VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 1: Dạng toán chứng minh bất đẳng thức BÀI 1: Chứng minh rằng: a 2a a 2a (1) Cách giải: (1) (a 1)2 22 (a 1)2 22 Đặt a (1 a; 2), b (a 1; 2) a b (2; 4) Ta có: (a 1)2 22 (a 1)2 22 a b a b (đpcm) Dấu xảy khi: a; b hướng 1-a = a+1 a = BÀI 2: Chứng minh rằng: x xy y y yz z z zx x , x, y, z R (1) Cách giải: Ta có 2 x z 2 x xy y y x ; y yz z y z 2 xz Xét a y ; x , b y ; z a b ; ( x z ) 2 2 x z ( x z ) 3( x z ) ab z zx x 4 Do a b a b nên x xy y y yz z z zx x , x, y, z R (đpcm) Dấu xảy khi: a; b hướng x z x z x z a b ab x x 2 y x 2y x xy yz zx 2y z 2y z z GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x z x kz , y k z , k 1 1 k BÀI 3: Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc Chứng minh a 2b b 2c c 2a ab bc ca Cách giải: 1 Chọn u ; b 1 2 2 ; v ; ; w ; u v w ; a b c c b a c a b c a Ta có 2 2 2 1 1 1 2 1 1 u v w u v w b a c b a c a b c a 2b b 2c c 2a (đpcm) ab bc ca Dấu xảy khi: a = b = c = BÀI 4: Chứng minh x y z 3, x, y, z , x y z Cách giải: Xét hai vectơ: u 1;1;1 v x 2; y 2; z Ta có u 3, v 5( x y z ) u.v x y z Áp dụng bất đẳng thức u.v u v ta có x y z 3, x, y, z Dấu xảy khi: u 1;1;1 , v x 2; y 2; z hướng 5y 5x 5z x yz2 1 BÀI 5: Chứng minh s inx s in x + s inx s in x 3, x GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cách giải: Xét hai vectơ: u sin x;1; sin x v 1; sin x ;sin x Áp dụng bất đẳng thức u.v u v ta có s inx s in x + s inx s in x sin x sin x sin x sin x 3, x Dấu xảy khi: u sin x;1; sin x v 1; sin x ;sin x hướng sin x sin x sin x sin x sin x x k sin x 2 sin x sin x 2 BÀI 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A ( x 1) y x ( y 1) 1, x, y Cách giải: Xét hai vectơ: u ( x 1; y; 2), v ( x; y 1;1) u v (1; 1;3) Do a b a b ta có: A ( x 1)2 y x ( y 1)2 11 Dấu xảy khi: u ( x 1; y; 2), v ( x; y 1;1) hướng Tức là: x 1 y 2 x ,y x y 1 3 Vậy A đạt giá trị nhỏ 11 x , y BÀI 7: Chứng minh ( x 1) ( y 1) ( z 1) ( x 1) ( y 1) ( z 1) 2, x, y, z Cách giải: Trong không gian Oxyz, lấy điểm A(1;1;-1), B(-1;1;1),M(x;y;z) Khi AB 2 MA ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 , MB ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Từ bất dẳng thức MA MB AB , ta suy ( x 1) ( y 1) ( z 1) ( x 1) ( y 1) ( z 1) 2, x, y, z Dấu xảy khi: M nằm AB AM t AB, t 0;1 x 2t y 1 t 0;1 z 1 2t Vấn đề 2: Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình BÀI 1: Giải phương trình (4 x) x x 85 57 x 13x x3 (1) Cách giải: Ta có: (1) (4 x) x x (5 x)( x x 17) 7 (4 x) x x (5 x) x 1 , x 2; 2 Xét a x;1 , b x 2; x a.b (4 x) x x Và a (4 x)2 1, b ( x 2) (7 x) x Khi (1) a.b a b cos a, b 4 x x2 2x (4 x) (7 x) x x Vậy phương trình có nghiệm x = BÀI 2: (A – 2014) Giải Hệ Phương trình x 12 y y (12 x ) 12 (1) (2) x x y Cách giải: Điều kiện: y 12, x Xét a x; (12 x ) , b 12 y ; y phương trình (1) có dạng GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a.b a b a, b hướng nên (1) x y (12 x ) 12 y y 12 x , x thay vào phương trình (2) Ta có: x3 x 10 x x3 x 2( 10 x 1) ( x 3)( x x 1) 2(9 x ) 10 x 2( x 3) ( x 3) x x 0 10 x x x x 2( x 3) 0(VN ) 10 x x= suy y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3) x4 