hệ thống kiến thức toán lớp 12 (sau khi sửa chữa)

Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.. * Thực hiện cơng thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.. Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các h

HƯỚNG DẪN ƠN THI TNTHPT NĂM 2009 (Ban cơ bản)

A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

PHẦN 1: HÀM SỐ

Bài tốn 1: Khảo sát hàm số

1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a  0 )

+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2  3ac

y/ cùng dấu với hệ số a

KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) y

/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

KL: hàm số tăng? Giảm?

Hàm số không có cực trị  Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?

+ Giới hạn:  xlim (ax3bx2cxd)

















) 0 ( ) 0 (

a a

 xlim (ax3bx2 cxd)

















) 0 (

) 0 (

a a

+ Bảng biến thiên:

x  +



x  x1 x2 +



y/ + y/ + 0  0 +

y  +



y  CĐ CT +



x  +



x  x1 x2 +



y/  y/  0 + 0 

y + 



y  CT CĐ 

 Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng

+ Vẽ đồ thị :  xác đinh Cực trị ?

 ; điểm đặc biệt

a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT

2.Hàm phân thức : y =

d cx

b ax



 ( c  0; ad  bc  0 ) + TXĐ : D = R\ 

c d

+ Đạo hàm : y/ = 2

) (cx d

bc ad





y < 0  x D y > 0  x D

Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên D + Tiệm cận:  x =

c

d

 là tiệm cận đứng vì

d cx

b ax

c d





lim/ =   y =

c

a

là tiệm cận ngang vì

d cx

b ax







c a

+Bảng biến thiên :

x  d/c +



x  d/c +

y/    y/ +  +

y a/c + a/c

y a/c + a/c

+ Vẽ đồ thị :  Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt  Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận

3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a  0 )

+ TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)

y/ = 0  x = 0

KL: tăng? Giảm

y/ = 0  2x (2ax2 + b) = 0  x= 0; x1,2=

a

b

2



KL: tăng? Giảm?

Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị  Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(  2b a ) =

a

4

 Có 3 cực trị + Giới hạn : xlim (ax4bx2c)

















) 0 ( ) 0 (

a a

+ Bảng biến thiên :

x  0 +



x  x1 0 x2 +



y/  0 + y/  0 + 0  0 +

a > 0

a < 0

Điểm uốn I(

a

b

3 ;f(

a

b

3 ))

y= a/c

y= a/c

a < 0

a > 0

c

y + CT +



y + CT CĐ CT +



x  0 +



x  x1 0 x2 +



y/ + 0  y/ + 0  0 + 0 

y  CĐ 



y + CĐ CT CĐ +

 + Vẽ đồ thị :  cực đại , cực tiểu ;  y = 0 > x= ? giải pt trùng phương

4 Hàm hữu tỉ : 2/1 y =

f ex

c bx

ax 2





 (đk : e  0 ; tử không chia hết cho mẫu )

+ TXĐ: D = R\













 e f

2

) (

) (

2

f x e

ce bf x af x ae









có / =(af)2 (bfc e).ae

y/ cùng dấu với ae y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

Hàm số không có cực trị  Giá trị cực trị tính theo CT : y =

e

b

ax 

2

+ Tiệm cận :  x = 

e

f là tiệm cận đứng vì lim f ( x )

e

f

 Viết lại hàm số y = A x + B + (x);

)]

(

)

(

[





xlim =0 => y =

e

a

x + (

e

b

 e2

af

) là t/c xiên + Bảng biến thiên :

x  f/e + x  x1 f/e x2 +



y/ +  + y/ + 0    0 +

y

 + +



y  CĐ + CT

x  f/e + x  x1 f/e x2 +



y/    y /  0 +  + 0 

y + + 

y + + CĐ

CT   + Vẽ đồ thị : ( như hàm phân thức )

(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là :

Từ x0 tính f(x0) ;  Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0)

2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)

+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A

Pt đường thẳng (d) là : y = k(x  x1) + y1 + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là hệ phương trình :    (1)









f(x) k(x x ) y1 1 /

f (x) k (2) có nghiệm Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận

3 Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = 

a

1

+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)

+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x)

+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m) + y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M

Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ D= ? + Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

a> 0

b>0 a< 0

b <0

a< 0 b>0

a> 0

b <0

a.e > 0

a.e < 0

c

Xiên

Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

Bài tốn 5: Cực trị hàm số

 Dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái

sang phải tăng dần)

+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) x0 là cực trị của hàm số 

/ ( 0) 0 / ( )









y x

y x

 Dấu hiệu II:

+ MXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 …

+ Tính y//(x1); y//(x2)……

Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?

Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)

Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :

Cho h/s y = u

v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

Và y/ = u v v u 2  =g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/vv/u = 0

=> u u





 Do đó giá trị cực trị y(x0) = u (x )0

v (x )0





Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:

+ Miền đang xét [a;b]

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]

+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh  KL

y(a) ; y(b)

+ max y[a;b]  ? min y[a;b] ?

2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :

+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ + Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BBT:

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT 1

min y [a;b] 2 yCT

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y

[a;b]  yCĐ

* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b)

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :

+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 + nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có

là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

 pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

 pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

2 Điều kiện tiếp xúc :

Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)

f (x) g (x)







Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :

*Tiệm cận đứng : lim f (x)

x x0



 => x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định

*Tiệm cận ngang : lim f (x) y0

x



  => y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử

 bậc mẫu thì có tiệm cận ngang

* Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng cĩ phần này):

Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b +  (x)

lim





x [f(x) –(ax + b)] = lim (x)

x



  = 0  y = ax + b là tiệm cận xiên

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;

a lim f (x)

x x



 

; b lim f (x) ax

x

 

 y = ax + b là tiệm cận xiên Phần 2: Hàm số mũ và logarit

Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit

đổi dấu qua x0

an = n

a

1

; a0 = 1 0 ; amn nam

 ( m; n nguyên dương , n > 1)

 Các quy tắc:

ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx

x

a

y

a





x

b b

 

 

   ax y  ay x  ax.y

 Hàm số mũ : y = xa với a > 0 ; a  1

TXĐ : D = R MGT : (0; + )

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2  ax1 > ax2

+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2  ax1 < ax2

* Hàm số logarit:

 = loga N  a = N log a x = b  x= a b

 Đặc biệt : aloga x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0

 Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a  1 ta có:

log a (B.C) = log a B + log a C

log a B

C

 

 

  = log a B  log a C loga B = 

log a B

 Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c  1 ta có :

log c a.log a b = logc b  log ba log bc

log ac



0 < a, b  1 : log a b = log a1

b

Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x

 Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a  1

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0  log a x1 > log a x2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0  log a x1 <log a x2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit

(ex) / = ex > ( eu)/ = u/.eu

( ax) / = ax.lna > ( au)/ = u/.au.lna

(lnx) / = 1

x x (0;+) > (lnu)/ = u

u



(logax) / = 1

x ln a > (logau )/ = u

u ln a



Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :

 Dạng cơ bản:

f (x)

a = g(x)a  f(x) = g(x) v(x)

u = 1  ( u 1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )

f (x)

a = b ( với b > 0 )  f(x) = log a b log a f(x) = log a g(x)  f (x) 0 g(x) 0

f (x) g(x)









dạng: log f (x)a b









 f(x) = ba

logu(x)v(x) = b 

 

v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1

b v(x) u(x)









 Đặt ẩn phụ :

 2f (x)a + f (x)a +  = 0 ; Đặt : t = f (x)a Đk t > 0  b f (x)

a  + b f (x)a  +  = 0 ; Đặt : t = f (x)a Đk t > 0

 f (x)a + f (x)b +  = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f (x)a ;1

t= f (x)b

 2f (x)a +. a.b f (x)+  2f (x)b = 0 ; Đặt t =

f (x) a b

 

 

 

 Logarit hoá hai vế :

Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit

 Dạng cơ bản :

10 f (x)a > g(x)a  f (x) g(x) khi a 1

f (x) g(x) khi 0 a 1







20 f (x)a > b  Nếu b  0 có nghiệm x

Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1 f(x) < log a b nếu 0 < a < 1

30 f (x)a < b  Nếu b  0 thì pt vô nghiệm

Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1 f(x) > log a b nếu 0 < a < 1

log a f(x) > log a g(x)  Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a  1

