Đang tải... (xem toàn văn)
Thay nghiÖm chung ®ã vµo mét trong hai ph¬ng tr×nh ta rót ra gi¸ trÞ cña m.. VËy cã Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng.[r]
(1)Hệ thống kiến thức bản
Môn : Hình Học - THCS
Website: http://huynhvumt.violet.vn
1 Điểm - Đờng thẳng
- Ngi ta dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm
- BÊt cø hình tập hợp điểm Một điểm một hình.
- Ngi ta dựng chữ thờng a, b, c, m, p, để đặt tên cho đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ in hoa hoặc dùng hai chữ thờng, ví dụ đ-ờng thẳng AB, xy, )
- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C nằm đờng thẳng a đờng thẳng a qua điểm C), kí hiệu là:
Ca
- Điểm M không thuộc đờng thẳng a (điểm M nằm ngồi đờng thẳng a hoặc đờng thẳng a khơng qua điểm M), kí hiệu là: Ma
2 Ba điểm thẳng hàng
- Ba im cựng thuc mt đờng thẳng ta nói chúng thẳng hàng
(2)- Hai đờng thẳng AB BC nh hình vẽ bên hai đờng thẳng trùng nhau.
- Hai đờng thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung đợc gọi giao điểm (điểm E giao điểm)
- Hai đờng thẳng khơng có điểm chung nào, ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu xy//zt
4 Khái niệm tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng
- Hình gồm điểm O phần đờng thẳng bị chia điểm O đợc gọi là một tia gốc O (có hai tia Ox Oy nh hình vẽ)
- Hai tia chung gốc tạo thành đờng thẳng đợc gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối
nhau) - Hai tia chung gốc tia nằm trêntia đợc gọi hai tia trùng nhau - Hai tia AB Ax hai tia trùng nhau
5 Đoạn thẳng, độ dài đoạn thng
- Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm giữa A B
- Hai điểm A B hai mút (hoặc
hai u) ca on thng AB. - Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dàiđoạn thẳng số dơng
6 Khi nµo th× AM + MB = AB ?
- NÕu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngợc lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B
7 Trung điểm đoạn thẳng
- Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách đều A, B (MA = MB)
- Trung điểm M đoạn thẳng AB gọi điểm của đoạn th¼ng AB
8 Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối
- Hình gồm đờng thẳng a một phần mặt phẳng bị chia a đ-ợc gọi nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đ-ợc gọi hai nửa mặt phẳng đối nhau (hai nửa mặt phẳng (I) (II) đối nhau)
(3)- Góc hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung hai tia gọi đỉnh của góc, hai tia hai cạnh góc - Góc xOy kí hiệu xOy O hoặc xOy
- Điểm O đỉnh góc - Hai cạnh góc : Ox, Oy
- Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia i nhau
10 So sánh hai góc, góc vuông, gãc nhän, gãc tï
- So s¸nh hai gãc cách so sánh các số đo chúng
- Hai góc xOy uIv đợc kí hiệu là: xOy uIv
- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:
xOyuIv uIv xOy
- Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, góc vuông
- Góc nhỏ góc vuông góc nhọn - Góc lớn góc vuông nhng nhỏ hơn góc bẹt góc tù.
11 Khi xOy yOz xOz - Nếu tia Oy nằm hai tia Ox và Oz xOy yOz xOz
- Ngợc lại, xOy yOz xOz thì tia Oy nằm hai tia Ox vµ Oz
(4)- Hai góc kề hai góc có một cạnh chung hai cạnh lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung.
- Hai gãc phụ hai góc có tổng số đo 900
- Hai gãc bï lµ hai gãc cã tỉng sè ®o b»ng 1800
- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau đợc gọi hai gúc k bự
13 Tia phân giác góc
- Tia phân giác góc tia nằm giữa hai cạnh góc tạo với hai c¹nh Êy hai gãc b»ng
- Khi:xOz zOy xOy xOz = zOy => tia Oz tia phân giác góc xOy - Đờng thẳng chứa tia phân giác của một góc đờng phân giác góc đó (đờng thẳng mn đờng phân giác của góc xOy)
14 §êng trung trùc đoạn thẳng
a) nh ngha: ng thng vuụng góc với một đoạn thẳng trung điểm đợc gọi là đờng trung trực đoạn thẳng ấy
b) Tỉng qu¸t:
a đờng trung trực AB
a AB t¹i I IA =IB
15 Các góc tạo đờng thẳng cắt hai đờng thẳng a
I B
(5)a) Các cặp góc so le trong:
1
A B ; A B 2. b) Các cặp góc đồng vị:
1
A vµ B ; A vµ B 2;
3
A vµ B ; A vµ B 4. c) Khi a//b th×:
1
A vµ B ; A vµ B 3 gọi cặp góc phía bù nhau
16 Hai đờng thẳng song song a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le nhau (hoặc cặp góc đồng vị nhau) thì a b song song với nhau
b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua điểm đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng đó
c, Tính chất hai đờng thẳng song song
- Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì: Hai góc so le nhau;
Hai góc đồng vị nhau; Hai góc phía bù nhau.
1 4
2 3 4
3 2
1
b a
B A
c
b a
(6)- Hai đờng thẳng phân biệt vng góc với đờng thẳng thứ ba chúng song song với nhau
a c
a / / b b c
- Một đờng thẳng vng góc với trong hai đờng thẳng song song cũng vng góc với đờng thẳng kia
c b
c a a / / b
e) Ba đờng thẳng song song
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song với đờng thẳng thứ ba chúng song song với nhau
a//c vµ b//c => a//b
17 Góc tam giác
a) Định nghĩa: Góc một tam giác góc kề bù víi mét gãc cđa tam gi¸c Êy
b) TÝnh chất: Mỗi góc tam giác tổng hai gãc kh«ng kỊ víi nã
ACx AB
18 Hai tam gi¸c b»ng
c
b a
c
b a
c b
a
x C
B
(7)a) Định nghĩa: Hai tam giác nhau là hai tam giác có cạnh tơng ứng bằng nhau, góc tơng ứng nhau
ABC A 'B 'C '
AB A 'B '; AC A 'C '; BC B 'C ' A A '; B B '; C C '
b) Các trờng hợp hai tam giác *) Trờng hợp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh
(c.c.c)
- Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác đó bằng nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A ' B '
AC A 'C ' ABC A 'B 'C '( c.c.c ) BC B 'C '
*) Trêng hỵp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh (c.g.c)
- Nếu hai cạnh góc xen tam giác này hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A ' B '
C ' B'
A'
C B
C' B'
A'
C B
A
C B
A
(8)- Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề của tam giác hai tam giác đó bằng nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: B B '
BC B 'C ' ABC A ' B 'C '(g.c.g ) C C '
c) Các trờng hợp hai tam giác vuông
Trng hp 1: Nu hai cạnh góc vng tam giác vng bằng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đó bằng nhau.
Trờng hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh của tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh ấy tam giác vng hai giác vng nhau.
Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng này cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng nhau.
A
B C
A'
B' C'
C' B'
A' C B
A
C' B'
A' C B
(9) Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng kia hai tam giác vng nhau.
19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện trong tam giác)
- Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn hơn
ABC : NÕu AC > AB th× B > C
Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn hơn ABC : Nếu B > C AC > AB
20 Quan hệ đờng vuông góc đờng xiên, đờng xiên và hình chiếu
Khái niệm đờng vng góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên - Lấy Ad, kẻ AH d, lấy Bd BH Khi đó:
- Đoạn thẳng AH gọi đờng vng góc kẻ A
B
C A' B'
C'
C' B'
A' C B
A
A
B C
(10)Quan hệ đờng xiên đờng vuông góc:
Trong đờng xiên đờng vng góc kẻ từ một điểm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vng góc đờng ngắn nhất.
Quan hệ đờng xiên hình chiếu:
Trong hai đờng xiên kẻ từ điểm nằm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, thì:
Đờng xiên có hình chiếu lớn lớn hơn Đờng xiên lớn có hình chiÕu lín h¬n
Nếu hai đờng xiên hai hình chiếu ngợc lại, nếu hai hình chiếu hai đờng xiên nhau.
21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại.
AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB
- Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại.
AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC
- Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hơn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC
C B
(11)21 Tính chất ba đờng trung tuyến tam giác
- Ba đờng trung tuyến tam giác đi qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng bằng
3 độ dài đờng trung tuyến qua đỉnh ấy: GA GB GC
DA EB FC
G trọng tâm tam giác ABC
22 Tính chất ba đờng phân giác tam giác - Ba đờng phân giác tam giác cùng qua điểm Điểm cách đều ba cạnh tam giác đó
- Điểm O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
23 Tính chất ba đờng trung trực tam giác
- Ba đờng trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác đó - Điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
24 Phơng pháp chứng minh số toán (sử dụng cách sau đây) a) Chứng minh tam giác cân
1 Chứng minh tam giác có hai cạnh nhau 2 Chứng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3 Chứng minh tam giác có đờng trung tuyến vừa đờng cao G
D
F E
C B
A
O
C B
A
O
C B
(12)5 Tứ giác có hai đờng chéo cắt trung điểm mỗi đờng là hình bình hành
d) Chứng minh tứ giác hình thang:
Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song e) Chứng minh hình thang hình thang cân
1 Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy nhau 2 Chứng minh hình thang có hai đờng chéo nhau f) Chứng minh tứ giác hình chữ nhật
1 Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật
2 Hình cân có góc vuông hình chữ nhật 3 Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật
4 Hỡnh bỡnh hnh có hai đờng chéo hình chữ nhật g) Chứng minh tứ giác hình thoi
1 Tứ giác có bốn cạnh nhau
2 Hình bình hành có hai cạnh kề nhau
3 Hình bình hành có hai đờng chéo vng góc với nhau
4 Hình bình hành có đờng chéo đờng phân giác mộtgóc h) Chứng minh tứ giác hình vng
1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề nhau 2 Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc
3 Hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc 4 Hình thoi có góc vng
5 Hình thoi có hai đờng chéo nhau
25 Đờng trung bình tam giác, hình thang a) Đờng trung bình tam giác
Định nghĩa: Đờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác
Định lí: Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba và nưa c¹nh Êy
DE đờng trung bình tam giác
1 DE / / BC, DE BC
2
E
C B
(13)b) Đờng trung bình hình thang
Định nghĩa: Đờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên cđa h×nh thang
Định lí: Đờng trung bình hình thang song song với hai đáy nửa
tổng hai đáy
EF đờng trung bình của hình thang ABCD
EF//AB, EF//CD, EF AB CD
26 Tam giỏc ng dng
a) Định lí Ta_lét tam gi¸c:
- Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ
AC ' AB '
B 'C '/ / BC ; AB AC AC ' C 'C AB ' ; B 'B
B 'B C 'C AB AC
b) Định lí đảo định lí Ta_lét:
- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh này đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ đờng thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác
VÝ dô: AB ' AC ' B 'C '/ /BC
AB AC ; C¸c trờng hợp khác tơng tự
c) H qu ca định lí Ta_lét
- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Hệ trờng hợp đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại (B 'C '/ / BC AB ' AC ' B 'C '
AB AC BC
)
F E
D C
B A
C'
B' a
C B
A
A
C' B'
(14)- Đờng phân giác (hoặc ngoài) tam giác chia cạnh đối diện thành hai
đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn
DB AB DC AC
D 'B AB D 'C AC
e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :
- Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có góc tơng ứng và các cạnh tơng ứng tỉ lệ
A A '; B B '; C C ' ABC A 'B 'C ' AB AC BC
k( tỉ số đồng dạng ) A 'B ' A 'C ' B 'C '
f) Định lí hai tam giác đồng dạng:
- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại
nó tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho
MN / / BC AMN ABC
*) Lu ý: Định lí trờng hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác song song với cạnh lại
g) Các trờng hợp đồng dạng hai tam giác
*)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia hai tam giác đồng dạng.
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AC BC
AB ABC A 'B 'C '( c.c.c ) A 'B ' A 'C' B 'C '
D' B C
A
D C
B
A
a N
M
C B
A
C ' B'
A'
C B
A
S
S
(15)*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cạnh hai tam giác đồng dạng
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: BC
AB
A 'B ' B 'C ' ABC A ' B 'C '( c.g.c) B B '
*)Trờng hợp 3: Nếu hai góc tam giác lần lợt hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng;
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A A '
ABC A 'B 'C '(g.g ) B B '
h) Các trờng hợp đồng dạng hai tam giác vuông
*)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vng có góc nhọn thì chúng đồng dạng.
0
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A A ' 90
ABC A ' B 'C ' C C '
C' B'
A'
C B
A
C ' B'
A'
C B
A
S
S
(16)*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng.
Hai tam giác vuông ABC A'B'C' có: AC
AB ABC A 'B 'C ' A 'B ' A 'C'
*)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng hai giác đó đồng dạng.
Hai tam giác vuông ABC A'B'C' có: BC
AB ABC A 'B 'C ' A 'B ' B 'C'
27 Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng - Tỉ số hai đờng cao tơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng
- Tỉ sơ diện tích hai tam giác đồng dạng bình phơng tỉ số đồng dạng
- Cơ thĨ : A 'B 'C ' ABC theo tØ sè k
=> A 'B 'C'
ABC
S
A 'H ' k vµ k
AH S
28 Diện tích hình
C' B'
A C
B
A
C' B'
A' C B
A
a
h a
S
a
b h
a
S
(17)
Sa b Sa2 S ah
2
S ah
2
1 S ah
2
S (a b)h EF.h
2
S a h
1
1
S d d
29 Học sinh cần nắm vững tốn dựng hình (dùng thớc thẳng, thớc đo độ, thớc có chia khoảng, compa, êke) a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc;
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc;
c) Dựng đờng trung trực đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm của một đoạn thng cho trc;
d) Dựng tia phân giác mét gãc cho tríc;
e) Qua điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vng góc với đờng thẳng cho trớc;
f) Qua điểm nằm đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc;
g) Dùng tam gi¸c biết ba cạnh, biết hai cạnh kề góc xen giữa, hoặc biết cạnh hai góc kề.
h
a
F E
b
h
a
h
a d1
(18)30 Hệ thức lợng tam giác vuông (líp 9)
a) Một số hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông
b2 ab ' c2 ac '
a2 b2 c2 (Pi_ta_go) bc = ah
h2 b ' c '
12 12 12
b c h
b) TØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän
Định nghĩa tỉ số lợng giác góc nhọn cạnh đối
sin
c¹nh hun
cos c¹nh kỊ
c¹nh hun
cạnh đối tg
c¹nh kÒ
cot g cạnh kề cạnh đối
Mét sè tÝnh chÊt cđa c¸c tỉ số lợng giác
+) nh lớ v t số lợng giác hai góc phụ nhau Cho hai góc α β phụ Khi đó:
sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ. +) Cho 00 900 Ta cã:
0sin 1; 0cos 1; sin2 cos2 1 tg sin ; cot g cos ; tg cotg
cos sin
So s¸nh c¸c tỉ số lợng giác
0
1 2 2
0 90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cot g cot g
c) Mét sèhÖ thøc cạnh góc tam giác vuông
a H
h
b' b c'
c
C B
A
(19)b = a.sinB; c = a.sinC b = a.cosC; c = a.cosB b = c.tgB; c = b.tgC b = c.cotgC; c = b.cotgB
=> a = b c b c
sinB sinC cosC cosB
(20)- Đờng tròn tâm O, bán kính R hình gồm điểm cách O khoảng b»ng R, kÝ hiƯu (O ; R).
- Hình trịn hình gồm điểm nằm trên đờng trịn điểm nằm bên trong đờng trịn đó.
