HỆ THỨC VIET TOÁN THCS HỆ THỨC VI ET

Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM Từ toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng tích nghiệm phơng trình bậc , học sinh có phơng tiện hệ thức Vi - ét để tính toán Hệ thøc cßn gióp häc sinh xÐt dÊu nghiƯm cđa phơng trình mà khong biết cụ thể nghiệm Giải biện luận phơng trình bậc có chứa tham số loại toán khó Tiếp tục toán thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ nghiệm , phép tính nghiệm phơng trình Việc tính nghiệm phơng trình theo công thức nghiệm vô khó khăn phơng trình chứa tham số Trong trờng hợp hệ thức Vi - ét phơng tiện hiệu giúp học sinh giải loại toán Các toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng nh thi häc kú 2, thi tun sinh vµo líp 10 , thi vào trờng chuyên lớp chọn Trong viết , hy vọng đóng góp thêm sè kinh nghiƯm híng dÉn häc sinh lµm quen tiến tới giải tốt cần áp dụng hệ thức Vi - ét A) Kiến thức : 1) Nếu phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a � ) có nghiệm phân biệt x1 , x2 tổng tích hai nghiệm là: c b S = x1  x2   a vµ P = x1.x2  a ) TÝnh nhÈm nghiÖm a ) NÕu a + b + c = phơng trình ax + bx + c = ( a c ) có nghiệm số x1  1, x2  a b ) NÕu a - b + c = phơng trình ax + bx + c = ( a � ) có nghiệm số x1 1, x2   c a ) T×m sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng NÕu sè u vµ v cã tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P u v nghiệm phơng trình bậc hai : x Sx P B ) Bài tập áp dụng tập phát triển , nâng cao ) Loại toán xét dấu nghiệm phơng trình mà không giải phơng trình Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biÕt dÊu c¸c nghiƯm ? a) x  13 x  40  b) x  x   c) x  x   Gi¶i WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM b a) Theo hệ thức Vi - Ðt cã S = x1  x2    13 a c P = x1.x2   40 a Vì P > nên nghiệm x x dấu S > nên nghiƯm cïng dÊu d¬ng b) Theo hƯ thøc Vi – Ðt cã c a P = x1.x2    nªn nghiƯm cïng dÊu b 7 nên nghiệm dấu âm a c nên nghiệm trái dấu c) P = x1.x2   a b S = x1  x2      a S = x1  x2  Bµi tập : Cho phơng trình x 10 x  m2  (1) Chøng minh r»ng ph¬ng trình có nghiệm trái dấu với giá trị m Nghiệm mang dấu có giá trị tuyệt đối lớn ? Giải Ta cã a = > , c = - m < víi mäi m � V× a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn cã nghiƯm ph©n biƯt Theo hƯ thøc Vi - Ðt : P = x1 , x2   m < Do x1 x2 trái dấu S = x1 x2 10 nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn Bài tập 3: Cho phơng trình x ( m  1) x  m  m  (1) (với m tham số) a) Giải phơng trình với m = b) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm trái dấu m c) Gọi nghiệm phơng trình cho x , x Tìm m để biÓu thøc 3 �x1 � �x2 � A  đạt giá trị lớn x2 � �x1 � Gi¶i : a) Thay m = vào phơng trình ta đợc WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM x2  x     4.