Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu hệ thống kiến thức Toán THPT giúp các bạn nắm vững kiến thức về ứng dụng của đạo hàm, hàm số luỹ thừa mũ và logarit, nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân, số phức, diện tích và thể tích các khối,... Mời các bạn tham khảo để ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải đề.
HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao mở rộng với mục đích dùng cho ơn luyện thi ĐH-CĐ 2.Các nội dung “chữ đậm in nghiêng”ở phần hệ thống nội dung trọng tâm thi TNTHPT VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM • Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số • Các vấn đề liên quan đến hàm số Phương trình tiếp tuyến: M0; qua điểm M1 biết hệ số góc k Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị : Cực trị hàm số Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Sự tương giao hai đường cong ( đ.thẳng đường cong) Cách xác định tiệm cận : Ứng dụng tích phân :Tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Oy o Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm): y=f(x,m) o Bài tốn tìm quỷ tích họ đường cong (Cm): y=f(x,m) o Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp: o o o o o o o …… VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT • • • • • • Tính tốn,chứng minh,rút gọn,….các biểu thức có chứa mũ,logarit,luỹ thừa,… Tính đạo hàm hàm số mũ logarit Vẽ đồ thị hàm số mũ,logarit luỹ thừa Giải phương trình mũ logarit : Giải bất phương trình mũ logarit Giải hệ phương trình mũ logarit (Khơng có ban bản) VấN Đề 3:NGUN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN • Tính ngun hàm o Áp dụng bảng ngun hàm o Dùng PP đổi biến(dạng dạng 2) o PP ngun hàm phần b = F (b) − F (a ) a o Tính tích phân cách sử dụng tính chất ngun hàm o Tính tích phân phương pháp đổi biến số • Tính tích phân ∫ b a f ( x).dx = F ( x) Dạng 1: Tính I = Dạng 2: Tính I = b / ∫ f [u(x)]u dx a β ∫ f (x)dx đặt α cách đặt t = u(x) x = asint ;x = atant ;……… o Tìm tích phân phương pháp phần: ∫ b a b u.dv = u.v a − ∫ b a v.du o Tính tích phân hàm số lượng giác (một số dạng bản) o Tính tích phân hàm số hữu tỷ GV : Phạm Đỗ Hải o Tìm tích phân hàm số vơ tỷ: o Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối Tính • Ứng dụng tích phân o Tính diện tích hình phẳng o Tính thể tích vật thể tròn xoay : VấN Đề 4:Số PHứC • • • • • b ∫ f (x) dx a Tìm số phức z; z; biểu diễn số phức;số phức nhau;… Thực phép tốn cộng trừ,nhân,chia số phức Tìm bậc số (thực dương;0;thực âm số phức) Giải phương trình tập phức (Chú ý PP giải pt bậc định lý Vi-et) Dạng lượng giác số phức ứng dụng (Khơng có ban bản) VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI • • • • • Tính diện tích mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn, ) Tính thể tích khối chóp,khối hộp,lăng trụ,… Mặt cầu: o Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,… o Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Mặt nón: o Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nón thể tích khối khối nón VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHƠNG GIAN • Hệ toạ độ khơng gian o Xác định điểm , tọa độ vectơ khơng gian , c/m tính chất hình học o Tích vơ hướng , tích có hướng , góc hai véc tơ : o Véc tơ đồng phẳng , khơng đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp: • Mặt cầu (S) o Xác định tâm bán kính mặt cầu o Viết phương trình mặt cầu o Xác định tâm H bán kính r đường tròn khơng gian • Mặt phẳng: o Viết pt mặt phẳng dạng (cơ bản,chùm mp tổng qt) • Đường thẳng: o Viết pt đường thẳng dạng (PTTS PTCT) • Vị trí tương đối đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng mặt cầu) • Tính khoảng cách đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng mặt cầu) • Tính góc đối tượng:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng mặt phẳng-mặt phẳng ) • Xác định phương trình;tâm bán kính đường tròn khơng gian • Tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng o Tìm hình chiếu H M lên (α) o Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng (d) • Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp o Đối xứng qua mp(α) o Đối xứng quađường thẳng (d) GV : Phạm Đỗ Hải • Tìm hình chiếu (d’) đ.thẳng (d) lên mp (β) PHẦN A.GIẢI TÍCH PHẦN 1: HÀM SỐ Nhắc lại số cơng hức đạo hàm bản: Bài 1: ( u ± v) / = u / ± v / ( u.v ) / = u / v + u.v / ( C.v ) / = C.v / / u v − v u u = v2 v − C.v / C = v2 v / / 7.( x ) = / ( ) x / ( ) 10 x / = x x / = a ln a x / =e x x 13.( log a x ) = x ln a / 14.( ln x ) = x / 15.( sin x ) = cos x / a1 x + b1 x + c1 a x + b2 x + c a1 a2 b1 a x +2 b2 a2 ( ) 12.( e ) ta có y= (a x = α x α −1 −1 1 9. = x x (v ≠ 0) 11 a ax + b 19 y= cx + d ad − bc y/ = (cx + d ) y/ = α / / / 20 6.( C ) = ta có c1 b x+ c2 b2 + b2 x + c ) c1 c2 16.( cos x ) = − sin x / 17.( tan x ) = cos x −1 / 18.