PHƯƠNG TRÌNH HỆ PT TOÁN THCS HE PT DAI SO

Chun đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TĨM TẮT GIÁO KHOA I.Hệ phương trình bậc nhiều ẩn 1.Hệ phương trình bậc hai ẩn a.Dạng:  a1x + b1y = c1   a2x + b2y = c2 (I) Cách giải biết: Phép , phép cộng đại số, … b.Giải biện luận hệ phương trình: Qui trình giải biện luận Bước 1: Tính định thức a1 b1 = a1b2 - a2b1 • D= a2 b2 • Dx = c1 c2 b1 = c1b2 - c2b1 b2 a1 c1 = a1c2 - a2c1 a2 c2 Bước 2: Biện luận • Dy = (gọi định thức hệ) (gọi định thức x) (gọi định thức y) ìï D ïï x = x ï D g Nếu D ¹ hệ có nghiêm í ïï Dy ïï y = D ïỵ g Nếu D = Dx ¹ Dy ¹ hệ vơ nghiệm g Nếu D = Dx = Dy = hệ có vơ số nghiêm vơ nghiệm (nên thay giá tri cụ thể tham số vào hệ phương trình vào hệ kết luận) Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) đường thẳng a1x + b1y = c1 (d2) đường thẳng a2x + b2y = c2 Khi : Hệ (I) có nghiệm ⇔ (d1) (d2) cắt Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) (d2) song song với Hệ (I) vô số nghiệm ⇔ (d1) (d2) trùng Áp dụng: ìïï x - y =- Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: í ïïỵ x + y = ïì mx + y = m +1 Ví dụ 2: Giải biên luận hệ phương trình: ïí ïïỵ x + my = x − my = Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình  mx + y = có nghiệm (x; y) thoả mãn điều kiện x.y < ïì mx + y = Ví dụ 5: Cho hệ phương trình: ïí ïïỵ x + my = Xác dịnh tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) thoả x > y > ĐS (− < m < 0) mx + 4y = m+ Ví dụ 6: Với giá trị nguyên tham số m hệ phương trình  có nghiệm  x + my = m (x; y) với x, y số nguyên ( m = −1∨ m = −3) x + m2y = m+ Ví dụ 7: Cho hệ phương trình:  m x + y = 3− m Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiêm (x; y) cho S = x + y đạt giá trị lớn ïìï x + y + z = ïìï x - y + z =- ï ï Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: a) í x + y + z = b) í - x + y + 3z = ïï ïï ïïỵ x + y + z = ïïỵ x + y - z = I.Hệ phương trình bậc hai hai ẩn 1.Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn : Ví dụ1: Giải hệ phương trình ïì x + y = a) ïí ïïỵ x + y - xy = x − 2y = b)  2 x + 14y − 1= 4xy ìïï x + y =1 Ví dụ2 : Cho hệ phương trình í ïïỵ x - y = m Xác định giá trị m để: a Hệ phương trình vơ nghiệm ( m > 2) b Hệ phương trình có nghiêm (m = ± 2) c Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt ( m < 2) 10 2 (Chú ý: Giải pp đồ thị (C ) : x + y =1 đường tròn (d ) : x - y = m đường thẳng) 2.Hệ phương trình đối xứng: 1.Hệ phương trình đối xứng loại I a.Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x, y cho hệ phương trình khơng thay đổi b.Cách giải: Bước1: Đặt x + y = S xy = P với S ³ P ta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P Bước 2: Giả hệ tìm S, P Chọn S, P thoả mãn S ³ P Bước 3: Với S, P tìm x, y nghiệm phương trình X - SX + P = (theo định lý Viet đảo) Chú ý: Do tính đối xứng, ( x0 , y0 ) nghiêm hệ ( y0 , x0 ) nghiệm hệ Áp dụng: Ví dụ1: Giải hệ phương trình ìï xy + x + y =11 ìïï x + xy + y =  x + y + xy = −7 1) í 2)  2 3) ïí ïïỵ xy + x + y = ïïỵ x y + xy = 30  x + y − 3x − 3y = 16 ìï x y + xy = 30 ìï x + y =13 ï 4) í 5) ïí ïïỵ 3( x + y ) + xy + = ïï x + y = 35 ỵ ìï x + y = ï 7) í ïï x + y - xy = ïỵ ìï x + y = 34 8) ïí ïïỵ x + y = ìï x y + y x = ï 6) í ïï x y + xy = 20 ỵ ìï 1 ïï x + y + + = ï x y 9) ïí ïï 1 ïï x + y + + = x y ïỵ ìï x y + y x = 30 ï 10) í ïï x x + y y = 35 ïỵ 1) (0;2); (2;0) 2) (2;−3),(−3;2),(1+ 10;1− 10),(1− 10;1+ 10) 10 10 10 10 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 4) (3;−2),(−2;3),(−2 + ;−2 − ),(−2 − ;−2 + ) 2 2 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) 7) (4;4) 8) (1− 2;1+ 2),(1+ 2;1− 2) 9) (1; 3− 3+ − 3+ ),(1; ),( ;1),( ;1) 10) (9;4),(4;9) 2 2 ìï x + y =1 ï Ví dụ2: Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm: í ïï x x + y y =1 - 3m ïỵ 11  x + + y − = m Ví dụ3: Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm:  x + y = m − 4m + ém ³ ê ĐS: ê3 ê £ m£ ê ë2 2.Hệ phương trình đối xứng loại II a.Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương trình hệ b.Cách giải: gTrừ với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số g Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ Áp dụng: Ví dụ1: Giải hệ phương trình 2 2x + y = 3y − 1)  2 2y + x = 3x −  3x + y = 4)  3y + x =  ìï x + xy = 3x 2) ïí ïï y + xy = y ỵ ìï ïï y = y + ïï x2 5) í ïï x2 + ïï x = y2 ïỵ  y = x − 3x + 2x 3)   x = y − 3y + 2y  y x − 3y =  x x2 6)  y − 3x = x  y y ìï xy + x = m( y - 1) Ví dụ2: Cho hệ phương trình ïí ïï xy + y = m( x - 1) ỵ a Giải phương trình với m =1 b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (m = 8) Ví dụ3:Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: ìï x = y + x - mx ïí (m >16) ïï y = x + y - my ỵ III Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: a1x2 + b1xy + c1y2 = d1 a.Dạng:  2 a2x + b2xy + c2y = d2 b Cách giải : Cách1 2 Bước 1: Khử số hạng tự để dẫn tới phương trình: Ax + Bxy + Cy = Bước 2: Đặt x = ty , đó: g Xét y = thay vào hệ 12 g Xét Ax + Bxy + Cy = , có nghiêm t0 x = t0 y vào hệ để xét hệ với ẩn y Cách Từ hệ khử số hạng x (hoặc y ) để dẫn tới phương trình khuyết x (hoặc y ) Từ phương trình tính x(tính y) qua y(qua x) vào hai phương trình ban đầu ta có phương trình trùng phương ẩn y(hoặc y) Chú ý: Với tốn chứa tham số ta thưòng lựa chọn cách Áp dụng: Ví dụ1: Giải hệ phương trình ìï x + 3xy + y =15 3x2 + 2xy + y2 = 11 1)  2) ïí 2 ïï x + xy + y =  x + 2xy + 5y = 25 ỵ  x3 − y3 = 3)  ĐS (- 1;- 2),(2;1) xy ( x − y ) =  ìï x - xy = Ví dụ2: Cho hệ phương trình ïí ïï x + xy - y = m ỵ a) Giải hệ với m =14 ĐS (2;1),(- 2; - 1) b) Tìm m để hệ có nghiệm ĐS ( " m) IV.Các hệ phương trình khác: Ta sử dung phương pháp sau: a.Đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ïì xy - x + y =- 1) ïí ïïỵ x + y - x + y + xy = ïìï ( x - y )( x - y ) = 3) í ïïỵ ( x + y )( x + y ) =15 ìï x + y - x - y = 12 2) ïí ïïỵ x( x - 1) y ( y - 1) = 36  x2 − y2 + x − y = x2 + 1+ y(y + x) = 4y 4)  5)  2  x − x y − xy + y = (x + 1)(y + x − 2) = y  x + y + x − y = 6)  ĐS (8;8),(8;- 8) x + y = 128 b.Sử dụng phép cộng phép thế: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ìï y ( x - y ) = 3x x2 + y2 − 10x = a)  b) ïí ïïỵ x( x + y ) =10 y x + y + 4x − 2y − 20 = 13 ĐS (1;2),(2;1) c.Biến đổi tích số: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ìï x + x = y + y 1) ïí ïïỵ x + y = 3( x + y ) ìï x + x = y + y 2) ïí ïïỵ x + y = x + y + ìï 1 ïï x - = y x y 3) í ïï ïïỵ y = x +1 V Hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa giá tri tuyệt đối: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ìï x - x + y =1 ìï x + y + = ìï x + xy - y = ï ï 1) í 2) í 3) ïí ïï x + y =1 ïï x - y - = ïï x x + y y = ỵ ỵ ỵ ìï x - x ³ ïï ï 4) ïí x +1 2) b Hệ phương trình có nghiêm (m = ± 2) c Hệ phương trình có hai nghiệm phân... Đó hệ chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương trình hệ b.Cách giải: gTrừ với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số g Kết hợp phương trình. .. ïï ïï ïïỵ x + y + z = ïïỵ x + y - z = I .Hệ phương trình bậc hai hai ẩn 1 .Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn : Ví dụ1: Giải hệ phương trình ïì x + y = a) ïí ïïỵ x + y - xy = x