Vì nghiệp giáo dục - Vì 1nghiệp trồng ngời Năm học 2011 - 2015 Hệ thống kiến thức Học Môn : Hình Học - THCS Website: http://quanghieu030778.violet.vn Điểm - Đờng thẳng - Ngời ta dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm - Bất hình tập hợp điểm Một điểm hình - Ngời ta dùng chữ thờng a, b, c, m, p, để đặt tên cho đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ in hoa dùng hai chữ thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ) - Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C nằm đờng thẳng a đờng thẳng a qua điểm C), kí hiệu là: Ca - Điểm M không thuộc đờng thẳng a (điểm M nằm đờng thẳng a đờng thẳng a không qua điểm M), kí hiệu là: M a Ba điểm thẳng hàng - Ba điểm thuộc đờng thẳng ta nói chúng thẳng hàng - Ba điểm không thuộc đờng thẳng ta nói chúng không thẳng hàng Đờng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song - Hai đờng thẳng AB BC nh hình vẽ bên hai đờng thẳng trùng - Hai đờng thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung đợc gọi giao điểm (điểm E giao điểm) - Hai đờng thẳng điểm Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng chung nào, ta nói chóng song song víi nhau, kÝ hiƯu xy//zt Kh¸i niƯm vỊ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng - Hình gồm điểm O phần đờng thẳng bị chia điểm O đợc gọi mét tia gèc O (cã hai tia Ox vµ Oy nh hình vẽ) - Hai tia chung gốc tạo thành - Hai tia chung gốc tia nằm đờng thẳng đợc gọi hai tia tia đợc gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy trùng hình vẽ hai tia đối nhau) - Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trùng Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng - Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B - Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ - Hai điểm A B hai mút (hoặc dài đoạn thẳng số dơng hai đầu) đoạn thẳng AB Khi AM + MB = AB ? - Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngợc lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Trung điểm đoạn thẳng - Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách A, B (MA = MB) - Trung ®iĨm M cđa đoạn thẳng AB gọi điểm đoạn thẳng AB Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối - Hình gồm đờng thẳng a phần mặt phẳng bị chia a đợc gọi nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đợc gọi hai nửa mặt phẳng đối (hai nửa mặt phẳng (I) (II) đối nhau) Góc, góc bẹt Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì 3nghiệp trồng ngời - Góc hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung hai tia gọi đỉnh góc, hai tia hai cạnh góc - Góc xOy kí hiệu xOy O xOy - Điểm O ®Ønh cđa gãc - Hai c¹nh cđa gãc : Ox, Oy - Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối 10 So sánh hai góc, góc vuông, góc nhọn, góc tù - So sánh hai góc cách so sánh số đo chúng - Hai góc xOy uIv đợc kí hiệu là: xOy = uIv - Góc xOy nhỏ góc uIv, ta viÕt: xOy < uIv uIv > xOy - Góc có số đo 900 = 1v, góc vuông - Góc nhỏ góc vuông góc nhọn - Góc lớn góc vuông nhng nhỏ góc bẹt góc tù 11 Khi xOy + yOz = xOz - NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox Oz xOy + yOz = xOz - Ngợc lại, xOy + yOz = xOz tia Oy nằm hai tia Ox Oz 12 Hai gãc kỊ nhau, phơ nhau, bï nhau, kỊ bï - Hai gãc kỊ lµ hai gãc có cạnh chung hai cạnh lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung - Hai góc phụ hai góc cã tỉng sè ®o b»ng 900 - Hai gãc bï hai góc có tổng số đo 1800 - Hai góc vừa kề nhau, vừa bù đợc gọi hai góc kề bù Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông Năm học 2011 - 2015 Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i Dơng 13 Tia phân giác góc - Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc b»ng - Khi: xOz + zOy = xOy vµ xOz = zOy => tia Oz tia phân giác góc xOy - Đờng thẳng chứa tia phân giác góc đờng phân giác góc (đờng thẳng mn đờng phân giác góc xOy) 14 Đờng trung trực đoạn thẳng a) Định nghĩa: Đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm đợc gọi đờng trung trực đoạn thẳng b) Tổng quát: a A a ®−êng trung trùc cña AB B I a ⊥ AB I IA =IB 15 Các góc tạo đờng thẳng cắt hai đờng thẳng a) Các cặp góc so le trong: A1 B3 ; A B2 b) Các cặp góc đồng vị: A1 vµ B1 ; A vµ B2 ; A vµ B3 ; A vµ B4 c) Khi a//b thì: A1 B2 ; A B3 gọi cặp góc phía bù a A 2B 41 b 16 Hai đờng thẳng song song Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - V× sù 5nghiƯp trång ng−êi a) DÊu hiƯu nhËn biết - Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b góc tạo thành có cỈp gãc so le b»ng (hc mét cỈp góc đồng vị nhau) a b song song với b) Tiên đề Ơ_clít - Qua điểm đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng c a b M b a c, Tính chất hai đờng thẳng song song - Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song th×: Hai gãc so le b»ng nhau; Hai góc đồng vị nhau; Hai góc phía bù d) Quan hệ tính vuông góc với tính song song - Hai đờng thẳng phân biệt c vuông góc với đờng thẳng thứ ba chóng song song víi a ⊥ c => a / / b b ⊥ c - Mét ®−êng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng song song vuông góc với đờng thẳng Năm học 2011 - 2015 b a c b a c ⊥ b => c ⊥ a a / / b e) Ba đờng thẳng song song - Hai đờng thẳng phân biệt song song với đờng thẳng thứ ba chúng song song với a//c b//c => a//b Tài liệu Ôn thi vào Trung häc Phỉ th«ng a b c Tr−êng THCS Hång Hng - Gia Lộc hải Dơng 17 Góc tam giác a) Định nghĩa: Góc tam giác góc kề bù với góc tam giác b) Tính chất: Mỗi góc tam giác tổng hai góc không kề với nã A B 18 Hai tam gi¸c b»ng a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tơng ứng nhau, góc t−¬ng øng b»ng A B ∆ABC = ∆A ' B 'C ' AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C ' ⇔ A = A '; B = B '; C = C ' A' C C B' b) Các trờng hợp hai tam giác *) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh A (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác b»ng NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B ' AC = A 'C ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.c.c) BC = B 'C ' x C ACx = A + B B C A' B' C' Ng−êi viÕt - Gi¸o viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì 7nghiệp trồng ngời *) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác Năm học 2011 - 2015 A B NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B ' B = B ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.g.c ) BC = B 'C ' C A' C' B' *) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) A - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: B = B' BC = B 'C ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(g.c.g ) C = C' C B A' C' B' c) Các trờng hợp hai tam giác vuông Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' Trờng hợp 2: Nếu cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông hai giác vuông Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng B B' A C A' C' Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông b»ng B B' A C A' C' 19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn ABC : Nếu AC > AB th× B > C A B C Trong mét tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn ABC : Nếu B > C AC > AB 20 Quan hệ đờng vuông góc đờng xiên, đờng xiên hình chiếu Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên - LÊy A ∉ d, kỴ AH ⊥ d, lÊy B d B H Khi : Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì 9nghiệp trồng ngời Năm học 2011 - 2015 - Đoạn thẳng AH gọi đờng vuông A góc kẻ từ A đến đờng thẳng d - Điểm H gọi hình chiếu A đờng thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đờng xiên kẻ từ A đến đờng thẳng d d - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu B H đờng xiên AB đ.thẳng d Quan hệ đờng xiên đờng vuông góc: Trong đờng xiên đờng vuông góc kẻ từ điểm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc đờng ngắn Quan hệ đờng xiên hình chiếu: Trong hai đờng xiên kẻ từ điểm