phân dạng phơng pháp giải Môn : Đại Số - THCS Website: http://quanghieu030778.violet.vn I - Các loại phơng trình Phơng trình bậc - Phơng trình bậc phơng trình có dạng ax + b = (a ) - Phơng trình có nghiệm nhÊt x = − b a - Chó ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển dạng Ax = B xét trờng hợp sau: B Nếu A phơng trình có nghiệm x = − A NÕu A = , B phơng trình trở thành 0.x = B => phơng trình vô nghiệm Nếu A = 0, B = => phơng trình vô số nghiệm Phơng trình tích - Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = - Cách giải: A(x).B(x) = A(x) = hc B(x) = A( x ) = B( x ) = A( x ) = - Më réng: A(x).B(x).C(x) = B( x ) = C( x ) = - Trình bày gọn : A(x).B(x) = Phơng trình chứa ẩn mẫu - Giải phơng trình chứa ẩn mẫu ta thực theo bớc: Bớc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình Bớc 2: Quy đồng mẫu hai vế phơng trình khử mẫu Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc Bớc 4: (kết luận) Trong giá trị ẩn tìm đợc bớc 3, giá trị thỏa mÃn ĐKXĐ nghiệm phơng trình đà cho, giá trị x không thuộc ĐKXĐ nghiệm ngoại lai (loại đi) Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối A nÕu A ≥ − A nÕu A < - Định nghĩa: A = - Các dạng phơng tr×nh f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = k( k > 0) f ( x ) = ± k f ( x ) = g( x ) f ( x ) = g( x ) f ( x ) = − g( x ) Hay f ( x ) = g( x ) [ f ( x )] = [ g( x )] , đa phơng trình tÝch f(x) ≥ f ( x ) = g( x ) hc f ( x ) = g( x ) f ( x ) ≤ f ( x ) = − g( x ) g( x ) ≥ Hc f ( x ) = g( x ) hc f ( x ) = − g( x ) g( x ) ≥ f ( x ) = g( x ) g( x ) ≥ f ( x ) = − g( x ) g( x ) ≥ Hc 2 [ f ( x )] = [ g( x )] - Chó ý: A = A ; A ≥ ± A vµ A − B ≤ A ± B ≤ A + B Ph¬ng trình vô tỉ f ( x ) = A( A ≥ ) f ( x ) = A (với f(x) đa thức) f(x) ≥ f ( x ) = g( x ) g( x ) ≥ f ( x ) = [ g( x )] f(x) ≥ f ( x ) = g( x ) g( x ) ≥ f ( x ) = g( x ) *)Lu ý: Hầu hết giải phơng trình chứa ẩn căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa phơng trình điều kiện tơng đơng Nếu không thử lại trực tiếp Phơng trình trùng phơng Phơng trình trùng phơng phơng trình có d¹ng: ax + bx + c = (a 0) Đặt x2 = t ( t ), phơng trình trùng phơng trở thành phơng tr×nh bËc hai Èn t : at2 + bt + c = (*) Giải phơng trình (*), lấy giá trị thích hợp thỏa mÃn t Thay vào đặt x2 = t tìm x = ? Phơng trình bậc cao a) Phơng trình bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = Híng dÉn: NhÈm nghiƯm (nÕu cã nghiƯm nguyªn nghiệm ớc hạng tử tự d) dùng sơ đồ Hooc- ne dùng máy tính để tìm nhanh nghiệm nguyên phơng trình, đà biết nghiệm dễ dàng phân tích VT dới dạng tích giải phơng trình tích (hoặc chia đa thức) b) Phơng trình bậc bốn dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = Híng dẫn: Phơng pháp tơng tự nh phơng trình bậc ba c) Phơng trình bậc bốn dạng: c x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (với d = ) ữ a Phơng pháp: Với x = 0, thay vào phơng trình kiĨm tra xem x = cã lµ nghiƯm hay không ? c Với x Chia hai vế cho x2, sau ta đặt t = x + ax d) Phơng trình bậc dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) ab + cd Phơng pháp: Đặt t = x2 + mx + e) Phơng trình bậc bốn dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) Phơng pháp: k Chia hai vế cho x2 Đặt t = x + x II- Bất phơng trình bậc ẩn 1) Định nghĩa: Một bất phơng trình dạng ax + b > (hc ax + b < 0) víi a ≠ đợc gọi bất phơng trình bậc ẩn 2) Cách giải: ax + b > ax > - b NÕu a > th× x > − b a NÕu a < th× x < − b a 3) KiÕn thøc cã liªn quan: Hai bất phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm dùng kí hiệu để tơng đơng Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử (là số đa thức) từ vế sang vế bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử => ta cã thĨ xãa hai h¹ng tư gièng hai vế Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phơng trình với số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT số dơng; đổi chiều BPT số âm 4) Tính chất bất đẳng thức - Với mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b a + c > b + c - Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu) a > b, c > d => a + c > b + d a > b > 0, c > d > => ac > b - Víi mäi sè thùc a, b, c, + NÕu c > th× a > b ac > bc + NÕu c < th× a > b ac < bc - Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b a3 > - NÕu a ≥ 0, b ≥ a > b a > - Giá trị tut ®èi cđa mét biĨu thøc A 3 b3 vµ a > b a > b b vµ a > b a2 > b2 A, nÕu A ≥ A = − A, nÕu