Tài liệu hệ thống kiến thức Toán THPT giúp các bạn nắm vững kiến thức về ứng dụng của đạo hàm, hàm số luỹ thừa mũ và logarit, nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân, số phức, diện tích và thể tích các khối,... Mời các bạn tham khảo để ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải đề.
Trang 1
HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ôn luyện thi ĐH-CĐ
2.Các nội dung “chữ đậm và in nghiêng”ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm
của thi TNTHPT
VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Các vấn đề liên quan đến hàm số
o Phương trình tiếp tuyến: tại M 0; đi qua một điểm M 1 hoặc biết hệ số góc k
o Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
o Cực trị hàm số
o Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
o Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
o Cách xác định tiệm cận :
o Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi
1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
o Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
o Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:
……
VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT
• Tính toán,chứng minh,rút gọn,….các biểu thức có chứa mũ,logarit,luỹ thừa,…
• Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logarit
• Vẽ được đồ thị của các hàm số mũ,logarit và luỹ thừa
• Giải phương trình mũ và logarit :
• Giải bất phương trình mũ và logarit
• Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cơ bản)
VấN Đề 3:NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN
o Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản
o Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Tính I = bf[u(x)]u dx/
a ∫ bằng cách đặt t = u(x)Dạng 2: Tính I = β f (x)dx
o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản)
o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
Trang 2
o Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:
o Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối Tính bf (x) dx
• Tìm số phức z; ;z biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…
• Thực hiện được các phép toán về cộng trừ,nhân,chia các số phức.
• Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức)
• Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)
• Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Không có ở ban cơ bản)
VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn, )
• Tính thể tích các khối chóp,khối hộp,lăng trụ,…
• Mặt cầu:
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,…
o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ
• Mặt nón:
o Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối khối nón
VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHÔNG GIAN
• Hệ toạ độ trong không gian
o Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học
o Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp:
• Mặt cầu (S)
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu
o Viết phương trình mặt cầu
o Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn trong không gian
• Mặt phẳng:
o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng quát)
• Đường thẳng:
o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT)
• Vị trí tương đối giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• Tính khoảng cách giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• Tính góc giữa các đối tượng:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng và mặt phẳng-mặt phẳng )
• Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường tròn trong không gian
• Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng
o Tìm hình chiếu H của M lên (α)
o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d)
• Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
o Đối xứng quađường thẳng (d).
Trang 3→±∞= = với xo là nghiệm mẫu
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến
7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
( ) ( )
2
/ /
2
/ / /
/ /
/ /
/
/ / /
5
)0(
4
3
C
v v
u v v u v u
v C v C
v u v u v u
v u v u
x x
x x
x x
x x
a x x
e e
a a a
x x
x x
x x
x C
a
x x
x x
2 /
2 /
/ / / / / / / 2 /
1 /
/ /
sin
1cot
.18
cos
1tan
.17
sincos
.16
cossin
.15
1ln
.14
ln
1log
.13
.12
ln
11
.2
1
10
11
.9
.8
1
7
0
( )
( ) ( )
costan
sin.cos
cos.sin
ln
ln.log
.ln
.2
1
2
/ /
2
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ / 2
/ /
/ 1 /
u
u u
u
u u
u u u
u u u u
u u
a u
u u
u e e
u a a a
u
u u
v
v v
u x u
a
u u
u u
b ax y
bc ad y
+
−
=
2 2
2 2
1 1
2 1
20
c x b x a
c x b x a y
++
++
2 2
2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 2
1 1 /
2
c x b x a
c b
c b x c a
c a x b a
b a y
++
++
=
Trang 4
10 Vẽ đồ thị. 1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2− 3ac ∆/ ≤ 0 ∆/ > 0 y/ cùng dấu với hệ số a •KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 •KL: hàm số tăng? Giảm? •Hàm số không có cực trị • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? + Giới hạn: • lim (ax3 bx2 cx d) x + + + +∞ → = < ∞ − > +∞ ) 0 ( ) 0 ( a a • lim (ax3 bx2 cx d) x + + + −∞ → = < ∞ + > −∞ ) 0 ( ) 0 ( a a + Bảng biến thiên: x −∞ +∞ x −∞ x1 x2 +∞
y/ + y/ + 0 − 0 +
y +∞
-∞ y CĐ +∞
-∞ CT x −∞ +∞ x −∞ x1 x2 +∞
y/ − y/ − 0 + 0 −
y +∞
−∞
y +∞ CĐ
CT −∞
Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + Vẽ đồ thị : • xác đinh Cực trị ? • ; điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT 2 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu y/ = 0 ⇔ x = 0 •KL: tăng? Giảm y / = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=± b a 2 − •KL: tăng? Giảm? •Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị • Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(± b a 2 − ) =−∆a Có 3 cực trị + Giới hạn : lim (ax4 bx2 c) x + + ± ∞ → = < ∞ − > +∞ ) 0 ( ) 0 ( a a + Bảng biến thiên : x −∞ 0 +∞ x −∞ x1 0 x2 +∞
y/ − 0 + y/ − 0 + 0 − 0 +
a > 0
a < 0
Điểm uốn I(−b a
3 ;f(−b a
3 ))
a > 0
Trang 5+ Đạo hàm : y/ = (cx d) 2
bc ad
+ Tiệm cận: • x =−d clà tiệm cận đứng vì limd
x c
+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận
Trang 6
4 Hàm hữu tỉ : 2/1 y =
f ex
c bx
ax 2
+
+ + (đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
) (
) ( 2
f x
ce bf x af x ae
+
− + +
có ∆/ =(af)2−(bf−c e).ae
y/ cùng dấu với ae y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
Hàm số không có cực trị • Giá trị cực trị tính theo CT : y = 2ax e+b
+ Tiệm cận : • x = −ef là tiệm cận đứng vì lim f(x)
(ban cơ bản không khảo sát hàm số này)
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết
1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 ))
• TT có phương trình là : y - f(x0)= f/(x0)(x− x0)
• Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
• P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)
2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)
• Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Trang 7
• Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1
• Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)
• Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0
• Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox
Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)
• Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x)
• Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x)
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ: D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b)
Bài toán 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0
3) x0 là cực trị của hàm số /( 0) 0
/ ( )
Trang 8
+ xo là điểm cực trị
/ 0 / / 0
( ) 0( ) 0
( ) 0( ) 0
( ) 0( ) 0
)(
0)(
0 //
0 0 0 /
x f
y x f
x f
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)
- Để hàm số y= f x( ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung ⇔ y CD.y CT <0
- Để hàm số y= f x( ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ x CD.x CT <0
- Để hàm số y= f x( ) có hai cực trị nằm trên trục hoành 0
- Để hàm số y= f x( ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ y CD.y CT =0
Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
• xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
Trang 9
• Tính f(x1) ; f(x2) ……… So sánh → KL
f(a) ; f(b)
• Kết luận: max y[a;b] = ? min y[a;b] =?
2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
• Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
• Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
• Lập BBT:
• Từ BBT kết luận
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y[a;b] = yct
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y[a;b] = yCĐ
* Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b)
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
• nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong
2 Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)
Bài toán 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh
bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
Trang 10Bài toán 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
• Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m
• Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0
• Giải hệ và kết luận
………
Bài toán 11:Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
• Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại
• Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích
• Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên
f -
0 x f nÕu
x f
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C1) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) ≥ 0)
° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox
f
-0 x nÕu
x f
° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox
Trang 11
d) Dạng đồ thị của hàm số: y = ( )
( ) x g
x f
Ta có: y = ( )
( ) x g
x f
f nÕu x
f -
0 x f nÕu
x g
x g
x f
• Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = ( )
( ) x g
x f
x f
• Các bước làm tương tự như phần d)
g x f -
0 x f u nÕ
x g x f
• Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f ( ) x
Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau:
Trang 12* Hàm số logarit: α = log a N ⇔ aα = N log a x = b ⇔ x= a b
• Đặc biệt : aloga x = x ; loga x a = x ; loga1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
loga(B.C) = logaB + logaC
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
logca.logab = logcb ⇔ log ba log bc
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 > logax2
+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 <logax2
Bài toán 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
Bài toán 3: Giải phương trình mũ: 6 cách
Cách 1 Sử dụng định nghĩa a = b <=> x=log (a = b <=>a = ax a x x loga b <=> x=log )a
Trang 13
α.a2f (x)+β.( )f (x)
a.b + γ.b2f (x) = 0 ; Đặt t =
f (x) a b
u(x) = 1 ⇔ [u(x) −1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) và f(x) có chứa biến )
Bài toán 4: Giải phương trình logarit : 6 cách
Cách 1 Sử dụng định nghĩa a
f(x) 0 log f(x)=b<=> 0 1
Bài toán 5: Giải bất phương trình mũ và logarit
Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các cách giải đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:
• Bất phương trình mũ dạng: f (x) g(x)
u(x) ≥ u(x)
f (x) g(x) TH1 : 0 < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
f (x) g(x) TH1 : u(x) > 1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
0 < u(
f (x) g(x) TQuat : u(x) u(x)
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số
Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)
Trang 14a( 1)
α+
+ α
∫
+ =1
atan(ax+ b) + C
dx 2 Sin (ax b)
• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:
2
2cos1sin,2
2cos
1
x x
Trang 15
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2tanx
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) = − v(x).u '(x)dx
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1: ∫sin(ax+b).sin(cx+d)dx;∫sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫cos(ax+b).cos(cx+d)dx
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân
Dạng 2: ∫sin ax.cos axdxn m (n,m là các số nguyên dương)
đặt t = tanax hoặc t = cotax
Dạng 3: ∫R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx