ản dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.. ản dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.. ơ bản dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.. ản dựa vào bảng nguyên hàm của
Trang 1Tài liệu ơn tập tốn 12
ƠN TẬP TỐN 12
A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2 3ac
y/ cùng dấu với hệ số a
KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
KL: hàm số tăng? Giảm?
Hàm số không có cực trị Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: lim (ax3 bx2 cx d)
)0(
a a
a a
+ Bảng biến thiên:
+ Vẽ đồ thị : xác đinh Cực trị ?
; điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2.Hàm phân thức : y =
d cx
b ax
( c 0; ad bc 0 )
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
3 ))
Trang 2Tài liệu ơn tập tốn 12
+ Đạo hàm : y/ = 2
) ( cx d
bc ad
b axc d
b ax
+Bảng biến thiên :
Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận
3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
Trang 3Tài liệu ơn tập tốn 12
a
4
Có 3 cực trị+ Giới hạn : lim (ax4 bx2 c)
a a
+ Bảng biến thiên :
4 Hàm hữu tỉ : 2/1 y =
f ex
c bx
).(
)(
.2
f x e
ce bf x af x
y/ cùng dấu với ae y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
Hàm số không có cực trị Giá trị cực trị tính theo CT : y =
Trang 4Tài liệu ơn tập tốn 12
+ Bảng biến thiên :
(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là :
Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0)
2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x x1) + y1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là
Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k =
a
1
+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)
+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x x0) + f(x0)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x)
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
Trang 5Tài liệu ơn tập tốn 12
+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C)
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) 0 x (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) 0 x (a;b)
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0
3) x0 là cực trị của hàm số
/
/( )
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y = u
v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
đổi dấu qua x0
Trang 6Tài liệu ơn tập tốn 12
Và y/ = u v v u 2 =g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/vv/u = 0
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh KL
y(a) ; y(b)
+ max y[a;b] ? min y[a;b] ?
2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y[a;b] yCĐ
* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b)
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong
2 Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)
Trang 7Tài liệu ơn tập tốn 12
*Tiệm cận đứng : lim f (x)
x x0
=> x = x0 là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định
*Tiệm cận ngang : lim f (x) y0
x
=> y = y0 là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử bậc mẫu
thì có tiệm cận ngang
* Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng cĩ phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + (x)
= 0 y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
a lim f (x)
xx
Đặc biệt : aloga x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0
Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a 1 ta có:
log a (B.C) = log a B + log a C
Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c 1 ta có :
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
Trang 8Tài liệu ơn tập tốn 12
log c a.log a b = logc b log ba log bc
log ac
0 < a, b 1 : log a b = log a1
b
Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x
Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a 1
TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 log a x1 > log a x2
+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 log a x1 <log a x2
Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :
Dạng cơ bản:
Trang 9Tài liệu ơn tập tốn 12
f (x)a + f (x)b + = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f (x)a ;1
t= f (x)b
2f (x)a +. a.b f (x)+ 2f (x)b = 0 ; Đặt t =
f (x)ab
Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit
Dạng cơ bản :
2 f (x)a > b Nếu b 0 có nghiệm x
Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1 f(x) < log a b nếu 0 < a < 1
3 f (x)a < b Nếu b 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1 f(x) > log a b nếu 0 < a < 1
u(x)v(x)> 1 u(x) > 0 và [ u(x) 1 ].v(x) > 0
u ( x ) v(x)< 1 u(x) > 0 và [ u(x) 1 ].v(x) < 0
Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm c b n (d a vào b ng nguyên hàm c a các hàm s c b n).ơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản) ản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản) ựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản) ản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản) ủa các hàm số cơ bản) ố cơ bản) ơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản) ản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản)
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
Trang 10Tài liệu ôn tập toán 12
aCos(ax+ b) + Cdx
2Cos (ax b)
=1
atg(ax+ b) + Cdx
2Sin (ax b)
= 1
aCotg(ax+ b) + C
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = f[u(x)].u '(x)dx b ng cách đ t t = u(x)ằng cách đặt t = u(x) ặt t = u(x)
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm b ng ph ng pháp t ng ph n:ằng cách đặt t = u(x) ươ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản) ừng phần: ần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u '(x)dx
Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
Trang 11Tài liệu ôn tập toán 12
@ Dạng 1
sin( )
cosax
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx
cos(ax+b).cos(cx+d)dx
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân
Dạng 2: sin ax.cos axdxn m (n,m là các số nguyên dương)
đặt t = tanax hoặc t = cotax
Dạng 3: R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
Trang 12Tài liệu ôn tập toán 12
R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính g(x)f (x)dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x
Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
theo trường hợp sau
Trường hợp 2: tính g(x)r(x)dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x)
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức
Phần 4: Tích phân.
Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Trang 13Tài liệu ôn tập toán 12
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm b ng ph ng pháp t ng ph n:ằng cách đặt t = u(x) ươ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản) ừng phần: ần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên [a;b] thì I = budv u.vab bvdu
a a
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin( )
cosax
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản)
Dạng 1: sin(ax+b)sin(cx+d)dx
; sin(ax+b).cos(cx+d)dx
cos(ax+b).cos(cx+d)dx
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
Trang 14Tài liệu ôn tập toán 12
Dạng 2: sin ax.cos ax.dxn m
R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì
ta đặt t = cosx
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)
thì ta đặt t = sinx
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx
Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x
Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức
Trang 15Tài liệu ơn tập tốn 12
Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối
Tính bf (x) dx
a
+) Tìm nghiệm của f(x) = 0
Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc cĩ cĩ nghiệm nhưng khơng cĩ nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc
cĩ một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm cịn lại khơng thuộc [a;b] thì
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
Hình phẳng giới hạn bởi :
hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx
a
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0; quay quanh trục Ox và f(x) 0 trên [a;b] thì
y=g(x)
x
Trang 16Tài liệu ơn tập tốn 12
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
hàm số x liên tục trên [c;d]
trục tung x 0;y quay quanh trục Oy và f(y) 0 trên [a;b] thì
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di
1) a+bi = c+di a = c; b = d 2) mơđun số phức z a bi a2b2
3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a bi
* z+ z = 2a; z z = z2a2b2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với = b2 4ac
Nếu = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép x1 x2 b
2a
(nghiệm thực)Nếu > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: x b
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (S xq ), diện tích tồn phần(S tp ) của khối nĩn,trụ,cầu.
Trang 17Tài liệu ơn tập tốn 12 Tính chất : Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)
a b =(a1 b1; a2 b2; a3 b3)
a k = (ka1;ka2;ka3) k R
Tích vô hướng : a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 +a 3 b 3 = a . b Cos
cùng phương b ; a 0 b = k a [ a , b ] = 0
Toạ độ điểm:
1
yG (yA yB y )C3
1
zG (zA zB z )C3
Tích có hướng của 2 véc tơ :
GIÁO VIÊN: NGUYỄN THANH NHÀN
Trang 18Tài liệu ơn tập tốn 12
, b , c đồng phẳng [ a , b ] c = 0
ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB , AC ,AD không đồng phẳng <=> [ AB , AC ].AD
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x a)2 + (y b)2+ (zc )2 = R2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2D > 0
có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = A2B2C2 D
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)
+ Bán kính R = IM1 = (x1a)2(y1b)2(z1c)2
Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
+ Tâm I là trung điểm AB => I(xA xB
2
;yA yB2
;zA zB2
) + Bán kính R = IA
Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D