Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích khối nón có đỉnh O và đáy (C). Tính thể tích lăng trụ theo a. a) Tính diện tích xung quanh của hình nún tròn xoay tạo thành. b) Tính thể tích của khối nún tròn xoay tạo [r]
(1)https://giasudaykem.com.vn/tai-lieu-mon-toan-lop-12.html
Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT
I) Các bước khảo sát hàm số tổng quát: + B1: Tính tập xác định
+ B2: Sự biến thiên Tính y’
Giải phương trình y’=0
Tính giới hạn, tiệm cận (nếu có) Lập bảng biến thiên
Kết luận đồng biến, nghịch biến,cực trị (nếu có)
+B3: Vẽ đồ thị: Xác định số điểm đặc biệt (giao với Ox, Oy, …) II) Các toán liên quan đến khảo sát hàm số
1) VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG (C): y = f(x) Phương trình tiếp tuyến ( C ) M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)
a/ Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến ( C ) M(x y0; 0) Phƣơng pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )
Nếu chưa cho y0 tính y0 = f(x0)
Nếu chưa cho x0 x0 nghiệm phương trình f(x) = y0 b/ Dạng 2: Lập phƣơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc Phƣơng pháp : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k
x k f
0 Giải phương trình tính x0Dy0 f x0 Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 )
Lƣu ý : Cho (d) : y = a.x + b :
(d1) song song với (d) (d1) có hệ số góc k = a (d2) vng góc với (d) (d1) có hệ số góc k =
a
1
hay a.k = – c/ Dạng : Lập phƣơng trình tiếp tuyến qua điểm A(x y1; 1) Phƣơng pháp
Cách : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp tuyến (C) M là:
y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vẽ tiếp tuyến qua A nên y1 – y0 = f’(x0)( x – x0) giải phương trình tính x0 thay vào (1)
Cách : Gọi (d) đường thẳng qua A có hệ số góc k Ta có (d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) tiếp tuyến (C)
2
1 y x x k x f
k x f
có nghiệm Thế k từ (1) vào (2) giải tính x vào (1) tính k thay vào phương trình (1) Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) = x3
– 3x + biết tiếp tuyến qua A(2 ; –4 )
Cách : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm Ta có y0 = x03 – 3x0 +2
f’(x0) = 3x02 – Phương trình tiếp tuyến (C) M
y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0) 3 3 2
3
0
y x x x (1)
Vỡ tiếp tuyến qua A(2)– 4) nên – = (3x02 – 3).2 – 2x03 + 0 0
0
0
x x x x
x0 = phương trình tiếp tuyến y = – 3x +
x0 = phương trình tiếp tuyến y = 24x – 52
(2)https://giasudaykem.com.vn/tai-lieu-mon-toan-lop-12.html
2 2
3
1
3
3
x k x
x
k x
có nghiệm Từ (1) (2) ta có x3
– 3x + = (3x2 – 3) (x – 2) – x33x2 0 x 0 x 3 x = k3 Phương trình tiếp tuyến y = – 3x +
x = k 24phương trình tiếp tuyến y = 24x – 52
2) SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài toán tổng quát: Hãy xét tương giao hai hàm số :
2
(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)
(một hai đồ thị đường thẳng)
Phƣơng pháp:
+ Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1)
+ Khảo sát số nghiệm phương trình (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2)
3) BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ
a/ Dạng : Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình :f(x) = m (*) Phƣơng pháp:
Bƣớc 1: Xem (*) phương trình hồnh độ giao hai đồ thị: Bƣớc 2: Vẽ (C) () lên hệ trục tọa độ
Bƣớc 3: Biện luận theo m số nghiệm () (C).Từ suy số nghiệm phương trình (*)
Minh họa:
b/ Dạng 2: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình: f(x) = g(m) (* *) (tt dạng 1) III) Một số tốn ứng dụng đạo hàm
1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f có đạo hàm khoảng (a,b)
a)Nếu f’(x)>0 ;x(a,b) y=f(x) đồng biến (a,b) b) Nếu f’(x)<0 ;x(a,b) y=f(x) nghịch biến (a,b)
Trong giả thiết ta thay (a;b) [a;b) [a;b] hay(a;b] phải bổ sung thêm hàm số liên tục [a;b) [a;b] hay(a;b]
Định lí cũn f x'( ) 0; x ( ; )a b dấu xóy số hữu hạn điểm khoảng (a,b)
Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số
3 3(2 1)
yx mx m x
a) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định b) Xác định m để hàm số nghịch biến tập xác định Bài 2: Cho hàm số
2 mx y
x m
Chứng minh với giá trị m hàm số đồng biến khoảng xác định
Bài 3: Tính m để hàm số sau:
1
mx y
x
y
x
) ( :
)
(C y f x
) ; ( m
1
m
2
m
m y
(3)https://giasudaykem.com.vn/tai-lieu-mon-toan-lop-12.html a) Đồng biến tập xác định
b) Ngịch biến tập xác định 2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU:
Định lý1: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm x0(a,b) đạt cực trị điểm f’(x0) = Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục (a;b) chứa điểm xo có đạo hàm khoảng (a;xo) (xo;b)
a) Nếu f’(x0) > Với x(a ; x0); f’(x) < Với x(x0; b) hàm số đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f’(x0) < Với x(a ; x0); f’(x) > Với x(x0; b) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Định lý Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = f có đạo hàm cấp hai khác xo
a) Nếu f”(x0) < hàm số f đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f”(x0) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số
2
y x mx m Tính m để hàm số có cực trị số cực trị hàm số
Bài 2: Cho hàm số y2x33(m1)x26mx2m Xác định m để hàm số có cực trị
Bài 3: Định m để hàm số 2
( 1)
3
y x mx m m x đạt cực tiểu x=1 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
a) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định D
Số M gọi GTLN hàm số y=f(x) D nếu:
0
: ( ) : ( )
x D f x M
x D f x M
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi GTNN hàm số y=f(x) D nếu:
0
: ( ) : ( )
x D f x m
x D f x m
(ký hiệu m=minf(x) )
b) Cách tính GTLN-GTNN (a,b)