A < Ta cã: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, A2 = A - Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b hai số thực không âm, ta có: a+b ≥ ab DÊu “=” x¶y a = b III Các dạng tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, bậc hai, bậc ba Dạng : Rút gọn tính giá trị biểu thức hữu tỉ - Khi thực rút gọn biểu thức hữu tỉ ta phải tuân theo thứ tự thực phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau Còn biểu thức có dấu ngoặc thực theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn - Với toán tìm giá trị phân thức phải tìm điều kiện biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0) Dạng : Tìm ®iỊu kiƯn ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa - BiĨu thøc có dạng A xác định (có nghĩa) B B A xác định (có nghĩa) A A xác định (có nghĩa) B > B A + B xác định (có nghĩa) A ≥ C C > A ≥ A + B xác định (có nghĩa) C C ≠ - BiĨu thøc cã d¹ng - BiĨu thøc cã d¹ng - BiĨu thøc cã d¹ng - BiĨu thøc cã d¹ng D¹ng : Rót gän biểu thức chứa bậc hai, bậc ba Lí thuyết chung: a) Các công thức biến đổi thøc 1) A 2) AB = A B 3) = A A B = A 5) A A B (víi B ≥ 0) B = A B (víi A ≥ vµ B ≥ 0) B =− 6) A B 7) A B 9) A (víi A ≥ vµ B > 0) B = 4) 8) B ( víi A ≥ vµ B ≥ 0) A A B (víi A < vµ B ≥ 0) = B = A B B C = A ±B C A ± B AB (víi AB ≥ vµ B ≠ 0) C (víi B > 0) ( A m B A −B = C ( ) 2 (víi A ≥ vµ A ≠ B ) A m B A −B ) (víi A ≥ , B ≥ vµ A ≠ B) *) Lu ý: Để rút gọn biểu thức chứa thøc bËc hai ta lµm nh sau : - Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã) - §a bít thõa số dấu (nếu có) - Trục thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiƯn c¸c phÐp tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , theo thứ tự đà biết để làm xuất thức đồng dạng - Cộng, trừ biểu thức đồng dạng (các thức đồng dạng) b) Các đẳng thức quan trọng, đáng nhớ: 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b)2 = a + a.b + b (a,b ≥ 0) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( a − b)2 = a − a.b + b 3) a2 - b2 = (a + b).(a - b) 2) (a,b ≥ 0) a − b = ( a + b).( a − b) 4) 5) 6) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a a + b b = a3 + b = 7) 9) 10) ( ) ( ) a + b = ( a + b)(a − ab + b) (a,b ≥ 0) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a a − b b = a3 − b = 8) (a,b ≥ 0) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 ( ) ( ) a − b = ( a − b)(a + ab + b) (a,b ≥ 0) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ( a + b + c)2 = a + b + c + ab + ac + bc a2 = a (a,b,c 0) Phân dạng tập chi tiết Dạng 3.1 : Tính Rút gọn biểu thức điều kiện Dạng 3.2 : Rút gọn biểu thức có điều kiện Dạng 3.3 : Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Dạng 3.4 : Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhận giá trị nguyên Dạng 3.6 : Tìm giá trị biÕn biÕt dÊu cđa biĨu thøc D¹ng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau đà rút gọn Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Dạng 3.9 : Bài tập tổng hợp IV Các dạng toán hàm số Lí thuyết chung 1) Khái niệm hàm số (khái niệm chung) Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số *) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + ; *) Chú ý: Khi đại lợng x thay đổi mà y nhận giá trị không đổi y đợc gọi hàm *) Ví dụ: Các hàm y = 2; y = - 4; y = 7; 2) Các cách thờng dùng cho hàm số a) Hàm số cho bảng b) Hàm số cho công thức - Hàm hằng: hàm có công thức y = m (trong x biến, m ∈ ¡ ) - Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm số có dạng công thức y = ax + b Trong đó: x biến, a,b Ă , a a số góc, b tung ®é gèc - Chó ý: NÕu b = hàm bậc có dạng y = ax ( a ≠ ) Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc y = ax2 + bx + c (trong x biến, a,b,c Ă , a ≠ ) Chó ý: NÕu c = hàm bậc hai có dạng y = ax2 + bx ( a ≠ ) NÕu b = c = hàm bậc hai có dạng y = ax2 ( a ≠ ) 3) Kh¸i niệm hàm đồng biến hàm nghịch biến Cho hàm số y = f(x) xác định với x ¡ Víi x1, x2 bÊt k× thc R a) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) tăng lên hàm số y = f(x) đợc gọi hàm đồng biến Nếu x1 < x2 mà f(x1 ) < f(x2 ) hàm số y = f(x) đồng biến R b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm hàm số y = f(x) đợc gọi hàm nghịch biến Nếu x1 < x2 mà f(x1 ) > f(x2 ) hàm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R 4) DÊu hiƯu nhận biết hàm đồng biến hàm nghịch biến a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a ≠ ) - NÕu