(4) 17 Phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x1  x2  1 17 1 17 b)XÐt 1 3� � ac  m2  m   (m2  m  2)  (m  m   )   � (m  )  � 4 4� � 2 3 � 1� � 1� Cã � m � �� m� � P P m � � � 4 � Vậy phơng trình (1) có nghiệm trái dấu m c) Gọi nghiệm phơng trình cho x , x Từ kết phần b có x , x , biểu thức A đợc xác định với x1 x2 mäi x , x tÝnh theo m vµ ( )  0; ( )  x2 x1 x1 x � ( )3 Đặt ( ) a Với a > x1 a x2 Cã A = -a + a mang giá trị âm A đạt giá trị lớn - A có giá trị nhỏ a2  Cã – A = a + a a Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a 1 ( a > ) a a 1 ) : � a a a Cã � ( a  ) : �1 a � a �2 a (a  VËy – A nên A có giá trị nhỏ A nên A có GTLN - WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM * A  2 �  a   2 a  2 a �  a.a   2a � a  �  a  2a   � a  2a   � ( a  1) a ( thoả mãn điều kiện a > )  x1 x1 th× ( )  1 �  1 � x1   x2 x2 x2  qu¶ x1   x2 cã S  x1  x2   x2  x2   Víi a = Theo kÕt b a � (m  1)  � m 1  � m 1 * KÕt luËn : Víi m = biểu thức A đạt giá trị lớn - 2) Loại toán tính giá trÞ biĨu thøc chøa tỉng, tÝch nghiƯm x  (m  1) x  m  m Bài tập 4: Cho phơng trình : a) Chứng minh phơng trình có nghiƯm tr¸i dÊu víi mäi m b) Gäi nghiƯm x x tìm giá trị m để x12 x22 đạt giá trị nhỏ Gi¶i: a ) Ta cã a = > c   m  m    ( m  m  2)  ( m  m   ) 4 7  ( m  )  � 0 4 a, c tr¸i dÊu nên phơng trình luôn có nghiệm phân biệt với tham số m WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM c Theo hÖ thøc Vi Ðt P = x1.x2   m  m   ®ã a nghiƯm tr¸i dÊu b) Ta cã 2 x  x  ( x  x )2  x x  (m  1)  2(m  m  2) 2 = m  2m   2m  2m   3m  4m  5� 11 �2  3� m  m  � 3( m  2m   ) 3� 9 � 11 11  3(m  )  � 3 VËy Min  x12  x22   11 m = 3 Bµi tËp 5: Cho phơng trình x (m 2) x m2 Tìm giá trị dơng m để phơng trình có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nghịch đảo nghiệm Giải : Ta có a = > Phong tr×nh cã nghiƯm tr¸i dÊu � 7  m2  �  m Với điều kiện giả sö x < ,x > theo ®Ò ta cã x1  7  m �  x1 x2  � ( )  �  m2  � m2  � m  � x2 V× m > nªn ta chän m = ( thoả mãn điều kiện m 7) Kết luận : Vậy với m = phơng trình cho có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối ngịch đảo nghiệm Bài tập : Xét phơng trình : x  2(m  2)  5m   (1) víi m lµ tham sè 1) Chứng minh với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm phân biệt 2) Gọi nghiệm phơng trình (1) x1 , x2 , x3 , x4 H·y tÝnh theo m gi¸ trÞ cđa biĨu thøc M = 1 1    2 x1 x2 x3 x4 WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM Giải : 1) §Ỉt x = y ( §K : y � ) Pt (1) trë thµnh 2 y  2( m  2) y  5m   (2) 2 ,  � (m  2) � � � (5m  3)  ( m  2)  (5m  3)  m  4m   5m   m4  m2  1   4  (m2  )   ( m )  2m 3 ) �0 � ( m  ) nên 2 4 Phơng trình (2) có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – Ðt cã b 2(m  2) S  y1  y2    2( m  2) a Cã ( m  c  5m  a XÐt P  5m  cã m �۳� 5� m2  , �0 P  y1 y2  5m 3 nªn P > víi mäi m � Z � y1 , y2 cïng dÊu b  2(m  2) a 2 V× m �0 � m  �2 � 2( m  2) �4 nªn S > � y1 , y2 dấu dơng (thoả mãn ĐK y 0) Xét S y1 y2 Vậy phơng trình (2) có nghiệm phân biệt dấu dơng nên phơng trình (1) có nghiệm phân biệt đối đôi 2) Theo kết phần a có x1 , x2 , x3 , x4 �0 vµ x1  x3  M y1 , x2   y1 y2 , x4   y2 1 1    2 ( y1 ) (  y1 ) ( y2 ) (  y2 ) WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM 1 1     y1 y1 y2 y2 2   y1 y2 y1  y2  y1 y2 2( y1  y2 )  y1 y2 Thay kết S P vào M ta đợc 2.2( m  2) 4( m  2) M   5m  5m  4(m  2) KÕt luËn: M  5m Bài tập 7: Cho phơng trình x  2(m  1) x  m  ( mlà tham số) a) Chứng minh : Phơng trình ®· cho lu«n lu«n cã nghiƯm víi mäi m b) Trong trờng hợp m > x1 , x2 nghiệm phơng trình nói tìm GTLN cđa biĨu x12  x2  3( x1  x2 )  thøc A  x1 x2 Gi¶i: a)  ,   (m  1)   m  ( m  1)  m  m  2m   m  m2  m  1  m  .m   4  (m  )2  1 3 Vì (m ) nên (m  )  � 2 4 , 0m Z Phơng trình cho có nghiệm phân biệt với giá trị m WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM 2 x x2  3( x1  x2 )  b) A x1 x2 Theo kết phần a phơng trình cho có nghiệm phân biệt ¸p dơng hƯ thøc Vi – Ðt ta cã S = x1  x2  b  2m  a P = x1.x2  c m a V× P = m > nªn x2 , x2 �0 biĨu thức A đợc xác định với giá trị x1 , x2 x1 , x2 tÝnh theo m x12  x1 x2  x22  x1 x2  3( x1  x2 )  A x1.x2 ( x1  x2 )  x1.x2  3( x1  x2 )  = x1 x2 Thay S P vào biểu thức A ta đợc : (2m  2)  2m  3(2m  2)  A m 4m  8m   2m  3(2m  2)   m 2 4m  m 1 m2   4( )  4(  ) m m m m  4( m  ) m Theo bÊt dẳng thức Cô Si ( m 0và 1 ) : � m m m ( m >  0) m �2 m � m  �2 m � 4( m  ) �8 m VËy biÓu thøc A cã GTNN m Trong bất đẳng thức Cô Si dÊu b»ng x¶y � m = WWW.VNMATH.COM m Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM m2 m Với m = thoả mãn điều kiện m > m = -1 không thoả mãn điều kiƯn m > VËy víi m = th× A cã GTNN b»ng Bµi tËp : XÐt phuơng trình mx + (2m -1) x + m -2 = (1) víi m lµ tham sè a ) Tìm m để phơng trình có nghiệm x , x tho¶ m·n x12  x22  x1 x2  b) Chøng minh r»ng nÕu m tích số tự nhiên liên tiếp phơng trình có nghiệm số hữu tỉ Giải m a ) Điều kiện để m có nghiệm �  �0 � XÐt   (2m  1)  4m(m  2) m  m   m  8m  4m 1 Vậy điều kiện để phơng trình có nghiệm m m �۳ 4m m 1 � Víi ®iỊu kiƯn trªn theo hƯ thøc Vi Ðt cã S  x1  x2  b  2m  a m c m2  a m 2 A  x1  x2  x1 x2 P  x1.x2  Gäi  ( x1  x2 )  x1 x2  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2 �m �0 � ¸p dơng hƯ thøc Vi Ðt cã A = ( §K � 1 ) m� � �  2m m2 �( ) 3 4 m m WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM 4m 4m 3m   4 m2 m �  4m  4m  3m  6m  4m � � 3m  2m   � 3m2  2m   Cã a + b + c = – – = => m = ( thoả mãn điều kiện m m � ) m2 = 1 1 ( kh«ng thoả mãn điều kiện m m ) Vậy với m = phơng trình (1) cã nghiƯm x1 , x2 tho¶ 2 m·n x1  x2  x1 x2  c) Gäi n �N * ta cã m = n( n + ) tích số tự nhiên liên tiÕp ( TM§K m � ) d) Theo kÕt phần a ta có 4m  4n( n  1)   n  4n   (2n  1) phơng trình có nghiệm với m   2n   2n  ( n > )  2m    2n( n  1)  2n  1  2n  2n  2n  x1    2m 2n(n  1) 2n(2 n  1)  2n 2(1  n ) 2(1  n)(1  n)  n     2n(n  1) 2n(n  1) 2n( n  1) n  2n    2n(n  1)  2n  1  2n  2n  2n  x2    2m 2n(n  1) 2n(n  1) 2n  4n 2n(n  2) n2    2n(n  1) 2n(n  1) n 1 1 n phân số Q n n2 => x2 phân số Q n Vì n N * nên 1- n Z n N * => x1  tư n +2 �N * vµ n +1 �N * KÕt ln:Víi m lµ tÝch cđa sè tự nhiên liên tiếp phơng trình có nghiệm số hữu tỉ ) Loại toán tìm hai số biết tổng tích chúng Bài tập : Tìm hai số x y biết WWW.VNMATH.COM 10 Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM a) x + y = 11 vµ xy = 28 