+ Lập bảng biến thiờn hàm số (a,b) + Dựa vào bảng biến thiờn suy GTNN -GTLN c) Cách tính GTLN-GTNN [a,b]
+ Tính mặt điểm tới hạn x1,x2, , xn f(x) [a,b] + Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)
+ Tính số lớn M số nhỏ m mặt số
[ , ] [ , ]
max ( ) ; ( ) a b a b
M f x m f x
d) Bài tập:
Tính GTLN GTNN hàm số y=f(x) liên tục trện đoạn [a; b] Tính giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số sau:
Bài 1:
3
y x x 3;0 Bài 2:
1 x y
x
0;
Bài 3:
2 y x
x
1;
Bài 4:
2 y x x
Bài 5:
4
y x x
Bài 6:
2
1
x y
x
đoạn 1; 2
Bài 7: cos 4sin , 0; y x x x
Bài 8: sin , ;
2 y xx x
Bài 9:
sin 4sin
y x x
Bài 10:
3 , 2;4
y x x x Bài 11: y = x2
.ex [-3;2] Bài 12:
x
(4)https://giasudaykem.com.vn/tai-lieu-mon-toan-lop-12.html Bài 13: y = ln x
x đoạn [1 ; e
2
] Bài 14: y = x.lnx đoạn [ 1; e ]
Bài 15:
y= x 1 3x 6x đoạn[-1,3] 4 TIỆM CẬN
1)Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x0 (x0 nghiệm mẫu số) tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa món:
0 0
lim ; lim ; lim ; lim
x x x x x x x x
y y y y
2)Tiệm cận ngang: Đường thẳng y=x0 tiệm cân ngang đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim x
y y
lim x
y y
B – BÀI TẬP 1) Hàm bậc ba:
Bài 1: ( điểm ) Cho hàm số y = x3
– 3x2 +
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số đă cho
2 Biện luận theo m số nghiệm phương t nh x3 – 3x2 + m = Bài 2: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x3
+ 3x2 + mx + m – (m tham số) Tính m để hàm số có cực đại cực tiểu
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Bài 3: (3,0 điểm) Cho hàm số
3
y x x có đồ thị (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C)
Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có nghiệm phân biệt x33x2 k Bài 4: (3 điểm)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3
– 3x2 +
2 Tính điều kiện tham số m để đồ thị (Cm): y = x3 – 3x2 – m cắt trục hoành Ox ba điểm phân biệt Bài 5: (3 điểm ): Cho hàm số y =
3 1
x x ( C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) tâm đối xứng đồ thị Bài 6: ( 3,0 điểm) Cho hàm số y x3 2x có đồ thị (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành
3 Dựa vào đồ thị (C), định m để phương trình x3 3 x m có ba nghiệm phân biệt Bài 7: (3.0 điểm) Cho hàm số
2
y x x , gọi đồ thị hàm số (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình 2x33x2 1 m Bài 8: ( 3,0 điểm ) Cho hàn số y = x3
+ 3x2 +
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: x3 + 3x2 + =
2
m
Bài ( điểm): Cho hàm số : yx3 3x2 2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số đă cho
2 Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo m số nghiệm phương t nh: x3 3x2 m1
Bài 10: (3.0 điểm ) Cho hàm số y x33x21 có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
(5)Bài : (3,0 điểm) Cho hàm số
1
x y
x
, có đồ thị (C)
1 Khảo sỏt biến thiờn vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ -2 Bài 2: (3 điểm) Cho hàm số
1 x
x y
, có đồ thị (C) Khảo sỏt biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Tính tất mặt giỏ trị tham số m để đường thẳng d: y = mx + cắt đồ thị (C) hàm số cho hai điểm phân biệt
Bài 3: (3,0 điểm)Cho hàm số
2
x y
x
(C)
Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
Tính phương trình tiếp tuyến Với (C) điểm M thuộc (C) có hồnh độ xo= Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho hàm số
3
x x
y ( C )
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) Với trục tung Bài (3 điểm) Cho hàm số
1
x x
y có đồ thị (C) 1 Khảo sỏt hàm số vẽ (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) Với trục hoành Bài 6: ( điểm) Cho hàm số 1
1
x y
x
có đồ thị (C)
1 Khảo sỏt hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(3;1) Bài 7: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y 2x
x
có đồ thị (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến Với đồ thị (C) điểm M(2;5) Bài 8: (3,0 điểm)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
3
x y
x
2 Tìm đồ thị điểm M cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
3) Hàm trùng phương:
Bài 1: (3,0 điểm) Cho hàm số 2 y x x Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
2
x x m
Bài 2: ( 3,0 điểm) Cho hàm số y = x4
– 2x2 +3, có đồ thị ( C ) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến Với ( C ) giao ( C ) Với trục Oy Bài 3: (3.0 điểm) Cho hàm số
2 y= x - x +
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị( )C hàm số
2 Dựa vào đồ thị ( ),C tính m để phương trình - x4+2x2+m= có nghiệm phân biệt Bài 4: (3,0 điểm):
(6)2 Viết phương trình tiếp tuyến Với đồ thị (C) điểm cực đại (C) Bài 5: ( điểm ) Cho hàm số y =
- x + 2x + (C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) Tìm m để Phương trình
-
x x + m = có nghiệm phân biệt Bài 6: ( điểm ) Cho hàm số y =
2
x
- 3x +
2
(1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = Bài 7: ( điểm ) Cho hàm số y =
x + 2(m+1)x + (1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m =
2 Tìm m để hàm số có cực trị Bài 8: (3,0 điểm) Cho hàm số
yx 2x 1 có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
2 Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x42x2 m (*)
Bài 9: (3 điểm) Cho haứm soỏ y = x4
– 2x2 + coự ủoà thũ (C)
1 Khaỷo saựt sửù bieỏn thiẽn vaứ veừ ủồ thũ (C) cuỷa haứm soỏ
(7)Chuyên đề 2: MŨ VÀ LOGARIT 1) Các công thức:
Một số định lý quan trọng:
STT CÔNG THỨC ĐIỀU KIỆN
1 aM = aN M = N < a 1
2 aM < aN M > N aM > aN M< N 0 < a <1 3 aM < aN M < N aM > aN M > N a >
4 loga M = loga N M = N < a 1 M > 0; N > 5 loga M < loga N M >N loga M > loga N M <N 0 < a <1 M > 0; N > 6 loga M < loga N M < N loga M > loga N M > N a > M > 0; N >
STT CÔNG THỨC MŨ
1
n
