phương pháp tọa độ hóa HHKG

Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA KHÔNG GIAN Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và AC’ vuông góc với mặt phẳng ⊥ (CB’D’) Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a. a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D. b) Gọi MNP lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. Bài 3: Cho hình hộp lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 2. Gọi E, F tương ứng là các trung điểm của các cạnh AB, DD 1 . a) Chứng minh rằng EF//(BDC 1 ) và tính độ dài đoạn EF. b) Gọi K là trung điểm cạnh C 1 D 1 . Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (EFK) và xác định góc giữa hai đường thẳng EF và BD. Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cho 4 ; 3 ; 5AC AD cm AB cm BC cm= = = = . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; đường cao bằng b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của cạnh SC Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh bằng a; đường cao SO ⊥ mp(ABCD) và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC, AB. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a 2 và SA ⊥ mp(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh rằng mp(SAC) ⊥ (SMB). b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Bài 8: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SA ⊥ ABC); SA = 2a Gọi ( ) α là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Tìm diện tích thiết diện của tứ diện S.ABC tạo bởi mp ( ) α . Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc µ A =60 o và có 1 Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian đường cao SO bằng a. a) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB. Bài 10: Cho hình tam giác đều SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = a; AD = 2a, cạnh SA ⊥ mp(ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 o . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM= 3 3 a , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp SBCNM? Bài 12: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp ABCNM. Bài 13: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a và góc BAD = 60 0 . Gọi M, N là trung điểm các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng A’C’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích của khối chóp A.BDMN Bài 14: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a .H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA,M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Bài 16: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lược là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP. Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi 1 10 11 12 13 14 Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ trong không gian. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA 6. Ứng dụng phương pháp tọa độ trong giải toán hình học không gian tổng hợp. a. Lý thuyết cần nhớ Đối với một số loại hình chóp, hình lăng trụ trong một số bài toán ta có thể sử dụng việc đặt một hệ trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giải hình học không gian tổng hợp (mà việc này có thể gặp nhiều khó khăn trong dựng hình, tính toán với các em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa độ. Cách giải bài toán như vậy còn gọi là phương pháp tọa độ hóa. Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán có thể sẽ dài dòng và phức tạp hơn phương pháp tổng hợp. Nhưng cách giải này thực sự rất hữu ích cho nhiều bạn học sinh mà việc nắm vững những phương pháp trong cách giải hình học không gian tổng hợp còn yếu hoặc trong những bài toán hình không gian về xác định GTLN, GTNN; các bài toán về quỹ tích điểm Để có thể làm tốt được các bài toán giải bằng phương pháp tọa độ hóa thì các em học sinh phải nắm chắc các công thức của phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” và những kiến thức cơ bản nhất của hình học không gian. Một lần nữa tôi nhắc lại cho các em học sinh rằng: “ Không có phương pháp giải nào là vạn năng”, do đó các em phải không ngừng rèn luyện để tạo ra sợi dây liên kết giữa các phần kiến thức của mình, khi đó các em mới có thể vận dụng linh hoạt các phương pháp sao cho bài giải của mình khoa học nhất, hay nhất. Sau đây tôi trình bày một số lưu ý với các em học sinh trong việc chọn hệ trục tọa độ. Đề nghị các em lưu ý và nhớ thật kỹ những vấn đề cơ bản này. ⊕ Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ nhật. Ta chọn gốc tọa độ là một đỉnh của hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật. chọn các tia Ox, Oy, Oz là ba cạnh của hình xuất phát từ đỉnh đó. GV. Ths. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang 1 Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ trong không gian. ⊕ Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp đều. ⊕ Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông. ⊕ Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình vuông, hình chữ nhật ⊕ Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có yếu tố vuông góc tại đỉnh mà cạnh bên đó vuông góc: Ví dụ như hình thang vuông, tam giác vuông, tứ giác có hai cạnh vuông góc . ⊕ Đặt hệ trục với hình chóp tam giác đều. GV. Ths. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang 2 Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ trong không gian. ⊕ Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông. Trên đây là một số dạng cơ bản của một số loại hình khối mà chúng ta có thể tọa độ hóa một cách đơn giản. Các bạn lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một khối đa diện bất kỳ. Chỉ cần chúng ta xác định được đường cao của khối đa diện đó và thông thường trên lý thuyết ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa diện; trục cao (trục Oz) là đường cao, sau đó ta dựng hai tia còn lại. Nhưng trong thực hành giải toán chúng ta căn cứ tùy bài toán để đặt hệ trục miễn sao chúng ta có thể tìm các tọa độ các đỉnh liên quan đến hình khối cần tính có thể tìm được một cách dễ dàng hoặc không quá phức tạp. Ví dụ như bài toán sau: (Các bạn hãy xem và suy nghĩ nên đặt hệ trục ra sao). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong một đề thi đại học, cao đẳng bất kể khối A, B hay D thì câu hình học không gian thể tích là một trong những câu không thể thiếu ở phần chung, để đạt được ít nhất 2 điểm hình trong đề thi đại học, học sinh nhất thiết phải làm được câu hình thể tích. Để giải một bài toán hình học không gian đòi hỏi học sinh phải có nhiều kỹ năng, không những nắm kiến thức về hình học không gian thật vững mà học sinh phải có kỹ năng linh hoạt, có phương pháp giải phong phú để ứng biến với mọi tình huống khó khăn. Với một bài toán hình học nói chung và bài toán hình học không gian nói riêng thì có nhiều cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ hay phương pháp tọa độ, trong đó có một phần lớn các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ hóa (PPTĐH). Với những bài toán đó thì PPTĐH cho ta cách giải rất nhanh chóng và dễ dàng hơn nhiều so với phương pháp tổng hợp. PPTĐH cho ta lời giải một cách chính xác, tránh được các yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình học không gian Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng dạy cũng như bản thân muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu về giải quyết các bài toán hình học không gian để phục vụ giảng dạy và giúp học sinh cảm thấy thoải mái tiếp thu, có phương pháp tối ưu để giải quyết các bài tập hình học không gian vốn phức tạp, tôi đã chọn chuyên đề : “ Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian ”. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : I. CƠ SỞ LÝ LUẬN : Sự ra đời của cuốn “ La géometrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ vào năm 1637 của nhà toán học thiên tài người Pháp Rene Descartes đã đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Mặc dù đại số và hình học là hai mảng kiến thức khác nhau trong toán học, nhưng với phương pháp tọa độ thì hai mảng kiến thức này lại dung hòa với nhau, cùng nhau phát triển. Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hóa và trừu tượng hóa toán học trong nhiều lĩnh vực. Để hướng dẫn cho học sinh khối 12 sử dụng phương pháp toạ độ hóa vào giải toán hình học không gian, PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hình học phẳng được giảng dạy cho học sinh ở chương trình trung học cơ sở. Phương pháp giải các bài toán hình học ở cấp hai chủ yếu là dùng các định lí, hệ quả, tính chất hình học để suy luận. Phương pháp mang bản chất thuần túy hình học này đôi khi g â y kh ô n g ít k h ó kh ă n cho học sinh, đặc biệt là những học sinh THPT. Các đề thi Olympic 30/4 hay đề thi học sinh giỏi THPT những năm gần đây cũng có bài toán hình học phẳng. Việc dùng phương pháp tổng hợp không phải là thế mạnh của các em. Trong khi đó học sinh lớp 10 đã được học các kiến thức về vectơ và tọa độ. Vậy tại sao các em không thử sử dụng các kiến thức vừa học để giải bài toán hình học phẳng thay vì chỉ dùng phương pháp tổng hợp đã biết ở cấp hai. Phương pháp tọa độ hóa hình học phẳng không những cung cấp thêm cho học sinh một công cụ giải toán ( rất đơn giản và dễ hiểu) mà còn giúp củng cố các kiến thức về vectơ và tọa độ vừa học. Điểm mới trong đề tài này là các bài tóan đã được hệ thống lại thành dạng chung, giải theo cùng một phương pháp tương đối dễ nhớ. Học sinh có thể tự rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giải toán II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận: Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng hoá toán học trong nhiều lĩnh vực. Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. 2.Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài . a. Nội dung: NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Tóm tắt lý thuyết:  Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho : • ( ; )OM xi y j M x y= + ⇔ uuuuur r ur • ( ; )u xi y j u x y= + ⇔ ur r ur ur  Với ( ) ( ) ; ; ; 1 2 1 2 a a a b b b= = r ur •      = = ⇔= 22 11 ba ba ba r r • ( ; ) 1 1 2 2 a b a b a b+ = + + r ur ; ) 2 ; 1 ( kakaak = r với k ∈ R • ( ) . cos ; 1 1 2 2 a b a b a b a b a b= = + r r r ur ur ur • . 