( cot x ) = sin x / tốn (u ) α / = α x α −1 u / / − v/ 1 = v v / u/ u = u ( ) (a ) (e ) u / = a u ln a.u / u / = e u u / ( log a u ) / ( ln u ) / = u/ u ln a u/ u = u / cos u = ( sin u ) / ( cos u ) / ( tan u ) / ( cot u ) / = −u / sin u u/ cos u − u/ = sin u = Khảo sát hàm số SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.Tìm tập xác định: D=… Tính đạo hàm: y’= 3.Tính giới hạn: lim y = lim y = cho y’=0 tìm nghiệm với xo nghiệm mẫu 4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có) 5.Lập bảng biến thiên 6.Chỉ khoảng đồng biến,nghịch biến 7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU 8.Xét tính lồi lõm điểm uốn (Đối với hàm số bậc hàm trùng phương) Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm lập bảng xét dấu y’’ 9.Nhận xét đồ thị: • Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng đồ thị) • Chỉ rõ giao điểm (C) với trục Oy Ox • Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ x →±∞ GV : Phạm Đỗ Hải x → xo ± 10 Vẽ đồ thị 1.Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠ 0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2 − 3ac ∆/ ≤ ∆/ > y/ dấu với hệ số a y/ = có hai nghiệm x1; x2 •KL: hàm số tăng trên? •KL: hàm số tăng? Giảm? (giảm trên?) •Hàm số khơng có cực trị • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? +∞ ( a > 0) lim (ax3 + bx + cx + d ) = − ∞ ( a < 0) −∞ (a > 0) lim ( ax + bx + cx + d ) = x → −∞ + ∞ ( a < 0) + Giới hạn: • • x → +∞ + Bảng biến thiên: x −∞ +∞ / y + y +∞ ∞ x −∞ y/ y +∞ +∞ − −∞ x −∞ y/ y -∞ x1 + CĐ x −∞ y/ y +∞ x1 x2 − a>0 +∞ + +∞ CT − x2 CĐ + +∞ a0 ; có CT Hàm trùng phương a0,khơng CT a 0) lim (ax + bx + c) = − ∞ ( a < 0) x →± ∞ + Bảng biến thiên : x −∞ y/ − + GV : Phạm Đỗ Hải a>0 +∞ x −∞ y/ − x1 + 0 − x2 +∞ + − b 2a y +∞ y +∞ +∞ CĐ CT +∞ CT a x= ? giải pt trùng phương a> b b>0 a< b>0 a< b / y < ∀ x ∈D y > ∀ x ∈D Hàm số khơng có cực trị Hàm số nghịch biến D Hàm số đồng biến D ax + b d ± + Tiệm cận: • x = − c tiệm cận đứng lim =∞ d x → − ÷ cx + d / c •y= a c ax + b = x →±∞ cx + d tiệm cận ngang lim +Bảng biến thiên : x −∞ −d/c +∞ / − || − y y a/c || + ∞ ∞ − a/c x −∞ y/ + y a/c a c −d/c || + ∞ || +∞ + a/c −∞ + Vẽ đồ thị : −Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt − Cho điểm phía tiệm cận đứng vẽ nhánh , lấy đối xứng nhánh qua giao điểm hai tiệm cận GV : Phạm Đỗ Hải x= −d/ c x= −d/ c ax2 + bx+ c ex+ f y= a/c Hàm hữu tỉ : 2/1 (đk : e ≠ 0y=; a/c tử khơng chia hết cho mẫu ) y= f + TXĐ: D = R\ − e + Đạo hàm : y/ = ae.x + 2af x + (bf − ce) có ∆/ =(af)2 −(bf−c e).ae (e.x + f ) ∆/ < y/ dấu với ae Hàm số khơng có cực trị ∆/ > y/ = có hai nghiệm x1; x2 • Giá trị cực trị tính theo CT : y = f + Tiệm cận : • x = −e tiệm cận đứng lim f ( x) x →− • Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x); lim [ f ( x) − ( Ax + B)] = lim ε(x) =0 x →∞ => y = a.e > x →∞ + Bảng biến thiên : x −∞ −f/e +∞ / y + || + y + ∞ || + b x+(e− x −∞ y/ + y −∞ ∞ −∞ a e af e2 x1 − CĐ f e 2ax + b e =∞ ) t/c xiên −f/e || − || + ∞ −∞ x2 +∞ + +∞ CT −∞ a.e < x −∞ −f/e +∞ / − || − y y +∞ || + ∞ −∞ −∞ x −∞ y/ − y +∞ x1 CT −f/e + || + + ∞ || −∞ x2 − CĐ + Vẽ đồ thị : ( hàm phân thức ) Xiên Xiên (ban khơng khảo sát hàm số này) Xiên đứng đứng Bài tốn 2: Phương trình tiếp tuyến : đứng Xiên u Cầu Viết PTTT (C): y=f(x) biết Tiếp tuyến M(x0; f(x0)) • TT có phương trình : y - f(x0)= f/(x0)(x− x0) • Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? • P.trình tiếp tuyến M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0) Tiếp tuyến qua(kẻ từ) điểm A(x1; y1) đồ thị h/s y =f(x) • Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua A Pt đường thẳng (d) : y = k(x − x1) + y1 • Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) f(x) hệ phương trình : f GV : Phạm Đỗ Hải / = k(x − x1) + y1 (x) = k (1) (2) có nghiệm +∞ −∞ • Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a • Giả sử M(x0; f(x0)) tiếp điểm => hệ số góc tiếp tuyến f/(x0) • Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ? • Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vng góc : k1.k2 = −1 + Hai đường thẳng song song : k1 = k2 Bài tốn 3: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị : Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) = • Biến đổi phương trình F(x; m) = dạng f(x) = g(x) Trong đồ thị hàm số y = f(x) vẽ y=g(x) đường thẳng song song với Ox Chú ý:Ở mức độ khó đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định quay quanh điểm cố định) • Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x) • Dựa vào đồ thị xét tương giao đồ thị (C) với đồ thị y = g(x) Bài tốn 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ: D= ? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BXD (sắp nghiệm PT y/ = giá trị khơng xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) / * y > hàm số tăng ; y/ < hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng Định lý (dùng để tìm giá trị m): a) f(x) tăng khoảng (a;b) f/(x) ≥ ∀ x ∈ (a;b) b) f(x) giảm khoảng (a;b) f/(x) ≤ ∀ x ∈ (a;b) Bài tốn 5: Cực trị hàm số • Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị khơng xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) khơng có cực trị (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = / 3) x0 cực trị hàm số y / ( x ) = y ( x ) đổi dấu qua x0 • Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = ( có ) => x1 , x2 … + Tính y//(x1); y//(x2)…… Nếu y//(x0) > hàm số đạt CT x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ? • Tìm m để hàm số đạt cực trị xo: GV : Phạm Đỗ Hải f / ( x0 ) = + xo điểm cực trị // f ( x0 ) ≠ f / ( x0 ) = + xo điểm cực đại / / f ( x0 ) > f / ( x0 ) = + xo điểm cực tiểu / / f ( x0 ) < • Hàm số đạt cực trị y0 x0 f / ( x0 ) = Hàm số đạt cực trị y0 x0 f ( x ) = y f // ( x ) ≠ 0 Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… ) * Nếu y = f(x) đa thức đường thẳng qua điểm cực trị là: y = phần dư phép chia f(x) cho f/(x) Dạng 2: Cực trị hàm hữu tỉ : Cho h/s y = Và y/ = u u(x) ; v(x) đa thức có MXĐ: D v u′v − v′u v = g(x) v dấu y/ dấu g(x) Nếu h/s đạt cực trị x0 y/(x0)= => g(x0) = u/v−v/u = => u′ v′ = u v Do giá trị cực trị y(x0) = u′(x ) v′(x ) Một số dạng tập cực trị thường gặp - a ≠ Để hàm số y = f ( x ) có cực trị ⇔ f ' ( x ) = có nghiêm ⇔ ∆ > - Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía tung ⇔ yCD yCT < - Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục tung ⇔ xCD xCT < - yCD + yCT > Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trục hồnh ⇔ yCD yCT > - yCD + yCT < Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trục hồnh ⇔ yCD yCT < - Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hồnh ⇔ yCD yCT = Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp tìm GTLN GTNN h/s y = f(x) [a;b]: • xét hàm số y = f(x)=… [a;b] • Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) _ x1 , x2 … chọn nghiệm thuộc [a;b] GV : Phạm Đỗ Hải • Tính f(x1) ; f(x2) ……… f(a) ; f(b) • Kết luận: max y = [a;b] So sánh → KL y = ? [a;b] ? P/pháp tìm GTLN GTNN h/s (a;b) MXĐ : • Miền xét (a;b) TXĐ • Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ • Lập BBT: • Từ BBT kết luận y = y ct [a;b] max y = yCĐ [a;b] * Nếu tồn miền xét h/s có CT GTNN giá trị CT * Nếu tồn miền xét h/s có CĐ GTLN giá trị CĐ * Nếu hàm số ln tăng (giảm) (a;b) khơng có cực trị khoảng (a;b) Chú ý : Khi gặp h/s khơng cho miền xét ta tìm TXĐ h/s : • TXĐ đoạn [a;b]hoặc khoảng ta dùng cách • TXĐ khoảng dùng cách • Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến tốn tìm GTLN,NN hàm số y = f(x) khoảng thành tốn tìm GTLN,NN hàm số y = g(t) đoạn khác Bài tốn : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng đường cong) Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hồnh độ giao điểm (C1) (C2) có nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (1) • pt(1) vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có điểm chung • pt(1) có n nghiệm (C1) (C2) có n điểm chung * Số nghiệm (1) số giao điểm hai đường cong f (x) = g(x) Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt có nghiệm f ′(x) = g′(x) Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận : • Tiệm cận đứng : lim f (x) = ±∞ x →x 0± => x = x0 tiệm cận đứng Chú ý : tìm x0 điểm hàm số khơng xác định • Tiệm cận ngang : lim f (x) = y x →±∞ => y = y0 tiệm cận ngang Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( đưa dạng phân thức ) bậc tử ≤ bậc mẫu có tiệm cận ngang • Tiệm cận xiên (ban khơng có phần này): Cách 1: + viết hàm số dạng : f(x) = ax + b + ε (x) lim ε (x) = ⇒ y = ax + b tiệm cận lim [f(x) –(ax + b)] = x→±∞ x→±∞ Cách 2: ta tìm hai hệ số a b ; ⇒ y = ax + b tiệm cận xiên a= f (x) lim x →±∞ x ; b= xiên [ lim f (x) − ax x →±∞ ] Bài tốn 9: Ứng dụng tích phân :Tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Oy GV : Phạm Đỗ Hải (C1 ) (C2 ) (H ) x = a, x = b (a < b) (C1 ) (C2 ) (H ) y = c, y = d (c < d ) b d S = ∫ y C1 − yC2 dx S = ∫ x C − xC2 dy a c b d VOx =π∫ yC21 − yC2 dx VOy =π∫ xC21 − xC22 dy a c Bài tốn 10: Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm): y=f(x,m) • Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m • Toạ độ điểm cần tìm nghiệm hệ PT gồm tất hệ số • Giải hệ kết luận …………………… Bài tốn 11:Bài tốn tìm quỷ tích họ đường cong (Cm): y=f(x,m) • • • • • Tìm đk tham số m để quỷ tích tồn Tìm toạ độ điểm cần tìm quỷ tích Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ Tìm giới hạn quỷ tích Kết luận Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp: a) Dạng đồ thị (C1) hàm số: y = f ( x ) nÕu f ( x) ≥ f ( x) Ta có: y = f ( x ) = nÕu f ( x) < - f ( x) • Vẽ đồ thị (C): y = f(x) • Đồ thị (C1) gồm phần: ° Các phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh (f(x) ≥ 0) ° Phần đối xứng đồ thị (C) nằm phía trục hồnh qua Ox b) Dạng đồ thị (C2) hàm số: y = f ( x ) f ( x) f ( - x) Ta có y = f ( x ) = nÕu x≥ nÕu x< • Vẽ đồ thị (C): y = f(x) • Đồ thị (C2) gồm phần: ° Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0) ° Phần đối xứng phần đồ thị trục Oy c) Dạng đồ thị (C3) hàm số: y = f ( x ) f ( x) ≥ y = ± f ( x) Ta có: y = f ( x ) ⇔ (Do y = f ( x ) coi hàm đa trị y theo x) • Vẽ đồ thị (C) hàm y = f(x) • Đồ thị (C3) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh ° Phần đối xứng phần đồ thị qua trục Ox GV : Phạm Đỗ Hải • Nếu f chứa sinx cosx đặt t = tan ∫ f( ∫ f ( x a − x ).dx Đặt x = a sin t a + x ).dx Đặt x = a tan t f ( x − a ).dx Đặt x= Đặt t = x + x2 ± a2 ∫ ∫ f( x2 ± a2 ).dx a cos t Bài tốn 3: Tìm ngun hàm phương pháp phần: Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) phân tích hàm số dễ phát u dv sin ax ∫ f ( x ) cosax dx với f(x) đa thức: @ Dạng ax e u = f ( x ) du = f '( x ) dx sin ax sin ax ⇒ Đặt Sau thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính dv = cos ax dx v = ∫ cosax dx ax ax e e a.dx u = ln( ax + b ) du = ⇒ ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx @ Dạng 2: Đặt ax + b dv = f ( x ) dx v = ∫ f ( x ) dx Sau thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính ax sin ax @ Dạng 3: ∫ e Ta thực phần hai lần với u = eax dx cosax Bài tốn 4: Tìm ngun hàm hàm số lượng giác (một số dạng bản) Dạng 1: ∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx * Thực cơng thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân Dạng 2: ∫ sin n ax.cos maxdx (n,m số ngun dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn đặt t = cosax *) m lẻ, n chẵn đặt t = sinax *) Nếu n,m chẵn : Dùng cơng thức nhân đơi sau dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu số n n = số lại số chẵn ta dung cơng thức hạ bậc) *) n,m ∈ Z n+m số ngun chẵn đặt t = tanax t = cotax Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ sinx tức R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ cosx tức R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx cosx tức R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx GV : Phạm Đỗ Hải Bài tốn 5: Tìm ngun hàm hàm số hữu tỷ u cầu tính f (x) ∫ g(x) dx f(x), g(x) đa thức theo x Trường hợp 1: Bậc f(x)≥ Bậc g(x) thực phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) = h(x) + g(x) h(x) Trong h(x) (thương phép chia) đa thức r(x) (phần dư phép chia) đa thức có bậc nhỏ bậc g(x) f (x) r(x) ∫ ( g(x) )dx = ∫ h(x)dx + ∫ h(x) dx Như ∫ h(x)dx ta tích bảng ngun hàm ta r(x) phải tính ∫ g(x) dx theo trường hợp sau r(x) Trường hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ bậc g(x) Nên *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích nhị thức *) Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C = = + + g(x) a(x − α ).(x − x )2 (x − x1) (x − x ) (x − x ) 2 (*) ( x1; x2 nghiệm g(x) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT thường gặp phải g(x) phân tích thành tích nhị thức Bài tốn 6: Tìm ngun hàm hàm số vơ tỷ:dùng phương pháp đổi biến số Phuơng pháp chung: • PP đổi biến dạng • ∫ f( n ax + b ).dx t = n ax + b PP đổi biên dạng 2: Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: o ∫ f ( a − x ).dx Đặt x = a sin t Đặt o ∫ f( a + x ).dx Đặt x = a tan t o ∫ f( x − a ).dx Đặt x= o ∫ f( Đặt t = x + x2 ± a2 x ±a 2 ).dx ∫ PHầN 4: TÍCH PHÂN b a f ( x).dx = F ( x) a cos t b = F (b) − F (a ) a Bài tốn 1: Tính tích phân cách sử dụng tính chất ngun hàm Bài tốn 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b / ∫ f [u(x)]u dx cách a Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx Dạng 1: Tính I = • • • Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b) I= b / ∫ f [u(x)]u dx a GV : Phạm Đỗ Hải u(b) = ∫ f (t)dt u(a) đặt t = u(x) β ∫ f (x)dx α Dạng 2: Tính I = Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: 2 a −x ; a −x a2 + x2 ; đặt x = asint đặt x = atant a2 + x2 Bài tốn 3: Tìm ngun hàm phương pháp phần: Nếu u = u(x) , v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục [a;b] I = b b b ∫ udv = u.v a − ∫ vdu a a phân tích hàm số dễ phát u dv @ Dạng β ∫ α sin ax f ( x ) cosax dx với f(x) đa thức: ax e Sau thay vào cơng thức @ Dạng 2: ∫ udv = uv − ∫ vdu Đặt u = f ( x ) du = f '( x ) dx sin ax sin ax ⇒ dv = cos ax dx v = ∫ cosax dx ax ax e e để tính β ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx α u = ln( ax + b ) du = ⇒ Đặt dv = f ( x ) dx v = ∫ a.dx ax + b f ( x ) dx Sau thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính β ax sin ax @ Dạng 3: ∫ e dx α cosax Ta thực phần hai lần với u = eax Bài tốn 4: Tính tích phân hàm số lượng giác (một số dạng bản) Dạng 1: β ∫ sin(ax+b)sin(cx+d)dx α ; β ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx α β ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx α * Thực cơng thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân β Dạng 2: ∫ sin n ax.cos max.dx (n,m số ngun dương) α *) Nếu n lẻ, m chẵn đặt t = cosax *) m lẻ, n chẵn đặt t = sinax *) Nếu n,m chẵn : Dùng cơng thức nhân đơi sau dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu số n n = số lại số chẵn ta dung cơng thức hạ bậc) *) n,m ∈ Z n+m số ngun chẵn đặt t = tanax t = cotax Dạng 3: β ∫ R(sinx,cosx)dx α R hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ sinx tức R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ cosx tức R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx) ta đặt t = sinx *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx cosx tức R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx GV : Phạm Đỗ Hải Bài tốn 5: Tính tích phân hàm số hữu tỷ u cầu tính β f (x) dx ∫ α g(x) f(x), g(x) đa thức theo x Trường hợp 1: Bậc f(x)≥ Bậc g(x) thực phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) = h(x) + g(x) h(x) Trong h(x) (thương phép chia) đa thức r(x) (phần dư phép chia) đa thức có bậc nhỏ bậc g(x) β f (x) β β r(x) dx = ∫ h(x)dx + ∫ dx ∫ α g(x) α α h(x) β Như ∫ h(x)dx ta tích bảng ngun hàm α β r(x) Trường hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ bậc g(x) α Nên ta phải tính β r(x) dx ∫ α g(x) theo trường hợp sau *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích nhị thức *) Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C = = + + g(x) a(x − α ).(x − x ) (x − x1) (x − x ) (x − x ) (*) ( x1; x2 nghiệm g(x) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT thường gặp phải g(x) phân tích thành tích nhị thức Bài tốn 6: Tìm tích phân hàm số vơ tỷ:dùng phương pháp đổi biến số Phuơng pháp chung: • PP đổi biến dạng • ∫ f( n ax + b ).dx t = n ax + b PP đổi biên dạng 2: Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: o ∫ f ( a − x ).dx Đặt x = a sin t o ∫ f( o ∫ o ∫ f( Đặt a + x ).dx Đặt x = a tan t f ( x − a ).dx Đặt x= Đặt t = x + x2 ± a2 x2 ± a2 ).dx a cos t Bài tốn 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối Tính b ∫ f (x) dx a +) Tìm nghiệm f(x) = Nếu f(x) = vơ nghiệm (a;b) có có nghiệm khơng có nghiệm thuộc [a;b] có b ∫ f (x) dx a nghiệm x = a x = b nghiệm lại khơng thuộc [a;b] Nếu f(x) = có nghiệm x = c ∈(a;b) b ∫ f (x) dx a = = b ∫ f (x)dx a c b ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx a c *Chú ý 1) Nếu có nhiều nghiệm (a;b) dùng cơng thức tùy theo trường hợp nghiệm (cách làm có lợi ta khơngcần xét dấu f(x)) 2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân y PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng b GV : Phạm Đỗ Hải a x • Hình phẳng giới hạn : m sốy = f (x) liê n tục trê n[a;b] hà Diện trụ c hoà n h y = 0; x = a; x = b tích : S = b ∫ | f (x) | dx a Chú ý : thiếu cận a, b giải pt : f(x) = m sốx = f (y) liê n tục trê n[a;b] hà • Hình phẳng giới hạn : trục hoành x = 0;y = a; y = b • Hình phẳng giới hạn : Diện tích : S = b ∫ | f (y) | dy a y y=f(x ) b y=g( Diện tích : S = ∫ | f (x) − g(x) | dx a x) a x b Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x) 2) Nếu tốn qua phức tạp ta vẽ hình để xác định hình phẳng tính thơng qua tổng hiệu nhiều hình • Hình phẳng giới hạn : m sốy = f (x) liê n tục trê n[a;b] hà hà m số y = g(x) liê n tụ c trê n [a;b] x = a; x = b m sốx = f (y) liê n tục trê n[a;b] hà hà m số x = g(y) liê n tụ c trê n[a;b] Diện y = a;y = b tích : S = b ∫ | f (y) − g(y) | dy a Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay : * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường : m sốy = f (x) liê n tục trê n[a;b] hà quay nh y = 0; x = a; x = b trục hoà quanh trục Ox f(x) ≥ [a;b] V = b π ∫ f (x) dx a * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường : m sốx = g(y) liê n tục trê n[a;b] hà quay nh x = 0;y = a; y = b trục hoà quanh trục Oy g(y) ≥ [a;b] V = b π ∫ g(y) dy a * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường : m sốy = f (x); y = g(x) liê n tục trê n[a;b] hà quay x = a; x = b quanh trục Ox V = b 2 π ∫ f (x) − g(x) dx a * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường : m sốx = f (y); x = g(y) liê n tục trê n[a;b] hà quay y = a; y = b quanh trục Oy V = b 2 π ∫ f (y) − g(y) dy a PHầN 6: Số PHứC Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,… Cho hai số phức a+bi c+di 1) a+bi = c+di a = c b = d 2) mơđun số phức z = a + bi = a + b 3) số phức liên hợp z = a+bi z = a − bi * z+ z = 2a; z z = z = a + b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i c + di = [(ac+bd)+(ad-bc)i] (để thực phép chia:ta nhân tử mẫu cho số phức liên 7) z = a + bi a + b hợp số phức mẫu) Bài tốn 2:Căn bậc số phức: Định nghĩa bậc 2: z bậc w z2=w Chú ý: • bậc w=a (a số thực dương) z= ± a GV : Phạm Đỗ Hải • bậc w=a (a số thực âm) z= ±i a • • bậc w=0 (a số thực dương) z=0 bậc số phức w=a+bi Phương pháp: o Giả sử:z=x+yi ; x,y số thực bậc số phức w=a+bi o lập hệ x2 − y = a z = w ( x + yi ) = a + bi x − y + xyi = a + bi 2 xy = b o Giải hệ tìm x;y Kết luận Bài tốn 3: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với ∆ = b2 − 4ac Nếu ∆ = phương trình có nghiệp kép b x1 = x = − 2a Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm: x= Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm: x= −b ± ∆ 2a −b ± i ∆ 2a Bài tốn 4:Cách tìm dạng lượng giác số phức: z=a+bi ; Cách 1: 1.Tìm r: r = z = a +b 2 a,b số thực r>0 b sin ϕ = r Tìm Acgumen ϕ cho co s ϕ = a r Thay r ϕ vào cơng thức z = r(cosϕ+isinϕ) a b Cách 2: Biến đổi: z=a+bi = r( + i )= r (co s ϕ + i.sin ϕ ) r r CỦNG CỐ :Dạng lượng giác số phức ứng dụng (Khơng có ban ) Cho số phức z=ax+b; a,b∈ R.được biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng phức Acgumen số phức z: số đo (radian) góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen số phức z y • • Nếu ϕ acgumen z, acgumen z có dạng ϕ+k2π, k∈Z Kí hiệu r mơdun z r = |z| = a2 + b2 , r > a=rcosϕ , b=rsinϕ Từ suy dạng lượng giác số phức z = r(cosϕ+isinϕ) • Dạng lượng giác số đối số phức z -z = - r(cosϕ+isinϕ) hay –z = r[cos(π+ϕ)+íin(π+ϕ)] Số phức liên hợp z số phức z có dạng lượng giác : z =a – bi = r(cosϕ - isinϕ) hay z = r[cos(-ϕ) + isin(-ϕ)] • *Các phép tính với số phức dạng lượng giác: Kí hiệu z1=r1(cosϕ1+isinϕ1) ; z2=r2(cosϕ2+isinϕ2) thì: • z1.z2=r1.r2[cos(ϕ1+ϕ2)+isin(ϕ1+ϕ2) GV : Phạm Đỗ Hải ϕ M(z) O x • z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ1-ϕ2)+isin(ϕ1-ϕ2)] Từ suy dạng lượng giác số phức z-1(nghịch đảo z) là: z-1 = • [ r (cos ϕ + i sin ϕ )] n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) [ (cos ϕ + i sin ϕ )] n = (cos nϕ + i sin nϕ ) 1 = [cos(−ϕ ) + i sin(−ϕ )] z r • Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: Số phức z = r(cosϕ+isinϕ) có hai bậc hai Hay j j j j + sin ) - r (cos + sin ) 2 2 é j ù j r êcos( + p) + isin( + p)ú, với r > ê ú ë û r (cos z = r(cosϕ+isinϕ) có hai bậc hai = *Căn bậc n số phức z có n giá trị khác zk : é ù ỉ ỉ j k2p j k2p n ÷ ÷ ç ç ê ú với k = 0,1,2…,n-1 ÷ ÷ r cos + + i sin + ç zk = ÷ ÷ ê ç ÷ ÷ú ç çn n n n è ø è ø ê ú ë û B HÌNH HỌC Phần 1: Thể tích, diện tích khối hình • Tính diện tích mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn, ) • Tính thể tích khối chóp • • • Tính thể tích khối hộp chữ nhật V= a.b.c Tính thể tích khối lăng trụ: V= Bh Khối cầu: o Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp Dựng trục d đa giác đáy Trong mp chứa cạnh bên trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung trực) cạnh bên Khi đó:gọi I = d ∩ d ' Suy I tâm mc(S) ngoại tiếp hình chóp Tính bán kính r (là khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp) o Tính diện tích mặt cầu S = 4πr2 o • • Bh ; V = πr3 Khối trụ: o Tính diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πrl; o diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2πr(r + l) o thể tích khối trụ V = πr2h Khối nón: o Tính diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl; o diện tích tồn phần hình nón Stp = πr(r + l) o • thể tích khối cầu V= thể tích khối khối nón V= πr h Chú ý: o Các dạng tốn:song song,vng góc lớp 11(đặc biệt tốn giao tuyến thiết diện) GV : Phạm Đỗ Hải Khơng dùng trực tiếp cơng thức tỉ số thể tích mà phải chứng minh(Lập tỉ số thể tích thơng qua việc tính diện tích hai tam giác đồng dạng) Ví dụ: Ta có: AH đường cao chung hình chóp A.SMD A SBD Nên ta có: 1 S AH VS AMD VA.SMD SMD S SMD SM SD.SinS SM = = = = = VS ABD VA SBD S AH S SBD SB SB.SD.SinS SBD o VS AMD SA.SM SD = VS ABD SA.SB.SD Vậy: Phần 2: Phương pháp tọa độ khơng gian → a = (x;y;z) Tính chất : Cho → a → ⇔→ a = x i + y = (a1;a2; a3) , → j + → b = → → a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± • k → a = (ka1;ka2;ka3) k ∈ R →→ vơ hướng : a b = a1.b1 + a2.b2 a1b1 + a 2b + a 3b3 • Tích Cos ϕ = → a → → a ⊥ b z → k (b1;b2; b3) b3) → → → → → +a3.b3= a . b Cos ϕ a12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = → → → → → phương b ; a ≠ ⇔ b = k a ⇔ [ a , b ] = Toạ độ điểm: → → M = (x;y;z) ⇔ OM = (x;y;z) ⇔ OM = x →i + y → AB = → j + z → k ( xB− xA ; yB−yA;zB −zA) • M chia đoạn AB theo tỉ số k≠ ( • M trung điểm AB GV : Phạm Đỗ Hải → MA → = k MB ) Thì M có toạ độ : xA + x B x M = y +y I: y M = A B z +z B z = A M x − k.x B x M = A 1− k y − k.y A B y M = 1− k z − k.z B z = A 1− k M x G = (x A + x B + x C ) G: y G = (y A + y B + y C ) z G = (z A + z B + z C ) • G trọng tâm tam giác ABC • Tích có hướng véctơ : r Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ); r Khi b = (b1 ; b2 ; b3 ) *[ → → a , b ] ⊥ → a ;[ → → a , b ] ⊥ [ → → a , b ] → b = a a a a a a ; ; b b b b1 b1 b → → → a , b , c • Đk đồng phẳng véctơ : ÷ ÷ → → đồng phẳng ⇔ [ → a , b ] c = • ĐK để điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ → → → [ AB , AC ] AD ≠ → → → AB , AC , AD khơng đồng phẳng • ĐK để điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng ( khơng tạo thành tứ diện ) là: A ∉ mp( BCD) → → → →2 • Diện tích tam giác ABC : SABC = AB2AC2 − (AB.AC) Hoặc SABC = [ AB , AC ] 2 [ → , → ] → AB AC AD → → → [ AB , AD ] AA ′ • Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = • Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = Bài tốn 1:Xác định điểm , tọa độ vectơ khơng gian , c/m tính chất hình học Bài tốn 2: Tích vơ hướng , tích có hướng , góc hai véc tơ : Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , khơng đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp: Phần 3: Mặt cầu (S) Bài tốn 1: xác định tâm bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R : (x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2 Phương trình tổng qt mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = với A2 + B2 + C2−D > có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A + B2 + C2 − D Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 = (x1 − a)2 + (y1 − b)2 + (z1 − c) • Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : + Tâm I trung điểm AB => I( xA + xB ; yA − yB ; zA − zB ) + Bán kính R = IA • Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p/ pháp : Pt tổng qt mặt cầu (S) x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = (1) Thay toạ độ điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) tiếp xúc mặt phẳng (α) bán kính R = d(I; (α)) Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng GV : Phạm Đỗ Hải x - x o y - yo z - z o = = ; mc(S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2 a b c Tính d(I; (d)) = ? Nếu:• d(I; d ) > R (d) (S) khơng có điểm chung ( rời nhau) • d(I; α ) = R (d) tiếp xúc với (S) ( d tiếp tuyến) (d) ∩ (S) ={M0} ; • d(I; α ) < R (d) cắt mặt cầu (S) điểm phân biệt A B (Chú ý:AB vng góc với đt qua tâm I trung điểm nó) Cho (d) : Bài tốn 4: Xác định vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho (α) : A x + B y + Cz +D = ; (S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2 Tính d(I; (α)) = ? Nếu:• d(I; α ) > R (α) (S) khơng có điểm chung ( rời nhau) • d(I; α ) = R (α) tiếp xúc với (S) ( α mp tiếp diện) (α) ∩ (S) ={M0} ; Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhận → IM làm VTPT • d(I; α ) < R α cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có tâm H; bán kính r * P.t đ.tròn(C ) A x + B y + Cz +D = (x −a)2 + (y−b)2 + (z−c)2= R2 + Tâm H hình chiếu I lên mp (α) + bán kính r = R − [d(I ; α )]2 Cách xác định Hình chiếu H tâm I lên mp(α) : → + Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận nα làmVTCP Giả sử (d) x = a + At y = b + Bt z = c + Ct + Toạ độ điểm H nghiệm hệ PT (gồm pt mp(α) pt đ.thẳng (d)) + Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy toạ độ điểm H Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện điểm M0: +) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) → +) Tính IM +) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận → IM làm VTPT Bài tốn 5: Xác định tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) mặt phẳng(α) (Thường hay gọi đường tròn khơng gian) + bán kính r = R − [d(I ; α )]2 +Cách xác định tâm H: → Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận nα làmVTCP Giải hệ: (d) x = a + At y = b + Bt z = c + Ct thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H Kết luận Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng Bài tốn 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng: Cách 1:Viết dạng bản: r Biết (P) qua Mo(xo;yo;zo) có VTPT n = ( A, B, C ) có PTTQ A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0 CHÚ Ý: GV : Phạm Đỗ Hải uuur uuur * (ABC): +) tính AB = ? ; AC = ? r uuur uuur +) VTPT (ABC) n = [AB, AC] r => viết mặt phẳng qua A có VTPT n r uur uuur * mp(a,b) : a//b VTPT n = [u a ,AB] với A∈ a; B ∈ b r uur uur Nếu a cắt b n = [u a ,u b ] *(A;a) VTPT r uur uuur n = [u a ,AB] * (α) //(β) VTPT * (α) ⊥a VTPT với B∈ a uur uur n α = nβ uur uur nα = ua * (α) có hai vectơ phương r r a, b uur r r n α = [a, b] *(α) qua điểm A B đồng thời chứa đ.thẳng a // a có VTCP *(α) vng góc hai mặt phẳng (P) (Q) VTPT uur uur uuur r a n α = [u a , AB] ( thay uur r ua = a ) uur uur uuu r n α = [n P , n Q ] * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB +) Xác định trung điểm M đoạn thẳng AB uuur +) Tính vectơ AB uuur Mặt phẳng trung trực qua M có VTPT AB * (α) song song đường thẳng vng góc với mặt phẳng uur uur uur n α = [n β , u a ] * (α) chứa đ.thẳng (D) ⊥(β) +) chọn M đ.thẳng (D) uur uuu r uur +) VTPT (α) n α = [u D , nβ ] * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) +) chọn M đ.thẳng (d) uur uur uuur +) VTPT (α) n P = [u d ,u d / ] Viết PT mp(P) qua M có VTPT uur uur uuur n P = [u d ,u d / ] Cách 2:Viết dạng chùm mặt phẳng: Cho (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 cắt • Mọi mp (R) thuộc chùm (P) (Q) có dạng: m(Ax+By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’)=0 với m + n ≠ • Tìm hệ thức am+bn=0 • Chọn m;n sau kết luận cho PT (R) Cách 3:Viết dạng tổng qt: • • • Định dạng mp cần tìm (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2 + B + C ≠ Vận dụng giả thuyết tìm A;B;C;D Kết luận GV : Phạm Đỗ Hải Bài tốn viết phương trình đường thẳng.(PTTS PTCT) x = x o + a.t r Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) có VTCP u = ( a, b, c ) có PTTS y = yo + b.t z = z + c.t o r x - x o y - yo z - zo = = Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) có VTCP u = ( a, b, c ) có PTCT a b c CHÚ Ý: *∆ qua điểm A có VTCP r u * ∆ qua điểm A B => ∆ qua A có VTCP *∆ qua A // (D) => ∆ qua A có VTCP uuur AB uuu r uD *∆ qua A ⊥(α) ∆ qua A có VTCP uur nα * ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) r uur uur +) VCTP ∆ u = [n α , nβ ] +) Cho ẩn giảir hệuu2r ẩn lại tìm điểm M? uur r uur uur => ∆ qua M có VTCP u = [n α , nβ ] u = [n α , nβ ] * ∆ hình chiếu đ.thẳng (d) lên mp (β) o Viết phương trình mp(P) chứa (d) vng góc mp(β) uur uur uur (chọn M đ.thẳng (d),VTPT (α) n P = [u d ,nβ ] ) o Đường thẳng ∆ cần tìm giao tuyến mp (P) mp(β) Viết PT ∆ dạng tham số tắc (cho ẩn x = giải hệ gồm ẩn y z PT uur uur uur hai mặt phẳng (P) (β)=> M? => ∆ qua M có VTCP u ∆ = [n P , nβ ] ) * Cách viết phương trình đường cao AH ∆ABC r uuur uuur +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n = [BC, AC] = ? r uuur r +) Tìm tọa độ VTCP đường cao AH là: u = [BC, n] = ? r uuur r => Viết PT đường cao AH qua A có VTCP u = [BC, n] * Cách viết phương trình đường trung trực cạnh BC ∆ABC r uuur uuur +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n = [BC, AC] = ? r uuur r +) Tìm tọa độ VTCP trung trực là: u = [BC, n] = ? +) Tìm