n thua so a a.a a
2 a1 a a
3
0
a 1 a 0
4 a n 1n a
5 amn n ma
6
m n
m n m
n
1 1
a
a a
7 a am nam n
8
m
m n n
a a
a
9 (a )m n(a )n m am.n
10 (a.b)n a bn n
11
n n
n
a a
( )
b b
12 dn M
a
log N M a N
STT CÔNG THỨC LOGARIT
1 log 0a
2 log a 1a
3 log aa M M
4 alog Na N
5 log (N N ) log Na 1 2 a 1log Na 2
6 a 1 a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
7 log Na .log Na 8 log Na 2 2.log Na
9 log N log b.log Na a b
10 b a
a
log N log N
log b
11 a
b 1 log b
log a
12 log Nak 1log Na
k
(8)5) Đạo hàm hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit Hàm sơ cấp Hàm hợp
' 1 ' 1 x x x x x x ' 1 ' ' ' '
u u u
u u u u u u ' ' ln x x x x e e
a a a
' ' '
.ln ' u u
u u
e e u
a a a u
' ' ln log ln a x x x x a ' ' ' ln ' log ln a u u u u u u a
6) PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNGTRÌNH MŨ– LOGARIT I PHƢƠNG TRÌNH MŨ
1 Dạng: (Đưa số logarit hóa)
( ) ( )
0 a 1,af x ag x f x( )g x( )
( )
( ) log ( 0)
f x
a
a b f x b b
1) (0,2)x-1 = 2) 3
3
1
x
3) 4 16
2 x x 4) x x 2 2 5) 3 2 2 3 2 2
2
x 6) 5 25
2
x x
7) 3x.2x+1 =
8) 2
2 1 . 2
1
x x
9) 5x+1 + 5x – 5x-1 = 52 10) 3x+1 – 3x-1 – 3x = 11) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1 2 Đặt ẩn phụ
Loại1:
1) 4x + 2x+1 – = 2) 4x+1 – 2x+1 + = 3) 34x+8 – 32x+5 + 27 =
4) 16x17.4x160 5) 49x 7x1 8 0 6) 7 3 2 3
x x
Loại 2:
1) 31+x + 31-x = 10 2) 5x-1 + 53 – x = 26 3) 2 3 2 3 2
x x
Loại 3:
1) 9x + 6x = 4x 2) 4x – 52x = 10x 3) 32x+4 + 45 6x – 9.22x+2 = 4) 25x + 10x = 22x+1 5) 6.4x13.6x6.9x0
II PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT
1 Giải phương trình log ( ) ( ) b(0 1) a f x b f x a a
1) log2x(x + 1) = 2) log2x + log2(x + 1) = 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) 4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 6) log2(2x+2 – 5) = 2x 7) log2 x 3 log2 3x 7 2
(9)1) log22 x3.log2 x 2 0 2) log3 xlog 9x 3 3) 4log9 x log 3 x 3
4)
3
2
2log x log – 5 x 5) log (22 x 3) log2 x 3 5 6) log22 x - 9log8 x4
7)
2 2
3
log (x 2 ) 4logx 9(x 2 )x 7
III BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT
a) a1 af(x) ag(x) f(x) g(x)
loga f(x)logag(x) f(x)g(x)0 b) 0a1 af(x) ag(x) f(x)g(x)
loga f(x)loga g(x) 0 f(x) g(x) 1 Giải bất phương trình
1) 32x5 1 2) 27x <
3
3) 4
2
1
2
x x
4)9x 3x14 5) 3x – 3-x+2 + > 2 Giải bất phương trình
7) log (33 2) 2
x
x
8)
2
log (x - - 6)x -3 9)
2
3 2
log x x 0
x
Trích số đề thi tốt nghiệp: 1 TN – 2006 (PB) Giải PT: 2
2 x 9.2x 2
2 TN – 2007 (PB) Giải PT: log4 xlog 42 x5 3 TN – 2008 (PB) Giải PT: 32x19.3x 6
4 TN THPT – 2009 Giải PT: 25x6.5x 5
5 GDTX – 2009 Giải PT: log (2 x 1) log2x 6 TN_2010 Giải phương trình:
2
(10)Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN A NGUYÊN HÀM:
1) Nguyờn hàm hàm số cần nhớ : p q, ;p0
dx x C
1
1 1 ,
x
x dx C
1 1
1
px q
px q dx
p
0
ln ,
dx x C x
x
1
dx ln px q C
px q p
x x
e dx e C
1
epx qdx epx q C p
ln
x
x a
a dx C
a
0 a 1
.ln
px q
px q a
a dx C
p a
0 a 1
sinxdx cosx C
1
sin px q dx cos px q C
p
cosxdxsinx C
1
cos px q dx sin px q C
p
2
tan
cos
dx x C
x 2
1
tan
cos
dx
px q C
px q p
2
cot
sin
dx x C
x 2
1
cot
sin
dx px q C
px q p
B TÍCH PHÂN :
1) Định nghĩa:
b
b a a
f x dx F x F b F a
2) Tính chất:
a TC1:
b a
a b
f x dx f x dx
b TC2: ( 0)
b b
a a
kf x dx k f x dx k
(11)c TC3:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
d TC4:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
C TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1) Công thức tổng quát:
' b
a
f u x u x dx f t dt Với t = u(x) Chú ý : Thường đặt t căn, mũ, mẫu
Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kốm theo luỹ thừa đặt t phần bên dấu ngoặc có luỹ thừa cao nhất
Nếu hàm chứa mẫu số đặt t mẫu số
Nếu hàm số chứa thức đặt t phần bên dấu thức Nếu tích phân chứa dx
x đặt tlnx
Nếu tích phân chứa x
e đặt tex
Nếu tích phân chứa dx
x đặt t x Nếu tích phân chứa dx2
x đặt
1
t x Nếu tích phân chứa cos xdx đặt tsinx
Nếu tích phân chứa sin xdx đặt tcosx Nếu tích phân chứa 2
cos
dx
x đặt ttanx
Nếu tích phân chứa 2
sin
dx
x đặt tcotx
D TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
1) CÔNG THỨC TỔNG QUÁT:
b b
b a
a a
uv dx uv vu dx
HAY
b b
b a
a a
udv uv vdu
(1)
2) Các bƣớc thực hiện:
Bước 1: Đặt ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (nguyên hàm)
u u x du u x dx Đạohàm
dv v x dx v v x
Bước 2: Thế vào công thức (1)
Bước 3: Tính uv bavà suy nghĩ tìm cách tính tiếp
b a
vdu
(12)3) CHÚ Ý: Cách đặt u dv TÍCH
PHÂN ( )
b
x
a
P x e dx
( )
b
x
a
P x a dx
( ) s inx b
a
P x dx
( ) osx
b
a
P x c dx
( ) ln x
b
a
P x dx
( ) log x b
a a
P x dx
u P(x) P(x) P(x) P(x) lnx logax
dv ex dx ax dx sinx cosx P(x)dx P(x)dx
4) Một số công thức lƣợng giác thƣờng dùng:
a Công thức nhân đôi: sin22sin cos ; cos2 cos2sin22cos2 1 2sin2
b Công thức hạ bậc: cos 2 cos 2 cos
cos ; sin ; tan
2 cos
c Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2 1
sin cos sin( ) sin( )
2
E TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH KHỐI TRỀN XOAY
1) DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI: C y f x x a x b: ; ; tính theo cơng thức: ( )
b
a
S f x dx
2) DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI: C y f x1 : ; C2 :y g x x a x b ; ; (trong hai đường thẳng x a x b ; thiếu hai)
a) CÔNG THỨC:
b a
S f x g x dx (2) b) Các bƣớc thực hiện:
Bước1: Giải PTHĐGĐ C1 Và C2 để tìm nghiệm thuộc a b; Giả sử nghiệm 1, , ,2 n
x x x Và a x 1 x2 xn b Bước 2: Áp dụng công thức (2) :
b a
S f x g x dx
n
x b
a x
f x g x dx f x g x dx
1
n
x b
a x
f x g x dx f x g x dx
c) Chú ý:
Nếu đề không cho a b nghiệm nhỏ nghiệm lớn phương trình
(13) Nếu toán cho chung khảo sát hàm số ta đựng hình vẽ để khử dấu giá trị tuyệt đối dễ dàng Có nghĩa là, đoạn tích phân mà hình vẽ, C1 nằm
C2 hiệu f x g x 0, Và C1 nằm C2 hiệu f x g x 0 Ta ứng dụng điều để khử dấu giá trị tuyệt đối mà không cần đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi nói
3) Thể tích hình trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đƣờng sau quanh trục OX: a) C y f x Ox x a x b: ; ; ;
(trong hai đường thẳng x a x b ; thiếu hai) b) CÔNG THỨC: 2( )
b a
V f x dx (3)
c) Các bƣớc thực hiện:
Bước 1: Nếu hai đường x a x b , đề cho thiếu hai giải phương trình f x 0 (PTHĐGĐ C trục Ox) để tìm
Bước 2: Áp dụng công thức (3) C) Các ý:
Nếu đề cho đầy đủ a b khơng cần phải giải phương trình f x 0
Nếu đề khơng cho a b giải phương trình f x 0 để tìm Phương trình có nhiều hai nghiệm, trường hợp nghiệm nhỏ a nghiệm lớn b Các nghiệm cịn lại ta khơng cần phải chọn vào q trình tính tích phân
Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong 2
1
: x
C y
x ; Ox trục Oy
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn mặt đường sau : C :ye Ox Oy xx; ; ; 2
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C y x x: 32 trục Ox Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C y x: x2
trục Ox Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
3 1 :
C y x x đường thẳng d y: 3 Bài 7: Cho đường cong
3 4
:
C y x x x Viết phương trình tiếp tuyến d C gốc tọa độ O Từ tính diện tích hình phẳng giới hạn C d
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn mặt đường: C y: x; d y: 2 x trục Ox Bài 9: Cho đường cong 2 1
1
: x
C y x
Gọi (H) hình phẳng giới hạn mặt đường: C Ox Oy; ; Tính
thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox
Bài 10: Cho đường cong C y x: x2 Gọi (H) hình phẳng giới hạn bởi C và trục Ox Tính thể tích hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox
(14)y =
2
x
x , y = 0, x = -1 x =
Bài 12: Tính thể tích khối trịn xoay tao thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn mặt đường:
cos
sin sin ; ; ;
x
y x e x y x x
F BÀI TẬP: Tính mặt tích phân sau: Bài 1: Phương pháp đổi biến số a)
1
2
x x dx
b) dx
x c)
3
dx 2x 1
d)
3
0
x (x 1) dx
e)
3 x dx x
f )
2 ) 2 (x2
xdx
g )
2
x x dx
g)
01 2sin2 cos dx x x h) xdx
sin i)
2 cos xdx k) 2
sin2x(1 sin x) dx
l)
2
4
0
sin 1 cos
x xdx
m)
2
0
cosx(1 sin x) dx n)
e
1
(1 ln x) dx x o) tan cos x e x
p)
2 sin x e cosxdx
q)
1
x
e xdx
r)
2 sin cos ) cos ( xdx x e x
Bài 2: Tích phân phần a)
1
0
2x1 e dxx
b)
3
2x e dxx
c) 1 6x sin xdx
0
d) x sin3xdx
0
e) 2x2 5xcos2xdx f)
(x 1) cosxdx
g) x xdx
e
ln
1
h) dx
x x 2 ln
i) x xdx
e ln
k)
2 sin x e xdx l) cos x e xdx m)
(x cosx) s inxdx
n)
4 0cos
x dx
x o)
2
sinx dxx p) cos
sin x
e x xdx
q)
2
0
.cos sin
x x xdx
Bài 3: Phương pháp đồng thức
a) 2 1 x dx x x
b)
2
1 3 2
x dx x x c) 1 4dx x
d) 2 2 3 2 x dx x x
(15)Bài 4: Tích phân hàm lượng giác a)
2
0
sin s3x co xdx
b)
2
0
sin sin3x xdx
c)
2
0
s5 s3
co x co xdx
Trích tích phân đề thi tốt nghiệp
Bài 1: TN_09:
(1 cos )
x x dx
Bài 2: BT_09:
0
(2xx e dx )x
Bài 3: TNPB_08:
2
(1 )
x x dx
Bài 4: TNKPB_08:
0
(1e xdxx)
Bài 5: BT_08:
0
cos sin xx dx
Bài 6: TNPB_07:
2
2
xdx x
Bài 7: TNKPB_07:
1
ln e
x dx x
Bài 8: BT_07:
2
os sin x
c x dx
Bài 9: BT_06:
0
(2sinx 3) cosxdx
Bài 10: TNKPB_06:
2
sin os
x dx
c x
Bài 11: TNPB_06:
0
(2x1)e dxx
Bài 12: TN_05:
2
(x sin x) cosxdx
Bài 13: BT_05:
0
( x 2)
e dx
Bài 14: BT_05:
0
cos
x xdx
Bài 15: TN_2010:
2
0
( 1)
x x dx
Bài 16: BT_2010:
3
(5x2) dx
(16)Chuyên đề 4: SỐ PHỨC
1 Số phức biểu diễn số phức:
Số phức biểu thức có dạng abi,
, ; 1
a b i Số phức z a bicó alà phần thực, b phần ảo
Số phức z a biđược biểu diễn điểm M a b ; hay u a b; mặt phẳng tọa độ Oxy Hai số phức : a bi c di a c
b d
Modun số phức z a bichính độ dài OM Vậy : 2 z OM a b
Số phức liên hợp số phức z a bilà số phức z a bi Chú ý : điểm biểu diễn z
z đối xứng qua trục hồnh Do z số thực z z, z số ảo
z z
2 Mặt phếp toán tập số phức:
a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức : abi c di a c bd i
abi c di a c bd i abi c di ac bd ad bc i
Chú ý :
, 1, , 1
i i i i i i Tổng quỏt : 4 4
1, , 1,
n n n n
i i i i i i;
2
1i 2i; 1i2 2i
b Phép chia hai số phức :
a bi c di a bi c di
a bi
c di c di c di c d
c Mặt tính chất số phức liên hợp modun : z z; z z z z; zzz z. ; z z
z z
3 Phƣơng trình bậc hai:
a Căn bậc hai số phức: Số phức z bậc hai số phức :z2 w
Như để tính Số phức z x yi x y, bậc hai số phức w a bi ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :
2
2
x y a
xy b
Chú ý : Số có bậc hai
Số thực a0 có hai bậc hai : a
Số thực a0 có hai bậc hai i a i a Đặc biệt , số 1 có hai bậc hai i b Phƣơng trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai az2bz c 0 (a b c, , ,a0)
Nếu 0, phương trình có nghiệm kép
2
b z
a
Nếu 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1,2
2
b z
a
(17) Nếu 0, phương trình có hai nghiệm : 1,2
2
b i
z
a
c Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az2 bz c 0 (a b c, , ,a0) có hai nghiệm z z1, 2
thì: z1 z2 b a
z z1 2 c a
d Định lý đảo định lý Viet :Nếu hai số z z1, 2 có tổng z1z2 S z z1 2 P z z1, 2 nghiệm phương trình :
0
z Sz P BÀI TẬP
Bài 1: Tính phần thực, phần ảo mụdum số phức z :
a) z 1 i 3 1 i b) z = (2+i)3 - (3-i)3 c) 1 3
1
i z
i
d)
2 (1 ) z i i
Bài Thực mặt Phép tính: a) (1 )(4 )
3
i i i
i
b)
3
i i
+ – 3i c)
2 i
i
+
1
i i
a) (1i 2)2 (1 i 2)2 b) (2i)3 (2 i)3 c) (2 ) i 2 (2 )i Bài Giải phương trình tập số phức:
a) 3x22x 5 b) z427z0 c) 25z4 0 d) 2x2 2x 1 a) 2x2 5x3 20 b) z3 1 c) x3 8 d ) z4 2z2150
Bài Giải phương trình tập số phức:
a) (1+i)z +(2+i)(1-3i) = 2-3i b) ( ) i z(14 i) (1 )i z c) (2z i) (1iz i) 3i
Bài 5: Tính hai số phức biết tổng tích chỳng :