0 0 1 1 2 2 a b ab a b a b ⊥ ⇔ = ⇔ + = r r ur ur • 2 2 1 2 a a a → = + • a ur cùng phương với b r 0 1 2 2 1 a b a b⇔ − = • 1 1 2 2 os 2 2 2 2 1 2 1 2 a b a b ab C a b a a b b ϕ + = = + + r ur r ur  Với ( ) ( ) ; ; ;A x y B x y B B A A = = • ( ) ;AB x x y y B B A A = − − uuur • 2 2 ( ) ( )AB AB x x y y B B A A = = − + − uuur • Tọa độ trung điểm M của AB: ( ; ) 2 2 x x y y B B A A M + +  Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm Mx 0 ; y 0 ) và có vtpt n ur = (A; B).là: A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) = 0 ⇔ Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 ≠ 0)  Phương trình đường tròn (C) tâm I (a,b), bán kính R là : 2 2 2 ( ) ( )x a y b R− + − = hoặc x 2 + y 2 – 2ax - 2by + c= 0  Phương trình chính tắc của (E): 2 2 a x + 2 2 b y = 1 với c 2 = a 2 - b 2  Phương trình chính tắc của Hypebol: 2 2 a x - 2 2 b y = 1 với c 2 = a 2 +b 2  Phương trình chính tắc của (P): y 2 = 2px , p > 0: tham số tiêu Ngoài ra, học sinh cần biết thêm một số công thức khác… NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG C á c d ạ ng t o á n t h ư ờ ng gặp : • Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc. Tính toán. • Tập hợp điểm. • Điểm cố định. C á c b ư ớc g i ả i t oá n: • Bước 1: Chọn Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Cao Văn Tuấn – 097530627 ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Các em học sinh nên nhớ “Không có phương pháp giải vạn năng”, em phải không ngừng luyện tập để tạo sợi dây liên kết phần kiến thức mình, em vận dụng linh hoạt phương pháp cho giải khoa học nhất, hay Đối với số loại hình chóp, hình lăng trụ số toán ta sử dụng việc đặt hệ trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giải hình học không gian tổng hợp túy (mà việc gặp nhiều khó khăn dựng hình, tính toán với em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa độ Cách giải toán gọi phương pháp tọa độ hóa Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán dài dòng phức tạp phương pháp hình học không gian túy, nhiên cách giải thực hữu ích cho nhiều bạn học sinh mà việc nắm vững phương pháp cách giải hình học không gian yếu toán hình không gian khoảng cách khó; xác định GTLN, GTNN; toán quỹ tích điểm, Để tốt toán giải phương pháp tọa độ hóa em học sinh phải nắm kiến thức (cụ thể công thức tính) phần “Phương pháp tọa độ không gian” kiến thức hình học không gian Sau thầy trình bày cụ thể phương pháp: “Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Phƣơng pháp + Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi nên hình vẽ toán cho có chứa cạnh vuông góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ + Bước 2: Suy tọa độ đỉnh, điểm hệ trục tọa độ vừa ghép + Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ không gian để giải toán Các toán ghép trục tọa độ thƣờng gặp cách suy tọa độ đỉnh Các toán thƣờng gặp Hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Cách ghép trục Tọa độ điểm + Với hình lập phương: A  0;0;0  , B  a;0;0   C  a; a;0  , D  0; a;0   A  0; 0; a  , B  a;0; a  C a; a; , D 0; a; a      + Với hình hộp chữ nhật: A  0;0;0  , B  a;0;0   C  a; b;0  , D  0; b;0   A  0;0; c  , B  a;0; c  C a; b; c , D 0; b; c      https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Hình hộp ABCD.ABCD có đáy hình thoi Cao Văn Tuấn – 097530627 + Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD + Trục Oz qua tâm đáy Hình chóp S.ABCD có: + ABCD hình chữ nhật, hình vuông + SA ⊥ (ABCD) A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   AD ; AB ;0   D   AD ;0;0   S   0;0; SA  Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình chữ nhật, hình vuông + Các cạnh bên (SO vuông góc với đáy) A   0;0;0   B   0; AB ;0      AD AB ; ; SO  S      C  AD ; AB ;0    D   AD ;0;0   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình thoi, hình vuông + SO vuông góc với đáy Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình bình hành, hình thoi + SA vuông góc với đáy Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình bình hành + SO vuông góc với đáy https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Cao Văn Tuấn – 097530627 O   0;0;0   A   0;  OA ;0   B    OB ;0;0   C   0; OC ;0   D   OD ;0;0   S   0;0; SO  A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   DH ; AB  AH ;0   D   DH ; AH ;0   S   0;0; SA    A   0;0;0  B  0; AB ;0     C   DH ; AB  AH ;0   D   DH ; AH ;0   S   DH ; AB  AH ; SO     2   Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Hình chóp S.ABC có: + Đáy tam giác vuông, tam giác + SA vuông góc với đáy Hình chóp S.ABC có: + Đáy tam giác cạnh a + Các cạnh bên Cao Văn Tuấn – 097530627 A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   CH ; AH ;0   S   0;0; SA  A   0;0;0   B   0; AB ;0    0; a;0   C   CH ; AH ;0   a a   ; ;0     2     S   OH ; AH ; SO      a ; a ; SO        Trên số dạng số loại hình khối mà tọa độ hóa cách đơn giản Các em lưu ý tọa độ hóa khối đa diện Chỉ cần xác định đường cao khối đa diện thông thường lý thuyết ta đặt gốc tọa độ chân đường cao khối đa diện; trục cao (trục Oz) đường cao, sau ta dựng hai tia lại Nhưng thực hành giải toán tùy toán để đặt hệ trục tìm tọa độ đỉnh liên quan đến hình khối cần