a > th× hàm số y = ax + b đồng biến Ă - Nếu a < hàm số y = ax + b nghịch biến ¡ b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a ≠ ) cã thÓ nhËn biết đồng biến nghịch biến theo dấu hiệu sau: - Nếu a > hàm đồng biến x > 0, nghÞch biÕn x < - Nếu a < hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > 5) Khái niệm đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hàm Đồ thị hàm y = m (trong Đồ thị hàm x = m (trong x biến, m Ă ) đờng y biến, m Ă ) đờng thẳng song song với trục Ox thẳng song song với trục Oy b) Đồ thị hàm số y = ax ( a ) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp điểm) qua gốc toạ độ *) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax ( a ) c) Đồ thị hµm sè y = ax + b ( a,b ≠ ) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp b điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm ( , 0) a *) Cách vẽ: Có hai cách vẽ +) Cách 1: Xác định hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau: Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b) Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b ≠ ) +) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với trơc täa ®é, thĨ: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy Cho y = => x = − b , ta đợc N( b ; 0) Ox a d) a Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b ) Đồ thị hµm sè y = ax2 ( a ≠ ) đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0) Nhận trục Oy làm trục đối xứng - Đồ thị phía trục hoành a > - Đồ thị ë phÝa díi trơc hoµnh nÕu a < y y O a>0 a hệ phơng trình có vô số nghiệm +) Khi B phơng trình (1) vô nghiệm => hệ phơng trình vô nghiệm B Nếu A phơng trình (1) có nghiệm nhÊt A x= B A => hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt y = y(m ) Dạng 4: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm *) Điều kiện để hệ hai phơng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiƯm nhÊt, cã v« sè nghiƯm, v« nghiƯm ax + by = c (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0) a' x + b' y = c ' a b c + HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu = = a' b ' c ' a b c + HƯ v« nghiÖm nÕu = ≠ a' b ' c ' a b a' b' Dạng 5: Tìm giá trị tham số biết dấu nghiệm hệ phơng trình + HƯ cã mét nghiƯm nhÊt nÕu D¹ng 6: Tìm giá tham số biết nghiệm hệ phơng trình 15 6.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình ax + by = c ax + by = c Cho hệ phơng trình : (1) (2) x = x0 Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm y = y C¸ch 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số 6.2: Tìm hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình ax + by = c a′x + b′y = c′ Cho hệ phơng trình: x = x0 có nghiệm y = y0 Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình hệ phơng trình ta đợc ax + by = c a′x0 + b′y = c′ Bíc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số Dạng 7: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y ax + by = c a′x + b′y = c′ Cho hƯ ph¬ng tr×nh : (1) (I) (2) Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3) Bíc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện tham số ®Ĩ hƯ (I) cã nghiƯm nhÊt Bíc 2: Do (x; y) nghiệm hệ (I) thoả m·n (3) ⇒ (x; y) lµ nghiƯm cđa (1), (2), (3) Kết hợp phơng trình đơn giản để đợc hệ phơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng trình lại Bớc 3: Giải phơng trình chứa ẩn tham số Dạng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm (x ; y0) số nguyên Bớc 1: Tìm điều kiện tham số m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt Bíc 2: Phân tích x0 ; y0 dới dạng b x0 = a + víi a, b ∈ Z A(m ) d y0 = c + víi c, d ∈ Z B(m ) b x ∈ Z ∈ Z A(m ) ∈¦ ( b) A(m ) => m = ? d ∈ Z B(m ) ∈¦ (d ) y0 ∈ Z B(m ) *) Đặc biệt : b x0 = a + víi a, b ∈ Z A(m ) d y0 = c + víi c, d ∈ Z A(m ) => x0 ,y0 ∈ Z A(m ) ∈¦ C( b,d ) => m = ? Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ 16 Cách 1: Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện tham số để hệ phơng trình có nghiệm Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ x y lµ: P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè) k < ⇒ kA2(x) ≤ ⇒ kA2(x) + d d P(x,y) d Giá trị lớn P(x,y) d đạt đợc A(x) = k > ⇒ kA2(x) ≥ ⇒ kA2(x) + d ≥ d ⇒ P(x,y) ≥ d Giá trị nhỏ P(x,y) d đạt đợc A(x) = C¸ch 2: P(x,y) = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – P(x,y) = Bíc 1: TÝnh ∆ hc ∆ ' Bớc 2: Đặt điều kiện ( ' 0) Giải bất phơng trình chứa ẩn P(x,y) P(x,y) e Giá trị nhỏ P(x,y) e đạt đợc −b −b ' = ∆ =∆' = ⇔ x = a 2a P(x,y) ≤ e ⇒ Gi¸ trị lớn P(x,y) e đạt đợc ∆ =∆' = ⇔ x = −b −b' = 2a a Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số Phơng pháp: ax + by = c a, b, c, a’, b’, c’ chøa tham sè m a'x + b'y = c' Cho hệ phơng trình: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m ? *) Cách 1: Bớc 1: Từ phơng trình hệ ta rót m theo x vµ y lµ m = A(x,y) Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai hệ ta đợc hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m *) Cách 2: Sử dụng hệ phơng trình có tham số m dới dạng bậc ax + by = c m = A( x, y ) => a ' x + b ' y = c ' m = B( x, y ) Bớc 1: Từ hệ phơng trình Bớc 2: Cho A(x,y) = B(x,y) Đây hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m Lu ý: Ta cần rút gọn hệ thức cho ngắn gọn, đơn giản Dạng 11: Tìm giá trị tham số để hai hệ phơng trình tơng đơng - Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm (tức nghiệm hệ nghiệm hệ ngợc lại) Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ giải số hệ phơng trình không dạng hệ hai phơng trình bậc hai ẩn (hệ đặc biệt) VI Phơng trình bậc hai ẩn Phần I: Phơng trình không chứa tham số I Định nghĩa: Phơng trình bậc hai ẩn (nói gọn phơng trình bậc hai) phơng trình có dạng ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) Trong ®ã: x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số II Phân loại 17 Phơng trình khuyết c: ax2 + bx = (a 0) Phơng pháp giải: ax2 + bx = (a, b ≠ 0) x = ⇔ x(ax + b) = ⇔ x = −b a b a Phơng trình khuyết b: ax2 + c = (a, c 0) Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = Phơng pháp gi¶i: ax2 + c = (a ≠ 0) ⇔ x2 = +) −c a −c < ⇒ Ph¬ng trình vô nghiệm a +) c Nếu > Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a Nếu x1 = −c ; −c x2 = − a a Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = (a , b, c ≠ 0) *) C«ng thøc nghiƯm: ∆ = b2 - 4ac +) ∆ < Phơng trình vô nghiệm +) > phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b + ∆ ; x2 = −b − ∆ 2a 2a +) = Phơng trình có nghiƯm kÐp: x1 = x2 = * ) C«ng thøc nghiÖm thu gän NÕu b = 2b’ (b’ = −b 2a b )→ ta cã : ∆’ = b’2 - ac + Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biệt : b '+ ' −b '− ∆ ' x1 = ; x2 = a a + Nếu = phơng trình cã nghiÖm kÐp −b ' x1 = x2 = a + Nếu < phơng trình vô nghiệm Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số Dạng 1: Giải phơng trình biết giá trị tham số Thay giá trị tham số vào phơng trình giải phơng trình Dạng 2: Giải biện phơng trình theo tham số Tổng quát: Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc bx + c = −c + NÕu b ≠ phơng trình có nghiệm x = b + Nếu b = c phơng trình vô nghiệm 18 + Nếu b = c = phơng trình có vô số nghiệm Với a phơng trình trở thành phơng tr×nh bËc hai cã biƯt sè: ∆ = b2 – 4ac ( hay ∆ ’ = b’2 – ac) + NÕu ∆ < ( ∆ ’ < 0) th× phơng trình vô nghiệm + Nếu = ( = 0) phơng trình có nghiệm kép : b x1 = x2 = = − b' 2a a + NÕu ∆ > ( ∆ ’ > 0) phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b + ∆ = −b'+ ∆ ' ; x2 = −b − ∆ = −b '− ∆ ' 2a a 2a a Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm - Xét hai trờng hỵp cđa hƯ sè a: Trêng hỵp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình có nghiệm Trờng hợp 2: a à 0, phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ 0) D¹ng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Phơng trình bậc hai ẩn cã hai nghiƯm ph©n biƯt a≠0 ∆ > 0( ' > 0) Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm kép a≠0 ∆ = 0( ∆ ' = 0) Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiƯm kÐp Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phơng trình vô nghiệm - Xét hai trờng hợp hệ sè a: Trêng hỵp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình vô nghiệm Trờng hợp 2: a à 0, phơng trình bËc hai mét Èn v« nghiƯm ∆ < ( ∆ ' < ) D¹ng 7: Chøng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Để chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt: a≠0 ac < C¸ch 1: Chøng minh: a ≠ ∆ > C¸ch 2: Chøng minh: Chó ý: Cho tam thøc bËc hai ∆ = am2 + bm + c a>0 ∆m = b − 4ac < §Ĩ chøng minh ∆ > 0, ∀m ta cÇn chøng minh Dạng 8: Tìm điều kiện m để phơng trình cã hai nghiƯm cïng dÊu, tr¸i dÊu, cã hai nghiƯm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng phân biƯt, 19 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt, cã hai nghiệm hai số đối nhau, có hai nghiệm hai số nghịch đảo Cho phơng trình ax2 + bx + c = ; ®ã a, b, c chøa tham sè S = x + x = b a Theo định lí Vi - Ðt, ta cã : P = x1 x2 = c a a ≠ a≠0 a) Phơng trình có hai nghiệm dấu ∆ ≥ hc ∆ ≥ P > ac > a a0 b) Phơng trình có hai nghiệm trái dÊu hc P < ac < a ≠ ∆ ≥ c) Phơng trình có hai nghiệm dơng P > S > a ≠ ∆ ≥ d) Phơng trình có hai nghiệm âm P > S < a ≠ > e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt P > S > a ≠ ∆ > f) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt P > S < g) Ph¬ng trình có hai nghiệm hai số đối a≠0 ∆ ≥ b =0 S = x1 + x2 = − a h) Phơng trình có nghiệm hai số nghịch đảo 20 a0 ∆ ≥ c =1 P = x1 x2 = a Dạng 9: Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm b c Bíc 2: TÝnh x1 + x1 = vµ x1.x1 = a a Bớc 3: Biểu thị đợc biĨu thøc theo x1 + x1 vµ x1.x1 ; sau thay giá trị x1 + x1 x1.x1 vào để tính giá trị biểu thức Chú ý: a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) (a − b)2 = (a + b)2 − 4ab ( a + b)2 = (a + b) + a.b a4 + b4 = (a2 + b2 )2 − 2a2b2 (a,b ≥ 0) a3 + b3 = a a + b b = ( a + b)(a − ab + b) (a,b 0) Dạng 10: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mÃn điều kiện sau: a) x1 + β x2 = γ b) + =n x1 x2 c) x + x = k , d) x + x = t Bíc 1: T×m điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiƯm x1, x2 Gi¶i a ≠ => m = ? ∆≥0 hƯ §K: S = x + x = − b a Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã: P = x1 x2 = c a Bớc 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có đợc bớc vào điều kiện vừa biến đổi; từ giải phơng trình bất phơng trình với biến tham số để tìm giá trị tham số Tiếp theo kiểm tra xem giá trị tham số tìm đợc có thỏa mÃn hệ điều kiện bớc hay không ? Hoặc có toán ta kết hợp điều kiện đề với hệ thức Vi - ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn x1, x2); sau ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi ét lại để tìm tham số Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm lại Bớc 1: Thay x = x1 vào phơng trình, ta cã: ax12 + bx1 + c = => m = ? 21 Bớc 2: Để tìm nghiệm lại x2 ta thực theo hai cách: Cách 1: Thay giá trị m vào phơng trình ban đầu Từ có phơng trình bậc hai giải phơng trình ta tìm đợc x2 Cách 2: Tính x2 nhờ định lí Vi - ét: x2 = S x1 x2 = P : x1 Dạng 12: Tìm phơng trình bậc hai biết trớc hai nghiệm số Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 Ta có phơng trình với ẩn x : ( x − x1 ) ( x − x2 ) = x2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = Trờng hợp 2: Không có x1, x2 riêng Bớc 1: Tìm S = x1 + x2 vµ P = x1 x2 Bíc 2: Phơng trình với ẩn x x2 Sx + P = Phơng trình có nghiệm S2 P Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai biết mối liên hệ hai nghiệm phơng trình cần lập với hai nghiệm phơng trình cho tríc Bíc 1: KiĨm tra §K cã nghiƯm phơng trình Bớc 2: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình đà cho b c x1 + x = , x1.x = a a Bíc 3: TÝnh tỉng vµ tÝch hai nghiƯm cđa phơng trình cần lập x3 x4 thông qua mối liªn hƯ víi x1 , x2 Bíc 4: LËp phơng trình Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Cách 1: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình cã hai nghiÖm x1, x2 a ≠ ∆ ≥ Giải hệ điều kiện b S = x1 + x = a Bíc 2: TÝnh hÖ thøc Vi - Ðt: P = x x = c a Bíc 3: Khư tham sè hƯ thøc Vi – Ðt, tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số nghiệm phơng trình Cách 2: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 a Giải hệ điều kiện Bớc 2: Giải phơng trình tìm x1, x2 Bíc 3: T×m hƯ thøc (khư tham sè) Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tam thøc bËc hai y = ax + bx + c (a ) Cách 1: Biến đổi y = kA2(x) + m (m lµ h»ng sè) k < ⇒ kA2(x) ≤ ⇒ kA2(x) + m m y m Giá trị lớn y m đạt đợc A(x) = k > ⇒ kA2(x) ≥ ⇒ kA2(x) + m ≥ m ⇒ y ≥ m 22 Giá trị nhỏ y m đạt đợc A(x) = C¸ch 2: y = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – y = + Bíc 1: TÝnh ∆ hc ∆ ' + Bớc 2: Đặt điều kiện ( ' 0) Giải bất phơng trình chứa ẩn y y m Giá trị nhỏ y m đạt đợc −b −b ' = ∆ =∆' = ⇔ x = a 2a y ≤ m ⇒ Gi¸ trị lớn y m đạt đợc ∆ =∆' = ⇔ x = −b −b' = 2a a Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ hai nghiệm Bớc 1: Kiểm tra có nghiệm phơng trình Bíc 2: TÝnh x1 + x = −b c , x1.x = a a Bíc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x1; x2) dạng có chứa x1+ x2 x1.x2 Bíc 4: Thay x1 + x2 vµ x1.x2 vµo biểu thức A Khi A trở thành tam thức bậc hai ẩn tham số Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhỏ A Chọn giá trị tham số thích hợp Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 −b x1 + x = a Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt: x x = c a Bớc 3: Tính giá trị biểu thức theo x1+ x2 x1.x2 ; thấy kết số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 18: Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phơng trình thỏa mÃn bất đẳng thức đà cho Dạng 19: Tìm hai số biết tổng tích chúng u + v = S NÕu hai sè u v thoả mÃn (S 4P) Thì u v nghiệm phu.v = P ơng trình x2 - Sx + P = (*) - NÕu phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Do x, y cã vai trß nh u = x1 u = x hc v = x2 v = x1 - Nếu phơng trình (*) có nghiệp kép x1 = x2 = a => u = v = a nên có hai cặp số thỏa mÃn - Nếu phơng trình (*) vô nghiệm => Không tìm đợc cặp giá trị (u, v) thỏa mÃn yêu cầu đề 23 Dạng 20: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm chung Cho hai phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) vµ a ' x + b' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chứa tham số m *) Cách 1: Hai phơng trình có nghiệm chung hệ phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiÖm a ' x + b ' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trõ vÕ víi vÕ hai phơng trình hệ ta có phơng trình d¹ng: A(m).x = B(m) +) NÕu A(m) = 0, tõ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay không ? B(m ) (chøa tham sè) Thay vµo mét A(m ) +) NÕu A(m ) ≠ => x = hai ph¬ng trình ta rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay không ? +) NÕu A(m ) ≠ => x = B(m ) (không chứa tham số), kết luận A(m ) nghiệm chung hai phơng trình Thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta rút giá trị m Kết luận: ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, nghiệm chung ? *) Cách 2: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình ax + bx + c = => m = A(x) a ' x + b' x + c ' = => m = B(x) Ta có: A(x) = B(x) Giải phơng trình ta đợc nghiệm chung hai phơng trình, sau thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta tìm đợc giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra Cách 3: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình ta rút m theo x vào phơng trình kia, đợc phơng trình ẩn x; từ phơng trình ta tìm đợc nghiệm chung, sau tìm m = ? Dạng 21: Chứng minh hai phơng trình bậc hai ẩn có phơng trình có nghiệm Cho hai phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) vµ a ' x + b' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chøa tham sè Chøng minh Ýt nhÊt mét hai ph¬ng trình có nghiệm Phơng pháp: Cách 1: Gọi , lần lợt biệt thức hai phơng trình Ta cần chứng minh +) + => ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ hc ∆1 , ∆2 ≥ +) ∆1 ∆2 ≤ => ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ VËy hai phơng trình có nghiệm Cách 2: Chứng minh phản chứng Giả sử hai phơng trình vô nghiệm Khi < 0, ∆2 < 24 Ta lËp luËn dÉn ®Õn điều vô lí => phải có hai biệt thức không âm Vậy có hai phơng trình có nghiệm Dạng 22: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình tơng đơng - Lí thuyết chung: Hai phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm *) Dạng 22.1: Hai phơng trình bậc Tìm nghiệm hai phơng trình theo tham số cho hai nghiệm nhau, từ tìm đợc giá trị tham số để hai phơng trình tơng đơng *) Dạng 22.2: Hai phơng trình bậc hai ẩn Xét hai trờng hợp Trờng hợp1: Hai phơng trình có nghiệm chung Trớc hết tìm giá trị tham số để hai phơng trình có nghiệm chung sau thay giá trị tham số vào hai phơng trình tìm tËp nghiƯm cđa chóng NÕu tËp nghiƯm b»ng th× hai phơng trình tơng đơng => giá trị tham sè ∆1 < ∆2 < Trờng hợp 2: Hai phơng trình vô nghiệm => Giá trị tham số Đặc biệt: Nếu nhận thấy hai phơng trình có hai nghiƯm ( ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ ) => Hai phơng trình tơng đơng hai nghiệm phơng trình hai nghiệm phơng trình kia, ta áp dụng vi ét cho hai phơng trình tìm tham số Cơ thĨ ta cã: x1 + x2 = − b = − b' ;x1 x2 = c = − c' => m = ? a a' a a' D¹ng 23: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình 23.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiệm x = x1 Cách giải: Bớc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn tham số 23.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phơng trình Cho phơng tr×nh ax2 + bx + c = (1) (a ≠ 0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2 C¸ch 1: Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình: ax1 + bx1 + c = ax + bx + c = Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn tham số Cách 2: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm b x1 + x = a Bíc 2: Theo Vi - Ðt x x = c a Bíc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ giải ta đợc giá trị tham số Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn dơng luôn âm với x Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ( ) 2 − b − 4ac f(x) = a( x + b x + c ) = a x + b a a 2a 4a ( b = a x + 2a ) − ∆ 4a 25 ( +) NÕu ∆ < => x + b 2a ) trờng hợp sau ∆ 4a > Khi ®ã f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, ta cã a > f(x) > 0, ∀x ∆ < a < f(x) < 0, ∀x ∆ < a > f(x) ≥ 0, ∀x ∆ ≤ a < f(x) · 0, ∀x ∆ ≤ +) NÕu ∆ = => f ( x ) = a( x + b ) 2a => f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, trõ trêng hỵp x = − b 2a Khi x = − b th× f(x) = 2a VII Giải toán cách lập ph ơng trình, lập hệ ph ơng trình Lí thuyết chung Các bớc giải toán cách lập phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình - Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số; - Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đà biết; - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng Bớc 2: Giải phơng trình Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Các bớc giải toán cách lập hệ phơng trình Bớc 1: Lập hệ phơng trình - Chọn hai ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho chúng; - Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đà biết; - Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng Bớc 2: Giải hệ hai phơng trình nói Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Phân dạng tập chi tiết Dạng 1: Toán chuyển động - Ba đại lợng: S, v, t S S ;v= (dïng c«ng thøc S = v.t từ tìm mối quan hệ v t - Quan hƯ: S = vt; t = - gi÷a S , v t) Chú ý toán canô : Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthực Vnớc 26 *) Toán gặp cần ý đến tổng quÃng đờng thời gian bắt đầu khởi hành *) Toán đuổi kịp ý đến vận tốc quÃng đờng đợc đuổi kịp Dạng 2: Toán quan hệ số ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c §iỊu kiƯn: < a ≤ 9; ≤ b, c ≤ (a, b, c Z ) Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng, suất *) Bài toán làm chung, làm riêng: + Qui ớc: Cả công việc đơn vị + Tìm đv thời gian đối tợng tham gia toán thực đợc phần công việc + Công thức: Phần công việc = Thời gian + Số lợng công việc = Thời gian Năng suất *) Bài toán suất: + Gồm ba đại lợng: Tổng sản phẩm ; suất; thời gian + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng st Thêi gian; Tỉng s¶n phÈm Tỉng s¶n phÈm => Thời gian = ; Năng suất = Năng suất Thời gian Dạng 4: Toán diện tích Dạng 5: Toán có quan hệ hình học Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm VIII Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng hạng tử đa thức có nhân tử chung Cơ thĨ: AB + AC + AD = A(B + C + D) b) Các bớc tiến hành: Bớc 1: Phát nhân tử chung đặt nhân tử chung dấu ngoặc Bớc 2: Viết hạng tử ngoặc cách chia hạng tử đa thức cho nhân tử chung Phơng pháp 2: Dùng đẳng thức a) Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức đợc dùng hạng tử đa thức có dạng đẳng thức b) Các đẳng thức quan trọng 1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a + a.b + b = ( a + b)2 (a,b ≥ 0) 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 a − a.b + b = ( a − b)2 3) 4) 5) 6) (a,b ≥ 0) a2 – b2 = (a + b).(a – b) a − b = ( a + b).( a − b) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 (a,b ≥ 0) a3 + 3a b + 3b a + b3 = ( a + b)3 (a,b ≥ 0) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 a3 − 3a b + 3b a − b3 = ( a − b)3 (a,b ≥ 0) 27 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) 7) a a + b b = a3 + b3 = ( a + b)(a − ab + b) an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2 + bn-1) (a,b ≥ 0) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) 8) a a − b b = a3 − b3 = ( a − b)(a + ab + b) a - b = (a - b)(a + a b + + ab + b ) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 n n n-1 n-2 n-2 n-1 (a,b ≥ 0) 9) a + b + c + ab + ac + bc = ( a + b + c) (a,b ≥ 0) Ph¬ng pháp 3: Nhóm hạng tử Phơng pháp thờng đợc dùng cho đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung cha áp dụng đợc đẳng thức mà sau nhóm hạng tử biến đổi sơ nhóm lại xuất đẳng thức có nhân tử chung, cụ thể: Bớc 