a) Tổng tích 7; b) Tổng -2 tích ; c) Tổng tích 3; Bài 6: Tính mặt số thực x, y thoả :
a) 2x 1 (1 )y i 2 x (3y1)i b)2x y (x )y i0 c)4x 3 (y2)i y (2x3)i d) x(1 ) i 2 (x )(1 )y i 316 12 i
Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tính tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả điều kiện sau: a) z2i 6 b) 2i z z c) z2i z d) z i 1 h) z (1 )i z 2i
Bài 8: Tính số phức z, biết: a) z 2z 1 4i b) z 3z 1 12i c) z3z 1 3i f) 2z z 4i
Bài 9: Tính mặt bậc hai của: 27; 45; - 15; 1 3 ; 2 5 Trích số phức đề thi tốt nghiệp
1 Giải phương trình
2x 5x 4 0 tập số phức TN THPT – 2006 Giải phương trình
4
x x tập số phức TN THPT – 2007 (lần 1) Giải phương trình
6 25
x x tập số phức TN THPT – 2007 (lần 2) Tính giỏ trị biểu thức: 2
(1 ) (1 )
P i i TN THPT – 2008 (lần 1) Giải phương trình
2
x x tập số phức TN THPT – 2008 (lần 2) Giải phương trình
8z 4z 1 0 tập số phức TN THPT – 2009 (CB) Giải phương trình
2z iz 0 tập số phức TN THPT – 2009 (NC) Giải phương trình
2z 6z 5 0 tập số phức TN THPT – 2010 (GDTX)
(18)c b
a M
H C
B A
Chuyên đề 5: KHỐI ĐA DIỆN – MẶT CẦU – MẶT TRỤ - MẶT NĨN I) Cơng thức tính thể tích
a) Khối chóp: V = Bh1
b) Lăng trụ:V =Bh
c) Khối nún:V = Bh=1 1r h2
3
xq
S = rl
d) Khối trụ: V =Bh= r h2
xq
S =2 rl
e) Khối cầu:V =4r3
3 ,
2
S=4 r
e) Khối lập phương: V = a3 f) Khối hộp chữ nhật: V = abc II) Một số kiến thức cân nhớ
1 Các hệ thức lượng tam giác:
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c a) Định lý cosin:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
Hệ quả: + cosA =
bc a c b
2
2 2
cosB =
ac b c a
2
2 2
cosC =
ab c b a
2
2 2
+
2 2 2( )
4 a
b c a m
2 2 2( )
4 b
a c b m
2 2 2( )
4 c
a b c
m
b) Định lý sin: C c B b A a
sin sin
sin = 2R (Với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) 3 Một số cơng thức tính diện tích tam giác:
S =
aha =
2
bhb =
2
chc
S =
ab.sinC =
bc.sinA =
ac.sinB S =
R abc
4 ; S = pr; S = p(pa)(pb)(pc) Với p =
(a + b + c) 4 Hệ thức lượng tam giác vng: Cho ABCvng A ta có :
a) Định lý Pitago : a2 b2c2 b) b2 ab'; c2 ac'
c) ah = bc d) 12 12 12
h b c
e) h2 b c' '
5 Diện tích số hình khác
(19)c) Diện tích hình thoi : S = 1
2(chộo dài x chộo ngắn)
d) Diện tích hình thang :
S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e) Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f) Diện tích hình trịn : S.R2 1 Một số hình khơng gian thƣờng gặp: a) Hình chóp:
Hình 1: Dựng cho mặt loại hình chóp tam giác (tứ diện): Có cạnh bên vng góc với đáy có ba cạnh vng góc với qua đỉnh
Hình 2: Dựng cho mặt loại hình chóp tam giác tứ diện
Hình 3: Dựng cho hình chóp S ABCD có SAABCD có đáy ABCD hình bình hành, hình thoi, hình vng, hình chữ nhật (Tâm mặt cầu ngoại tiếp trung điểm SC)
Hình 4: : Dựng cho hình chóp S ABCD có SOABCD có đáy ABCD hình bình hành, hình thoi, hình vng, hình chữ nhật (Tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm đường thẳng SO)
b) Hình lăng trụ – Hình hộp :
c) Hình cầu – Hình trụ – Hình nón:
2 Cụng thức tính diện tích – thể tích: Khối chóp:
3
V B h Khối lăng trụ: V B h Khối lập phương:
3
V a
Khối hộp chữ nhật: Va b c
(20)Khối nún:
3
V r h, Sxq rl Khối trụ:
2
V r h, Sxq 2rl Khối cầu:
3
V r , S4r2
VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Tính thể tích khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc Với đáy (ABC), SAa; tam giác ABC vuông B, BCa AC, 2a
Giải:
Ta tích 3 ABC
V B h S SA, mà SAa.Trong tam giác ABC vng
tại B, ta có: 2 2
4
AB AC BC a a a
Nờn 1
3
2 2
ABC
S AB BC a a a (đvdt)
Vậy:
3
1
3
a
V a a (đvtt)
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I trung
điểm cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Giải:
Gọi H trọng tâm tam giác ABC Khi đó: SH ABC nờn 3 ABC
V B h S SH
Mà
2
1
sin sin 60
2
ABC
a
S AB BC B a a (đvdt)
Lại có:
2
2 2
2 2
3 3
a a
AH AI AB BI a
Trong tam giác SAH vng H có
2
2 2 33
4
3
a a
SH SA AH a
Vậy
2
1 33 11
3 ABC 4
a a a
V S SH (đvtt)
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , mặt bên (SAB) vuông góc Với mặt đáy (ABC) mặt SAB tam giác vng cân S Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Giải:
Ta có: SAB ABCAB Từ S dựng đường thẳng vng góc Với AB cắt
AB I, nờn SI ABC mà SAB vuông cân S nên I trung điểm
AB
2
a
SI AB
Khi thể tích 3 ABC
V B h S SI Mà
2
1
.sin
2
ABC
a
S AB AC A (đvdt) Vậy
2
1 3
3 24
a a a
V (đvtt)
BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Bài 1: a) (TN THPT 09) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc Với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC tam giác đều cạnh a , biết
(21)b) (TN THPT 08L2) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc Với mặt phẳng đáy, đáy ABC tam giác vuông B, biết ABa BC, a SA3a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a
c) (TN THPT 07L1) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc Với mặt phẳng đáy, đáy ABC tam vng B, biết SA ABBCa Tính thể tích khối chóp S ABC theo a
d) (TN THPT 07L2) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc Với mặt phẳng đáy, đáy ABCD hình vng cạnh a SAAC Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
Bài 2: Cho hình chópS ABC có đáy ABClà tam giác vng B, cạnh bênSAvng góc Với mặt đáy Biết SAABBCa Tính thể tích khối chop S ABC theo a
Bài 3: Cho hình chop S ABCD có mặt bên SBClà tam giác cạnh a Cạnh bên SAvng góc Với mặt
phẳng đáy Biết góc BAC =
120 Hãy tính thể tích khối chop S ABC theoa
Bài 4: Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc Với mặt đáy, góc mặt phẳngSBDvà mặt phẳng đáy
60 Tính thể tích khối chópS ABCD theo a
Bài 5: Cho hình chop S ABCD có đáy ABCDlà hình vng, cạnh bên SA=a vng góc Với mặt đáy, góc SB mặt đáy
45 tính thể tích khối chópS ABCD theo a
Bài 6: Cho hình chop tứ giác có tất có tất cạnh a tính thể tích khối chop S ABCD theo a
Bài 7: Cho hình chop S ABCD có đáy hình thoi tâm 0, SAC Là tam giác cạnh aSBSDa Tính thể tích khối chop S ABC
Bài 8: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy tam giác cân A Hai mặt bên SAB SACcùng vuông góc Với mặt đáy Gọi I trung điểm canh BC Biết BCa,SAa góc hai mặt phẳng SBC
ABC
30 Tính thể tích khối chop S ABC theo a
Bài 9: Cho khối chop S ABC có đáy tam giác cạnh a , tam giác SAC cân S có SAC600,
SAC ABC Tính thể tích khối chop S ABC theo a
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp Với đáy góc
60 Gọi (C)
đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C)
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ' có ACa BC, 2 ,a ACB600 tam giác '
ABB cân B Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Giải:
Ta tích V B h SABC.BB' Mà
2
1
sin
2
ABC
a
S AC BC C (đvdt)
Vỡ ABB' vuông cân B nờn ABBB'
Trong ABC có AB2AC2BC22AC BC .cosC3a2ABa Vậy
2
3
'
2
ABC
a a
V S BB a (đvtt)
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có hình chiếu vng góc đỉnh A' lên đáy (ABC) trùng Với trung điểm i AB, đáy ABC tam giác cạnh a , góc cạnh bên AA ' Với đáy
0
(22)Giải:
Ta tích V B h SABC 'A I Mà
2
1
.sin
2
ABC
a
S AC BC C
(đvdt)
Góc AA ' Với đáy góc AA ' Với AI(Vỡ AH hình chiếu
của AA ' lên đáy (ABC)) Nên A AI' 300
Trong tam giác AA I' vng tại, ta có:
0
'
tan ' tan 30
2
A I a
A A I AB
AI
Vậy
3 '
8 ABC
a
V S A I (đvtt) BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao 2a Biết O tâm ABCD (C) đường trịn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh O đáy (C)
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh đáy a chiều cao 2a Biết O tâm ABC (C) đường tròn nội tiếp đáy ABC Tính thể tích khối nón có đỉnh O đáy (C)
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy a , A B' tạo Với đáy góc
60 Tính thể tích lăng trụ theo a
Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Biết mặt phẳng A BC tạo Với đáy góc ' 300 tam giác A BC' có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
Bài 5: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A' lờn mặt phẳng ABC trung Với trung điểm M BC Góc hợp AA' mặt đáy 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' theo a
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông cân C, cho A C' a, góc hợp
A BC mặt phẳng đáy ' Tính để lăng trụ ABC A B C ' ' ' tích lớn
Ví dụ 6: Cho hình nún đỉnh S, đường trịn đáy tâm O, bán kính r a góc đỉnh hình nún
60 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nún Giải:
Ta có Sxq rl .a SA Trong tam giácASOvng O ta có: sinS AO SA 2a
SA
Nờn
xq
S r l a Mà SO SA2AO2 4a2a2 a Vậy thể tích
3
2
1
3 3
a
V r h r SO (đvtt) BÀI TẬP THỂ TÍCH – DIỆN TÍCH CỦA KHỐI NĨN
Bài 1: Trong không gian cho tam giác OIM vuông I, góc IOM 300
cạnh IM
= a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nún trịn xoay
a) Tính diện tích xung quanh hình nún trịn xoay tạo thành b) Tính thể tích khối nún trịn xoay tạo thành
Bài 2: Thiết diện qua trục hình nún tam giác vng cân có cạnh góc vng a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nún
b) Tính thể tích khối nón tương ứng
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo Với đáy góc 600
Tính diện tích thiết diện
Bài 3: Cho hình nún đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ điểm O đến AB a
0
SAO 3 , SAB=600 Tính độ dài đường sinh hình nún theo a
(23)Bài 5: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh hình nún có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A’B’C’D’
Bài 6: Cắt hình nún mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình thể tích khối nún
Ví dụ 7: Cho hình trụ có bán kính đáy a khoảng cách hai đáy a Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ cho theo a
Giải:
Gọi hình trụ có tâm hai đáy O O, ' (như hình bên) Theo giả thiết ta có OO'a
Khi diện tích xung quanh:
2
2 2 '
xq
S rl rAB r OO a (đvdt) Thể tích khối trụ là: 2
'
Vr ha OO a (đvtt) BÀI TẬP THỂ TÍCH – DIỆN TÍCH KHỐI TRỤ
Bài 1: Cho hình trụ có mặt đáy hai hình trịn tâm O O, bán kính đáy cm Trên đường trịn đáy tâm O lấy hai điểm A, B cho AB = cm Biết thể tích tứ diện OOAB cm3
Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ
Bài 2: Cho hình trụ có mặt đáy hai hình trịn tâm O O, bán kính đáy cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A cho AO hợp Với mặt phẳng đáy góc
60 Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ Bài 3: Cho hình trụ có mặt đáy hai hình trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OOAB
Bài 4: Một khối trụ có chiều cao 20 cm có bán kính đáy 10 cm Người ta kẻ hai bán kính OA O’B’ hai đáy cho chúng hợp Với góc 300 Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ song song Với trục OO’ khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách hai đáy h = 56 cm Một thiết diện song song Với trục hình vng Tính khoảng Cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện
Bài 6: Trong không gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ trịn xoay
a) Tính diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay tạo nên
b) Tính thể tích khối trụ trịn xoay tạo nên hình trụ trịn xoay Bài 7: Cho hình trụ có bán kính r chiều cao hr
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nờn hình trụ cho
Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R đường cao R 3; A B hai điểm hai đường trịn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 300
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính khoảng Cách AB trục hình trụ
Bài 9: Cho hình trụ có bán kính đáy r5cm khoảng cách hai mặt đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ giới hạn hình trụ
b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song Với trục hình trụ Cách trục 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA2 ,a ACa SA
vng góc Với mặt phẳng đáy
a) Chứng minh trung điểm I SC tâm mặt cầu (S) qua đỉnh hình chóp
(24)Giải:
a) Ta có tam giác SAC SBC vuông A B nên
1
IS
AI BI SC IC Do I cách đỉnh S, A, B, C
Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính
2
1
2 2
a
R SC SA AC
b) Đường tròn giao tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Do ABC tam giác vng B nên tâm trung điểm AC bán
kính
2
a
r AC
BÀI TẬP THỂ TÍCH MẶT CẦU
Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,cạnh bên SAvng góc Với mặt đáy, cạnh
bên SBbằng a
a) Tính thể tích khối chop S ABCD theo a
b) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, ABa,AD2a Hai mặt bên SAB SADcùng vng góc Với mặt đáy ,SAD tam giac vng cân
a) Tính thể tích khối chóp S ABCD b) Tính tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
Bài 3: Cho hình chóp đềuS ABC có M trung điểm cạnh AB , AM=a tính thể tích khối chop S ABC theo a biết SAa
Bài 4: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a
a) Tính thể tích khối chop S ABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Bài 5: Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc Với mặt đáy, cạnh bên
SCtạo Với mặt đáy góc 600
a) Tính thể tích khối chop S BCD theo a
b) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chop S ABCD Tính diện tích mặt cầu
đó
Bài 6: Cho hình chóp S ABC có SA AB BC, , vng góc Với đơi Biết SAa AB, BC a Tính thể tích khối chóp tính tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Chuyên đề 6: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
I – PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có véc tơ pháp tuyến cho trước Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1; -2; 3) có véc tơ pháp tuyến n(3;1; 2) Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm song song Với mặt phẳng cho trước Viết phương trình mặt phẳng qua M(2; 1; 1) song song Với mặt phẳng (P): x + 2y – Z + = Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc Với đường thẳng cho trước a) Đi qua M (2;1;3) vng góc Với AB Với A = (1;-2;2), B = (0;- 4;4)
b) Mặt phẳng trung trực đoạn AB Với A = (2;-1;3) B = (0;3;-1) c) Vng góc Với d :
2
x y z
cách điểm A(2;1;3) khoảng
Bài tốn 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm điểm không thẳng hàng cho trước Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1;2;3), B(-2;1;1), C(-1;-3;-4)
Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d điểm M khơng nằm d Viết phương trình mặt phẳng qua M(-2;3;1) chứa đường thẳng d:
2
x y z
(25)Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt Viết phương trình mặt phẳng chỳa hai đường Chứa d:
2
x y z
d’:
1
x y z
Bài tốn 7: Viết phương trình mặt phẳng chỳa hai đường song song Với
Cho hai đường thẳng:
1
:
3 x t d y t
z t
1 ' ' : '
2 '
x t
d y t
z t
a) Chứng minh d song song Với d’
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d d’
Bài tốn 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm song song Với hai đường thẳng cho trước
Đi qua M(10;8;-3) song song Với đường d:
3 x t
y t
z t
d’ : 15 13
2
x y z
Bài tốn 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng song song Với đường thẳng
a) Cho d:
1
x y z
d’:
1 1
x y z
Viết PT mp(P) chứa d song song Với d’
b) Cho A(- 2;- 3;- 2), B(- 8;- 5;- 7) ,C(3;- 4;- 1) D(0;- 6;- 3) Viết PT mp(P) chứa AB song song Với CD Bài tốn 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc Với mặt phẳng
a) Chứa đường d :
12 11 16
x y z
vng góc Với mặt (P) : 7x + y - 6z -10 =
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(0;1;0) B(1;2;-2) vng góc Với (Q): 2x-y+3z+13=0
Bài tốn 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm, song song vói đường thẳng vng góc Với mặt phẳng cho trước
Viết phương trình mặt phẳng qua A(2;1;1) song song Với đường thẳng
1
:
1
x t
d y t
z t
vng góc Với mặt phẳng (P): 2x + y – z + =
Bài tốn 12: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc Với hai mặt phẳng cắt Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;-1;2) vng góc Với mặt phẳng
(Q) : x3z10; (R ):2x+y-z+1=0
Bài toán 13: Viết phương trình mặt phẳng cách mặt phẳng khác:
Lập PT mặt phẳng cách mặt: (P) : x + 2y +3z - 14 = (Q) : x + 2y +3z + = Bài tốn 14: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc Với mặt cầu điểm
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc Với mặt cầu : (x - 2)
+ y2 + (z - 3)2 = điểm A(3;2; 1) Bài tốn 15: Viết phương trình mặt phẳng vng góc Với đường thẳng tiếp xúc Với mặt cầu: Viết phương trình mặt phẳng vng góc Với đường thẳng d:
2
x y z
tiếp xúc Với mặt cầu (S) có
phương trình: 2
(x1) (y3) z 1 II – PHƢƠNG TRÌNH MặT CẦU
Bài 1: Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x2 y2z2 8x2y10 b) x2 y2 z2 4x8y2z40 c) x2y2z2 5z 7 d) (x1)2(y3)2z2 1
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu mặt trường hợp sau: 1) Tâm I(2;1;-1), bán kính R =
(26)3) Đường kính AB Với A(-1;2;3), B(3;2;-7)
4) Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1) 5) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0y
6) Đi qua điểm A(1;0;0), B(2;3;0), C(1;3;2) có tâm thuộc mặt phẳng Oxy
7) Đi qua điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) có tâm nằm mặt phẳng (P) : x + y + z – = 8) Tâm I(1;2;3) tiếp xúc Với mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – =
III – VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Bài 1: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : (x – 3)2