nằm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, thì: Đờng xiên có hình chiếu lớn lớn Đờng xiên lớn có hình chiếu lớn Nếu hai đờng xiên hai hình chiếu ngợc lại, hai hình chiếu hai đờng xiên 21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong mét tam gi¸c, hiƯu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại VD: AB - AC < BC < AB + AC Tµi liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng 21 Tính chất ba đờng trung tuyến tam giác - Ba đờng trung tuyến tam giác A qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đờng F trung tuyến ®i qua ®Ønh Êy: GA = GB = GC = DA EB FC B C D G lµ trọng tâm tam giác ABC 22 Tính chất ba đờng phân giác tam giác - Ba đờng phân giác A tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác - Điểm O tâm đờng tròn nội tiếp tam gi¸c ABC E G O C B 23 TÝnh chất ba đờng trung trực tam giác - Ba ®−êng trung trùc cđa mét tam A gi¸c cïng ®i qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác O - Điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC C B 24 Đờng trung bình tam giác, hình thang a) Đờng trung bình tam giác Định nghĩa: Đờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Định lí: Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh A DE đờng trung bình cđa tam gi¸c D DE / / BC, DE = BC B E C Ng−êi viÕt - Gi¸o viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì sự69 nghiệp trồng ngời Năm học 2011 - 2015 ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiÖm a ' x + b ' x + c ' = (a ' ≠ ) Trõ vÕ víi vÕ cđa hai phơng trình hệ ta có phơng trình dạng: A(m).x = B(m) +) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình cã nghiƯm chung hay kh«ng ? B(m ) (chøa tham sè) Thay vµo mét A(m ) +) NÕu A(m ) => x = hai phơng trình ta rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay không ? +) Nếu A(m ) ≠ => x = B(m ) (kh«ng chøa tham số), kết luận A(m ) nghiệm chung hai phơng trình Thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta rút giá trị m Kết luận: ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, nghiệm chung ? *) Cách 2: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình ax + bx + c = => m = A(x) a ' x + b ' x + c ' = => m = B(x) Ta có: A(x) = B(x) Giải phơng trình ta đợc nghiệm chung hai phơng trình, sau thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta tìm đợc giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra Cách 3: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình ta rút m theo x vào phơng trình kia, đợc phơng trình ẩn x; từ phơng trình ta tìm đợc nghiệm chung, sau tìm m = ? Dạng 21: Chứng minh hai phơng trình bậc hai ẩn có phơng trình có nghiệm Cho hai phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ ) vµ a ' x2 + b ' x + c ' = (a ' ≠ ) Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chøa tham số Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ th«ng 69 Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – hải Dơng Chứng minh hai phơng trình có nghiệm Phơng pháp: Cách 1: Gọi , lần lợt biệt thức hai phơng trình Ta cần chứng minh +) + => ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ hc ∆1 , ∆2 ≥ +) ∆1 ∆2 ≤ => ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ VËy hai phơng trình có nghiệm Cách 2: Chứng minh phản chứng Giả sử hai phơng trình vô nghiệm Khi < 0, ∆2 < Ta lËp ln dÉn ®Õn ®iỊu vô lí => phải có hai biệt thức không âm Vậy có hai phơng trình có nghiệm Dạng 22: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình tơng đơng - Lí thuyết chung: Hai phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm *) Dạng 22.1: Hai phơng trình bậc Tìm nghiệm hai phơng trình theo tham số cho hai nghiệm nhau, từ tìm đợc giá trị tham số để hai phơng trình tơng đơng *) Dạng 22.2: Hai phơng trình bậc hai ẩn Xét hai trờng hợp Trờng hợp1: Hai phơng trình có nghiệm chung Trớc hết tìm giá trị tham số để hai phơng trình có nghiệm chung sau thay