tọa độ điểm M trung điểm đoạn thẳng BC Đường trung trực cạnh BC ∆ABC đường thẳng qua M có VTCP Bài tốn 3: tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng * Tìm hình chiếu H M lên (α) +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP GV : Phạm Đỗ Hải uur nα r uuur r u = [BC, n] PTmp(α) PT(D) +) giải hệ gồm +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ * Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng (D) uuu r +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u D PTmp(α) PT(D) +) giải hệ gồm +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp * Đối xứng qua mp(α) +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP uur nα PTmp(α) PT(D) +) giải hệ gồm +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ +) Tọa độ điểm đối xứng A/ : x = 2x − x H A/ y = 2y − y H A/ z = 2z H − z / A * Đối xứng quađường thẳng (D) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT uuu r uD PTmp(α) PT(D) +) giải hệ gồm +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ +) Tọa độ điểm đối xứng A/ : x = 2x − x H A/ y = 2y H − y / A z = 2z H − z / A Bài tốn 5: Xác định vị trí tương đối mp mp, đt đt, đt mp * Vị trí tương đối mp (P) mp(Q) (P) : Ax + By + Cz + D = ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = → / / / với → n =(A;B;C) n′ =(A ; B ; C ) (P) ≡ (Q) (P) // (Q) A A/ = B B/ = A B B/ = = C C/ C C/ = ≠ D D/ D D/ B B C C A ∨ /≠ / ∨ /≠ / B C C A B/ → / / / ⊥ α/ → n n′ = AA + BB + CC → cắt α/ → n n′ khơng phương (P) cắt (Q) Chú ý :• α •α A A/ A/ ≠ =0 * vị trí tương đối đ.thẳng (d1) (d2) Xác định VTCP Nếu :[ → → → u , u / ]= → u =(a;b;c) , → / / u / =(a ;b ; c/ ) ;Tính [ +) chọn M1 ∈(d1) Nếu M1∉ d2 d1 // d2 Nếu M1 ∈(d2) d1 ≡ d2 Nếu [ → → u , u/ ] GV : Phạm Đỗ Hải ≠ → → → u , u/ ] r → → uuuuuuu u , u ' ] M1M r → → uuuuuuu +) Nếu: [ u , u ' ] M1M = r → → uuuuuuu +) Nếu: [ u , u ' ] M1M ≠ Hoặc ta giải hệ { d1 = d theo t tính [ d1 cắt d2 d1 chéo d2 t/ (cho PTTS hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ) +) hệ có nghiệm t t/ d1 cắt d2 => giao điểm +) hệ VN d1 chéo d2 * Vị trí tương đối đ.thẳng (D) mặt phẳng (P).Giải hệ PT +) thay PTTS đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta PT theo ẩn t +) PTVN (D)//mp(P) Nếu PTVSN (D) ⊂ mp(P) Nếu PT có nghiệm (D) cắt mp(P) =>giao điểm? Hoặc dung cách sau: r r +) tìm tọa độ VTCP u (D) VTPT n mp(P) r r +) Tính tích vơ hướng u n = ? r r Nếu tích vơ hướng u n ≠ (D) cắt mp(P) r r Nếu u n = chọn điểm M (D) sau thay vào PT mặt phẳng (P) thỏa mãn (D) ⊂ mp(P) ngược lại (D)//mp(P) Bài tốn 6: Tính khoảng cách * từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = d(A;(α)) = Ax + By0 + Cz0 + D A + B2 + C * (P)//(Q) d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với điểm A chọn tùy ý (P) * Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P) +) chọn điểm M (d) tính d(M;(d)) = ? +) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P)) * Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D) (khơng có cơng thức tính chương trình phân ban ban bản) ta tính sau: Cách +) lập PT mp(Q) qua A vng góc với (D) +) Tìm giao điểm H mp(P) đ.thẳng (D) +) Khoảng cách cần tìm đoạn thẳng AH uu r uuuuu r [ud ; AM ] uu r Cách Áp dụng cơng thức : d ( A, d ) = M thuộc d ud * Khoảng cách hai đường thẳng song song (d) (d/) +) Chọn điểm M (d) uur +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u d +) Tìm điểm N giao điểm (d/ ) mp(P) ( cách giải hệ gồm PTcủa (d/) PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z tọa độ điểm N) +) Khoảng cách cần tìm độ dài đoạn thẳng MN * Khoảng cách hai đường thẳng chéo (d) (d/) Cách 1: Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) GV : Phạm Đỗ Hải +) chọn M đ.thẳng (d) uur uur uuur +) VTPT (α) n P = [u d ,u d / ] uur uur uuur => Viết PT mp(P) qua M có VTPT n P = [u d ,u d / ] Chọn điểm N (d/) Tính d(N, mp(P)) =? d((d), (d/)) = d(N, mp(P)) Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng uu r uur uuuu r [ u ; u ] MN / d d / uu r uur Cách Áp dụng cơng thức : d (d ; d ) = [ud ; ud / ] Bài tốn 7: Tính góc * Góc hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = ur uu r Với · ϕ = ((mp(Q),mp(P)) cosϕ = * Góc đường thẳng (D): Với uur uur SinΨ=|cos( n P , u D ) |= ur uu r Α1A + B1B2 + C1C2 A1 + B12 + C12 A 22 + B22 + C22 mặt phẳng Ax+By+Cz+D = uur uur · mp(P)) ϕ = ((D), ¶ ∆) ϕ = (d, n1 n x = x + at y = y0 + bt z = z0 + ct Góc hai đường thẳng (d) : Với n1.n ur uu r = mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = cosϕ = GV : Phạm Đỗ Hải x = x + a1t y = y0 + b1t z = z0 + c1t n u P D uur uur = nP uD Và ( ∆ ): A + B2 + C a + b + c x = x 0/ + a t / / / y = y0 + b t / / z = z + c t u1.u a1a + b1b + c1c2 u1 u a12 + b12 + c12 a 22 + b 22 + c 22 ur uu r = aΑ + bB + cC ... giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT thường gặp phải... giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT thường gặp phải... ý 1) Nếu có nhiều nghiệm (a;b) dùng cơng thức tùy theo trường hợp nghiệm (cách làm có lợi ta khơngcần xét dấu f(x)) 2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân y PHầN 5: DIệN