HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN lớp 9

Hệ phư ơng trình tương đương:Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ ph ương trình bằng phương phá

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN LỚP 9

THƯ NGỎ GỬI PHỤ HUYNH-HỌC SINH

TRUNG TÂM DẠY KÈM VÀ LUYỆN THI THANH PHƯƠNG TRUNG TÂM GIẢNG DẠY CHẤT LƯỢNG CAO – UY TÍN

Kính Gởi Quý Phụ Huynh Cùng Tất Cả Các Em Học Sinh Thân Mến!

Với nhiều năm kinh nghiệm trong công tác giảng dạy, chúng tôi hiểu rằng: DẠY KÈM làphương pháp tốt nhất để HỌC SINH YẾU dễ hiểu bài và HỌC SINH GIỎI nhanh nângcao kiến thức

Mặt khác, cuộc sống tất bật, Quý phụ huynh không có nhiều thời gian để hướng dẫn, chỉbảo và kèm cặp con em mình Quý phụ huynh mong muốn có một Gia sư không chỉ đơnthuần là một người thầy giảng dạy kiến thức mà còn là một người giáo dục tư cách, phẩmchất cho các em

Để đáp ứng nhu cầu học kèm tại nhà, Trung tâm Gia Sư Thanh Phương cộng tác với rấtnhiều Giáo Viên đang giảng dạy tại các trường TH, THCS, THPT trong TPvà các huyệnlân cận ở tỉnh QUẢNG NGÃI … Nhằm tạo ra một đội ngũ Gia Sư có chuyên môn caođáp ứng mọi nhu cầu học tập và rèn luyện cho tất cả học sinh ở mọi cấp, mọi trình độ

Trung tâm Gia sư Thanh Phương tự hào là nơi cung cấp Gia sư dạy kèm tại nhà uy tín tại QUẢNG NGÃI

Với phương châm “UY TÍN – HIỆU QUẢ – TẬN TÂM – TẬN TÌNH – CHI PHÍTHẤP” Gia Sư Thanh Phương mong muốn được đóng góp một phần nhỏ trên bướcđường thành đạt của con em Quý Phụ Huynh

Đến với Gia Sư Thanh Phương chắc chắn Quý Phụ Huynh sẽ hài lòng bởi sự tư vấn tậntình và phương pháp giảng dạy chuyên nghiệp

Gia Sư Thanh Phương chuyên cung cấp gia sư dạy kèm tại nhà / Mở lớp tại trung tâm:

 NHẬN GIẢNG DẠY TỪ LỚP 1 ĐẾN LỚP 12 CÁC MÔN: TOÁN – LÝ– HÓA –SINH – VĂN – ÂM NHẠC – HỘI HỌA – TIN HỌC – NGOẠI NGỮ (Anh, )

Luyện thi chuyển cấp cho học sinh Khối lớp 5, lớp 9, Tú tài; Đại học các Khối A, B, C, D…

ĐẶC BIỆT:

- Mở lớp tại trung tâm: TT mở lớp thường xuyên các môn Toán-Lý-Hóa cấp 2, Toán cấp 3 với số lượng 5-8 học viên, học phí chỉ từ 200.000– 400.000 /tháng/ môn

Trọng tâm giảng dạy của Gia Sư Thanh Phương

* Ôn tập lại những kiến thức đã học ở trường,

*Dạy sát chương trình, dạy sâu kiến thức, dạy kỹ chuyên môn, đúng kiến thức cải cách mới nhất của Bộ GD

* Kỹ năng làm bài thi trắc nghiệm

* Lấy lại kiến thức cho học sinh yếu, kém Nâng cao và mở rộng cho học sinh khá, giỏi

* Luôn nâng cao và mở rộng kiến thức cho các em

* Thường xuyên báo cáo kết quả học tập đến Quý Phụ Huynh

* Nhận dạy thử tuần đầu

Tất Cả Vì Tương lai con em chúng ta!

Hãy Để Cho Chúng Tôi Thắp Sáng Ước Mơ Của Các Em Bằng Con Đường Giáo Dục

Kính chúc Quý Phụ Huynh và các em Học Sinh nhiều sức khỏe và thành công!

Chúng tôi Tự hào là nơi cung cấp gia sư uy tín hàng đầu ở QUẢNG NGÃI chuyên dạykèm tại nhà và Mở lớp tại Trung tâm

HÃY LIÊN HỆ VỚI CHÚNG TÔI KHI CHƯA QUÁ MUỘN

ĐỊA CHỈ 1 : HẺM 936 QUANG TRUNG TP QUẢNG NGÃI

ĐỊA CHỈ 2 : ĐỘI 4 XÃ NGHĨA MỸ- HUYỆN TƯ NGHĨA - QUẢNG NGÃI

ĐT : 0976.580.880 hoặc 0944.943.699 hoặc Gmail thayphuong.qn@gmail.com

Chúng tôi luôn sẵn sàng được phục vụ và hỗ trợ các bạn!

2 2

B A B

 ( với B  0, A.B  0 )

4) A B((x x)) có nghĩa  B(x) > 0 Trục căn thức ở mẫu số:

DẠNG 1: Mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số, ta nhân tử và mẫu với

căn thức.

B A B a

B A B a

A

.

.

.



DẠNG 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn thức, ta nhân tử và mẫu với biểu thức

liên hợp của mẫu.

 A – B và A + B là hai biểu thức liên hợp với nhau

 (A – B)(A + B) = A2 – B 2

B A

B A m B A B A

B A m B

(

) (

B A

B A m B A B A

B A m B

(

) (



B A m B A B A

B A m B

B A m B A B A

B A m B

- Đồng biến trên R khi a > 0

- Nghịch biến trên R khi a < 0

c Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bước 1 Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = ta được điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành

Bước 2 Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0) Khi đó

e Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)

*Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT,trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộcđường thẳng y = ax + b và có tung độ dương

*Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng

y = ax +b

f Một số phương trình đường thẳng

- Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0

- Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là

0 0

1

x y

x  y 

2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó

- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức

+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(a 0hoặc b 0 )

+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm

+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a 0  ;b 0thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất:

b

c x b

) 1 (

, , ,x b y c a

c by ax

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình

+ Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm

+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:

-Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)

-Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d')

Hệ phư ơng trình tương đương:

Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp thế :

ẩn kia có được ở bước 1)

 Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp cộng đại số :

a)Quy tắc cộng đại số :

+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho

để được một phương trình mới

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của

hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ

Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ

Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọnnhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

A Kiến thức cơn bản

1 Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox

- Góc  t o b i đư ng th ng y = ax + b (a khác 0) v tr c Ox l góc t o b i tia Ax v ẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và à trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và ục Ox là góc tạo bởi tia Ax và à trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và à trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong ó A l giao i m c a đ à trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và đ ểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là điểm ủa đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là điểm đư ng th ng y = ax + b v i tr c Ox; T l i m ẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và ới trục Ox; T là điểm ục Ox là góc tạo bởi tia Ax và à trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và đ ểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là điểm thu c ộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương đư ng th ng y = ax + b v có tung ẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và à trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và độc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương ương d ng

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

-2 -4 -6 -8

-15 -10 -5 5 10 15

T A

 

y=ax+b y=ax

- Chú ý: khi a khác a’ và b = b’ thì 2 đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

A Kiến thức cơ bản

1 Quy tắc thế

- từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

- dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn

2 Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt

1 ẩn

- giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

A Kiến thức cơ bản

1 Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước

- Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới

- Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia)

2 Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

- Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn kia là thành”

- Nghĩa là:

+ nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau

+ đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau

+ cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn

+ thay vào tính nốt ẩn còn lại

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Kiến thức cơ bản

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau :

- bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau)

+ chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)

+ biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

+ lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng

- bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1

- bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu

CHƯƠNG III

A Kiến thức cơ bản

1 Tính chất hàm số y ax a 2  0

a) Tính chất:

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0

Đồ thị hàm số y ax a 2  0 là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục

Oy là trục đối xứng đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0;0) là điểm thấp nhất của đồ thị

Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0;0) là điểm cao nhất của đồ thị

0

x x

+ nếu   0 thì pt vô nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

' b'2 ac

  + Nếu   ' 0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:

- Quy đồng mẫu thức cả 2 vế của pt, rồi khử mẫu

- Giải pt vừa nhận được

- Kết luận: so sánh nghiệm tìm được với đk xác định của pt

3 Hàm số y = ax + b (a  0)

- Tính chất:

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0

+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0

- Đồ thị:

Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0)

- Tính chất:

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

- Đồ thị:

Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0)

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

(d) và (P) không có điểm chung

7 Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0)

 = b2 - 4acNếu  > 0 : Phương trình có hai

nghiệm phân biệt:

a

b x

' ' 1

' ' 2

' 2 1

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:

x1 = 1 ; x2 = a cNếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:

x1 = -1 ; x2 =  a c

9 Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm

nào thích hợp với bài toán và kết luận

B các dạng bài tập

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

- Quy đồng mẫu thức (nếu có)

- Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia

- Cộng trừ các số hạng đồng dạng

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.

biểu thức A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

- Rút gọn biểu thức A(x)

- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.

- Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết.

- Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp.

- Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

a a

.

3 2 1 3

2 1 2 2

3

2 2

2 1

2 3

3 2 2 1

a b

a b

2 1 1

- Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu

- Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết.

- Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp.

- Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

Dạng 5: bài toán liên quan tới phương trình bậc hai

Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)

- Phương pháp 1: Phân tích đưa về phương trình tích.

- Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai

- Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm

Ta có  = b2 - 4ac+ Nếu  > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a

b x







+ Nếu  < 0 : Phương trình vô nghiệm

- Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn

Ta có ' = b'2 - ac với b = 2b'+ Nếu ' > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a

b x

' ' 1

' ' 2

x1 2  '

+ Nếu ' < 0 : Phương trình vô nghiệm

- Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.

Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:

a b x

x

2 1

2 1

.

Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phương trình luôn có hai nghiệm

phân biệt

Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình bậc

 Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng

a Trường hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m

Giả sử a = 0  m = m0 ta có:

(*) trở thành phương trình bậc nhất ax + c = 0 (**)+ Nếu b  0 với m = m0: (**) có một nghiệm x = -c/b

+ Nếu b = 0 và c = 0 với m = m0: (**) vô định  (*) vô định

+ Nếu b = 0 và c  0 với m = m0: (**) vô nghiệm  (*) vô nghiệm

b Trường hợp a  0: Tính  hoặc '

+ Tính  = b2 - 4ac

Nếu  > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a

b x

' ' 1

' ' 2

x1  2  '

Nếu ' < 0 : Phương trình vô nghiệm

- Ghi tóm tắt phần biện luận trên

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai

1 Hoặc a = 0, b  0

2 Hoặc a  0,   0 hoặc '  0Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điềukiện 2 Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai

 Điều kiện có hai nghiệm phân biệt 







 0 0

'

a

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai

 Điều kiện có một nghiệm:







 0 0

b a

'

a

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c =

0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.







 0 0

'

a

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c =

0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.







 0 0

'

a

Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c

= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.





 0 0

b a

'

a

Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c

= 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.

a c

'

a c P

Bài toán 10 :Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c

= 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dương.

 Điều kiện có hai nghiệm dương:

a S

a c

'

a S

a c P

Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c

= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.

a S

a c

'

a S

a c P

Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx +

c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.

P < 0 hoặc a và c trái dấu

Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx +

- Thay giá trị của m vào (*)  x1, x2

- Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 =

1

x P

Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx +

) 1 (

2 1

2 1

P a c x x

S a b x

x x

a

b x

x

Thay x1, x2 vào (2)  mChọn các giá trị của m thoả mãn (*)

1

Giải phương trình S3  3PS t chọn m thoả mãn (*)

Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của

chúng.

x1, x2

x2 - Sx + P = 0 (*)(Điều kiện S2 - 4P  0)Giải phương trình (*) ta tìm được hai số u và v cần tìm.

Nội dung 6:

giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ

Bài toán1: Giải phương trình trùng phương ax4 + bx 2 + c = 0

Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x

Bảng tóm tắt

1 nghiệm dương 2 nghiệm đối nhau

2 nghiệm dương 2 cặp nghiệm đối nhau4 nghiệm

Bài toán 2: Giải phương trình ( 2 12) ( 1) 0





 t x x

Thay vào phương trình ta có:

A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0Giải phương trình ẩn t sau đó thế vào x x1 = t giải tìm x

Bài toán 3: Giải phương trình ( 2 12) ( 1 ) 0





 t x x

Thay vào phương trình ta có:

A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0Giải phương trình ẩn t sau đó thế vào x  x1 = t giải tìm x

Bài toán 4: Giải phương trình bậc cao

+ Phương trình tích+ Phương trình bậc hai

c by ax

 Các phương pháp giải:

+ Phương pháp đồ thị+ Phương pháp cộng+ Phương pháp thế+ Phương pháp đặt ẩn phụ

Nội dung 7:

giải phương trình vô tỉ

Bài toán 1: Giải phương trình dạng f(x) g(x) (1)

) 2 ( 0

) ( )

( )

x g x f x g x

g x f

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghiệm của (1)

Bài toán 2: Giải phương trình dạng f(x)  h(x) g(x)

(

0 )

(

0 )

(

x g x h x f

Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x

Nội dung 8: giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán: Giải phương trình dạng f(x) g(x)

( 0 ) (

x g x f x g

Xét f(x) < 0  - f(x) = g(x)

Nội dung 9:

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:

 Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.

Nội dung 10:

các bài toán liên quan đến hàm số

* Điểm thuộc đường - đường đi qua một điểm

Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(xA ;y A ) Hỏi (C)

có đi qua A không?

trình của (C) A(C)  yA = f(xA)

Dó đó tính f(xA)Nếu f(xA) = yA thì (C) đi qua A

Nếu f(xA)  yA thì (C) không đi qua A

* sự tương giao của hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số

y = f(x) và y = g(x) Hãy khảo sát sự tương giao của hai đồ thị

điểm chung:f(x) = g(x) (*)

- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung

- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau

- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung

- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung

- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA

- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình của (D)

Bài toán 2: Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA ;y A ); B(x B ;y B )

 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b

(D) đi qua A và B nên ta có: 

y

b ax

y

B B

A A

Giải hệ ta tìm được a và b suy ra phương trình của (D)

Bài toán 3: Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp

xúc với đường cong (C): y = f(x)

 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b

Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện này ta tìm được b

và suy ra phương trình của (D)

Bài toán 3: Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA ;y A )

k và tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)

 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b

Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép

Từ điều kiện này ta tìm được hệ thức liên hệ giữa a và b (**)

b c

h B

A

c b

+ Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

+ Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông gócvới dây ấy

- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:

Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

- Liên hệ giữa cung và dây:

Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơ

- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Vị trí tương đối Số điểmchung Hệ thức liên hệgiữa d và R

- Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

b

a c

C B

A

- Hai đường tròn không giao nhau

+ (O) và (O') ở ngoài nhau

5 Tiếp tuyến của đường tròn

- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp

điểm

- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:

+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính

+ Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính điqua điểm đó

- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau

MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:

+ MA = MB

+ MO là phân giác của góc AMB

+ OM là phân giác của góc AOB

- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn: là

đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó:

Tiếp tuyến chung ngoài Tiếp tuyến chung trong

CHƯƠNG III Góc với đường tròn

d' d

O' O

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâmcùng chắn một cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nộitiếp thì chắn nửa đường tròn

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cungthì bằng nhau

7 Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn.

tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp

tam giác

Đường tròn bàng tiếp

tam giác

Tâm đường tròn là

giao của ba đường

trung trực của tam giác của ba đường phân giácTâm đường tròn là giao

trong của tam giác

Tâm củađường trònbàng tiếptrong góc

A là giaođiểm củahai đườngphân giác các góc ngoài tại Bhoặc C hoặc là giao điểm củađường phân giác góc A vàđường phân giác ngoài tại B

M

D C

B A

O

O

B A

D C M

O

C B

A

O

C B

A

F

E J

B

C A

Các bài toán hình học không gian

1 Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và

các cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cóđáy là đa giác đều

Sxq = p l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên)

Lăng trụ đứng: Sxq = p h (p là chu vi đáy, h là chiều cao)

V = B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thước của hìnhhộp chữ nhật)

V = a b cCác đường chéo hình hộp chữ nhật d = 2 2 2

a  b  c

Hình lập phương: V = a3 (a là cạnh)

2 Hình chóp: Hình chóp là hình đa diện có một mặt là đa giác, các mặt khác là tam

giác có chung đỉnh Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặtbên bằng nhau Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện songsong với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều

Hình chóp đều: Sxq = 1

2 n a d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là

độ dài trung đoạn)

Stp = Sxq + B (B là diện tích đáy)

V = 1

3 B hHình chóp cụt đều: Sxq = 1n.a n.a' d

2  (n là số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trungđoạn chiều cao mặt bên)

r: bán kínhTrong đó

h: chiều cao

r: bán kínhTrong đó l: đường sinh

h: chiều cao

r1: bán kính dáy lớn

r2: bán kính đáy nhỏTrong đó l: đường sinh

h: chiều cao R: bán kínhTrong đó

d: đường kính