giá trị tham số vào hai phơng trình tìm tập nghiệm chúng Nếu tập nghiệm hai phơng trình tơng đơng => giá trị tham số ∆1 < ∆2 < Tr−êng hợp 2: Hai phơng trình vô nghiệm => Giá trị tham số Đặc biệt: Nếu nhận thấy hai phơng trình có hai nghiệm ( ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ ) => Hai phơng trình tơng đơng hai nghiệm phơng trình hai nghiệm phơng trình kia, ®ã ta cã thĨ ¸p dơng vi - Ðt cho hai phơng trình tìm tham số Cụ thể ta cã: x1 + x2 = − b = − b' ;x1 x2 = c = − c' => m = ? a a' a a' Dạng 23: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Năm học 2011 - 2015 Vì nghiệp giáo dục - Vì sự71 nghiệp trồng ngời 23.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình Cho phơng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm x = x1 Cách giải: Bớc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn tham số 23.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phơng trình Cho phơng tr×nh ax2 + bx + c = (1) (a ≠ 0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2 C¸ch 1: B−íc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng ax1 + bx1 + c = tr×nh: ax + bx + c = Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn tham số Cách 2: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm b x1 + x = a B−íc 2: Theo Vi - Ðt x x = c a B−íc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ giải ta đợc giá trị tham số Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn dơng luôn âm với x Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) f(x) = a( x2 + b x + c ) = a x + b a ( a ( +) NÕu ∆ < => x + b 2a ) 2a ) − ∆ 4a 2 − b − 4ac 4a b − ∆ = a x + 2a 4a ( ) > Khi ®ã f(x) cïng dÊu với hệ số a, ta có trờng hợp sau a > ∆ < f(x) > 0, ∀x a < ∆ < f(x) < 0, ∀x a > ∆ ≤ f(x) ≥ 0, ∀x a < ∆ ≤ f(x) ≤ 0, ∀x +) NÕu ∆ = => f ( x ) = a( x + b )2 2a Tài liệu Ôn thi vào Trung häc Phỉ th«ng 71 Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Lộc hải Dơng => f(x) dấu với hƯ sè a, trõ tr−êng hỵp x = − b 2a Khi x = − b th× f(x) = 2a VII Giải toán cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình Lí thuyết chung Các bớc giải toán cách lập phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình - Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số; - Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đà biết; - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng Bớc 2: Giải phơng trình Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Các bớc giải toán cách lập hệ phơng trình Bớc 1: Lập hệ phơng trình - Chọn hai ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho chúng; - Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đà biết; - Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng Bớc 2: Giải hệ hai phơng trình nói Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Phân dạng tập chi tiết Dạng 1: Toán chuyển động - Ba đại lợng: S, v, t S S - Quan hÖ: S = vt; t = ; v = (dùng công thức S = v.t từ tìm mối v t quan hệ S , v t) - Chú ý toán canô : Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthực Vnớc Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì sự73 nghiệp trồng ngời Năm học 2011 - 2015 *) Toán gặp cần ý đến tổng quÃng đờng thời gian bắt đầu khởi hành *) Toán đuổi kịp ý đến vận tốc quÃng đờng đợc đuổi kịp Dạng 2: Toán quan hệ số ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c §iỊu kiƯn: < a ≤ 9; ≤ b, c ≤ (a, b, c Z ) Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng, suất *) Bài toán làm chung, làm riêng: + Qui ớc: Cả công việc đơn vị + Tìm đv thời gian đối tợng tham gia toán thực đợc phần công việc + Công thức: Phần công việc = Thời gian + Số lợng công việc = Thời gian Năng suất *) Bài toán suất: + Gồm ba đại lợng: Tổng sản phẩm ; st; thêi gian + Quan hƯ: Tỉng s¶n phÈm = Năng suất Thời gian; => Thời gian = Tổng sản phẩm ; Năng suất = Tổng sản phẩm Năng suất Thời gian Dạng 4: Toán diện tích Dạng 5: Toán có quan