- Trên hình vẽ:
+) Cỏc im A, B, C, D nằm (thuộc) đờng tròn; OA = OB = OC = OD = R +) M nằm bên đờng tròn; OM < R +) N nằm bên ngồi đờng trịn; ON > R +) Đoạn thẳng AB dây cung (dây) +) CD = 2R, đờng kính (dây cung lớn nhất, dây qua tâm)
+) AmB lµ cung nhá (00 1800) +) AnB lµ cung lín
+) Hai điểm A, B hai mút cung - Góc có đỉnh trùng với tâm đờng trịn đ-ợc gọi góc tâm (AOB góc tâm chắn cung nhỏ AmB)
- Góc bẹt COD chắn nửa đờng tròn - Số đo cung:
+) Số đo cung nhỏ số đo của góc tâm chắn cung
s® AmB (00 1800)
+) Sè ®o cung lớn hiệu giữa 3600 số đo cđa cung nhá (cã chung hai mót víi cung lín)
s® AnB360
+) Số đo nửa đờng tròn 1800, số đo đờng tròn 3600
32 Quan hệ vng góc đờng kính dây
- Trong đờng trịn, đờng kính vng góc với dây qua trung điểm của dây ấy
AB CD t¹i H => HC = HD
- Trong đờng trịn, đờng kính qua trung điểm dây khơng qua tâm thì vng góc với dây ấy
33 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây
0
0 180
0
180
(21)Định lí 1: Trong đờng trịn
a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm nhau
AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD
Định lí 2: Trong hai dây đờng tròn a) Dây lớn dây gần tâm hơn b) Dây gần tâm dây lớn hơn
AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD
34 Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn a) Đờng thẳng đờng trịn cắt (có hai điểm chung)
- §êng thẳng a gọi cát tuyến (O) d = OH < R vµ HA = HB = 2
R OH
b) Đờng thẳng đờng trịn tiếp xúc nhau (có điểm chung)
- Đờng thẳng a tiếp tuyến (O) - Điểm chung H tiếp điểm
d = OH = R
*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu đờng thẳng là tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm.
a tiếp tuyến (O) H => a OH
c) Đờng thẳng đờng trịn khơng giao nhau (khơng có điểm chung)
(22)
H O
a lµ tiÕp tun cđa (O) a OH t¹i H
36 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; đờng trịn nội tiếp, bàng tiếp tam giác a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của
một đờng tròn cắt điểm thì:
Điểm cách hai tiếp điểm
Tia kẻ từ điểm qua tâm là tia phân giác góc tạo bởi hai tiếp tuyến
Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp điểm.
ABAC;OABOAC;AOB AOC
b) Đờng tròn nột tiếp tam giác - Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đợc gọi đờng tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đờng tròn
- Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm đờng phân giác các góc tam giác
c) Đờng tròn bàng tiếp tam giác - Đờng tròn tiếp xúc với cạnh của một tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đờng tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm đờng tròn bàng tiếp giao điểm hai đờng phân giác góc ngồi hai đỉnh là giao điểm đờng phân giác góc đờng phân giác góc
(23)37 Vị trí tơng đối hai đờng tròn, tiếp tuyến chung hai đờng tròn a) Hai đờng tròn cắt nhau
(cã hai ®iĨm chung) - Hai ®iĨm A, B lµ hai giao điểm - Đoạn thẳng AB dây chung
R - r < OO' < R + r
- Đờng thẳng OO’ đờng nối tâm, đoạn thẳng OO’ đoạn nối tâm
*) Tính chất đ ờng nối tâm : Đờng nối tâm đờng trung trực dây chung b) Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
(có điểm chung) - Điểm chung A gọi tiếp điểm
+) Tiếp xúc A:
OO'Rr
+) TiÕp xóc t¹i A:
OO'R r
c) Hai đờng trịn khơng giao nhau (khơng có điểm chung)
+) ë ngoµi nhau:
OO'Rr
+) §ùng nhau:
OO'R r
(24)d) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn
- Tiếp tuyến chung hai đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng trịn đó
- Tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm
- Tiếp tuyến chung cắt đoạn nối t©m
38 So sánh hai cung đờng tròn hay hai đờng tròn bằng nhau.
- Hai cung đợc gọi chúng có số đo nhau - Trong hai cung, cung có số đo lớn đợc gọi cung lớn hơn - Kí hiệu: AB CD; EF GH GH EF
39 Liên hệ cung dây *) §Þnh lÝ 1:
Với hai cung nhỏ đờng tròn hay hai đờng tròn nhau:
a) Hai cung căng hai dây nhau b) Hai dây căng hai cung nhau
AB CDAB CD ; ABCDABCD
*) Định lí 2:
Vi hai cung nhỏ đờng tròn hay hai ng trũn bng nhau:
a) Cung lớn căng dây lớn hơn b) Dây lớn căng cung lớn h¬n
AB CDAB CD ; ABCDABCD
40 Góc nội tiếp a) Định nghĩa:
- Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đờng tròn hai cạnh chứa hai dây cung đ-ờng trịn
- Cung nằm bên góc đợc gọi cung bị chắn
b) Định lí:
Trong mt ng trũn, s o góc nội tiếp
b»ng nưa sè ®o cđa cung bị chắn cung nhỏ BC(hình a) chắnBAC là góc nội tiếp chắn cung lớn BC(hình b)
BAC
sđ BC c) Hệ quả: Trong đơng trịn
+) C¸c gãc nội tiếp chắn cung nhau
(25)+) Góc nội tiếp (nhỏ b»ng 900) cã sè ®o b»ng nưa sè ®o cđa góc ở tâm chắn cung
+) Gúc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng.
41 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung a) Kh¸i niƯm:
- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh nằm đờng tròn, cạnh tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung đờng tròn
- Cung nằm bên góc cung bị chắn - Hình vẽ:
BAx chắn cung nhỏ AmB BAy chắn cung lớn AnB b) Định lí:
- Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn
c) Hệ quả:
Trong mt đờng trịn, góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung góc nội tiếp chắn cung thì nhau.
BAx ACB 12s®AmB
1
BAx s® AmB
1
BAy s® AnB
42 Góc có đỉnh bên đờng trịn Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn a) Góc có đỉnh bên đờng trịn.
- Góc có đỉnh nằm bên đờng trịn đợc gọi là góc có đỉnh bên đờng trịn
- Hình vẽ: BEC góc có đỉnh bên đờng tròn chắn hai cung BnC , AmD
- Số đo góc có đỉnh bên đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
s®BnC s® AmD BEC
m
o e
c a
(26)b) Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn.
- Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn góc có đỉnh nằm ngồi đờng trịn cạnh có điểm chung với đờng tròn
- Hai cung bị chắn hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ bên: BEC góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn, có hai cung bị chắn là
AmD vµ BnC
- Số đo góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
s®BnC s® AmD BEC
2
43 Kết toán quỹ tích cung chứa góc
a) Bài toán: Với đoạn thẳng AB góc (
0
0 180 ) cho tríc th× quỹ tích điểm M
thỏa mÃn AMB hai cung chứa góc dựng đoạn thẳng AB
- Hai cung chứa góc dựng đoạn thẳng AB đối xứng với qua AB
- Khi α = 900 hai cung chứa góc hai nửa đ-ờng trịn đđ-ờng kính AB, suy ra: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới góc vng đờng trịn đờng kính AB (áp dụng kiến thức để chứng minh tứ giác nội tiếp)
E
O D
B
C A m
(27)b) C¸ch vÏ cung chøa gãc α
- Vẽ đờng trung trực d đoạn thẳng AB. - Vẽ tia Ax tạo với AB góc ( BAx = ) - Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax Gọi O giao điểm Ay với d
- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
c) Cách giải toán quü tÝch
Muèn chøng minh quü tÝch (hay tËp hợp) điểm M thỏa mÃn tính chất T
là hình H đó, ta chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T
KÕt luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm M có tính chất T hình H
44 Tứ giác néi tiÕp
a) Kh¸i niƯm tø gi¸c néi tiÕp
- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp)
b) Định lí:
- Trong mt t giỏc ni tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800
Tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O), suy ra:
A CBD180
c) DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp
Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
1
2
(28)45 Đờng tròn ngoại tiếp Đờng tròn nội tiếp
- ng trũn qua tất đỉnh đa giác đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đợc gọi đa giác nội tiếp đờng tròn - Đờng tròn tiếp xúc với tất cạnh một đa giác đợc gọi đờng tròn nội tiếp đa giác và đa giác đợc gọi đa giác ngoại tiếp đờng trịn - Bất kì đa giác có một đờng trịn ngoại tiếp, có đờng trịn nội tiếp.
- Trong đa giác đều, tâm đờng tròn ngoại tiếp trùng với tâm đờng tròn nội tiếp đợc gọi tâm đa giác đều.
46 Một số định lí đợc áp dụng : (khơng cần chứng minh) a) Định lí 1:
+) Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền
+) Nếu tam giác có cạnh đờng kính đờng trịn ngoại tiếp thì tam giác tam giỏc vuụng
b) Định lí 2:
Trong mt đờng tròn, hai cung bị chắn hai dây song song thỡ bng nhau
c) Định lí 3:
Trong đờng trịn, đờng kính qua điểm cung thì đi qua trung điểm dõy cng cung y.
d) Định lí 4:
Trong đờng trịn, đờng kính qua trung điểm dây cung (khơng phải đờng kính) chia cung căng dây thành hai cung bằng nhau
e) Định lí 5:
Trong mt ng trịn, đờng kính qua điểm cung thì vng góc với dây căng cung ngợc lại, đờng kính vng góc với một dây qua điểm cung căng dây ấy.
47 Độ dài đờng tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn a) Độ dài đờng trịn
Cơng thức tính độ dài đờng trịn (chu vi hình trịn) bán kính R là:
C =2 R Hoặc C =d Trong đó: C : độ dài đờng trịn R: bán kính đờng trịn d: đờng kính đờng trịn
(29)3,1415
lµ số vô tỉ.
b) Độ dài cung tròn
Độ dài cung tròn n0 là: 180
R n l Trong đó: l : độ dài cung tròn n0 R: bán kính đờng trịn n: số đo độ ca gúc tõm
c) Diện tích hình tròn
2
S R
Trong đó:
S : diện tích hình tròn R : bán kính hình tròn , 14
d) DiƯn tÝch h×nh quạt tròn
quat R S =
360 n
Hc
2
quat
R S
Trong ú:
S diện tích hình quạt tròn cung n0
R bán kính
l độ dài cung n0 hình quạt trịn
(30)phân dạng phơng pháp giải
Môn : Đại Số - THCS
Website: http://quanghieu030778.violet.vn
I - Các loại phơng trình
1 Phơng trình bậc nhất
- Phơng trình bậc phơng trình có dạng ax + b = (a0) - Phơng trình có nghiệm x = b
a
- Chó ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển dạng Ax = B xét các trờng hợp sau:
Nếu A 0 phơng trình có nghiệm x = B
A
NÕu A = , B 0 phơng trình trở thành 0.x = B => phơng trình vô nghiệm
NÕu A = 0, B = => ph¬ng trình vô số nghiệm 2 Phơng trình tích
- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0
- Cách giải: A(x).B(x) = <=> A(x) = B(x) = 0 - Trình bày gọn : A(x).B(x) = <=> A( x )
B( x )
- Më réng: A(x).B(x).C(x) = <=>
A( x ) B( x ) C( x )
3 Phơng trình chứa ẩn mẫu
- Giải phơng trình chứa ẩn mÉu ta thùc hiƯn theo bíc: Bíc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình
Bc 2: Quy đồng mẫu hai vế phơng trình khử mẫu Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc
Bíc 4: (kÕt luËn)
Trong giá trị ẩn tìm đợc bớc 3, giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính nghiệm phơng trình cho, giá trị x không thuộc ĐKXĐ nghiệm ngoại lai (loại đi)
4 Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Định nghĩa: A A A
A nÕu A <
- Các dạng phơng trình f ( x ) f ( x )0
f ( x ) k( k 0 )f ( x )k
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
(31)Hay f ( x ) g( x ) f ( x )2 g( x )2, đa phơng tr×nh tÝch
f ( x ) g( x ) <=>
f ( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) f ( x ) g( x )
hc <=>
g( x ) f ( x ) g( x )
g( x ) f ( x ) g( x )
Hc <=> g( x )
f ( x ) g( x ) hc f ( x ) g( x )
Hc <=>
2 2
g( x )
f ( x ) g( x )
- Chó ý: A2 A2; A A vµ A B AB A B
5 Phơng trình vô tỉ
f ( x ) A( A 0 )f ( x )A2 (víi f(x) đa thức)
2
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
f ( x ) f ( x ) g( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
*)Lu ý: Hầu hết giải phơng trình chứa ẩn căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa phơng trình điều kiện tơng đơng Nếu khơng thử lại trực tiếp.
6 Phơng trình trùng phơng
Phơng trình trùng phơng phơng trình có dạng:
4
ax bx c (a0 )
Đặt x2 = t (t0), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc hai ẩn t : at2 bt c 0 (*)
Giải phơng trình (*), lấy giá trị thích hợp thỏa mÃn t0
(32)x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (víi d = c a
). Ph
ng ph p:
Với x = 0, thay vào phơng trình kiểm tra xem x = có nghiệm hay không ?
Với x 0 Chia hai vế cho x2, sau ta đặt t = x + c
ax
d) Phơng trình bậc dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) Ph
ng ph p: Đặt t = x2 + mx + abcd
2
e) Phơng trình bậc bốn dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) Ph
ng ph p:
Chia hai vế cho x2 Đặt t = x + k
x
II- Bất phơng trình bậc ẩn
1) Định nghĩa:
Mt bt phng trình dạng ax + b > (hoặc ax + b < 0) với a 0 đợc gọi là bất phơng trình bậc ẩn
2) C¸ch gi¶i: ax + b > <=> ax > - b NÕu a > th× x b
a
NÕu a < th× x b a
3) KiÕn thøc cã liªn quan:
Hai bất phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm dùng kí hiệu <=> để tơng đơng đó
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử (là số đa thức) từ vế này sang vế bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử => ta có thể xóa hai hạng tử giống hai vế
Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phơng trình với một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT số dơng; đổi chiều BPT số âm
4) Tính chất bất đẳng thức
- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu) a > b, c > d => a + c > b + d a > b > 0, c > d > => ac > b - Víi mäi sè thùc a, b, c,
+ NÕu c > th× a > b <=> ac > bc + NÕu c < th× a > b <=> ac < bc
- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> 3
a b vµ a > b <=> 3
a b
(33)A, nÕu A 0 A
A, nÕu A < 0.
Ta cã: A2≥ 0, |A| ≥ 0,
A A
- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b hai số thực khơng âm, ta có:
a b ab
2
DÊu “=” x¶y <=> a = b
III – Các dạng tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, bậc hai, bậc ba
1 D¹ng : Rót gän tính giá trị biểu thức hữu tỉ
- Khi thùc hiƯn rót gän mét biĨu thøc h÷u tỉ ta phải tuân theo thứ tự thực phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau Còn biểu thức có các dấu ngoặc thực theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn.
- Với tốn tìm giá trị phân thức phải tìm điều kiện của biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)
2 Dạng : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
- BiĨu thøc cã d¹ng A
B xác định (có nghĩa) B 0
- Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) A 0
- BiĨu thøc cã d¹ng A
B xác định (có nghĩa) B > 0
- BiÓu thøc cã d¹ng A B
C
xác định (có nghĩa) A
C
- BiÓu thøc cã d¹ng A B
C
xác định (có nghĩa) A
C
3 Dạng : Rút gọn biểu thức chứa bậc hai, bậc ba
Lớ thuyt chung: a) Các công thức biến đổi thức
1)
A A
2) AB A B ( víi A 0 vµ B 0) 3) A A (víi A vµ B > 0)
(34)6) A AB (víi AB vµ B 0)
B B
7) A A B (víi B > 0) B
B
8)
2
C A B
C (víi A 0 vµ A B )
A B A B
9) C C A B (víi A 0 , B 0 vµ A B) A B
A B
*) L u ý :
Để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ta làm nh sau : - Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- §a bít thừa số dấu (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có)
- Thc hin phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , … theo thứ tự biết để làm xuất thức đồng dạng
- Cộng, trừ biểu thức đồng dạng (các thức đồng dạng) b) Các đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
( a b) a a.b b (a,b 0)
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
( a b) a a.b b (a,b 0)
3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)
a b ( a b).( a b) (a,b 0)
4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6) a3 b3 (a b)(a abb )2
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
7) a3 b3 (a b)(a ab b )
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
9) ( a b c)2 a bc2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0)
10) a2 a
Phân dạng tập chi tiết
(35)Dạng 3.3 : Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến
Dạng 3.4 : Tìm giá trị biến biết giá trị biĨu thøc
Dạng 3.5 : Tìm giá trị ngun biến để biểu thức nhận giá trị nguyên
Dạng 3.6 : Tìm giá trị biến biết dấu biểu thức Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau rút gọn Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Dạng 3.9 : Bài tập tổng hợp
IV Các dạng toán hàm số
Lí thuyết chung 1) Khái niệm hàm số (khái niệm chung).
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với giá trị của x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi là hàm số x x đợc gọi biến số.
*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ;
*) Chó ý:
Khi đại lợng x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi y đợc gọi hàm hằng.
*) Ví dụ: Các hàm y = 2; y = - 4; y = 7; .
2) Các cách thờng dùng cho hàm số a) Hàm số cho bảng.
b
) Hàm sè cho bëi c«ng thøc.
- Hàm hằng: hàm có cơng thức y = m (trong x biến, m )
-Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng cơng thức y = ax + b Trong đó: x biến,a,b, a 0 a số góc, b tung độ gốc.
Chó ý: Nếu b = hàm bậc có dạng y = ax (a0)
(36)) y = f(x) đợc gọi hàm nghịch biến.
Nếu x1 x mà f(x ) > f(x )2 1 2 hàm số y = f(x) nghịch biến /R 4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến hàm nghịch biến. a) Hàm số bậc y = ax + b (a0).
- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến . - Nếu a < hàm số y = ax + b nghịch biến . b
) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax 2 (
a 0) nhận biết đồng biến và
nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau:
- Nếu a > hàm đồng biến x > 0, nghịch biến x < 0. - Nếu a < hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > 0. 5) Khái niệm đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị:
a) Hàm hằng.
Đồ thị hàm y = m
(trong x biến, m ) một đờng thẳng song song với trục Ox.
Đồ thị hàm x = m (trong đó y biến, m ) đờng thẳng song song
víi trơc Oy.
b
) Đồ thị hàm số y = ax (các điểm) qua gốc toạ độ.a0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp
*) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (a0)
c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0) đờng thẳng (hình ảnh tập
(37)®iĨm (b
a , 0).
*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ bản
+) Cách 1: Xác định hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:
Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)
+) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy
Cho y = => x = b
a
, ta đợc N( b
a
; 0) Ox
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)
d
) Đồ thị hàm số y = ax 2 (
a 0) đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0). Nhận trục Oy làm trc i xng
- Đồ thị phía trục hoành a > 0. - Đồ thị phía dới trục hoành a < 0.
6) Vị trí tơng đối hai đờng thẳng
*) Hai đờng thẳng y = ax + b (a0) y = a’x + b’ (a'0) + Trùng a = a’, b = b’.
O x
y
a <
O x
y
(38)+
Song song víi nÕu a b c
a ' b ' c '
+
C¾t nÕu a b
a ' b '
7) Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) trục Ox
Giả sử đờng thẳng y = ax + b (a0) cắt trục Ox điểm A.
Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) góc tạo tia Ax tia AT (với T điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng).
-Nếu a > góc tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo công thức nh sau: tg a (cần chứng minh đợc dùng).
Nếu a < góc tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo cơng thức nh sau:
1800 với tg a (cần chng minh mi c dựng).
Phân dạng tập chi tiết Dạng 1: Nhận biết hàm số
Dạng 2: Tính giá trị hàm số, biến số.
Dạng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. a) Hàm số bậc y = ax + b (a0).
- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến . - Nếu a < hàm số y = ax + b nghịch biến . b) Hàm bậc hai ẩn số y = ax2 (
a 0) nhận biết đồng biến và nghịch biến theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > hàm đồng biến x > 0, nghịch biến x < 0. - Nếu a < hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > 0. Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị:
A
T
x y
O (a > 0)
A T
x y
O (a < 0)
(39)a) Hàm hằng.
Đồ thị hàm h»ng y = m
(trong x biến, m ) một đờng thẳng song song với trục Ox.
Đồ thị hàm x = m (trong đó y biến, m ) đờng thẳng ln song song
víi trơc Oy.
b
) Đồ thị hàm số y = ax (các điểm) qua gốc toạ độ.a0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp
*) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) A(1 ; a) ta đ ợc đồ thị hàm số y = ax (a0)
c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0) đờng thng (hỡnh nh tp
hợp điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành tại điểm (b
(40)*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ bản
+) Cỏch 1: Xỏc định hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:
Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)
+) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy
Cho y = => x = b
a
, ta đợc N( b
a
; 0) Ox
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)
d
) §å thị hàm số y = ax 2 (
a 0) đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0). Nhận trục Oy làm trục đối xứng
- Đồ thị phía trục hoành a > 0. - Đồ thị phía dới trục hoµnh nÕu a < 0.
Dạng 5: Điểm thuộc không thuộc đồ thị hàm số.
*) Điểm thuộc đờng thẳng
- §iĨm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a0) vµ chØ yA = axA + b
- §iĨm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a0) vµ chØ yB= axB + b
*) §iĨm thc Parabol : Cho (P) y = ax2 (
a 0)
- §iĨm A(x0; y0) (P) y0 = ax02
- Điểm B(x1; y1) (P) y1 ax12 Dạng 6: Xác định hàm số
Dạng 7: Xác định điểm cố định hàm số
*) Ph ng ph p:
tỡm im cố định mà đờng thẳng y = ax + b (a0; a,b có chứa tham số) ln qua với giá trị tham số m, ta làm nh sau:
Bớc 1: Gọi điểm cố định A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b luụn i
qua với giá trị tham sè m
Bớc 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số đợc y0 = ax0 + b, ta biến đổi
dạng <=> A( x ,y ).m0 0 B( x ,y )0 0 0, đẳng thức với giá trị tham số m hay phơng trình có vơ số nghiệm m
Bớc 3: Đặt điều kiện để phơng trình có vơ số nghiệm
(A( x ,y ).m0 B( x ,y )0 0, cã v« sè nghiÖm
0
0
A(x ,y )
B(x ,y ) 0)
Dạng 8: Tìm giao điểm hai đồ thị 8.1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng.
Giao điểm hai đờng thẳng (d ): y = a x + b ; (d ): y = a x + b
O x
y
a <
O x
y
(41)Lµ nghiƯm cđa hệ phơng trình 1
2
y a x b
y a x b
8.2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol với đờng thẳng.
Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n.
Giải phơng trình tìm x
Thay giá trị x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 y = mx + n ta
tìm đợc y
+ Giá trị x tìm đợc hồnh độ giao điểm + Giá trị y tìm đợc tung độ giao điểm
8.3: Tìm số giao điểm đờng thẳng Parabol.
Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n (*)
+ Phơng trình (*) vô nghiệm ( < 0) (d) (P) điểm chung
+ Phơng trình (*) có nghiệm kép (= 0) (d) tiếp xúc với (P) + Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( > ac < 0)
(d) cắt (P) hai ®iĨm ph©n biƯt
8.4: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đờng thẳng. 8.5: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đờng thẳng.
8.6: Tìm giá trị tham số biết số giao điểm Parabol đờng thẳng. Cho (d) : y = ax + b (P): y = a’x2 (a’0)(a’, a, b có chứa
tham sè)
Xét phơng trình hoành độ giao điểm a’x2 = ax + b (*)
+ (d) (P) điểm chung
Phơng trình (*) vô nghiệm ( < 0)
+ (d) tiếp xúc với (P) Phơng trình (*) cã nghiÖm kÐp (=
0).
Nghiệm kép hoành độ điểm tiếp xúc
+ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( > ac < 0) Hai nghiệm hồnh độ
cđa hai giao ®iĨm
8.7: Tìm giá trị tham số biết toạ độ giao điểm Parabol đờng thẳng.
Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’0)
(a’, a, b cã chøa tham sè)
(42)Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh:
A A
B B
y ax b y ax b
Giải hệ phơng trình tìm đợc a, b suy phơng trình đờng thẳng (d) cần lập
9.2: Lập phơng trình đờng thẳng qua M(x0 ; y0) có hệ số góc k. Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dạng
y = kx + b
Bớc 2: Đờng thẳng qua M(x0 ; y0) => y0 kx0 b
=> by0 kx0
Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm y = kxy0 kx0
9.3: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(m; yA) B(m; yB) yA yB. Ph
ơng pháp:
Do A(m; yA) (d): x = m;
Do B(m; yB) (d) : x = m;
Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): x = m
9.4: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(xA; n) B(xB; n) xA xB. Ph
¬ng ph¸p:
Do A(xA; n) (d): y = n;
Do B(xB; n) (d) : y = n;
Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n
9.5: Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm A(xA ; yA) tiếp xúc với đờng cong y ax (a2 0 )
Bíc 1: Giả sử phơng trình cần lập y = ax + b’
Bớc 2: Đờng thẳng tiếp xúc với đờng cong yax (a2 0 )
khi phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 a ' xb' có nghiệm kép Ta cho 0, tìm hệ thức a’ b’ (1)
Bớc 3: Đờng thẳng qua A(xA ; yA) => yA a 'xA b' (2)
Bớc 4: Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình hai ẩn a’ b’ Giải hệ tìm đợc a’ b’ => phơng trình cần lập
9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đ-ờng cong y ax (a2 0)
Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử y = ax + b Vì đờng thẳng có hệ số góc k nên a = k => y = kx + b
Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong y ax (a2 0 ) <=> phơng trình hồnh độ giao điểm
2
kxbax ax kx b0 cã nghiÖm kÐp Cho 0( ' 0 ) => b = ?
Bớc 3: Trả lời
Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng
10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hµng.
Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm
Bớc 2: Chứng minh điểm lại thuộc đờng thẳng vừa lập
(43) Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm có toạ độ đơn giản
Bớc 2: Thay toạ độ điểm lại vào phơng trình đờng thẳng vừa lập Giải phơng trình tìm tham số
Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui
11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.
Bớc 1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng
Bớc 2: Chứng minh giao điểm thuộc đờng thẳng cịn lại
11.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui.
Bớc 1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng đơn giản
Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm vào phơng trình đờng thẳng cịn lại Giải phơng trình tìm tham số
Dạng 12: Vị trí tơng đối hai đồ thị hai hàm số 12.1: Vị trí tơng đối hai đồ thị hai hàm số bậc nhất
Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) c¾t (d2) a1 a2
+) (d1) // (d2) a1 = a2
+) (d1) (d2) a1 = a2 vµ b1 = b2
+) (d1) (d2) a1.a2 = -1 (phải chứng minh đợc dùng) 12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trên trục tung.
Cho (d1): y = a1x + b1và (d2): y = a2x + b2
Để (d1) cắt (d2) điểm trục tung
1
1
a a (1) b b (2)
Gi¶i (1)
Giải (2) chọn giá trị thoả m·n (1)
12.3: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trên trục hoành.
Cho (d1): y = a1x + b1vµ (d2): y = a2x + b2
Để (d1) cắt (d2) điểm trục hoành
1
1
1
a a (1)
b b
(2)
a a
Lu ý: Chỉ nên áp dụng hai phơng trình chứa tham số.
Dạng 13: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích c
Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a 0, b0 => điều kiện m Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B lần
l-ợt giao điểm đồ thị với trục tung trục hoành A(0 ; b) B( b ;0
a
(44)=> ®iỊu kiƯn cđa m
Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B lần l-ợt giao điểm đồ thị với trục tung trục hoành
A(0 ; b) vµ B( b ;0 a
)
Bớc 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=> b b a
(*)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị m (kiểm tra điều kiện b-ớc1)
Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân đờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x song song với đờng thẳng y = - x
Dạng 15: Xác định giá trị tham số để giao điểm hai đờng thẳng ax + by = c a’x + b’y = c’ nằm góc phần t hệ trục tọa độ.
Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) hai đờng thẳng, nghiệm hệ phơng trình: ax by c
a ' x b' y c'
Bíc 2:
+) NÕu A n»m gãc phÇn t thø I điều kiện là: x y +) NÕu A n»m gãc phần t thứ II điều kiện là: x
y +) NÕu A nằm góc phần t thứ III điều kiƯn lµ: x
y +) NÕu A n»m gãc phÇn t thứ IV điều kiện là: x
y Bíc 3: T×m m = ?
D¹ng 16:
Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B đa thức 0
Bớc 1: Đa thức f(x) = Ax + B đa thức <=> A B Bớc 2: Giải hệ tìm đợc giá tr ca tham s
V - Các dạng toán hệ phơng trình
Lí thuyết chung 1. Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát là:
ax by c (I)
a' x b ' y c ' (trong a, b, c, a’ , b’, c’ cha tham s)
2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm
- NghiƯm (x0 ; y0) cđa hƯ (I) nghiệm chung hai phơng trình trong hệ
(45)trình vô nghiệm
- Gii h phơng trình tìm tất nghiệm (tìm tập nghiệm) nó. *) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc hai ẩn có nghiệm nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.
ax by c
a' x b' y c '
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu a b c
a' b ' c '
+ HƯ v« nghiƯm nÕu a b c
a' b ' c '
+ HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu a b
a' b'
+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm vô số nghiệm ab ab = 0
3. Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc hai ẩn
ax by c
a' x b ' y c '
a) Phơng pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số
Bớc1: Nhân hai vế phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phơng trình của hệ đối nhau.
Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong có phơng trình mà hệ số hai ẩn 0 (tức phơng trình ẩn)
Bớc 3: Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc, suy nghiệm của hệ cho
*) Tỉng qu¸t:
+ NÕu cã ax by c
ax b' y c '
(b b ')y c c '
ax b ' y c '
+ NÕu cã ax by c
ax b ' y c '
(b b ')y c c '
ax b ' y c '
+ NÕu cã ax by c
k.ax b ' y c '
k.ax kby kc
(46)ax by c
a' x b ' y c '
a c y x b b
a' x b ' y c '
a c y x b b a c
a ' x b ' x c '
b b
c) Phơng pháp đồ thị
- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm hai phơng trình trong hệ
- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối hai dờng thẳng
+) Nếu hai đờng thẳng cắt hệ có nghiệm nhất, dựa vào đồ thị đốn nhận nghiệm đó, sau thử lại kết luận nghiệm hệ
+) Nếu hai đờng thẳng song song hệ vơ nghiệm
+) Nếu hai đờng thẳng trùng hệ có vơ số nghiệm
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc áp dụng phơng pháp giải hệ: (áp dụng cho hệ phơng trình chứa ẩn mẫu, dới du cn bc hai.)
Phân dạng tập chi tiết Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số
Dạng 2: Giải hệ phơng trình biết giá trị tham số
Ph
ơng pháp:
Bớc 1: Thay giá trị tham số vào hệ phơng trình
Bc 2: Gii hệ phơng trình khơng chứa tham số vừa thu đợc
Dạng 3: Giải biện luận hệ phơng trình theo tham sè
- Dùng phơng pháp cộng để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m), làm xuất phơng trình có dạng :
Ax = B (1) (hc Ay = B) Nếu A = phơng trình (1) cã d¹ng 0x = B
+) Khi B = phơng trình (1) có dạng 0x = phơng trình có vô số nghiệm => hệ phơng trình có vô số nghiệm +) Khi B 0 phơng trình (1) vô nghiệm
=> hệ phơng trình vô nghiệm
Nếu A phơng trình (1) cã mét nghiÖm nhÊt B
A
=> hệ phơng trình có nghiệm
B x
A y y(m )
Dạng 4: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc hai ẩn có nghiệm nhất, có vơ số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c a' x b ' y c '
(a, b, c, a’, b, c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiÖm nÕu a b c
(47)+ HƯ v« nghiƯm nÕu a b c a' b ' c '
+ HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu a b
a' b'
Dạng 5: Tìm giá trị tham số biết dấu nghiệm hệ phơng trình
Dạng 6: Tìm giá tham số biết nghiệm hệ phơng trình 6.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình.
Cho hệ phơng trình :
ax by c (1) a x b y c (2)
Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm
0
x x
y y
C¸ch 1:
Thay x = x0; y = y0 lÇn lợt vào (1) giải
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải
C¸ch 2:
Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn
là tham số
6.2: Tìm hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình.
Cho hệ phơng trình: ax by c
a x b y c
cã nghiÖm
0
x x y y
Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình hệ phơng trình ta
c 0
0
ax by c a x b y c
Bíc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số
Dạng 7: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y.