(a1)[ f(x)  g(x) ] > 0

log a f(x) > b  * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b

log a f(x) < b  * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b

hoặc

u(x)v(x)> 1  u(x) > 0 và [ u(x) 1 ].v(x) > 0

  u ( x ) v(x)< 1  u(x) > 0 và [ u(x) 1 ].v(x) < 0

Lưu ý:

*) trong trường hợp cĩ ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn

trở nên dễ dang hơn

10 f (x)a > g(x)a  (a1)(f(x)  g(x)) > 0

20 log a f(x) > log a g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0

*) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất

đơn điệu của hai hàm số trên

*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số

Phần 3: Nguyên hàm.

Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ

bản).

dx x C



x dx 



1

x

  

+ C ( -1 )

dx

x

 = lnx + C ( x 0)

x

e dx

 = ex + C

x

a dx

x

a

ln a + C

1 (ax b)

a( 1)









 

( -1)

dx

ax b





= 1

alnax+ b + C 1

ax b

a





x

a .dx

ln a

 



 Cosx.dx

 = Sinx + C

Sinx.dx

 =  Cos x + C

dx

2

Cos x

 =(tg x 1).dx2  = tgx

dx

2

Sin x

 = (Cotg x 1).dx2 

= Cotgx

Cos(ax b).dx

aSin(ax+ b) + C Sin(ax b).dx

aCos(ax+ b) + C dx

2 Cos (ax b)



atg(ax+ b) + C dx

2 Sin (ax b)





= 1

aCotg(ax+ b) + C

Bài tốn 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

Dạng 1: Tính I = f[u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)dt u '(x)dx

 I = f[u(x)].u '(x)dx f (t)dt

Dạng 2: Tính I = f (x)dx Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân

cĩ chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì cĩ thể đổi biến như sau:

1



 thì đặt x = asint

1



 thì đặt x = atant

Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm b ng ph ng pháp t ng ph n:ằng phương pháp từng phần: ương pháp từng phần: ừng phần: ần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên I u(x).v'(x)dx u(x).v(x)  v(x).u '(x)dx

Hay udv uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm sớ dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )



ax

f x cosax dx ax e

với f(x) là đa thức:

Đặt

cos



u f x du f x dx

dv ax dx v cosax dx

Sau đĩ thay vào cơng thức udv uv   vdu để tính

@ Dạng 2:  f x( ) ln(ax b dx )

Đặt

( )

( )



 



a dx

u ax b du

ax b

dv f x dx

v f x dx

Sau đĩ thay vào cơng thức udv uv   vdu để tính

@ Dạng 3:  sin 

ax ax

e dx cosax

Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax

Bài tốn 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).

Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx cos(ax+b).cos(cx+d)dx

* Thực hiện cơng thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: sin ax.cos axdxn m (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax

*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax

*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đĩ dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số cịn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ bậc)

*) n,m  Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì cĩ thể đặt t = tanax hoặc t = cotax

Dạng 3: R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học).

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t =

cosx

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t =

sinx

*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là

R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx

Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x)dx

g(x)

 trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x

Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x)

ta dẫn đến: f (x) h(x) r(x)

g(x) h(x) Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức

còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x)

Nên (f (x))dx h(x)dx r(x)dx

nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính r(x)dx

g(x)

 theo trường hợp sau

Trường hợp 2: tính r(x)dx

g(x)

 với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x)

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức

*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:

g(x)a(x 1).(x x ) 2 (x x ) 1 (x x ) 2 (x x ) 2 (*) ( x1; x2 là nghiệm của

g(x)

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu

thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để

tìm các hệ số được dễ dàng)

*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của

các nhị thức

Phần 4: Tích phân.

Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản

Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Tính I = bf[u(x)]u dx/

a bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)dt u '(x)dx

 Đổi cận x=a => t = u(a)

x=b => t = u(b)

 I = bf[u(x)]u dx/

u(b)

u(a)

f (t)dt



Dạng 2: Tính I = f (x)dx



Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

1



 thì đặt x = asint 1



 thì đặt x = atant

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm b ng ph ng pháp t ng ph n:ằng phương pháp từng phần: ương pháp từng phần: ừng phần: ần:

Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I = budv u.vba bvdu

a   a

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )



ax

f x cosax dx ax e





với f(x) là đa thức:

Đặt

cos



u f x du f x dx

dv ax dx v cosax dx

Sau đó thay vào công thức udv uv   vdu để tính

@ Dạng 2:  f x( ) ln(ax b dx )



Đặt

( )

( )



 



a dx

u ax b du

ax b

dv f x dx

v f x dx

Sau đó thay vào công thức udv uv   vdu để tính

@ Dạng 3:  sin 

ax ax

e dx cosax





Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản) Dạng 1: sin(ax+b)sin(cx+d)dx



; sin(ax+b).cos(cx+d)dx

 cos(ax+b).cos(cx+d)dx



* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: sin ax.cos ax.dxn m





*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax

*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.

*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đĩ dung tiếp cơng thức hạ

bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số cịn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng

thức hạ bậc)

*) n,m  Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì cĩ thể

đặt t = tanax hoặc t = cotax

Dạng 3: R(sinx,cosx)dx



R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì

ta đặt t = cosx

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)

thì ta đặt t = sinx

*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là

R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx

Bài tốn 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x)dx

g(x)







trong đĩ f(x), g(x) là các đa thức theo x

Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x)

ta dẫn đến: f (x)g(x)h(x)h(x)r(x) Trong đĩ h(x) (thương của phép chia) là một đa thức

cịn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức cĩ bậc nhỏ hơn bậc của g(x)

Nên f (x)dx h(x)dx r(x)dx

Như vậy h(x)dx



ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ cịn phải tính r(x)

dx

g(x)







theo trường hợp sau

Trường hợp 2: tính r(x)dx

g(x)







với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x)

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức

*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:

g(x)a(x  ).(x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (*) ( x1; x2 là nghiệm của

g(x)

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đĩ cho các giá trị của x vào biểu

thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để

tìm các hệ số được dễ dàng)

*) sau đĩ thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của

các nhị thức

Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối

Tính bf (x) dx

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0

Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc cĩ cĩ nghiệm nhưng khơng cĩ nghiệm nào thuộc

[a;b] hoặc cĩ một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm cịn lại khơng thuộc [a;b] thì

bf (x) dx

b

f (x)dx

a Nếu f(x) = 0 cĩ nghiệm x = c (a;b) thì bf (x) dx

f (x)dx f (x)dx

a  c

*Chú ý 1) Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào (cách làm này cĩ lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x))

2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân

Phần 5: Diện tích hình phẳng  thể tích vật thể trịn xoay.

Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng

 Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

x a; x b









hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0;

Diện tích : S = b| f (x) | dx

a

Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0

 Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

y g(x)

x b













hàm số liên tục trên [a;b]

hàm số liên tục trên [a;b]

x a;

Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx

a 

Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)

2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thong qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình

Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y f (x)

x a; x b









hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0; quay quanh trục Ox và f(x)  0 trên [a;b] thì V

= bf (x) dx2 a

  

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :

f (y) c; y d









hàm số x liên tục trên [c;d]

trục tung x 0;y quay quanh trục Oy và f(y)  0 trên [a;b] thì V

= d

c

2

f (y) dy

  

Phần 6: Số phức Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…

Cho hai số phức a+bi và c+di

1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) mơđun số phức z  a bi  a2b2 3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a  bi

a

b

x y

y=g(x)

* z+ z = 2a; z z = z2a2b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i

6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i

7) z = c dia bi 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]





Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với  = b2 4ac

Nếu  = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép x1 x2 b

2a

  (nghiệm thực) Nếu  > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: x b

2a



Nếu  < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức x b i

2a



B HÌNH HỌC

Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình

Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nĩn,trụ,cầu

 Khối nĩn: Sxq = rl; Stp = r(r + l)

 Khối trụ: Sxq = 2rl; Stp = 2r(r + l)

 Khối cầu: S = 4r2

Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình.

* Khối hình chĩp V = 1Bh

3 ; * Khối nĩn V =

2

1 r h

3

* Khối hình trụ V = r2h ; * Khối cầu V =4 r3

3

* Khối lăng trụ: V= Bh

Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

a

 = (x;y;z)  a = x i + y j + z  k

Tính chất : Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)

 a  b =(a1  b1; a2  b2; a3  b3)

 a k = (ka1;ka2;ka3) k  R

Tích vô hướng : a b  = a 1 b 1 + a 2 b 2 +a 3 b 3 = a . b Cos 

Cos  = 2 a b1 12 a b22 22a b3 32 2

a1 a2 a b3 1 b2 b3

  a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0

a

 cùng phương b ; a  0  b = k a  [ a , b ] = 0

Toạ độ điểm:

M = (x;y;z) OM = x. + y ji  + z  k

AB = ( xB xA ; yByA;zB zA)

 M chia đoạn AB theo tỉ số k1 ( MA = k MB )

Thì M:

xA k.xB

yA k.yB

zA k.zB

































 I là trung điểm của AB thì I:

xA xB

yA yB

zA zB



























 G là trọng tâm tam giác ABC thì G:

1

xG (xA xB x )C 3

1

yG (yA yB y )C 3

1

zG (zA zB z )C 3

















 Tích có hướng của 2 véc tơ : [ a , b ] = a a2 3; a a3 1 ;a a1 2

b b2 3 b b3 1 b b1 2

* [ a , b ]  a ; [ a , b ]  b

 Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :

a

 , b , c đồng phẳng  [ a , b ] c = 0

 ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB ,

AC ,AD không đồng phẳng <=> [ AB , AC ].AD

 0

 Diện tích tam giác ABC : SABC = 1 AB AC2 2 (AB.AC)2

2

 Hoặc SABC =

2

1 [ AB , AC ]

 Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = 16[ AB , AC ].AD



 Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ] AA

 

Bài tốn 1:Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học

Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ : Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:

Phần 3: Mặt cầu.

Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu

Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :

(x a)2 + (y  b)2+ (zc )2 = R2

Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):

x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2D > 0

có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = A2B2C2 D

Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu

 Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)

+ Bán kính R = IM1 = (x1a)2(y1b)2(z1c)2

 Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :

+ Tâm I là trung điểm AB => I(xA xB

2



;yA yB 2



;zA zB 2

 ) + Bán kính R = IA

 Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:

p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)

x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)

Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D

 Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng ()

bán kính R = d(I; ())

Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

() : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2

Tính d(I; ()) = ?

Nếu: d(I;  ) > R <=>  và S không có điểm chung ( rời nhau)

 d(I;  ) = R <=>  tiếp xúc với S (  là mp tiếp diện)

()  (S) =M0 ;

Cách viết mặt phẳng tiếp diện : () qua M0 nhận IM0 làm VTPT

 d(I;  ) < R <=>  cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)

tâm H; bán kính r

* P.t đ.tròn (C ) A x + B y + Cz +D = 0

(x a)2 + (yb)2 + (zc)2= R2 + Tâm H là hình chiếu của I lên mp 

+ bán kính r = R2[d(I ; )] 2

Cách xác định H: + Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận n làmVTCP

(d)

x a At

y b Bt

z c Ct

 





 



  



thay vào pt mp() => giải t => toạ độ điểm H

Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:

+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)

+) Tính IM0

+) Mặt phẳng tiếp diện () qua M0 nhận IM0 làm VTPT.

Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r đường trịn giao tuyến của mặt cầu (S)và mặt phẳng().

+ bán kính r = R2[d(I ; )] 2 Cách xác định H:

+ Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận 



n làmVTCP

(d)

x a At

y b Bt

z c Ct

 





 



  



thay vào pt mp() => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H

Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.

Bài tốn 1: các viết phương trình mặt phẳng:

* (ABC): +) tính AB ? ; AC ?    +) VTPT của (ABC) là n [AB,AC]

 

=> viết mặt phẳng đi qua A cĩ VTPT n

* (a,b) : nếu a//b thì VTPT n [u ,AB]     a

với A a; B  b

Nếu a cắt b thì n [u ,u ] a b

 

*(A;a) thì VTPT n [u ,AB] a

  với B a

* () //() thì VTPT nn

 

* () a thì VTPT nua

 

* () cĩ hai vectơ chỉ phương a,b  thì n[a,b]

  

*() đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc cĩ VTCP athì a

n[u ,AB]

  

( thay ua= a)

*() vuơng gĩc cả hai mặt phẳng (P) và (Q) thì VTPT n[n ,n ]P Q

  

* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB

+) Tính vectơ AB Mặt phẳng trung trực đi qua M cĩ VTPT AB

* () song song đường thẳng và vuơng gĩc với một mặt phẳng thì

a

n[n ,u ]

  

* () chứa đ.thẳng (D) và () +) chọn M trên đ.thẳng (D)

+) VTPT của () là n[u ,n ]D 

  

* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/)

+) chọn M trên đ.thẳng (d)

+) VTPT của () là nP[u ,u ]d d/

  

=> Viết PT mp(P) đi qua M và cĩ VTPT nP[u ,u ]d d/

  

Bài tốn 2 viết phương trình đường thẳng.

* đi qua điểm A và cĩ VTCP u

*  đi qua 2 điểm A và B =>  đi qua A cĩ VTCP AB

* đi qua A và // (D) =>  qua A cĩ VTCP uD

* đi qua A và () thì  qua A cĩ VTCP là n 

*  là giao tuyến của hai mặt phẳng () và () thì

+) VCTP của  là u [n ,n ]  

  +) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn cịn lại tìm điểm M?

=>  đi qua M cĩ VTCP là u [n ,n ]  

 

u [n ,n ]  

 

*  là hình chiếu của đ.thẳng (D) lên mp ()

*) Viết phương trình mp(P) chứa (D) và vuơng gĩc mp()

+) chọn M trên đ.thẳng (D)

+) VTPT của () là nP[u ,n ]D 

  

* ) VTCP của  là u[n ,n ]P 

  

* ) cho một ẩn x = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai mặt phẳng (P) và ()=> M?

=>  đi qua M cĩ VTCPu[n ,n ]P 

  

* Cách viết phương trình đường cao AH của ABC

+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC]

  = ?

+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u [BC,n]

  = ? => Viết PT đường cao AH đi qua A cĩ VTCP u [BC,n]

 

* Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ABC

+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC]

  = ?

+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u [BC,n]

  = ?

+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC

=> Đường trung trực cạnh BC của ABC là đường thẳng đi qua M cĩ VTCP

u [BC,n]

 

Bài tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng

* Tìm hình chiếu H của M lên ()

+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M cĩ VTCP là n

+) giải hệ gồm PTmp( )

PT(D)









+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên

* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D).

+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là uD

+) giải hệ gồm PTmp( )

PT(D)









+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên

Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A / đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp

* Đối xứng qua mp()

+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M cĩ VTCP là n

+) giải hệ gồm PTmp( )

PT(D)









+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên

+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :

x 2xH x /

A

y 2yH y /

A

z 2zH z /

A











* Đối xứng quađường thẳng (D).

+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là uD +) giải hệ gồm PTmp( )

PT(D)







 +) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên

+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :

x 2xH x /

A

y 2yH y /

A

z 2zH z /

A











Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.

* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 với n =(A;B;C) và n =(A/; B/ ; C/ )

(P)  (Q) <=> A/

A = B/

B = C/

C = D/ D (P) // (Q)<=> A/

A = B/

B = C/

C  D/ D (P) cắt (Q)<=> A/

B /

B  B/

C /

C  C/

A / A

Chú ý :   /

<= > n .n = 0 <=> AA/ + BB/ + CC/ = 0

  cắt /

<=> n và n không cùng phương

* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d 1 ) và (d 2 ).

Xác định các VTCP u =(a;b;c) , /u

=(a/;b/; c/ ) ;Tính [ u , /u

] Nếu :[ u , /u

]= 0 +) chọn M1 (d1) Nếu M1 d2 thì d1 // d2 Nếu M1 (d2) thì d1  d2 Nếu [ u , /u ]  0 Ta giải hệ d1d2 theo t và t/ (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng thành phần )

+) hệ cĩ nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 cắt d2 => giao điểm

+) nếu hệ VN thì d1 chéo d2

* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).

+) thay PTTS của đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t

+) nếu PTVN thì (D)//mp(P)

Nếu PTVSN thì (D)  mp(P)

Nếu PT cĩ nghiệm duy nhất thì (D) cắt mp(P) =>giao điểm?