b) x – y = vµ xy = 66 Gi¶i : a ) Víi x + y = 11 xy = 28 theo kết hệ thức Vi ét x ,y nghiệm phơng trình x - 11x + 28 =   b  4ac = 121 – 112 = > Phơng trình có nghiệm phân biệt lµ 11  11  x1   7; x2  =4 2 VËy x = th× y = x = th× y = �x  y  �x  ( y )  �� b) Ta cã � �xy  �x ( y )  66 cã x , y nghiệm phơng trình x - 5x - 66 =   b  4ac = 25 + 264 = 289 > ,  = 17 Phơng trình có nghiệm phân biệt  17  17 x1   11; x2   6 2 VËy x = 11 y = - x = - y = 11 Bài tập 10 : Tìm hai sè x y biÕt x + y = 25 xy = 12 Giải : Ta có x + y = 25 (x + y ) - 2xy = 25 (x + y ) 2.12 = 25 (x + y ) = 49 x +y = � * Trêng hợp x + y = xy =12 Ta có x y nghiệm phơng trình x - 7x +12 =   b  4ac = 49 – 4.12 = 1 1 x1   4; x2  3 2 * Trêng hỵp x + y = - vµ xy =12 Ta cã x vµ y lµ nghiƯm phơng trình x +7x +12 = Giải phơng trình ta đợc x = -3 ; x = - cặp số x, y cần tìm (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- ; - 3) ; ( -3 ; -4) ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ tổng tích nghiệm không phụ thuộc tham số : Bài tập 11 : Cho phơng trình x - ax + a - = cã nghiÖm x1 , x2 a) Không giải phơng trình tính giá trị biểu thức WWW.VNMATH.COM 11 Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM 2 x  3x2  M  12 x1 x2 x22 x1 b) Tìm a để tổng bình phơng nghiệm số đạt GTNN ? a) M  3( x12  x22  1)  x1 x2 ( x1  x2 ) Gi¶i 3� ( x1  x2 )  x1 x2  1� � � x1 x2 ( x1  x2 ) Theo hÖ thøc Vi Ðt cã S  x1  x2  a; P  x1.x2  a  3� a  2( a  1)  1� � �  (a  1)(a  1)  2( a  1)  VËy M  a (a  1) a (a  1)  3(a  1) 3( a  1) 3( a  1)   a(a  1) a( a  1) a b) Ta cã S  x1  x2  a P  x1.x2  a  (§K : a �0, a �1 ) (1) (2) Trõ vÕ cña (1) cho (2) ta cã x1  x2  x1 x2  , biểu thức liên hệ x x không phụ thuộc vào a C) Các tập tơng tự Bài tập : Không giải phơng trình cho biết dấu nghiệm ? a) x - 6x +8 = b) 11 x +13x -24 =0 c) x - 6x + = Bµi tËp : Chøng minh với giá trị k , phơng trình a) x + kx -23 = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) 12 x +70x + k +1 = kh«ng thĨ cã nghiƯm tr¸i dÊu c) x - ( k +1)x + k = cã mét nghiÖm b»ng Bài tập : Giải phơng trình sau c¸ch nhÈm nhanh a) mx - 2(m +1)x + m + = b) (m -1) x + 3m + 2m + = c) (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = Bài tập : Cho phơng trình x - 2m + m - = a) T×m m để phơng trình có nghiệm đối Tính nghiệm b) Định m để phơng trình có nghiệm thực dơng WWW.VNMATH.COM 12 Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM Bài tập : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5 đ) Cho phơng trình x - mx +1 = ( m lµ tham số ) a) Giải phơng trình m = b) Với m = , giả sử phơng trình cho có nghiệm x1 , x2 Không giải phơng trình , tính giá trÞ cđa biĨu thøc x12  x1 x2  x22 A x1 x23  x13 x2 Híng dẫn giải: a) Với m = phơng trình trở thµnh x -5x +1 =  x2  = 21 , phơng trình có nghiệm phân biệt x1  (5  21) ,  21 b)Với m = , ta có phơng trình bËc hai : x  x   Theo hÖ thøc Vi Ðt : A S  x1  x2  vµ P  x1.x2  x12  x1 x2  x22 x1 x23  x13 x2 3( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  x1 x2 � ( x12  x22  x1 x2 )  x1 x2 � � � 3( x1  x2 )  x1 x2  x1 x2 � ( x1  x2 )  x1 x2 � � � Thay S vµ P vµo A ta đợc : 14 A Bài tập : x  2(m  1) x  2m 3m Cho phơng trình bậc Èn x : (1) a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình có nghiệm m b) Gọi x1 , x2 nghiệm phơng trình , chøng minh r»ng x1  x2  x1 x2 Hớng dẫn giải: a) Phơng trình (1) có nghiệm WWW.VNMATH.COM 13 Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM , 2   ( m  1)  (2m  3m  1) �0 �m�� m�۳ m(m 1) 0 hc m  �0 m �0 m ۣ c) Khi m �1 , theo hÖ thøc Vi Ðt cã S  x1  x2  2(m  1) P  x1.x2  2m  3m  � Q  x1  x2  x1.x2  2(m  1)  2m  3m   2m  m   m2  m 1   (m  )2  2 16 1 �m �1 �  �m  � � (m  )2 � 4 4 16 V× (m  )  �0 16 � �9 Q  �  ( m  ) �  2( m  ) 16 � � � �� )  ��� 2( m  ) V× 2(m  4 2( m ) ®ã Q Bài tập : Cho phơng tr×nh : x  x   TÝnh x1 x2  x2 x1 (Víi x , x nghiệm phơng trình) Hớng dẫn giải: 1 Theo định lý Vi Ðt ta cã x1  x2  ; x1 x2  � x1 x2  2 Ta cã A  x1 x2  x2 x1  x1 x2 ( x1  NÕu S  x1  x2 � S  x1  x2  x1 x2  Do ®ã A = x1 x2  x2  x2 )  �S  52 2 x1 52  5 2 2 Bài tập : a) Xác định m để phơng trình x 2mx m   cã nghiƯm ph©n biƯt b) Gäi nghiƯm lµ x , x , T×m GTNN cđa biĨu thøc A  x1 x2  x1  x2  Híng dÉn giải: WWW.VNMATH.COM 14 Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM , 2 a)   m  2(m  2)  m2  Phơng trình có nghiệm  m �0 ۣ m2  � 2 m m2 b)Theo định lý Vi ét cã x1  x2  m; x1 x2  Do ®ã ta cã A  x1 x2  x1  x2   (m  2)(m  3) Vì m 2; nên (m + 2)(m - 3) � 25 25 � Khi ®ã A  (m  2)(3  m)  m  m   ( m  )  4 VËy GTNN cđa A lµ 25 vµ chØ m = Bµi tËp : 1) Chứng tỏ phơng trình x  x   cã nghiÖm phân biệt x , x Lập phơng trình bËc hai cã nghiƯm lµ x12 vµ x22 2) Tìm mđể phơng trình x 2mx 2m   cã hai nghiÖm cïng dÊu Khi hai nghiệm dấu âm hay dấu dơng ? Híng dÉn gi¶i: 1)  ,   nên phơng trình có nghiệm phân biÖt S  x12  x22  ( x1  x2 )  x1 x2  42  2.1  14 P  x12 x22  ( x1 x2 ) phơng trình cần tìm x - 14x +1 = 2) Phơng tr×nh cã nghiƯm cïng dÊu � (m  1)  �0 �  ,  m  2m  �0 � �� �� �m x1 x2  2m   m� � � � Khi ®ã x1  x2 2m Suy phơng trình có nghiệm dơng Bài tập 10 : Xét phơng trình mx  (2m  1) x  m  vói m tham số a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x , x tho¶ m·n x12  x22  x1 x2  b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch hai số tự nhiên liên tiếp phơng trình có nghiệm hữu tỉ WWW.VNMATH.COM 15 Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM Đồng Hới, ngày 25 tháng 10 năm 2009 WWW.VNMATH.COM 16 Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng B×nh WWW.VNMATH.COM WWW.VNMATH.COM 17 ...Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM b a) Theo hệ thức Vi - Ðt cã S = x1  x2    13 a c P = x1.x2   40 a Vì P >... ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ tổng tích nghiệm không phụ thuộc tham số : Bài tập 11 : Cho phơng trình x - ax + a - = cã nghiÖm x1 , x2 a) Không giải phơng trình tính giá trị biểu thức WWW.VNMATH.COM... nghiệm phân biệt với tham số m WWW.VNMATH.COM Tạ Quốc Khánh - Tổ Toán - Trờng THPT Chuyên Quảng Bình WWW.VNMATH.COM c Theo hÖ thøc Vi Ðt P = x1.x2   m  m   ®ã a nghiƯm tr¸i dÊu b) Ta cã 2