Cho hệ phơng trình : ax by c (1)
a x b y c (2)
(I)
Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)
Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện tham số để hệ (I) có nghiệm
Bớc 2: Do (x; y) nghiệm hệ (I) thoả mãn (3) (x; y) nghiệm (1), (2), (3) Kết hợp phơng trình đơn giản để đợc hệ ph-ơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phph-ơng trình cịn lại
(48)0
b
x Z Z A(m ) ¦ ( b)
A(m ) m ?
d
y Z Z B(m ) ¦ (d ) B(m )
*) Đặc biệt :
0 b
x a víi a, b Z A(m)
0 d
y c víi c, d Z A(m )
=> x ,y0 0 ZA(m ) ¦ C( b,d ) m?
Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
C¸ch 1:
Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện tham số để hệ phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ x y là:
P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè).
k < kA2(x) kA2(x) + d d P(x,y) d
Giá trị lớn P(x,y) d đạt đợc A(x) = k > kA2(x) kA2(x) + d d P(x,y) d
Giá trị nhỏ P(x,y) d đạt đợc A(x) =
C¸ch 2:
P(x,y) = ax2 + bx + c ax2 + bx + c – P(x,y) = 0
Bíc 1: Tính '
Bớc 2: Đặt ®iỊu kiƯn ( ' 0)
Giải bất phơng trình chứa ẩn P(x,y)
P(x,y) e Giá trị nhỏ P(x,y) e đạt đợc ='= x b
2a
= b'
a
P(x,y) e Giá trị lớn P(x,y) e đạt đợc ='= x b
2a
= b '
a
D¹ng 10: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số
1 Ph ơng pháp :
Cho hệ phơng trình: ax by c
a ' x b ' y c '
a, b, c, a’, b’, c’ chứa tham số m Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m ?
*) C¸ch 1:
Bíc 1: Tõ mét phơng trình hệ ta rút m theo x y lµ m = A(x,y)
Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai hệ ta đợc hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham
sè m
(49)Bớc 1: Từ hệ phơng trình ax by c m A( x, y )
a ' x b' y c ' m B( x, y )
Bớc 2: Cho A(x,y) = B(x,y) Đây hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vµo tham sè m
L
u ý : Ta cần rút gọn hệ thức cho ngắn gọn, đơn giản
Dạng 11: Tìm giá trị tham số để hai hệ phơng trình tơng đơng
- Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm (tức nghiệm hệ nghiệm hệ ngợc lại)
Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và
giải số hệ phơng trình khơng dạng hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn (hệ đặc biệt)
VI Phơng trình bậc hai ẩn
Phần I: Phơng trình không chứa tham số
I. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai ẩn (nói gọn phơng trình bậc hai) phơng trình có dạng ax2 bxc0 (a0 )
Trong đó: x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi cỏc h s II. Phõn loi.
1. Phơng trình khuyÕt c: ax2 + bx = (a 0) Phơng pháp giải:
ax2 + bx = (a, b 0)
x(ax + b) = 0
x b x
a
Phơng trình cã hai nghiÖm x1 = 0; x2 = b
a
2. Phơng trình khuyết b: ax2 + c = (a, c 0) Phơng pháp giải:
ax2 + c = (a 0)
c
x
a
+)
NÕu c
a
(50)+) > ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = b
2a
; x2 = b
2a
+) = Phơng trình có nghiÖm kÐp: x1 = x2 = b
2a
* ) C « ng th ø c nghi Ö m thu g ä n NÕu b = 2b’ (b’ =
2 b
) ta cã : ’ = b’2 - ac
+ Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1
' ' ' '
; x
b b
x
a a
+ NÕu ’ = phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 = b'
a
+ Nếu < phơng trình vô nghiệm
Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số Dạng 1: Giải phơng trình biết giá trị tham số
Thay giá trị tham số vào phơng trình giải phơng trình
Dạng 2: Giải biện phơng trình theo tham số
T
ỉ ng qu ¸ t:
Víi a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhÊt bx + c = + NÕu b phơng trình có nghiệm x = c
b
+ NÕu b = c phơng trình vô nghiệm + NÕu b = vµ c = phơng trình có vô số nghiệm
Với a 0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai cã biÖt sè:
= b2 – 4ac ( hay ’ = b’2 – ac)
+ NÕu < ( < 0) phơng trình vô nghiƯm + NÕu = (’ = 0) th× phơng trình có nghiệm kép :
x1 = x2 = - b
2a =
' b
a
+ NÕu > ( > 0) phơng trình có hai nghiệm phân biÖt: x1 = b b ' '
2a a ; x2 =
b b ' '
2a a
Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm
- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:
Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình có nghiệm
Trêng hỵp 2: a 0, phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm <=>
0 ' 0
(51)Phơng trình bậc hai mét Èn cã hai nghiƯm ph©n biƯt <=> 0
0( ' 0 ) a
Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm kộp
Phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm kÐp <=> 0
0( ' 0) a
Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phơng trình vơ nghiệm
- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:
Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình vơ nghim
Trờng hợp 2: a 0, phơng trình bậc hai ẩn vô nghiệm
<=> 0 ' 0
Dạng 7: Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Để chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt: C¸ch 1: Chøng minh: 0
0 a ac
C¸ch 2: Chøng minh:
a 0
0
Ch
ó ý : Cho tam thøc bËc hai = am2 bmc
Để chứng minh 0, m ta cần chøng minh 2
m
a
b 4ac
Dạng 8: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm dấu, trái dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm hai số đối nhau, có hai nghiệm hai số nghịch đảo nhau
Cho phơng trình
0
ax bxc ; a, b, c chứa tham số
Theo định lí Vi - ét, ta có :
1 b
S x x
a c P x x
(52)
c) Phơng trình có hai nghiƯm d¬ng <=> 0 0 0 0 a P S
d) Phơng trình có hai nghiệm âm <=>
0 0 0 0 a P S
e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt <=>
0 0 0 0 a P S
f) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt <=>
0 0 0 0 a P S
g) Phơng trình có hai nghiệm hai số đối
<=> 0 0 0 a b
S x x
a
h) Phơng trình có nghiệm hai số nghịch đảo
<=> 0 0 1 a c P x x
a
Dạng 9: Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm
Bc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Bớc 2: Tính x1 + x1 = b
a vµ x1.x1 = c a
Bớc 3: Biểu thị đợc biểu thức theo x1 + x1 x1.x1 ; sau thay giá
(53)Chó ý:
2 2
a b (a b) 2ab
3 3
a b (a b) 3ab(a b)
(a b) (a b) 4ab
( a b) (a b) 2 a.b (a,b 0)
4 2 2
a b (a b ) 2a b
3
a b a a b b
( a b)(a ab b) (a,b 0)
Dạng 10: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện sau:
a) x1 x2 b)
1
1 1 n
x x c)
2
1
x x k d)
3
1
x x t,
Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghim x1, x2
Giải hệ ĐK: 0
0 a
=> m = ?
Bíc 2: Theo hƯ thøc Vi – Ðt, ta cã:
1
1
b
S x x
a c P x x
a
Bớc 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có đợc bớc vào điều kiện vừa biến đổi; từ giải phơng trình bất phơng trình với biến tham số để tìm giá trị tham số Tiếp theo kiểm tra xem giá trị tham số tìm đợc có thỏa mãn hệ điều kiện bớc hay không ?
Hoặc có tốn ta kết hợp điều kiện đề với hệ thức Vi -ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn x1, x2); sau
đó ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi – ét cịn lại để tìm tham số
(54) Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 Ta có phơng trình với ẩn x :
1 2
(x x ) x x 0 x (x x )xx x 0
Trêng hỵp 2: Không có x1, x2 riêng
Bớc 1: Tìm S = x1 x2 vµ P = x x1 2
Bớc 2: Phơng trình với ẩn x x2 SxP 0
Phơng trình có nghiệm <=> 4
S P
D¹ng 13: Lập phơng trình bậc hai biết mối liên hệ hai nghiệm phơng trình cần lập với hai nghiệm phơng trình cho trớc.
Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm phơng trình
Bớc 2: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình đà cho
1 2
b c
x x , x x
a a
Bíc 3: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình cần lập x3 x4
thông qua mối liên hệ víi x1 , x2
Bíc 4: LËp ph¬ng tr×nh
Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
C¸ch 1:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2
Gi¶i hƯ ®iỊu kiƯn 0
0 a
Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi - Ðt:
1
1
b
S x x
a c
P x x
a
Bớc 3: Khử tham số hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số nghiệm phơng trình
C¸ch 2:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2
Giải hệ điều kiện 0
0 a
Bớc 2: Giải phơng tr×nh t×m x1, x2
Bíc 3: T×m hƯ thức (khử tham số)
Dạng 15: Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa tam thøc bËc hai
2
y ax bxc (a 0 )
C¸ch 1:
Biến đổi y = kA2(x) + m (m số).
k < kA2(x) kA2(x) + m m y m
(55)Giá trị nhỏ y m đạt đợc A(x) =
C¸ch 2:
y = ax2 + bx + c ax2 + bx + c – y = 0
+ Bíc 1: Tính '
+ Bớc 2: Đặt ®iỊu kiƯn ( ' 0) Gi¶i bất phơng trình chứa ẩn y
y m Giá trị nhỏ y m đạt đợc ='= x b
2a
= b'
a
y m Giá trị lớn y m đạt đợc ='= x b
2a
= b '
a
Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hƯ gi÷a hai nghiƯm
Bíc 1: KiĨm tra có nghiệm phơng trình Bớc 2: TÝnh x1 x2 b, x x1 2 c
a a
Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x1; x2) dạng có
chøa x1+ x2 vµ x1.x2
Bớc 4: Thay x1 + x2 x1.x2 vào biểu thức A Khi A trở thành tam
thøc bËc hai Èn lµ tham sè
Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhỏ A Chọn giá trị tham số thích hợp
Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm x , x1 2
Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt:
1
1
b
x x
a c x x
a
Bớc 3: Tính giá trị biĨu thøc theo x1+ x2 vµ x1.x2 ; thÊy kÕt
một số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
(56)
- Nếu phơng trình (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x , x1 2 Do x, y có vai
trò nh nên có hai cặp số thỏa mÃn
u x v x
hc
u x v x
- Nếu phơng trình (*) có nghiÖp kÐp x1 x2 a => u = v = a
- Nếu phơng trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm đợc cặp giá trị (u, v) thỏa mãn yêu cầu đề bài
Dạng 20: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai mt n cú nghim chung
Cho hai phơng trình
2
ax bx c (a 0 ) vµ a ' x b ' xc '0 (a '0 )
Trong a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số m *) C á ch 1 :
Hai phơng trình có nghiệm chung hệ phơng trình:
2
ax bx c (a ) a ' x b ' x c ' (a ' 0)
cã nghiƯm
Trõ vÕ víi vÕ hai phơng trình hệ ta có phơng trình d¹ng:
A(m).x = B(m)
+) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phơng trình giải hai phơng trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay khơng ?
+) NÕu A(m )0 => x = B(m )
A(m ) (chøa tham sè) Thay vµo
một hai phơng trình ta rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phơng trình giải hai phơng trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay không ?
+) NÕu A(m )0 => x = B(m )
A(m ) (kh«ng chøa tham sè), kÕt
(57) KÕt luËn: øng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, nghiệm chung ?
*) C á ch 2 : Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình
2
ax bx c => m = A(x)
2
a ' x b' xc '0 => m = B(x)
Ta có: A(x) = B(x) Giải phơng trình ta đợc nghiệm chung của hai phơng trình, sau thay nghiệm chung vào trong hai phơng trình ta tìm đợc giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra
C
á ch 3 : Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình ta rút m theo x vào ph-ơng trình kia, đợc phph-ơng trình ẩn x; từ phph-ơng trình ta tìm đợc nghiệm chung, sau tìm m = ?
D¹ng 21: Chøng minh hai phơng trình bậc hai ẩn có ít nhất phơng trình có nghiệm
Cho hai phơng tr×nh
2
ax bx c (a 0 ) vµ a ' x b ' xc '0 (a '0 )
Trong a, b, c,a ', b ',c ' chứa tham số
Chøng minh Ýt hai phơng trình có nghiệm Ph
ơ ng ph á p : C
á ch 1 : Gọi 1,2 lần lợt biệt thức hai phơng trình Ta cần chứng minh
+) 1 2 0 => 1 0 hc 2 0 hc 1,2 0
+) 1 2 0 => 1 0 hc 2
Vậy hai phơng trình có nghiệm C
á ch 2 : Chøng minh b»ng ph¶n chøng
Giả sử hai phơng trình vơ nghiệm Khi đó
1 0,
(58)Trớc hết tìm giá trị tham số để hai phơng trình có nghiệm chung sau thay giá trị tham số vào hai phơng trình tìm tập nghiệm chúng Nếu tập nghiệm hai phơng trình tơng đơng => giá trị tham s
Trờng hợp 2: Hai phơng trình cïng v« nghiƯm <=>
2 0 => Gi¸ trị tham số
Đặc biệt: Nếu nhận thấy hai phơng trình có hai nghiệm ( 1 hc 2 0)
=> Hai phơng trình tơng đơng hai nghiệm phơng trình hai nghiệm phơng trình kia, ta áp dụng vi - ét cho hai phơng trình tìm tham số
Cơ thĨ ta cã:
1 b b' c c'
x x ;x x m ?
a a ' a a '
Dạng 23: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình 23.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình.
Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) cã mét nghiÖm x = x
C
¸ ch gi ¶ i:
Bíc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c =
Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn tham số
23.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phơng trình.
Cho phơng tr×nh ax2 + bx + c = (1) (a0) cã hai nghiÖm x = x
1; x = x2
C ¸ ch 1:
Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:
1 2
ax bx c ax bx c
Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn tham số C
ch 2:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bíc 2: Theo Vi - Ðt
2 b x x a c x x a
Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ giải ta đợc giá trị tham số
Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn luôn dơng luôn âm với x
Cho tam thøc bËc hai f(x) =
ax bxc (a0 )
f(x) =
2 2
2
2
b c b b 4ac b
a( x x ) a x a x
a a 2a 4a 2a 4a
(59)+) NÕu 0 =>
2
2
b x
2a 4a
> Khi f(x) dấu với hệ số a, ta có trờng hợp sau
f(x) > 0, x <=> a 0
f(x) < 0, x <=> a 0
f(x) ≥ 0, x <=> a 0
f(x) ≤ 0, x <=> a 0
+) NÕu f ( x ) a( x b )2 2a
=> f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, trõ trêng hỵp x = b
2a
Khi x = b
2a
th× f(x) = 0
VII Giải toán cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình
Lí thuyết chung
1 Các bớc giải toán cách lập phơng trình B
ớ c 1: Lập phơng trình
- Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đã biết; - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng.
B
í c 2: Giải phơng trình. B
(60)B
ớ c 2: Giải hệ hai phơng trình nói
B
c 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận
Phõn dng tập chi tiết Dạng 1: Toán chuyển động
- Ba đại lợng: S, v, t - Quan hệ: S = vt; t = S
v; v = S
t (dùng công thức S = v.t từ tìm mối
quan hƯ gi÷a S , v t) - Chú ý toán canô :
Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthùc – Vníc
*) Tốn gặp cần ý đến tổng quãng đờng thời gian bắt đầu khởi hành
*) Toán đuổi kịp ý đến vận tốc quãng đờng đợc đuổi kịp
D¹ng 2: Toán quan hệ số
ab 10a b
abc 100a 10b c
§iỊu kiƯn: < a 9; b, c (a, b, c Z ) Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng, suất
*) Bài toán làm chung, làm riªng:
+ Qui ớc: Cả cơng việc đơn vị
+ Tìm đv thời gian đối tợng tham gia toán thực đợc bao nhiờu phn cụng vic
+ Công thức: Phần c«ng viƯc =
Thêi gian
+ Số lợng công việc = Thời gian Năng suất *) Bài toán suất:
+ Gm ba i lợng: Tổng sản phẩm ; suất; thời gian + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất Thời gian;
=> Thêi gian = Tỉng s¶n phÈm
Năng suất ; Năng suất =
Tổng sản phẩm
Thời gian
Dạng 4: Toán diện tích
Dạng 5: Toán có quan hệ hình học Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm
(61)