1: Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm Bớc 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp đẳng thức đặt nhân tử chung Bớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức Phơng pháp 4: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử; thêm, bớt hạng tử *) Lí thuyết chung: Phơng pháp nhằm biến đổi đa thức để tạo hạng tử thích hợp để nhóm sử dụng đẳng thức: *) Các trờng hợp: a, Trờng hợp đa thức d¹ng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0) TÝnh : ∆ = b2 - 4ac: - NÕu ∆ = b - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc - NÕu ∆ = b2 - 4ac = 0: §a thức chuyển dạng bình phơng nhị thức bËc nhÊt - NÕu ∆ = b2 - 4ac > +) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k Q) đa thức phân tích đợc trờng Q +) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 ®a thức phân tích đợc trờng số thực R b, Trờng hợp đa thức từ bậc trở lên: - Nhẩm nghiệm đa thức: +) Nếu tổng hệ số hạng tử đa thức cã nghiƯm b»ng +) NÕu tỉng c¸c hƯ sè hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ đa thức có nghiệm - - Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên nghiệm nguyên phải ớc hạng tử tự Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p p ớc hạng tử tự do, q q ớc dơng hệ số hạng tử có bậc cao nhÊt" - Khi biÕt mét nghiƯm cđa ®a thøc ta dùng phép chia đa thức, dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc đa thức Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm) - Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) thơng phép chia) *) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a f(a) = Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) - Dựa vào đặc điểm đa thức đà cho ta đa vào nhiều biến để đa thức trở thành đơn giản Phơng pháp thờng đợc sử dụng ®Ĩ ®a mét ®a thøc bËc cao vỊ ®a thøc bậc mà ta phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm đa thức bậc - Cần ph¸t hiƯn sù gièng cđa c¸c biĨu thøc đa thức để chọn đặt ẩn phụ cho thích hợp 28 Phơng pháp 7: Phơng pháp hệ số bất định Trên sở bậc đa thức phải phân tích, ta xác định dạng kết quả, phá ngoặc đồng hệ số giải Phơng pháp 8: Phơng pháp vận dụng định lí nghiệm tam thức bậc hai - áp dụng định lý: Nếu đa thøc P = ax2 + bx + c cã nghiÖm x1, x2 th× : P = a(x - x1)(x - x2) toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử Giải phơng trình bậc cao: Giải bất phơng trình bậc cao: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: Chứng minh biểu thức số phơng Chứng minh tính chia hết Rút gọn, Tính giá trị biểu thức Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Giải phơng trình nghiệm nguyên Tìm giá trị biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên Thầy giáo : Phạm Văn Hiệu *) H·y gi÷ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn Ghi Nếu muốn tham khảo tập phần, dạng Xin mời quý thầy cô em học sinh hÃy truy cập vào website Quang Hiệu theo địa chỉ: http://quanghieu030778.violet.vn Tài liệu đợc viết với nhiều tâm huyết, chắn có sai sót không mong muốn Vậy Quang Hiệu mong đợc góp ý đồng chí lÃnh đạo, bạn đồng nghiệp em học sinh miền tổ quốc tài liệu đợc hoàn thiện hơn, góp phần nhỏ bé nâng cao chất lợng giảng dạy học tập Bộ giáo dục Đào tạo phát động Quang Hiệu đà viết tài liệu office 2010, kết hợp với phần mềm vẽ hình chuyên dụng nh corel 12; flash 8.0 ; GSP 4.05 ; chụp hình snagit 8.0 sử dụng nhiều dạng phông chữ khác nhau; quý thầy cô đủ fonts chữ máy số phần không trình duyệt đầy đủ (nếu muốn có đầy đủ fonts chữ đẹp Quang Hiệu hÃy truy cập vào website để tải máy, sau coppy paste tất fonts vào hệ điều hành windows theo đờng dẫn sau: C:\WINDOWS\Fonts Chúc bạn thành công) Quang Hiệu hân hạnh đợc phục vụ quý thầy cô em häc sinh trªn mäi miỊn tỉ qc ! 29 ... m (trong Đồ thị hàm x = m (trong x biến, m Ă ) đờng y biến, m Ă ) đờng thẳng song song với trục Ox thẳng song song với trục Oy b) Đồ thị hµm sè y = ax ( a ≠ ) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp điểm)... x + + + *) + Song song víi nÕu a = a’, b ≠ b’ C¾t nÕu a ≠ a Vuông góc a.a = -1 Hai đờng thẳng ax + by = c ax + by = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0) Trïng nÕu a = b = c a'' b'' c'' Song song víi nÕu... m (trong Đồ thị hàm x = m (trong x biến, m Ă ) đờng y biến, m Ă ) đờng thẳng song song với trục Ox thẳng song song với trục Oy b) Đồ thị hàm số y = ax ( a ) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp điểm)