Hệ thống kiến thức SGK cả cấp 2

Hệ thống kiến thức Môn : Hình Học - THCS Website: http://quanghieu030778.violet.vn Điểm - Đờng thẳng - Ngời ta dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm - Bất hình tập hợp điểm Một điểm hình - Ngời ta dùng chữ thờng a, b, c, m, p, để đặt tên cho đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ in hoa dùng hai chữ thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ) - Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C nằm đờng thẳng a đờng thẳng a qua điểm C), kí hiệu là: C a - Điểm M không thuộc đờng thẳng a (điểm M nằm đờng thẳng a đờng thẳng a không qua điểm M), kí hiệu là: M a Ba điểm thẳng hàng - Ba điểm thuộc đờng thẳng ta nói chúng thẳng hàng - Ba điểm không thuộc đờng thẳng ta nói chúng không thẳng hàng Đờng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song - Hai đờng thẳng AB BC nh hình vẽ bên hai đờng thẳng trùng - Hai đờng thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung đợc gọi giao điểm (điểm E giao điểm) - Hai đờng thẳng điểm chung nào, ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu xy//zt Khái niệm tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng - Hình gồm điểm O phần đờng thẳng bị chia điểm O đợc gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy nh hình vẽ) - Hai tia chung gốc tạo thành đờng thẳng đợc gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau) - Hai tia chung gốc tia nằm tia đợc gọi hai tia trùng - Hai tia AB Ax hai tia trùng Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng - Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B - Hai điểm A B hai mút (hoặc hai - Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dơng đầu) đoạn thẳng AB Khi AM + MB = AB ? - Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngợc lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Trung điểm đoạn thẳng - Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách A, B (MA = MB) - Trung điểm M đoạn thẳng AB gọi điểm đoạn thẳng AB Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối - Hình gồm đờng thẳng a phần mặt phẳng bị chia a đợc gọi nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đợc gọi hai nửa mặt phẳng đối (hai nửa mặt phẳng (I) (II) đối nhau) Góc, góc bẹt - Góc hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung hai tia gọi đỉnh góc, hai tia hai cạnh góc ã - Góc xOy kí hiệu xOy O xOy - Điểm O đỉnh góc - Hai cạnh góc : Ox, Oy - Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối 10 So sánh hai góc, góc vuông, góc nhọn, góc tù - So sánh hai góc cách so sánh số đo chúng - Hai góc xOy uIv đợc kí ã ã hiệu là: xOy = uIv - Góc xOy nhỏ góc uIv, ta viết: ã ã ã ã xOy < uIv uIv > xOy - Góc có số đo 900 = 1v, góc vuông - Góc nhỏ góc vuông góc nhọn - Góc lớn góc vuông nhng nhỏ góc bẹt góc tù ã ã ã 11 Khi xOy + yOz = xOz - Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz ã ã ã xOy + yOz = xOz ã ã ã - Ngợc lại, xOy + yOz = xOz tia Oy nằm hai tia Ox Oz 12 Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù - Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung - Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 - Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800 - Hai góc vừa kề nhau, vừa bù đợc gọi hai góc kề bù 13 Tia phân giác góc - Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc ã ã ã ã ã - Khi: xOz + zOy = xOy xOz = zOy => tia Oz tia phân giác góc xOy - Đờng thẳng chứa tia phân giác góc đờng phân giác góc (đờng thẳng mn đờng phân giác góc xOy) 14 Đờng trung trực đoạn thẳng a) Định nghĩa: Đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm đợc gọi đờng trung trực đoạn thẳng b) Tổng quát: a a đờng trung trực AB a AB I IA =IB B I A 15 Các góc tạo đờng thẳng cắt hai đờng thẳng a) Các cặp góc so le trong: B ; A B A b) Các cặp góc đồng vị: B ; A B ; A 1 2 àA B ; A B 3 4 c) Khi a//b thì: B ; A B gọi cặp góc A phía bù 16 Hai đờng thẳng song song a) Dấu hiệu nhận biết - Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với a A B 41 b c a b b) Tiên đề Ơ_clít - Qua điểm đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng M c, Tính chất hai đờng thẳng song song - Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì: Hai góc so le nhau; b a Hai góc đồng vị nhau; Hai góc phía bù d) Quan hệ tính vuông góc với tính song song - Hai đờng thẳng phân biệt vuông góc với đờng thẳng thứ ba chúng song song với c b a c => a / / b b c a c - Một đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng song song vuông góc với đờng thẳng b c b => c a a / / b a e) Ba đờng thẳng song song - Hai đờng thẳng phân biệt song song với đờng thẳng thứ ba chúng song song với a//c b//c => a//b a b c 17 Góc tam giác a) Định nghĩa: Góc tam giác góc kề bù với góc tam giác b) Tính chất: Mỗi góc tam giác tổng hai góc không kề với A ã +B ACx =A B 18 Hai tam giác C x a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tơng ứng nhau, góc tơng ứng ABC = A 'B 'C ' AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C ' =A '; B =B '; C = C' A B A' C C B' b) Các trờng hợp hai tam giác *) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác Nếu ABC A'B'C' có: AB = A 'B ' AC = A 'C ' => ABC = A 'B 'C '(c.c.c ) BC = B 'C ' A B A' C C' B' A *) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác Nếu ABC A'B'C' có: AB = A 'B ' =B ' => ABC = A 'B 'C '(c.g.c ) B BC = B 'C ' B A' B' *) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) C C' ' A - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Nếu ABC A'B'C' có: =B à' B BC = B 'C ' => ABC = A 'B 'C '(g.c.g ) =C à' C B C A' C' B' c) Các trờng hợp hai tam giác vuông Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' Trờng hợp 2: Nếu cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông hai giác vuông B B' A C A' C' Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông B' B C A C' A' Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' A 19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn >C ABC : Nếu AC > AB B C B Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn >C AC > AB ABC : Nếu B 20 Quan hệ đờng vuông góc đờng xiên, đờng xiên hình chiếu Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên - Lấy A d, kẻ AH d, lấy B d B H Khi : - Đoạn thẳng AH gọi đờng vuông góc kẻ từ A A đến đờng thẳng d - Điểm H gọi hình chiếu A đờng thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đờng xiên kẻ từ A đến đờng thẳng d - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đờng xiên AB đ.thẳng d H B d Quan hệ đờng xiên đờng vuông góc: Trong đờng xiên đờng vuông góc kẻ từ điểm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc đờng ngắn Quan hệ đờng xiên hình chiếu: Trong hai đờng xiên kẻ từ điểm nằm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, thì: Đờng xiên có hình chiếu lớn lớn Đờng xiên lớn có hình chiếu lớn Nếu hai đờng xiên hai hình chiếu ngợc lại, hai hình chiếu hai đờng xiên 21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại VD: AB - AC < BC < AB + AC 10 21 Tính chất ba đờng trung tuyến tam giác - Ba đờng trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh A khoảng độ dài đờng trung tuyến qua đỉnh ấy: F GA = GB = GC = DA EB FC G B G trọng tâm tam giác ABC 22 Tính chất ba đờng phân giác tam giác - Ba đờng phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác E C D A - Điểm O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC O C B 23 Tính chất ba đờng trung trực tam giác - Ba đờng trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác A - Điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC O B C 24 Phơng pháp chứng minh số toán (sử dụng cách sau đây) a) Chứng minh tam giác cân Chứng minh tam giác có hai cạnh Chứng minh tam giác có hai góc Chứng minh tam giác có đờng trung tuyến vừa đờng cao Chứng minh tam giác có đờng cao vừa đờng phân giác đỉnh b) Chứng minh tam giác Chứng minh tam giác có ba cạnh Chứng minh tam giác có ba góc Chứng minh tam giác cân có góc 600 c) Chứng minh tứ giác hình bình hành Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có góc đối hình bình hành Tứ giác có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng hình bình hành d) Chứng minh tứ giác hình thang: Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song e) Chứng minh hình thang hình thang cân Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy 10 42 ax + by = c (b + b')y = c + c ' + Nếu có ax + b ' y = c ' ax + b' y = c ' ax + by = c (b b')y = c c ' + Nếu có ax + b' y = c ' ax + b' y = c ' ax + by = c k.ax + kby = kc (kb b')y = k.c c ' + Nếu có k.ax + b ' y = c ' k.ax + b' y = c ' ax + by = c b) Phơng pháp *) Cách giải hệ phơng trình phơng pháp Bớc 1: Dùng quy tắc biến đổi hệ phơng trình cho để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình ẩn Bớc 2: Giải phơng trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ cho *) Tổng quát: a c y= x+ a c ax + by = c b b y = x + b b a' x + b ' y = c ' a ' x + b ' a x + c ữ = c ' a' x + b' y = c ' b b c) Phơng pháp đồ thị - Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm hai phơng trình hệ - Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối hai dờng thẳng +) Nếu hai đờng thẳng cắt hệ có nghiệm nhất, dựa vào đồ thị đoán nhận nghiệm đó, sau thử lại kết luận nghiệm hệ +) Nếu hai đờng thẳng song song hệ vô nghiệm +) Nếu hai đờng thẳng trùng hệ có vô số nghiệm Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc áp dụng phơng pháp giải hệ: (áp dụng cho hệ phơng trình chứa ẩn mẫu, dới dấu bậc hai.) Phân dạng tập chi tiết Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số Dạng 2: Giải hệ phơng trình biết giá trị tham số Phơng pháp: Bớc 1: Thay giá trị tham số vào hệ phơng trình Bớc 2: Giải hệ phơng trình không chứa tham số vừa thu đợc Dạng 3: Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số - Dùng phơng pháp cộng để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m), làm xuất phơng trình có dạng : Ax = B (1) (hoặc Ay = B) Nếu A = phơng trình (1) có dạng 0x = B +) Khi B = phơng trình (1) có dạng 0x = phơng trình có vô số nghiệm => hệ phơng trình có vô số nghiệm +) Khi B phơng trình (1) vô nghiệm => hệ phơng trình vô nghiệm Nếu A phơng trình (1) có nghiệm 42 B A 43 x= B A => hệ phơng trình có nghiệm y = y(m ) Dạng 4: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm *) Điều kiện để hệ hai phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm ax + by = c (a, b, c, a, b, c khác 0) a' x + b' y = c ' a b c = = a' b ' c ' a b c + Hệ vô nghiệm = a' b ' c ' a b + Hệ có nghiệm a' b' + Hệ có vô số nghiệm Dạng 5: Tìm giá trị tham số biết dấu nghiệm hệ phơng trình Dạng 6: Tìm giá tham số biết nghiệm hệ phơng trình 6.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình ax + by = c ax + by = c Cho hệ phơng trình : (1) (2) x = x0 Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm y = y Cách 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số 6.2: Tìm hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình ax + by = c ax + by = c Cho hệ phơng trình: x = x0 có nghiệm y = y Bớc 1: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình hệ phơng trình ta đợc ax + by = c ax + by = c Bớc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số Dạng 7: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y ax + by = c ax + by = c Cho hệ phơng trình : (1) (I) (2) Có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3) Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện tham số để hệ (I) có nghiệm Bớc 2: Do (x; y) nghiệm hệ (I) thoả mãn (3) (x; y) nghiệm (1), (2), (3) Kết hợp phơng trình đơn giản để đợc hệ phơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng trình lại 43 44 Bớc 3: Giải phơng trình chứa ẩn tham số Dạng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm (x ; y0) số nguyên Bớc 1: Tìm điều kiện tham số m để hệ có nghiệm Bớc 2: Phân tích x0 ; y0 dới dạng b với a, b Z A(m ) d y0 = c + với c, d Z B(m ) b x Z Z A(m ) Ư ( b) A(m ) => m = ? d Z B(m ) Ư (d ) y Z B(m ) x0 = a + *) Đặc biệt : b với a, b Z A(m ) d y0 = c + với c, d Z A(m ) => x0 ,y0 Z A(m ) Ư C( b,d ) => m = ? x0 = a + Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ Cách 1: Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện tham số để hệ phơng trình có nghiệm Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ x y là: P(x,y) = kA2(x) + d (d số) k < kA (x) kA2(x) + d d P(x,y) d Giá trị lớn P(x,y) d đạt đợc A(x) = k > kA2(x) kA2(x) + d d P(x,y) d Giá trị nhỏ P(x,y) d đạt đợc A(x) = Cách 2: P(x,y) = ax2 + bx + c ax2 + bx + c P(x,y) = Bớc 1: Tính ' Bớc 2: Đặt điều kiện ( ' 0) Giải bất phơng trình chứa ẩn P(x,y) P(x,y) e Giá trị nhỏ P(x,y) e đạt đợc =' = x = b b ' = a 2a P(x,y) e Giá trị lớn P(x,y) e đạt đợc =' = x = b b' = 2a a Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số Phơng pháp: ax + by = c a, b, c, a, b, c chứa tham số m a ' x + b ' y = c ' Cho hệ phơng trình: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m ? 44 45 *) Cách 1: Bớc 1: Từ phơng trình hệ ta rút m theo x y m = A(x,y) Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai hệ ta đợc hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m *) Cách 2: Sử dụng hệ phơng trình có tham số m dới dạng bậc ax + by = c m = A( x, y ) => a ' x + b ' y = c ' m = B( x, y ) Bớc 1: Từ hệ phơng trình Bớc 2: Cho A(x,y) = B(x,y) Đây hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m Lu ý: Ta cần rút gọn hệ thức cho ngắn gọn, đơn giản Dạng 11: Tìm giá trị tham số để hai hệ phơng trình tơng đơng - Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm (tức nghiệm hệ nghiệm hệ ngợc lại) Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ giải số hệ phơng trình không dạng hệ hai phơng trình bậc hai ẩn (hệ đặc biệt) VI Phơng trình bậc hai ẩn Phần I: Phơng trình không chứa tham số I Định nghĩa: Phơng trình bậc hai ẩn (nói gọn phơng trình bậc hai) phơng trình có dạng ax2 + bx + c = ( a 0) Trong đó: x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số II Phân loại Phơng trình khuyết c: ax2 + bx = (a 0) Phơng pháp giải: ax2 + bx = (a, b 0) x = x(ax + b) = x = b a b a Phơng trình khuyết b: ax2 + c = (a, c 0) Phơng pháp giải: ax2 + c = (a 0) c x2 = a +) c Nếu < Phơng trình vô nghiệm a +) c Nếu > Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = x1 = c ; c x2 = a a 45 46 Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = (a , b, c 0) *) Công thức nghiệm: = b2 - 4ac +) < Phơng trình vô nghiệm +) > phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = b + ; x2 = b 2a 2a +) = Phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b 2a * ) Công thức nghiệm thu gọn Nếu b = 2b (b = b ) ta có : = b2 - ac + Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = b '+ ' b ' ' ; x2 = a a + Nếu = phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 = b ' a + Nếu < phơng trình vô nghiệm Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số Dạng 1: Giải phơng trình biết giá trị tham số Thay giá trị tham số vào phơng trình giải phơng trình Dạng 2: Giải biện phơng trình theo tham số Tổng quát: Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc bx + c = + Nếu b phơng trình có nghiệm x = c b + Nếu b = c phơng trình vô nghiệm + Nếu b = c = phơng trình có vô số nghiệm Với a phơng trình trở thành phơng trình bậc hai có biệt số: = b2 4ac ( hay = b2 ac) + Nếu < ( < 0) phơng trình vô nghiệm + Nếu = ( = 0) phơng trình có nghiệm kép : x1 = x = - b = b ' 2a a + Nếu > ( > 0) phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = b + = b'+ ' ; x2 = b = b' ' 2a a 2a a Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm - Xét hai trờng hợp hệ số a: Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình có nghiệm Trờng hợp 2: a 0, phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm ( ' 0) 46 47 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Phơng trình bậc hai ẩn có hai nghiệm phân biệt a0 > 0( ' > ) Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm kép a0 Phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm kép = 0( ' = 0) Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phơng trình vô nghiệm - Xét hai trờng hợp hệ số a: Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình vô nghiệm Trờng hợp 2: a 0, phơng trình bậc hai ẩn vô nghiệm < ( ' < ) Dạng 7: Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Để chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt: a0 Cách 1: Chứng minh: ac < a Cách 2: Chứng minh: > Chú ý: Cho tam thức bậc hai = am2 + bm + c a > m = b 4ac < Để chứng minh > 0, m ta cần chứng minh Dạng 8: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm dấu, trái dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm hai số đối nhau, có hai nghiệm hai số nghịch đảo Cho phơng trình ax2 + bx + c = ; a, b, c chứa tham số S = x + x = b a Theo định lí Vi - ét, ta có : P = x1 x2 = c a a a0 a) Phơng trình có hai nghiệm dấu P > ac > a a0 b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu P < ac < 47 48 a c) Phơng trình có hai nghiệm dơng P > S > a d) Phơng trình có hai nghiệm âm P > S < a > e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt P > S > a > f) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt P > S < g) Phơng trình có hai nghiệm hai số đối a0 b =0 S = x1 + x2 = a h) Phơng trình có nghiệm hai số nghịch đảo a0 c =1 P = x1 x2 = a Dạng 9: Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Bớc 2: Tính x1 + x1 = b c x1.x1 = a a Bớc 3: Biểu thị đợc biểu thức theo x1 + x1 x1.x1 ; sau thay giá trị x1 + x1 x1.x1 vào để tính giá trị biểu thức Chú ý: a2 + b2 = (a + b)2 2ab a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) 48 49 (a b)2 = (a + b)2 4ab ( a + b)2 = (a + b) + a.b a4 + b4 = (a2 + b2 )2 2a2b2 (a,b 0) a3 + b3 = a a + b b = ( a + b)(a ab + b) (a,b 0) Dạng 10: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện sau: + =n a) x1 + x2 = b) c) x12 + x22 = k d) x13 + x23 = t , x1 x2 Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Giải a hệ ĐK: => m = ? S = x + x = b a Bớc 2: Theo hệ thức Vi ét, ta có: P = x1 x2 = c a Bớc 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có đợc bớc vào điều kiện vừa biến đổi; từ giải phơng trình bất phơng trình với biến tham số để tìm giá trị tham số Tiếp theo kiểm tra xem giá trị tham số tìm đợc có thỏa mãn hệ điều kiện bớc hay không ? Hoặc có toán ta kết hợp điều kiện đề với hệ thức Vi - ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn x1, x2); sau ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi ét lại để tìm tham số Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm lại Bớc 1: Thay x = x1 vào phơng trình, ta có: ax12 + bx1 + c = => m = ? Bớc 2: Để tìm nghiệm lại x2 ta thực theo hai cách: Cách 1: Thay giá trị m vào phơng trình ban đầu Từ có phơng trình bậc hai giải phơng trình ta tìm đợc x2 Cách 2: Tính x2 nhờ định lí Vi - ét: x2 = S x1 x2 = P : x1 Dạng 12: Tìm phơng trình bậc hai biết trớc hai nghiệm số Trờng hợp 1: Cho nghiệm x1, x2 Ta có phơng trình với ẩn x : ( x x1 ) ( x x2 ) = x2 ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = Trờng hợp 2: Không có x1, x2 riêng Bớc 1: Tìm S = x1 + x2 P = x1 x2 Bớc 2: Phơng trình với ẩn x x2 Sx + P = Phơng trình có nghiệm S2 P 49 50 Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai biết mối liên hệ hai nghiệm phơng trình cần lập với hai nghiệm phơng trình cho trớc Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm phơng trình Bớc 2: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình cho x1 + x = b c , x1.x = a a Bớc 3: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình cần lập x3 x4 thông qua mối liên hệ với x1 , x2 Bớc 4: Lập phơng trình Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Cách 1: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 a Giải hệ điều kiện b S = x + x = a Bớc 2: Tính hệ thức Vi - ét: P = x x = c a Bớc 3: Khử tham số hệ thức Vi ét, tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số nghiệm phơng trình Cách 2: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 a Giải hệ điều kiện Bớc 2: Giải phơng trình tìm x1, x2 Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số) Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tam thức bậc hai y = ax + bx + c (a ) Cách 1: Biến đổi y = kA2(x) + m (m số) k < kA2(x) kA2(x) + m m y m Giá trị lớn y m đạt đợc A(x) = k > kA2(x) kA2(x) + m m y m Giá trị nhỏ y m đạt đợc A(x) = Cách 2: y = ax2 + bx + c ax2 + bx + c y = + Bớc 1: Tính ' + Bớc 2: Đặt điều kiện ( ' 0) Giải bất phơng trình chứa ẩn y y m Giá trị nhỏ y m đạt đợc =' = x = b b ' = a 2a y m Giá trị lớn y m đạt đợc 50 51 =' = x = b b' = 2a a Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ hai nghiệm Bớc 1: Kiểm tra có nghiệm phơng trình Bớc 2: Tính x1 + x = b c , x1.x = a a Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x 1; x2) dạng có chứa x1+ x2 x1.x2 Bớc 4: Thay x1 + x2 x1.x2 vào biểu thức A Khi A trở thành tam thức bậc hai ẩn tham số Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhỏ A Chọn giá trị tham số thích hợp Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 b x1 + x = a Bớc 2: Tính hệ thức Vi- ét: x x = c a Bớc 3: Tính giá trị biểu thức theo x 1+ x2 x1.x2 ; thấy kết số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 18: Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức cho Dạng 19: Tìm hai số biết tổng tích chúng u + v = S (S 4P) Thì u v nghiệm phu.v = P Nếu hai số u v thoả mãn ơng trình x2 - Sx + P = (*) - Nếu phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Do x, y có vai trò nh u = x1 u = x2 v = x2 v = x1 - Nếu phơng trình (*) có nghiệp kép x1 = x2 = a => u = v = a nên có hai cặp số thỏa mãn - Nếu phơng trình (*) vô nghiệm => Không tìm đợc cặp giá trị (u, v) thỏa mãn yêu cầu đề Dạng 20: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm chung Cho hai phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) a ' x2 + b' x + c ' = (a ' 0) Trong a, b,c,a ', b',c ' chứa tham số m *) Cách 1: Hai phơng trình có nghiệm chung hệ phơng trình: 51 52 ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm a ' x + b ' x + c ' = (a ' 0) Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình dạng: A(m).x = B(m) +) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay không ? +) Nếu A(m ) => x = B(m ) (chứa tham số) Thay vào A(m ) hai phơng trình ta rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay không ? +) Nếu A(m ) => x = B(m ) (không chứa tham số), kết luận A(m ) nghiệm chung hai phơng trình Thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta rút giá trị m Kết luận: ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, nghiệm chung ? *) Cách 2: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình ax + bx + c = => m = A(x) a ' x + b' x + c ' = => m = B(x) Ta có: A(x) = B(x) Giải phơng trình ta đợc nghiệm chung hai phơng trình, sau thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta tìm đợc giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra Cách 3: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình ta rút m theo x vào phơng trình kia, đợc phơng trình ẩn x; từ phơng trình ta tìm đợc nghiệm chung, sau tìm m = ? Dạng 21: Chứng minh hai phơng trình bậc hai ẩn có phơng trình có nghiệm Cho hai phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) a ' x2 + b' x + c ' = (a ' 0) Trong a, b,c,a ', b',c ' chứa tham số Chứng minh hai phơng trình có nghiệm Phơng pháp: Cách 1: Gọi , lần lợt biệt thức hai phơng trình Ta cần chứng minh +) + => , +) => Vậy hai phơng trình có nghiệm Cách 2: Chứng minh phản chứng Giả sử hai phơng trình vô nghiệm Khi < 0, < Ta lập luận dẫn đến điều vô lí => phải có hai biệt thức không âm Vậy có hai phơng trình có nghiệm Dạng 22: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình tơng đơng 52 53 - Lí thuyết chung: Hai phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm *) Dạng 22.1: Hai phơng trình bậc Tìm nghiệm hai phơng trình theo tham số cho hai nghiệm nhau, từ tìm đợc giá trị tham số để hai phơng trình tơng đơng *) Dạng 22.2: Hai phơng trình bậc hai ẩn Xét hai trờng hợp Trờng hợp1: Hai phơng trình có nghiệm chung Trớc hết tìm giá trị tham số để hai phơng trình có nghiệm chung sau thay giá trị tham số vào hai phơng trình tìm tập nghiệm chúng Nếu tập nghiệm hai phơng trình tơng đơng => giá trị tham số < < Trờng hợp 2: Hai phơng trình vô nghiệm => Giá trị tham số Đặc biệt: Nếu nhận thấy hai phơng trình có hai nghiệm ( ) => Hai phơng trình tơng đơng hai nghiệm phơng trình hai nghiệm phơng trình kia, ta áp dụng vi ét cho hai phơng trình tìm tham số Cụ thể ta có: x1 + x2 = b = b' ;x1 x2 = c = c' => m = ? a a' a a' Dạng 23: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình 23.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x = x1 Cách giải: Bớc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn tham số 23.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phơng trình Cho phơng trình ax2 + bx + c = (1) (a 0) có hai nghiệm x = x1; x = x2 Cách 1: Bớc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình: ax12 + bx1 + c = ax + bx + c = Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn tham số Cách 2: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm b x1 + x = a Bớc 2: Theo Vi - ét x x = c a Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ giải ta đợc giá trị tham số Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn dơng luôn âm với x Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0) ( 2a ) f(x) = a( x + b x + c ) = a x + b a a 53 2 b 4ac 4a ( b = a x + 2a ) 4a 54 ( 2a ) +) Nếu < => x + b trờng hợp sau 4a > Khi f(x) dấu với hệ số a, ta có a > < f(x) > 0, x a < < f(x) < 0, x a > f(x) 0, x a < +) Nếu = => f ( x ) = a( x + b ) 2a f(x) 0, x => f(x) dấu với hệ số a, trừ trờng hợp x = b 2a Khi x = b f(x) = 2a VII Giải toán cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình Lí thuyết chung Các bớc giải toán cách lập phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình - Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số; - Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết; - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng Bớc 2: Giải phơng trình Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phơng trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Các bớc giải toán cách lập hệ phơng trình Bớc 1: Lập hệ phơng trình - Chọn hai ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho chúng; - Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết; - Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng Bớc 2: Giải hệ hai phơng trình nói Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phơng trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Phân dạng tập chi tiết Dạng 1: Toán chuyển động - Ba đại lợng: S, v, t 54 55 - Quan hệ: S = vt; t = S S ; v = (dùng công thức S = v.t từ tìm mối quan hệ v t S , v t) - Chú ý toán canô : Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthực Vnớc *) Toán gặp cần ý đến tổng quãng đờng thời gian bắt đầu khởi hành *) Toán đuổi kịp ý đến vận tốc quãng đờng đợc đuổi kịp Dạng 2: Toán quan hệ số ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c Điều kiện: < a 9; b, c (a, b, c Z ) Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng, suất *) Bài toán làm chung, làm riêng: + Qui ớc: Cả công việc đơn vị + Tìm đv thời gian đối tợng tham gia toán thực đợc phần công việc + Công thức: Phần công việc = Thời gian + Số lợng công việc = Thời gian Năng suất *) Bài toán suất: + Gồm ba đại lợng: Tổng sản phẩm ; suất; thời gian + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất Thời gian; => Thời gian = Tổng sản phẩm Tổng sản phẩm ; Năng suất = Năng suất Thời gian Dạng 4: Toán diện tích Dạng 5: Toán có quan hệ hình học Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm Thay giaựo : Phaùm Vaờn Hieọu *) Hãy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn Ghi 55 56 Nếu muốn tham khảo tập phần, dạng Xin mời quý thầy cô em học sinh truy cập vào website Quang Hiệu theo địa chỉ: http://quanghieu030778.violet.vn Tài liệu đợc viết với nhiều tâm huyết, chắn có sai sót không mong muốn Vậy Quang Hiệu mong đợc góp ý đồng chí lãnh đạo, bạn đồng nghiệp em học sinh miền tổ quốc tài liệu đợc hoàn thiện hơn, góp phần nhỏ bé nâng cao chất lợng giảng dạy học tập Bộ giáo dục Đào tạo phát động Quang Hiệu hân hạnh đợc phục vụ quý thầy cô em học sinh miền tổ quốc ! 56 [...]... thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng) b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ: 1) (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b )2 = a + 2 a.b + b (a,b 0) ( a b )2 = a 2 a.b + b (a,b 0) 2) 3) (a - b )2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a + b).(a - b) a b = ( a + b).( a b) 4) 5) 6) (a,b 0) (a + b) = a + 3a b + 3ab + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3 3 2 2 a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2 ) a a + b b = a3 + b 3... (a,b 0) 32 7) a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2 ) a a b b = a3 b 3 = 8) 9) 10) ( ) ( ) a 3 b 3 = ( a b)(a + ab + b) (a,b 0) (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ( a + b + c )2 = a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc (a,b,c 0) a2 = a Phân dạng bài tập chi tiết Dạng 3.1 : Tính Rút gọn biểu thức không có điều kiện Dạng 3 .2 : Rút gọn biểu thức có điều kiện Dạng 3.3 : Tính giá trị của biểu thức khi biết... Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề 16 17 30 Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9) a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông 2 b = ab' 2 c = ac ' 2 2 2 a = b + c (Pi_ta_go) bc = ah 2 h = b' c ' 1 1 1 2 + 2 = 2 b c h A c h c' B H b b' a b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn Định nghĩa các tỉ số lợng giác của góc nhọn cạnh... B > 0 B B - Biểu thức có dạng A + xác định (có nghĩa) khi C 30 A 0 C > 0 31 A 0 A + B xác định (có nghĩa) khi C C 0 3 Dạng 3 : Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba - Biểu thức có dạng Lí thuyết chung: a) Các công thức biến đổi căn thức 1) A 2 = A 2) AB = A B 3) 4) A (với A 0 và B > 0) B = 2 A B = A 5) A B = A A B 7) A B 9) B (với B 0) 2 A B (với A 0 và B 0) 2 B = 6) 8) B ( với... a > b a2 > b2 - Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A A, nếu A 0 A = A, nếu A < 0 Ta có: A2 0, |A| 0, A 2 = A - Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b là hai số thực không âm, ta có: a + b ab Dấu = xảy ra a = b 2 III Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, căn bậc ba 1 Dạng 1 : Rút gọn và tính giá trị các biểu thức hữu tỉ - Khi thực hiện rút gọn một biểu thức hữu tỉ... sau Còn nếu biểu thức có các dấu ngoặc thì thực hiện theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn - Với những bài toán tìm giá trị của phân thức thì phải tìm điều kiện của biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0) 2 Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa - Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) khi B 0 B - Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) khi A 0 A - Biểu thức có dạng xác... góc và phụ nhau Khi đó: sin = cos; tg = cotg; cos = sin; +) Cho 00 < < 900 Ta có: 2 cotg = tg 2 0 < sin < 1; 0 < cos < 1; sin + cos = 1 tg = sin ; cotg = cos ; tg cotg = 1 cos sin So sánh các tỉ số lợng giác 0 0 0 < 1 < 2 < 90 => sin 1 < sin 2 ;cos 1 > cos 2 ;tg1 < tg2 ;cotg1 > cotg 2 c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 17 C 18 b = a.sinB; b = a.cosC; b = c.tgB; b =... = m) Phơng pháp: Đặt t = x2 + mx + ab + cd 2 e) Phơng trình bậc bốn dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (với ab = cd = k) Phơng pháp: Chia cả hai vế cho x2 Đặt t = x + k x II- Bất phơng trình bậc nhất một ẩn 1) Định nghĩa: Một bất phơng trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0) với a 0 đợc gọi là một bất phơng trình bậc nhất một ẩn 2) Cách giải: ax + b > 0 ax > - b 29 30 Nếu a > 0 thì x > b... A mB ) 2 (với A 0 và A B ) 2 A B = C ( A m B A B ) (với A 0 , B 0 và A B) *) Lu ý: Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ta làm nh sau : - Quy đồng mẫu số chung (nếu có) - Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nếu có) - Trục căn thức ở mẫu (nếu có) - Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , theo thứ tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng - Cộng, trừ các biểu thức đồng... số *) Ví dụ: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; 2) a) b) - *) Chú ý: Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y đợc gọi là hàm hằng *) Ví dụ: Các hàm hằng y = 2; y = - 4; y = 7; Các cách thờng dùng cho một hàm số Hàm số cho bởi bảng Hàm số cho bởi công thức Hàm hằng: là hàm có công thức y = m (trong đó x là biến, m Ă ) Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức y = ax + b ... c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ( a + b + c )2 = a + b + c + ab + ac + bc (a,b,c 0) a2 = a Phân dạng tập chi tiết Dạng 3.1 : Tính Rút gọn biểu thức điều kiện Dạng 3 .2 : Rút gọn biểu thức. .. 0) 2) 3) (a - b )2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a + b).(a - b) a b = ( a + b).( a b) 4) 5) 6) (a,b 0) (a + b) = a + 3a b + 3ab + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3 2 a3 + b3 = (a + b)(a2 ... a1 = a2 +) (d1) (d2) a1 = a2 b1 = b2 +) (d1) (d2) a1.a2 = -1 (phải chứng minh đợc dùng) 12. 2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trục tung Cho (d1): y = a1x + b1 (d2): y = a2x + b2 a