta lµm nh thÕ nµo?
(nh©n (n + 2) víi n råi trõ hai biĨu thøc cho nhau)
? Sau khö n2 lại làm nh nào?
(khử tiếp n nh cách thờng làm (ví dơ 17) Hc:
? H·y viÕt n2 + thành tổng (hoặc hiệu) bội n + vµ mét sè thĨ.
(17)h¹n: Muèn cã thõa sè n + tõ n2 phải thêm, bớt 2n, từ số 2n bớt muèn cã n +
2 phải bớt, thêm Từ có cách giải:
3, Lêi giải vắn tắt:
- Cách 1:
n2 + 4⋮ n + ⇒ [(n2 + 4) – n(n + 2)] ⋮ n + 2
⇒ – 2n ⋮ n + ⇒ [4 – 2n + 2(n + 2)] ⋮ n +
⇒ ⋮n + hay n + ∊ {2 ; 4; 8} (v× n + ≥ 2)
Ta cã b¶ng sau:
n + 2
n
- C¸ch 2:
n2 + = n2 – 2n – 2n – + = n(n + 2) – 2(n + 2) – 8
n2 + 4⋮n + ⇒ 8⋮ n + 2
(phần lại giải nh cách 1)
* Yêu cầu học sinh ghi nhớ dạng để sang phần phân số vận dụng vào dạng tập tìm điều kiện để phân số số tự nhiên, số nguyờn
p1 +p2
2 hợp số Bài 6:
Giả sử p1 > p2 hai số nguyên tố lẻ liên tiếp, chứng minh
1, Phân tích đề bài:
Đề cho pp1 +p2 p2 hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên ta thấy đợc
2 ∈N;p1
p22
p1 + p2 số chẵn nên
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Giáo viên cần nhắc lại cho HS : Giữa hai số lẻ có số
chẵn Mà p1, p2 hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên p1 p2 phải có
p1 +p2
2 hợp số ta chứng tá
p1 +p2
2
hợp số Từ HS thấy đợc muốn chứng minh
p1
p1 +p2
2 p2
n»m gi÷a hai sè p1 p2 tia số Nghĩa chứng tỏ
Với HS cha đợc học kiến thức bất đẳng thức nên giáo viên cần p1
p1 +p2
2 cÇn chøng minh 2p1p1+p2
híng dÉn thĨ Mn chøng minhp1 +p2
2
p2 cÇn chøng minh p1+p22p2 Muèn cã hai
Muèn chøng tá
điều phải xuất phát điều kiện toán p1 > p2
(18)p1 +p2
2 lµ sè tù nhiªn
Vì pp1 +1p , p2 hai số nguyên tố lẻ nên (p1 + p2)⋮2,
p2
Mặt khác, pp1 > p2 nên p1 + p2 > 2p2, p1 +p2
2
Vì p1 > p2 nên 2p1 > p1 + p2,
¿
p1,nªn p1 +p2
2 hợp số
p1 +p2
2 p2 ¿ Nh vËy :
Bµi :
Cho a = 123456789; b = 987654321 Tìm ƯCLN (a, b)
1, Phõn tớch bài:
Đề yêu cầu tìm ƯCLN hai số lớn nên làm theo quy tắc thông thờng Ta để ý a, b hai số khác nhng tổng chữ số chúng lại nh
2, Híng dÉn cách tìm lời giải:
Khi c bi học sinh dễ dàng nhận thấy khơng thể tìm ƯCLN (a, b) theo quy tắc thơng thờng mà tìm ƯCLN (a,b) theo thuật tốn Ơclit, địi hỏi em thật cẩn thận, xác phép tốn tìm đợc kết Do giáo viên nên khai thác đề để hớng dẫn học sinh ngồi cách dùng thuật tốn Ơclit cịn tìm cách giải khác
Trớc hết, yêu cầu em nhận xét hai số a, b, học sinh thấy a b chia hết cho Vậy cần chứng minh ƯC a, b ớc Bằng cách xét hiệu b – 8a, từ suy đợc ƯCLN (a, b)
3, Lời giải vắn tắt:
Vì a b gồm chữ số giống nên tổng chữ số nh + + + = 45 chia hết a b chia hết cho
Ta l¹i cã b – 8a = 9 nên ƯC (a, b) = d th× 9⋮d
Nh ớc chung a b ớc hay ƯCLN (a, b) =
Bµi 8:
Trong số gồm toàn chữ số 1, hÃy tìm sè nhá nhÊt chia hÕt cho 33
100
1, Phân tích đề bài: Đề u cầu tìm số nhỏ gồm tồn chữ số chia hết cho 33
100
chứ khơng đơn tìm số gồm tồn chữ số chia hết cho 33
100
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải: - Trớc hết cần viết đợc dạng số phải tìm 11 xét điều kiện để n tìm n - Muốn tìm n để 11 chia hết cho 33 cần đa 33 dạng tích hai n 100 100
thừa số nguyên tố nhau, mà tìm điều kiện n để 11 chia hết cho n hai thừa số Từ gợi ý học sinh biến đổi 33 thành tích 3.11 tìm đợc n 100 100