hệ hình học Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm phân VIII Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng hạng tử đa thức có nh©n tư chung Cơ thĨ: AB + AC + AD = A(B + C + D) b) C¸c b−íc tiÕn hành: Bớc 1: Phát nhân tử chung đặt nhân tử chung dấu ngoặc Bớc 2: Viết hạng tử ngoặc cách chia hạng tử đa thức cho nhân tử chung Phơng pháp 2: Dùng đẳng thức Tài liệu Ôn thi vào Trung häc Phỉ th«ng 73 Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Lộc hải Dơng a) Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức đợc dùng hạng tử đa thức có dạng đẳng thức b) Các đẳng thức quan träng 1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a + a.b + b = ( a + b)2 2 (a,b ≥ 0) 2) a - 2ab + b = (a - b) a − a.b + b = ( a − b)2 (a,b ≥ 0) 3) a – b = (a + b).(a – b) 4) a − b = ( a + b).( a − b) (a,b ≥ 0) 2 3 5) a + 3a b + 3ab + b = (a + b) a3 + 3a b + 3b a + b3 = ( a + b)3 2 6) a - 3a b + 3ab - b = (a - b) (a,b ≥ 0) a3 − 3a b + 3b a − b3 = ( a − b)3 3 (a,b ≥ 0) 7) a + b = (a + b)(a − ab + b ) a a + b b = a3 + b3 = ( a + b)(a − ab + b) n n n-1 a + b =(a + b)(a 3 n-2 n-2 - a b + - ab (a,b ≥ 0) n-1 + b ) víi n lỴ 8) a − b = (a − b)(a + ab + b ) a a − b b = a3 − b3 = ( a − b)(a + ab + b) (a,b ≥ 0) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) 9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 a + b + c + ab + ac + bc = ( a + b + c)2 2 (a,b ≥ 0) 2 a + b + c + d + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = (a + b + c + d ) 10) Lịy thõa bËc n cđa mét nhÞ thøc (nhÞ thức Niu tơn) Đối tợng HSG (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) =1 = 1a + 1b 2 = 1a + 2ab + 1b 2 = 1a + 3a b + 3ab + 1b 2 = 1a + 4a b + 6a b + 4ab + 1b 2 = 1a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + 1b ………………………………………………………… ViÕt tam giác Pa xcan để khai triển (a + b)n nh− sau: 1 1 1 3 1 1 10 10 Cách viết: + Mỗi dòng bắt đầu kết thúc + Mỗi số dòng kể từ dòng thứ hai số liền Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì sự75 nghiệp trồng ngời Năm học 2011 - 2015 cộngvới số bên trái số liền Bản đồ t duy: Phơng pháp 3: Nhóm hạng tử Phơng pháp thờng đợc dùng cho đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung cha áp dụng đợc đẳng thức mà sau nhóm hạng tử biến đổi sơ nhóm lại xuất đẳng thức có nhân tử chung, cụ thể: Bớc 1: Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm Bớc 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp đẳng thức đặt nhân tử chung Bớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức Phơng pháp 4: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử; thêm, bớt hạng tử *) Lí thuyết chung: Phơng pháp nhằm biến đổi đa thức để tạo hạng tử thích hợp để nhóm sử dụng đẳng thức: *) Các trờng hợp: a, Trờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0) TÝnh : ∆ = b2 - 4ac: - NÕu ∆ = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc - Nếu = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển dạng bình phơng nhị thức bậc Tài liệu Ôn thi vào Trung häc Phỉ th«ng 75 Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Lộc hải Dơng - Nếu = b2 - 4ac > +) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k Q) đa thức phân tích đợc tr−êng Q +) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 đa thức phân tích đợc trờng số thực R b, Trờng hợp đa thức từ bậc trở lên: - Nhẩm nghiệm đa thức: +) Nếu tổng hệ số hạng tử ®a thøc cã nghiƯm b»ng +) NÕu tỉng c¸c hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ ®a thøc cã nghiÖm b»ng - - L−u ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên nghiệm nguyên phải ớc hạng tử tự Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p q p ớc hạng tử tự do, q ớc dơng hệ số hạng tử cã bËc cao nhÊt" - Khi biÕt mét nghiƯm cđa ®a thøc ta cã thÓ dïng phÐp chia ®a thøc, dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc đa thức Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thøc (nhÈm nghiƯm) - §a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc g(x) vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) thơng phép chia) *) Đặc biệt : f(x) chia hÕt cho x - a f(a) = Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) - Dựa vào đặc điểm đa thức đà cho ta đa vào nhiều biến để đa thức trở thành đơn giản Phơng pháp thờng đợc sư dơng ®Ĩ ®−a mét ®a thøc bËc cao vỊ đa thức bậc mà ta phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm đa thức bậc - Cần phát giống biểu thức đa thức để chọn đặt ẩn phụ cho thích hợp Phơng pháp 7: Phơng pháp hệ số bất định (đồng hệ số) Trên sở bậc đa thức phải phân tích, ta xác định dạng kết quả, phá ngoặc đồng hệ số giải Phơng pháp 8: Phơng pháp vận dụng ®Þnh lÝ vỊ nghiƯm cđa tam thøc bËc hai - áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2 + bx + c cã nghiƯm x1, x2 th× : P = a(x - x1)(x - x2) toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì sự77 nghiệp trồng ngời Năm học 2011 - 2015 Giải phơng trình bậc cao: Giải bất phơng trình bậc cao: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: Chứng minh biểu thức số phơng Chứng minh tính chia hết Rút gọn, Tính giá trị biểu thức Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Giải phơng trình nghiệm nguyên Tìm giá trị biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên Ghi Nếu muốn tham khảo tập phần, dạng Xin mời quý thầy cô em học sinh hÃy truy cập vào website thầy giáo Quang Hiệu theo địa chỉ: http://quanghieu030778.violet.vn Tài liệu đợc viết với nhiều tâm huyết, chắn có sai sót không mong muốn Vậy Quang Hiệu mong đợc góp ý đồng chí lÃnh đạo, bạn đồng nghiệp em học sinh miền tổ quốc tài liệu đợc hoàn thiện hơn, góp phần nhỏ bé nâng cao chất lợng giảng dạy học tập Bộ giáo dục Đào tạo phát động Quang Hiệu đà viết tài liệu office 2010, kết hợp với phần mềm vẽ hình chuyên dụng nh corel 12; flash 8.0 ; GSP 5.02 ; chơp h×nh snagit 8.0 sử dụng nhiều dạng phông chữ khác nhau; quý thầy cô đủ fonts chữ máy số phần không trình duyệt đầy đủ (nếu muốn có đầy đủ fonts chữ đẹp Quang Hiệu hÃy truy cập vào website để tải máy, sau coppy Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 77 Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng paste tất fonts vào hệ điều hành windows theo đờng dẫn sau: C:\WINDOWS\Fonts Chúc bạn thành công Quang Hiệu hân hạnh đợc phục vụ quý thầy cô em học sinh miền tổ quốc ! Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì sự79 nghiệp trồng ngời Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 79 Năm học 2011 - 2015 Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng Trung tâm phần mềm tin häc Tr©n träng giíi thiƯu ∗∗∗ ∗∗∗ Th y giáo: Ph m Văn Hi u a ch : Trúc Lâm - Hoàng Di u - Gia l c - H i Dương Giáo viên: Trư ng THCS H ng Hưng Chuyên môn t o: i h c sư ph m tốn h quy L i u tiên, tơi xin g i chào trân tr ng nh t ! n quý th y cô b n l i chúc s c kh e l i T năm h c 2011 - 2012, Quang Hi u s bán lo i ph n m m (có kèm theo key; crack; serial) ph c v cho vi c gi i trí h c t p Tơi có th ph c v cho quý th y cô b n hàng trăm ph n m m ti n ích khác nhau, n u c n Quang Hi u có th hư ng d n sơ lư c cách s d ng cho hi u qu nh t, h c nhanh nh t, phù h p v i b n m i b t u ti p c n v i tin h c ng d ng N u b n b l i máy tính, c bi t l i window nhi m virut ho c thao tác sai Tôi s s a ch a; cài t l i win ph n m m; ghost; b o m t gi i h n ki n th c mà tơi có c c bi t Quang Hi u quay camera, ch p nh KTS nh n làm ĩa CD, VCD, DVD v i nét cao chu n HD V i nh ng k x o mát m t Quang Hi u th c hi n ch c ch n s em l i cho quý v có nh ng giây phút gi i trí th t thú v b ích, lưu l i nh ng kho nh kh c quý giá i Nh ng s n ph m có th upload lên internet m t cách d dàng Các b n yêu ca hát có mu n làm m t ĩa nh c gi ng ca sĩ chuyên nghi p không ? V y liên h v i Quang Hi u thu âm t o nh ng b n MP3 th t hot r i ưa lên internet m i ngư i nghe, thư ng th c gi ng hát vàng anh c a b n Ho c có th l y âm ó làm m t ĩa DVD (có hình) cho riêng t ng cho b n bè, ngư i thân Quang Hi u ch y u ph c v quý th y cô b n chính, khơng t l i nhu n lên hàng u, giá c c a m i s n ph m s th a thu n gi a hai bên R t hân h nh c ph c v quý th y cô b n ! *) M i chi ti t xin liên h : Email: quanghieu030778@googlemail.com Website: http://quanghieu030778.violet.vn Mobile: 0166 886 5196 Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì sự81 nghiệp trồng ngời Năm häc 2011 - 2015 Lêi giíi thiƯu ∗∗∗ ∗∗∗ Thùc chủ đề "Năm học ứng dụng công nghệ thông tin" vào việc giảng dạy - học tập Quang Hiệu xin trân trọng giới thiệu với toàn thể quý thầy cô em học sinh toàn quốc website :http://quanghieu030778.violet.vn/ Chủ đề website : Kho phần mềm, ơm mầm tơng lai, lu giữ kỉ niệm, yêu thơng, giao lu, học hỏi, chia sẻ kinh nghiệm Kết nối toàn cầu để tìm tòi khám phá, hiểu biết sức mạnh Khi truy cập vào website bạn liên kết với tất trang website Việt Nam giới Ưu việt website dễ truy cập, tiếp cận nhanh, cËp nhËt th«ng tin, mäi ng−êi cịng cã thể sử dụng Các bạn đợc liên hệ với thầy cô giỏi toàn quốc, đợc hớng dẫn tận tình, chu đáo, miễn phí thầy giáo Quang Hiệu, lúc bạn gặp khó khăn truy cập internet sử dụng phần mềm ứng dụng cần thiết Đây th viện phần mềm + key, giáo trình tin học, , kho t liệu, giảng điện tử, giáo án vi tính, đề thi , chuyên đề sáng kiến kinh nghiệm tất môn phục vụ cho việc giảng dạy thầy cô học tập em học sinh Và giới giải trí nh nghe nhạc, xem phim, tìm hiểu nhà ngoại cảm "Phan Thị Bích Hằng" với khẳng định giới ngời âm (thế giới có ma) nhiều giáo s, tiến sĩ đầu ngành Việt Nam giới (đặc biệt giáo s Trần Phơng - nguyên phó thủ tớng phủ) Th−ëng thøc video biĨu diƠn ¶nh nghƯ tht, ¶nh kÜ thuật số, ảnh động đợc Quang Hiệu thực với kết hợp nhiều phần mềm tin học, hội tụ với tất công nghệ tin học đại Quang Hiệu đà xây dùng trang website víi giao diƯn ®Đp, khoa häc, vËn dụng triệt để công nghệ tin học để trình duyệt, chắn đem lại cho quý vị giây phút thoải mái nhất, kiến thức bổ ích cập nhật nhất, t liệu có khó tìm trang website khác Các bạn không cần phải bỏ tiền để mua phần mềm tin học giáo trình tin học mà cần truy cập vào Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 81 Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng website Quang Hiệu có tất cả, thứ bạn cần đợc đáp ứng ngay, cần liªn hƯ víi Quang HiƯu theo Email: quanghieu030778@googlemail.com HiƯn đà có nhiều đồng nghiệp toàn quốc em học sinh đà truy cập - download địa website này, đà có hàng trăm thầy cô tỉnh nớc thành viên Quang Hiệu (bao gồm thầy cô có tâm huyết, có trình độ tin học bậc nhất), ngày có tới hàng trăm lợt ngời truy cập đà liên tục đợc tỉnh Hải Dơng đánh giá website cá nhân tiêu biểu toàn tỉnh Nguyện vọng muốn xây dựng trang website mang tầm cỡ quốc gia, đợc ngời toàn quốc biết đến sử dụng nó, mang lại niềm vinh dự cho quê hơng Hải Dơng Vậy Quang Hiệu xin chân thành cảm ơn đến tất quý thầy cô em học sinh toàn quốc đà truy cập coi nh ngời bạn thân thiết ******************************** *) HÃy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nghiệp giáo dục - Vì sự83 nghiệp trồng ngời Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 83 Năm học 2011 - 2015 ... b)(a + ab + b) (a,b ≥ 0) 8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 9) ( a + b + c)2 = a + b + c + ab + ac + bc 3 (a,b,c ≥ 0) 10) ( a + b + c ) = a + b + c + 3(a + b)( b + c )( c + a )... = a + 3a b + 3ab + b3 5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a a + b b = a3 + b = ( a) + ( b) = ( a + b)(a − ab + b) (a,b ≥ 0) 7) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2... Phơng trình bËc d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) Phơng pháp: Đặt t = x2 + mx + c ax ab + cd e) Phơng trình bậc bốn dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab =