skkn một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN (toán thcs)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP VĨNH YÊN TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ KHAI QUANG BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Mơn : Tốn Tổ mơn: Khoa học tự nhiên Mã: 30 Người thực hiện: Nguyễn Thị Nghĩa Điện thoại: 01238980910 Email: trankhoatd123@gmail.com MỤC LỤC NỘI DUNG PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kế hoạch nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lý luận sở thực tiễn Nội dung chuyên đề Hiệu chuyên đề PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO TRANG 3 3 3 5 5 13 14 15 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong kỳ thi học sinh giỏi thi vào trường chuyên thường xuất tốn tìm nghiệm ngun Đó loại tốn đòi hỏi phản xạ nhanh, nhạy xác, suy luận lơ gích Chính giải phương trình nghiệm nguyên phát triển tốt cho trí tưởng tượng thơng minh phát triển Các tốn phương trình nghiệm ngun bậc nói chung khơng khó có phương pháp giải tổng qt Giải phương trình nghiệm nguyên bậc cao vấn đề phong phú, thường đòi hỏi vận dụng tổng hợp sáng tạo kiến thức số học đại số Để giúp học sinh có thêm phương pháp tư sáng tạo khoa học nhanh chóng tìm lời giải cho tốn giải phương trình nghiệm nguyên bậc cao số tập Tôi chọn chuyên đề “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên” Chuyên đề xin nêu lên vài phương pháp giúp giải phương trình nguyên bậc cao số trường hợp thơng qua ví dụ loại tập để từ hình thành kỹ phương pháp giải Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, giúp học sinh tìm lời giải nhanh dạng tập - Rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt, sáng tạo học tốn - Góp phần bồi dưỡng khả suy nghĩ, trí thơng minh, suy luận lơ gích để giải vấn đề Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 8, trường THCS Khai Quang 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tập giải phương trình nghiệm ngun chương trình tốn THCS Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: - Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học tốn tài liệu có liên quan đến giải phương trình nghiệm nguyên - Nghiên cứu tìm hiểu phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 4.2 Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực trạng kết học tập học sinh (Đặc biệt đội tuyển học sinh giỏi) nhằm xác định tính phổ biến nguyên nhân để chuẩn bị cho bước 4.3 Phương pháp thảo luận: Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 4.4 Phương pháp quan sát: Thông qua tiết dự giờ, thao giảng bồi dưỡng học sinh giỏi đồng nghiệp để quan sát trực tiếp tình hình học sinh tiếp thu cách khai thác xây dựng lời giải kiểu giải phương trình nghiệm nguyên 4.5 Phương pháp kiểm tra đánh giá: Khi thực chuyên đề khảo sát, so sánh kết đánh giá học sinh trước sau thực để đánh giá hiệu chuyên đề Kế hoạch nghiên cứu Thời gian nghiên cứu tháng: Từ tháng 8/2013 đến tháng 4/2014 PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lý luận: Trong thời đại giáo dục nước ta tiếp cận với khoa học đại Các mơn học đòi hỏi tư sáng tạo đại học sinh Đặc biệt mơn tốn, đòi hỏi tư tích cực học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức cách xác, khoa học đại, để giúp em học tập mơn tốn có kết tốt giáo viên phải có kiến thức vững vàng, lòng đầy nhiệt huyết biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, sáng tạo hiệu để học sinh hiểu cách nhanh nhất, dễ hiểu Chương trình tốn rộng đa dạng, em lĩnh hội nhiều kiến thức có nội dung kiến thức mà theo em suốt trình học tập tìm giá trị nguyên ẩn tham số Bậc tiểu học, học sinh gặp tốn giải phương trình nghiệm nguyên đơn giản: Tìm số tự nhiên x; y, lên lớp 6, tìm số nguyên x; y , lên lớp 8, 9: tìm nghiệm nguyên phương trình Như giải phương trình nghiệm nguyên có ứng dụng quan trọng giải tốn, đặc biệt với học sinh giỏi lớp lớp Khơng phương trình nghiệm ngun ứng dụng nhiều cho học sinh tiếp tục học tập lên lớp Cơ sở thực tiễn: Thực tế cho thấy hầu hết em học sinh lớp 8, kể học sinh đội tuyển ngại gặp phải toán giải phương trình nghiệm nguyên, em biết cách giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhiên nhìn thấy phương trình nghiệm nguyên bậc hai bậc cao hầu hết học sinh tỏ khó khăn lúng túng Ngun nhân em khơng biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải khơng biết tìm mối liên quan ẩn số liện biết để kết Mà dạng tốn thường có phần cuối đề kiểm tra đề thi học sinh giỏi Với sở mặt lý luận mặt thực tiễn nêu trên, mạnh dạn vận dụng vào thực tế giảng dạy Kết khảo sát chưa thực chuyên đề: Điểm Lớp 9A 8A Sĩ Số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém TS % TS % TS % TS % TS % 35 5,7 20,0 25,7 15 42,9 5,7 35 2,9 17,1 11 31,4 14 40,0 8,6 Nội dung chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp 1: Sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 1: Tìm tất số ngun tố x, y thỏa mãn x2 – 2y2 = (1) Giải: (1)  x2 = 2y2 + lẻ  x = 2k +  y chẵn mà y số nguyên tố nên y = 2,x=3 Ví dụ 2: Tìm số nguyên tố p để 4p + số phương Giải: Giả sử 4p + = x2  x lẻ nên x = 2n + ; n  z Khi 4p + = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n +  p = n(n + 1) chẵn Vì p nguyên tố p chẵn nên p = Vì p = 4p + số phương Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun hệ phương trình :  x  y 7 z  y 1 Giải: Từ phương trình thứ hai ta có z2 = 2y2 +  z lẻ Đặt z = 2t + z2 = 4t2 + 4t + hay y2 = 2t2 + 2t  y chẵn Mặt khác từ phương trình ta có: 2(k2 + k – 2n3) = Điều khơng thể xảy vế trái đẳng thức số lẻ, vế phải số chẵn nên hệ vô nghiệm Bài tập áp dụng: Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y  1 x  y  x  x = 105 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 = 2y2 Giải phương trình tập số nguyên tố: xy + = z Tìm điều kiện cần đủ cho số k để phương trình x2 – y2 = z có nghiệm nguyên Phương pháp 2: Phương pháp phân tích Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 – y3 = 3xy + Giải: Ta có đẳng thức: a3 + b3 + c3 – 3abc = ( a+ b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) Phương trình cho viết lại thành: x3 + (-y)3 + (-1)3 – 3x(-y)(-1)  (x – y – 1)(x2 + y2 + + xy + x – y) = a) x – y – =  x = y + b) x2 + y2 + + xy + x – y = Coi phương trình bậc hai x ta có:  = (y + 1)2 – 4(y2 – y + 1) = -3y2 + 6y – = -3(y – 1)2     ( y  1) Để phương trình có nghiệm    y = 1; x = = -1 Tóm lại phương trình cho có nghiệm nguyên:  x  ; y 1  x k  y k  Với k z Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 – 4xy + 5y2 = 16 Giải: Phương trình tương đương với: (x – 2y)2 + y2 = 16 = 42 + (Số 16 tổng hai số phương 42 0) Do  x  y 4 Hoặc y 0  x  y 0 y 4 Vậy phương trình có nghiệm: (4;0), (-4;0), (8;4) (-8; -4) Bài tập áp dụng: Tìm nghiệm nguyên: a) x + y = xy b) p(x + y) = xy với p nguyên tố Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: 3x3 – xy = Giải phương trình sau tập số nguyên a) 3x2 + 10xy + 8y = 96 b) 2x2 + xy – y2 – = c) x2 + x – y2 = d) x2 – y2 = 91 Phương pháp 3: Phương pháp cực hạn ( Thường sử dụng cho phương trình đối xứng nên vai trò ẩn nên giả thiết  x y z …) Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: x + y + z = xyz (1) Giải : Vì x, y, z có vai trò nên ta giả sử x y z Từ (1) suy = 1     x 3 xy yz zx x  x = thay x = vào (1) ta + y + z = yz  (y – 1)(z -1) = = 1.2  y = 2; z = ( y – z – 1) Vậy (1) có nghiệm ngun hốn vị (1; 2; 3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: x3 + 7y = y3 + 7x Giải: Phương trình cho tương đương với (x – y)(x2 + xy + y2 – 1) =  x = y x2 + xy + y2 = Nếu x  y từ x2 + xy + y2 =  (x – y)2 = – 3xy >  xy <  x = ; y = x = 2; y = Vậy nghiệm nguyên phương trình là: (1;2) ; (2,1); (n,n); n  z Bài tập áp dụng: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a) x + y + z + t = xyzt b) x + y + z + = xyz c) x + y + = xyz d) 1   =1 x y z Tìm nghiệm nguyên dương 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt Phương pháp 4: Phương pháp loại trừ Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình: x6 + 3x3 + = y4 Giải: Rõ ràng với x = 0, y = 1 nghiệm phương trình ta chứng minh hai nghiệm nguyên * Với x > (x3 + 1)2 = x6 + 2x3 + < x6 + 3x3 + = y4 (x3 + 2)2 = x6 + 4x3 + > x6 + 3x3 + = y4  x3 + < y2 < x3 + ( vô lý) * Với x -2 (x3 + 2)2 < x6 + 3x3 + = y4< x6 + 2x3 + = (x3 +1)2  x  < y2 < x  (vô lý) * Với x= -1 y4 = -1 vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm (0;1) ( 0; -1) Ví dụ 2; Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 1! + 2! + …+ x! = y2 Giải: *Với x  x!  10 nên 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + …+ x! = 33 + 5! + …x! tận khơng có số phương có số phương tận Vậy với x  phương trình khơng có nghiệm ngun * Với x< phương trình có nghiệm ngun x= 1, y= x= 3, y= Bài tập áp dụng: Giải phương trình tập số nguyên x2 – 6xy + 13y2 = 100 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 Giải phương trình tập số nguyên (x – 2)4 – x4 = y3 Giải phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Phương pháp 5: Dùng chia hết chia có dư (Thường dùng để chứng minh phương trình khơng có nghiệm ngun cách chứng minh hai vế chia cho số có số dư khác nhau) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – 2y2 = Giải: * Nếu x  từ 2y2 = x2 –  y  x2 – 2y2  25 vơ lý * Nếu x khơng  y khơng 5 số ngun x chia cho dư 1, 2  x2  1 (mod 5)  x2 – 2y2  3 (mod 5) Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Phương trình 19x2 + 28y2 = 729 có nghiệm ngun hay khơng? Giải: Phương trình cho viết thành: (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 Vì 729 chia hết cho 3, 18x2 + 27y2 chia hết cho Vậy x2 + y2 chia hết cho từ rõ ràng x 3, y 3 Đặt x = 3u y = 3v( u, v số nguyên) thay vào phương trình đầu ta có: 19u2+ 28v2 = 81 Lập luận tương tự ta có u, v chia hết lại có u = 3t, v= 3s từ ta lại có 19t2 + 28s2 = Tương tự: t = 3q; s = 3r ta đến 19q2 + 28r2 = Phương trình khơng có nghiệm ngun Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun Ví dụ 3: Tìm chữ số x, y, z thỏa xyz  xzy  zzz (1) Giải: Ta có (1)  100x + 10y + z + 100x + 10z + y = 111z  200x + 11y = 100z  100(z – 2x) = 11y  100  y = z = 2x  z = 2, 4, 6, Ứng với x = 1, 2, 3, ta có số 102, 204, 306, 408 thỏa mãn (1) Bài tập ứng dụng: Giải phương trình tập hợp số nguyên a) x2 – 3y2 = 17 b) x2 – 5y2 = 17 Chứng minh phương trình 15x2 – 7y2 = khơng có nghiệm ngun Giải phương trình tập số nguyên x14  x24   x74 1982 Chứng minh phương trình: 4x2 + y2 + 9z2 = 71 khơng có nghiệm ngun Phương pháp 6: Sử dụng tính chất nguyên tố Tính chất 1: Với số nguyên a, số a2 + khơng có ước ngun tố dạng 4k + Tính chất 2: Cho p số nguyên tố dạng 4k + ( a, b  z) Nếu a2+ b2 p a p b p Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình: x2 – y3 = Giải: x2 – y3 =  x2 + = + y3 = (y + 2)(y2 – 2y + 4) * Nếu y chẵn x2 +   x2 3 (mod 4) vơ lý Nếu y lẻ y2 – 2y + = (y – 1)2+ có dạng 4k = nên phải có ước có dạng Do x2 + có ước số nguyên tố dạng 4k + vơ lý Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Giải phương trình tập số nguyên x2 + 2x + 4y2 = 37 Giải: Ta có: x2 + 2x + 4y2 = 37  (x + 1)2 + (2y)2 = 38 19 ( dạng 4k + 3)  x + 19 2y  19  (x + 1)2 + (2y)2 192 ( vơ lý) Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 3: Chứng minh phương trình: 4xy – x – y = z2 khơng có nghiệm nguyên dương Giải: Ta có: 4xy – x – y = z2  (4x – 1)(4y – 1) = (2z)2 + Số 4x – nguyên, dương  có dạng 4k + nên có ước nguyên tố dạng 4k + nên phương trình cho khơng có nghiệm ngun, dương Bài tập áp dụng: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: a) 4xy – y + 4x – = 9x2 b) x2y2 – y2 – 2y = = Tìm nghiệm nguyên, dương hệ:  x 13 y z 13 x  y t Phương pháp 7: Phương pháp xuống thang Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình: x3 – 3y3 – 9z3 = Giải: Giả sử (x0, y0, z0) nghiệm nguyên phương trình, x0 3 Đặt x0 = 3x1 3 thay vào phương trình ta được: 9 x1  y  z1 0  y0  Đặt y0 = 3y1 đó: x13  27 y13  z03 =  x13  y13  z03 =  z0 3 Đặt z0 = 3z1 Thay z0 = 3z1 3 vào 3x1  y1  z0 = ta được: x13  y13  z13 Vậy phương trình có nghiệm ngun (0; 0; 0) Ví dụ 2: Giải phương trình nguyên: 8x4 – 4y4 + 2z4 = t4 Giải: Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0, y0, z0, t0) t0 = 2t1 phải chẵn 4 4 Thay t vào phương trình cho được: x0  y0  z0 8t1  z0 2 4 4 Đặt z0 = 2z1 nên x  y  z1 4t1  y0 2 4 4 Đặt y0 = 2y1 nên x  y1  z1  2t1  x0 2 Đặt x0 = 2x1 nên x14  y14  z14 t14 x y z t  Như  ; ; ;  nghiệm phương trình  2 2  x0 y z t  Quá trình tiếp tục số:  k ; k ; k ; k  số nguyên với k nguyên 2 2  Vậy phương trình cho có nghiệm ngun (0; 0; 0; 0) Bài tập áp dụng: Giải phương trình tập số nguyên 10 a) x3 – 2y3 – 4z3 = b) x2 + y2 + z2 + t2 = 2xyzt Tìm nghiệm nguyên a) x2 + y2 + z2 = 2xyz b) x3 + 2y3 = 4z3 Phương pháp 8: Dùng bất đẳng thức Bất đẳng thức Cosi: a1  a2   an  a1.a2 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 =…= an Bất đẳng thức Bunhiacopxky Cho 2n số thực a1, a2= , an; b1, b2, , bn Ta có: ( a1b1+ a2b2 + + anbn)2   a12  a 22   a n2 b12  b22  bn2  Dấu “=” xảy a1= kbi; i = 1, 2, , k số thực xy yz zx Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương: z  x  y 3 (1) Giải: Áp đụng bất đẳng thức Côsi ta có: 4  x y z 3 xyz xyz 3xyz = x y + y z + z x  xyz 1  x = y = z = Vậy (1) có nghiệm nguyên, dương (1;1;1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) Giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky (x = y + 1)2  (x2 + y2 + 1)(12 + 12 + 12) = 3(x2 + y2 + 1) Dấu “=” xảy x = y = Giải cách khác: Phương trình cho tương đương với: xy + x + y = x2 + y2 +  ( x2 + y2 – 2xy) + (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) =  (x – y)2 + (x – 1)2 + (y – 1)2  x=y=1 Bài tập áp dụng: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2z = x2 + y2 + z2 = xy + 3y + 2z – x  y   z    x  y  z  Phương pháp 9: Áp dụng tính chất số Ví dụ 1: tồn hay khơng số tự nhiên x, y, z cho: x2 + y3 + z4 = 28713 Giải: Bởi vì: 22 + 33 + 43 = 287 nên 28713 = 22.28712+ 33 28712 + 44 28712 = (2.287)2 + ( 3.2874)3 + (4.2873)4 Vậy x = 2.2876 , y = 3.2874 , z = 4.2873 2 2 2 11 Ví dụ 2: Tìm só ngun khác cho tổng hai số chúng bình phương số ngun Giải: Ta có hệ phương trình 10 ẩn số:      x  y a x  z b x  t c y  z d y  t e z  t f Suy a2 + f2 = b2 + e2 = c2 + d2 Theo tính chất số ta số có dạng ba tổng bình phương số số 625 = 02+ 252 = 72 + 242 = 202 + 152 Suy :    x  y 0 x  z 49 x  t 400 y  z 225 y  t 576 z  t 625 Giải hệ phương trình ta có: x = -88; y = 88; z = 137; t = 488 Ví dụ 3: Tồn hay không số tự nhiên lẻ khác k, l m thỏa mãn đẳng thức: 1 1    1991 k l m 1 1    1991 x 11 x 181x 1 1  x = 2183 ta có :    1991 2183 24013 395123 Từ số k = 2183; l = 24013; m = 395123 thỏa mãn đẳng thức cho 1 1    Ngoài tồn tại: 1991 2123 3493 384263 1   = 2353 13937 181181 1   = 3077 5973 101541 Bài tập áp dụng: Giải: Vì 1991 = 11.181 nên Tìm số tự nhiên thỏa mãn: 1 1    m n 1996 Tồn số tự nhiên x, y cho : x3 + y3 = 4684 Tìm số : a) xyz cho xyz = x3 + y3 +z3 a) xyzmnt cho xyzmnt = x6 + y6 + + t6 Hiệu thực chuyên đề: 12 Tôi thực nghiên cứu với học sinh lớp 9A, 8A năm học 2012-2013 Đầu năm học, đưa loại tốn giải phương trình nghiệm ngun thấy có nhiều học sinh làm yếu, cụ thể qua khảo sát lần I, chưa thực chuyên đề mà đưa lúc đầu: Điểm Lớp 9A 8A Sĩ Số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém TS % TS % TS % TS % TS % 35 5,7 20,0 25,7 15 42,9 5,7 35 2,9 17,1 11 31,4 14 40,0 8,6 Kết khiến băn khoăn, trăn trở thực giải pháp cách dạy cho em cách tư số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc cao thông qua giảng dạy nhận thấy phần lớn em có hứng thú gặp tốn giải phương trình nghiệm ngun, em khơng thấy ngại sợ toán dạng Một số em giỏi tìm số cách giải hay ngắn gọn, phù hợp Tuy bên cạnh kết đạt số học sinh học yếu, lười học, chưa có khả giải tồn dạng tập Đối với em phần khả học tốn em hạn chế nên cần cố gắng em Cụ thể kết đạt kiểm tra cuối kỳ II sau: Điểm Lớp 9A 8A Sĩ Số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém TS % TS % TS % TS % TS % 35 11,4 11 31,4 15 42,9 14,3 0 35 5,7 12 34,3 17 48,6 11,4 0 Kết cho thấy em có tiến nhiều 13 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Như từ loại tốn khó, kết hợp phương pháp truyền thụ giáo viên chăm luyện rèn học sinh xây dựng cho học sinh số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Từ hình thành phát triển lực tư sáng tạo, kỹ phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, xác, tính kiên trì linh hoạt vận dụng kiến thức học vào giải tốn cho học sinh Giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán đặc biệt phát huy lực tư sáng tạo gặp dạng tốn khó Từ chỗ ngại lúng túng gặp tốn giải phương trình nghiệm nguyên phần lớn em tự tin hơn, biết vận dụng kỹ bồi dưỡng để giải tập mang tính phức tạp qua cho thấy tính ứng dụng cao số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Hy vọng chuyên đề nhỏ góp thêm số kinh nghiệm bổ ích cho bạn đồng nghiệp Trong viết chuyên đề “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun” tơi khơng tránh khỏi thiếu xót nội dung chuyên đề chưa thực phong phú Rất mong nhận ý kiến phê bình, đóng góp cấp bạn đồng nghiệp để chuyên đề hồn thiện có hiệu Tơi xin chân thành cảm ơn! Vĩnh Yên, ngày 18 tháng năm 2013 Người viết chuyên đề Nguyễn Thị Nghĩa 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao chuyên đề đại số 8; Toán nâng cao phát triển đại số 8; Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8; Báo toán tuổi thơ 15 ĐÁNH GIÁ CHUYÊN ĐỀ CỦA HĐKH A ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ * Ý kiến nhận xét: a Chấm điểm Phần 1: Phần 2: Phần 3: Tổng điểm: b Xếp loại: Đạt loại: Khai Quang, ngày tháng năm 2013 Tổ trưởng 16 ĐÁNH GIÁ CHUYÊN ĐỀ CỦA HĐKH A ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG NHÀ TRƯỜNG THCS KHAI QUANG * Ý kiến nhận xét: a Chấm điểm Phần 1: Phần 2: Phần 3: Tổng điểm: b Xếp loại: Đạt loại: Khai Quang, ngày tháng năm 2013 CT-HĐKH 17 ĐÁNH GIÁ CHUYÊN ĐỀ CỦA HĐKH A.ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ VĨNH YÊN * Ý kiến nhận xét: a Chấm điểm Phần 1: Phần 2: Phần 3: Tổng điểm: b Xếp loại: Đạt loại: Khai Quang, ngày tháng năm 2013 CT-HĐKH 18 19 ... giải phương trình nghiệm ngun bậc cao số tập Tôi chọn chuyên đề Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Chuyên đề xin nêu lên vài phương pháp giúp giải phương trình nguyên bậc cao số. .. thức số lẻ, vế phải số chẵn nên hệ vơ nghiệm Bài tập áp dụng: Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y  1 x  y  x  x = 105 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 = 2y2 Giải phương trình tập số nguyên. .. tận khơng có số phương có số phương tận Vậy với x  phương trình khơng có nghiệm ngun * Với x< phương trình có nghiệm ngun x= 1, y= x= 3, y= Bài tập áp dụng: Giải phương trình tập số nguyên x2 –