+ (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – 2y – z +9 =
a) Chứng minh : (P) (S) cắt
b) Xác định tâm bán kính đường trịn giao tuyến của (P) (S) Bài 2: Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S) trường hợp sau:
a) (P): x + 2y + 2z +18 = (S): x1 2 y2 2 z22 36 b) (P): x + 2y + 2z +13 = (S): x1 2 y2 2 z22 36 IV – VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: 1) Đi qua điểm M(1;0;1) nhận a(3; 2;3)làm véc tơ phương
2) Đi qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3)
3) Đi qua A(2; -1; 3) vng góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + = 4) Đi qua điểm M(2;3;-5) song song Với đường thẳng d : 2 x t y t z t
5) Cho M(2;3;-1) đường thẳng 1 2
1
2
: ; :
1
1
x t
x y z
y t z t
Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc Với 1&2
6) Cho 1:
1 2 3 x t y t z t
2:
2 ' ' ' x t y t z t
Chứng minh 1 và2 chéo Viết phương trình đường thẳng d đường vng góc chung 1 2
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho M(1;0;2) đường thẳng
2 :
x y z
a) Tính tọa độ điểm H hình chiếu M b) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng c) Tính tọa độ điểm M’ đối xứng Với M qua
Bài 3: Tính tọa độ điểm H hình chiếu M(1;0;2) mặt phẳng (P): x + 2y + 2z +18 = Từ suy tọa độ điểm M’ đối xứng Với M qua mặt phẳng ()
Bài 4: Xét vị trí tương đối đường thẳng sau:
a)
1 1 :
y z
x
d 2
1
:
1
x t
d y t
z t
b) (d1) :
1 2 3 x t y t z t
(d2) :
(27)c) 1
1
:
3 x t
d y t
z t
2
1 '
: '
2 '
x t
d y t
z t
Bài 5: Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P), tính tọa độ giao điểm (nếu có)
a)
1 :
4
x t
d y t
z t
(P): x + 2y – z + = b)
1
:
1 x t d y t
z t
(P): x + 3y + z + =
c)
1
:
2 x t
d y t
z t
(P): x + y + z – =
B – BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4)
1 Chứng minh tam giác ABC vng Viết phương trình tham số đương thẳng AB
2 Gọi M điểm cho MB2MC Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc Với đường thẳng BC (Đề thi tốt nghiệp 2006)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) mặt phẳng ()có phương trình x + 2y – 2z + =
1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ O tiếp xúc mặt phẳng ()
2 Viết phương trình tham số đường thẳng () qua điểm E vng góc mặt phẳng () (TN 2007 Lần 1)
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) đường thẳng (d) có phương trình
t z
t y
t x
6
2
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc Với đường thẳng (d)
2 Viết phương trình tham số đương thẳng qua hai điểm M N (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2) Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC Với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) C(2; 2; -1)
1 Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc Với đường thẳng BC
2 Tính tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành.(Đề thi tốt nghiệp 2008) Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): x1 2 y2 2 z22 36 (P): x + 2y + 2z +18 =
1 Xác định tọa độ tâm T bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình tham số đương thẳng d qua T vng góc Với (P) Tính tọa độ giao điểm của d (P) (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 6: Trong không gian Với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) C(0; 0; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc Với đường thẳng BC 2 Tính tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (Đề thi tốt nghiệp 2010)
Bài 7:Trong không gian Với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) đường thẳng (d) có phương
trình
x 2t y t z t
(28)BàI 8: Trong không gian Với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình 6Y+8Z+1=0
1.Viết phương trình tham số đường thằng d qua hai điềm M N
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) mặt phẳng tiếp diện BàI 9: Trong không gian Với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4)
1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A,B,C Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A có đường kính BàI 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;0 đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc Với d Tính tọa độ điểm A’ đối xứng Với điểm A qua đường thẳng d
BàI 11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; ;0) 1 Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng(ABC) 2 Viết phương trình tham số đường thẳng BC
BàI 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A( ; -3 ; -1), B( -2; ; 3) Viết phương trình đường thẳng AB
Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ vng góc AB
BàI 13: Trong không gian Oxyz, cho A(2 ;-3;1) mặt phẳng (Q) :x+ 3y - z + = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A vng góc Với (Q)
Tính tọa độ H hình chiếu A (Q).Suy tọa độ A' đối xứng A qua (Q)
BàI 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;2;0 , B 0;2;1 , C 1;1;2 , D(3; 2; 2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Suy DABC tứ diện
2 Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm D tiếp xúc Với mặt phẳng(ABC) BàI 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M song song Với mặt phẳng x2y3z 4 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) tiếp xúc Với mặt phẳng ( )
BàI 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;0 đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc Với d Tính tọa độ điểm A’ đối xứng Với điểm A qua đường thẳng d BàI 17:Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :x y z
1 2
điểm A(3;2;0) Tính tọa độ hình chiếu vng góc H A lên (d)
2 Tính tọa độ điểm B đối xứng Với A qua đường thẳng d BàI 18: Trong không gian Oxyz cho: () : 2x + y + z – = đường thẳng :
2
1
x t
y t
z t
( t tham số) Tính giao điểm I Và ()