y z BÀI 3: Giải hệ phương trình: 2 x y z Cách giải: Gọi ( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm tùy ý hệ có Xét hai vectơ sau khơng gian: u ( x0 ; y0 ; z0 ), v (1;1; 2) u x0 y0 z0 1, v , ta có u.v x0 y0 z0 u.v vô lý Mặt khác: cos(u, v) u.v Vậy hệ cho vô nghiệm GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x2 y y( x z) BÀI 4: Giải hệ phương trình: x x y 2 yz 3 x y xy yz x z Cách giải: Hệ phương trình cho viết lại: x( x y ) y ( y z ) (1) (2) x( x 1) y (2 z 1) 4( x y ) 4( y z ) ( x 1) (2 z 1) (3) Xét véctơ trục u ( x; y ), v ( x y; y z ), w ( x 1; z 1) u.v Khi hệ viết lại: u.w 4 v w w v (4) (5) (6) Chỉ có hai khả xảy ra: Khả 1: Nếu u ta có x = y = u z Ta có nghiệm 0;0; 2 Khả 2: u x 1 2 z TH1: w v vô lý x y y z TH2: Nếu v, w khác , (4) (5) v, w hai vectơ cộng tuyến, (6) ta có w 2v w 2v x x 1 2x y + Nếu w 2v thay vào (1) ta có z 2 z y z y GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 1 x y x x y + Nếu w 2v 2 z 2 y z z 3x Thay vào (1) ta có: x (1 x) x x 5x2 5x 4 Phương trình vơ nghiệm 1 Vậy hệ cho có hai nghiệm: 0;0; , 0; ; 2 2 x y z BÀI 5: Giải hệ phương trình: x y z x3 y z Cách giải: Xét hai vectơ u ( x0 ; y0 ; z0 ); v ( x0 ; y0 ; z0 ) ( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm hệ Ta có u.v x03 y03 z03 (1) Lại có u x0 y0 z0 v x0 y0 z0 x y0 z0 x0 y0 y0 z0 z0 x0 x0 y0 y0 z0 z0 x0 Vậy u v (2) x0 y0 Dấu (2) xảy x0 y0 y0 z0 z0 x0 y0 z0 2 z0 x0 Vì u.v u v Nên từ (1) (2) suy điều kiện cần là: u v GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x0 y0 y z Nên ta có 0 z0 x0 x0 y0 z0 suy phải có ba số x0 ; y0 ; z0 có hai số 0, số Thử vào hệ thỏa mãn Vậy hệ cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1) BÀI 6: Giải phương trình: x x x x 10 29 (1) Cách giải: Tập xác định D = R (1) ( x 1) 22 ( x 1) 32 29 Đặt u ( x 1; 2) u ( x 1)2 22 v ( x 1;3) v ( x 1) 32 Suy u v (2;5) u v 29 Như (1) u v u v u, v hướng 3( x 1) 2( x 1) x 5 Vậy phương trình có nghiệm x BÀI 7: Giải bất phương trình: 2( x 3)2 x x x (1) Cách giải: Điều kiện: x (1) ( x 3) ( x 1) x x Đặt u ( x 3; x 1) u ( x 3)2 ( x 1)2 , v (1;1) v Suy u.v x x u v ( x 3)2 ( x 1)2 GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí u v ( x 3) ( x 1) (1) u v u.v u , v hướng x x 1 x Vấn đề 3: Bài toán cực trị BÀI 1: Cho hai điểm A(1;1;0), B(3;-1;4) đường thẳng (d): x 1 y 1 z 1 Tìm điểm M đường thẳng (d) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Cách giải: Do điểm M đường thẳng (d), ta có: M(-1+t; 1-t; -2+2t) Khi đó: MA (2 t )2 t (2 2t )2 6t 12t MB (4 t ) (t 2) (6 2t ) 6t 36t 56 Khi 2 MA MB 6t 12t 6t 36t 56 (t 1) (3 t ) 3 3 Xét hai vectơ u t 1; , v t ; 3 3 Ta có MA MB u v u v Dấu xảy khi u t 1; , v t; hướng 3 3 t 1 t M (1; 1; 2) 3t Vậy điểm M cần tìm là: M (1; 1; 2) GV: Trần Minh Cường Page ...VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x z x kz , y k z , k 1 1... yz2 1 BÀI 5: Chứng minh s inx s in x + s inx s in x 3, x GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cách giải: Xét hai vectơ: u sin... giải: Xét hai vectơ: u ( x 1; y; 2), v ( x; y 1;1) u v (1; 1;3) Do a b a b ta có: A ( x 1)2 y x ( y 1)2 11 Dấu xảy khi: u ( x 1;