(19)n
Ta cã : 11 1⋮33 tøc lµ 11 1⋮3.11 ⇒11 1⋮3 ⇒ n⋮3 (1)
n 100 n 100 n
11 1⋮11 ⇒ n⋮100 (2)
n 100
Mà n số nhỏ thoả mãn điều kiện (1)và(2) Do n = BCNN(3 ;100) = 300
VËy sè phải tìm số gồm 300 chữ số 1: ( 11 1)
300
C KÕt qu¶ :
Trên tốn nâng cao điển hình vể tính chất chia hết N đợc
phân dạng, giúp HS dễ dàng việc tìm lời giải tốn giúp giáo viên làm tài liệu bồi dỡng HS khá, giỏi Qua thực tế bồi dỡng HS thấy cha áp dụng chuyên đề HS tiếp thu cịn khó khăn, sau thời gian gặp lại làm lại quên cách giải Khi áp dụng kinh nghiệm dới hình thức giảng dạy theo chuyên đề cho HS giỏi thấy kết có tới 80% HS hiểu sâu sắc chất vấn đề nên gặp toán khác em nhận dạng vận dụng cách giải linh hoạt với dạng Số lại làm tốt dạng hay gặp
Sau vài số liệu so sánh cụ thể :
Kỹ Trớc
¸p dơng ¸p dơngSau
Nhận dạng giải đợc tốn áp dụng tính
chÊt chia hÕt 40% 80%
Nhận dạng giải đợc tốn số ngun
tè, hỵp sè 30% 75%
Nhận dạng giải đợc toán ƯCLN,
BCNN 30% 75%
Nhận dạng toán vận dụng cách giải linh hoạt với
mỗi 32% 80%
Tỡm c lời giải tốn đặc biệt, có nội dung phc
hợp 10% 50%
D Bài học kinh nghiÖm :
Qua năm bồi dỡng HS giỏi, với HS giỏi lớp 6, thấy để giúp HS hiểu sâu sắc vấn đề ngồi việc nghiên cứu kỹ dạng tập, chuẩn bị cách chu đáo, giáo viên cịn cần có “nghệ thuật giảng dạy” – Ph-ơng pháp giảng dạy hợp lý Kinh nghiệm cho thấy, với tập nâng cao tính chia hết cho HS lớp cần phải hớng dẫn em cách dần dần, từ vấn đề đơn giản, bản, sau thay đổi vài chi tiết để nâng dần đến tập phức tạp Sau giáo viên cần củng cố phơng pháp giải khai thác thành tốn cách thay đổi kiện để HS tự vân dụng
Việc bồi dỡng chuyên đề giúp HS có thêm kiến thức kỹ giải tập kỳ thi HS giỏi, góp phần nâng cao chất lợng mũi nhọn nh trng
E Điều kiện áp dụng:
Để hớng dẫn HS lớp giải số dạng tập nâng cao tính chia hết N có hiệu quả, nên thực số ®iỊu kiƯn sau ®©y :
1/ Đối với học sinh: Các em cần phải nắm đợc kiến thức tình chia hết, kiến thức có liên quan, em cần có say mê, hứng thú với loại tốn chia hết có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng tập điển hình
(20)đối với HS đại trà tuỳ theo đối tợng (có thể giới thiệu dạng bản, lấy ví dụ minh hoạ đơn giản )
F Vấn đề hạn chế, bỏ ngỏ, hớng tiếp tục nghiên cứu :
Trên vấn đề toán nâng cao tính chất chia hết N,
một mảng kiến thức mà HS giỏi lớp cần nắm Kinh nghiệm đa đề cập đến đối tợng HS giỏi, cha đề cập nhiều đến đối t-ợng khác, nội dung chuyên đề cha đề cập đến mảng kiến thức tính chất chia hết Z, tập có liên quan đến dãy, phân số Đó định hớng cho việc tiếp tục nghiên cứu sau
PhÇn ba : KÕt luËn
Sau thời gian tự nghiên cứu với phơng pháp tìm đọc tài liệu tham khảo su tầm tập, ví dụ, kết hợp với thực tế giảng dạy, với kiến thức, lý luận tích luỹ Tôi cố gắng hệ thống số vấn đề xung quanh tính chất chia hết N từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt kiến thức, tập nâng cao dành cho HS giỏi Tuy nhiên với lực thời gian có hạn, tài liệu cách nhìn nhận vấn đề phơng pháp giảng dạy nh cách trình bày chắn khơng tránh khỏi thiếu sót