PHƯƠNG PHÁP tọa độ hóa GIẢI bài TOÁN HHKG

Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Cao Văn Tuấn – 097530627 ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Các em học sinh nên nhớ “Không có phương pháp giải vạn năng”, em phải không ngừng luyện tập để tạo sợi dây liên kết phần kiến thức mình, em vận dụng linh hoạt phương pháp cho giải khoa học nhất, hay Đối với số loại hình chóp, hình lăng trụ số toán ta sử dụng việc đặt hệ trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giải hình học không gian tổng hợp túy (mà việc gặp nhiều khó khăn dựng hình, tính toán với em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa độ Cách giải toán gọi phương pháp tọa độ hóa Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán dài dòng phức tạp phương pháp hình học không gian túy, nhiên cách giải thực hữu ích cho nhiều bạn học sinh mà việc nắm vững phương pháp cách giải hình học không gian yếu toán hình không gian khoảng cách khó; xác định GTLN, GTNN; toán quỹ tích điểm, Để tốt toán giải phương pháp tọa độ hóa em học sinh phải nắm kiến thức (cụ thể công thức tính) phần “Phương pháp tọa độ không gian” kiến thức hình học không gian Sau thầy trình bày cụ thể phương pháp: “Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Phƣơng pháp + Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi nên hình vẽ toán cho có chứa cạnh vuông góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ + Bước 2: Suy tọa độ đỉnh, điểm hệ trục tọa độ vừa ghép + Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ không gian để giải toán Các toán ghép trục tọa độ thƣờng gặp cách suy tọa độ đỉnh Các toán thƣờng gặp Hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Cách ghép trục Tọa độ điểm + Với hình lập phương: A  0;0;0  , B  a;0;0   C  a; a;0  , D  0; a;0   A  0; 0; a  , B  a;0; a  C a; a; , D 0; a; a      + Với hình hộp chữ nhật: A  0;0;0  , B  a;0;0   C  a; b;0  , D  0; b;0   A  0;0; c  , B  a;0; c  C a; b; c , D 0; b; c      https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Hình hộp ABCD.ABCD có đáy hình thoi Cao Văn Tuấn – 097530627 + Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD + Trục Oz qua tâm đáy Hình chóp S.ABCD có: + ABCD hình chữ nhật, hình vuông + SA ⊥ (ABCD) A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   AD ; AB ;0   D   AD ;0;0   S   0;0; SA  Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình chữ nhật, hình vuông + Các cạnh bên (SO vuông góc với đáy) A   0;0;0   B   0; AB ;0      AD AB ; ; SO  S      C  AD ; AB ;0    D   AD ;0;0   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình thoi, hình vuông + SO vuông góc với đáy Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình bình hành, hình thoi + SA vuông góc với đáy Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình bình hành + SO vuông góc với đáy https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Cao Văn Tuấn – 097530627 O   0;0;0   A   0;  OA ;0   B    OB ;0;0   C   0; OC ;0   D   OD ;0;0   S   0;0; SO  A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   DH ; AB  AH ;0   D   DH ; AH ;0   S   0;0; SA    A   0;0;0  B  0; AB ;0     C   DH ; AB  AH ;0   D   DH ; AH ;0   S   DH ; AB  AH ; SO     2   Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Hình chóp S.ABC có: + Đáy tam giác vuông, tam giác + SA vuông góc với đáy Hình chóp S.ABC có: + Đáy tam giác cạnh a + Các cạnh bên Cao Văn Tuấn – 097530627 A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   CH ; AH ;0   S   0;0; SA  A   0;0;0   B   0; AB ;0    0; a;0   C   CH ; AH ;0   a a   ; ;0     2     S   OH ; AH ; SO      a ; a ; SO        Trên số dạng số loại hình khối mà tọa độ hóa cách đơn giản Các em lưu ý tọa độ hóa khối đa diện Chỉ cần xác định đường cao khối đa diện thông thường lý thuyết ta đặt gốc tọa độ chân đường cao khối đa diện; trục cao (trục Oz) đường cao, sau ta dựng hai tia lại Nhưng thực hành giải toán tùy toán để đặt hệ trục tìm tọa độ đỉnh liên quan đến hình khối cần tính tìm cách dễ dàng không phức tạp Ví dụ toán sau: (Các em xem suy nghĩ nên đặt hệ trục sao) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân S Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Bình luận: Rõ ràng việc tính thể tích khối chóp không khó khăn, cần em nắm cách xác định góc hai mặt phẳng xác định Vì vậy, ý tính thể tích thầy để em tự suy nghĩ thực Với câu hỏi tính khoảng cách hai đường thẳng chéo này, em hoàn toàn thực theo hình tổng hợp Ở bàn luận việc đặt hệ trục tọa độ để thực ý thứ hai Trước hết em cần lưu ý: Xác định chiều cao hình chóp nào? Điều không khó: Vì sao? Hãy nhớ: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, mặt dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia” Gắn vào hình chóp này: Ta thấy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, mà giao tuyến hai mặt phẳng AB Ta cần tìm chiều cao cho nên, em cần từ S dựng SH vuông góc với AB, (H  AB) tam giác SAB cân S H trung điểm AB Tức em xác định chiều cao chân đường vuông góc Vậy đặt hệ trục tọa độ Các em vẽ hình đặt hệ trục sau: https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” S Cao Văn Tuấn – 097530627 z A C x O B y  3a   O  0;0;0  , S  0;0;     Tính toán tọa độ điểm (căn vào phần trước), ta có:  A  0;  a ;0  , B  0; a ;0  , C(a;0;0)         Áp dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: SA, BC ta có: SA,BC  AB   , ta thu kết cần tính d  SA,BC   SA,BC    Kể không phức tạp không em Các em suy nghĩ có cách đặt hệ trục tọa độ khác không? Ở mục số Ví dụ minh họa, thầy trình bày thêm số ví dụ cụ thể dạng toán để em hiểu rõ phương pháp Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán a) Khoảng cách điểm Khoảng cách hai điểm A  xA ; yA ; zA  B  xB ; yB ; zB  là: AB   xB  xA    yB  yA    zB  zA  2 b) Khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng  ? Cách 1: Cho đường thẳng  qua M, có vectơ phương u điểm A Khoảng cách từ A đến đường thẳng  tính công thức: d A,   u , AM    u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng   qua A vuông góc với  + Tìm tọa độ giao điểm H    + d(M, d) = MH c) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ M0  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  là: d  M , P    Ax0  By0  Cz0  D A  B2  C2 d) Khoảng cách hai mặt phẳng song song Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” e) Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo 1  , biết: Cao Văn Tuấn – 097530627 + 1 qua M có vectơ phương u1 +  qua N có vectơ phương u2 Cách 1: Khoảng cách hai đường thẳng 1  tính công thức: u1 , u2 .MN u1 , u2  d  1 ,    Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng   chứa 1 song song với  + Khi đó: d  1 , 2   d  2 ,     d  M,    với M   ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ chúng:  AB,CD  AC   d  AB,CD    AB,CD    f) Khoảng cách đƣờng thẳng song song Khoảng cách đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng   quay dạng toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  g) Khoảng cách đƣờng thẳng  mặt phẳng   (với  //   ) d ,   d M,  với M  h) Góc hai đƣờng thẳng Cho hai đường thẳng: 1 có vectơ phương u1   x1; y1; z1   có vectơ phương u2   x2 ; y2 ; z2  Gọi  góc hai đường thẳng 1  Khi đó: cos   u1.u2 u1 u2  x1 x2  y1 y2  z1 z2 x y z x y z 2 2 2     90  2 i) Góc gữa hai mặt phẳng Gọi  góc hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D   P' : A'x  B'y  C'z  D'  cos   cos  nP , nQ   nP nQ nP nQ A.A'  B.B' C.C '  2 0 A  B  C A '  B'  C ' 2    900  j) Góc đƣờng thẳng mặt phẳng Cho: Đường thẳng  có vectơ phương u   x; y; z  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  Gọi  góc hai đường thẳng    Khi đó: sin   u.n u.n  Ax  By  Cz 2     90  A B C x  y  z 2 k) Diện tích thiết diện  AB, AC  2   AB, AD + Diện tích tam giác ABC: SABC  + Diện tích hình bình hành: SABCD https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” l) Thể tích khối đa diện Cao Văn Tuấn – 097530627 + Thể tích khối hộp: VABCD.A'B'C'D'   AB, AD AA' + Thể tích tứ diện: VABCD   AB, AC AD Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi N trung điểm BC a) Chứng minh rằng: AC vuông góc với  ABD  b) Tính thể tích khối tứ diện ANBD c) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng AN BD d) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ACD  Giải: Các em lưu ý, tính toán chứng minh yếu tố liên quan đến hình lập phương, thực phương pháp tổng hợp, thầy không trình bày phương pháp nữa, mà giải toán theo phương pháp tọa độ hóa Như nói phần trước, với hình lập phương hình hộp chữ nhật việc chọn hệ trục tọa độ dễ dàng Thầy chọn hệ trục sau (Các em chọn hệ trục khác giải theo cách em) Khi ta có tọa độ đỉnh hình lập phương sau: z A '  0;0;0  , B'  a;0;0  , C '  a; a;0  , D '  0; a;0  D A    a  A  0;0; a  , B  a;0; a  , C  a; a; a  , D  0; a; a  , N  a; ;0    C  B a) Mục đích ta chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Ta VTCP đường thẳng phương với VTPT mặt phẳng  ABD  D' Ta có: AC'   a; a; a   A'B, A'D   a ; a ; a  véc tơ pháp tuyến   mặt phẳng  ABD  y A'=O x B' C' Ta thấy hai vrctơ AC'  A'B, A'D  phương Vì ta có AC vuông góc với mặt phẳng  ABD  b) Tính thể tích tứ diện ANBD Ta có công thức tính thể tích tứ diện là: VANBD'   AN,AB AD   a    AB,AN    0; a ;      Ta có: AD  (0; a; a)   AB,AN  AD  a    a3 Do thể tích tìm là: V  (đvtt) 12 c) Để tính góc hai đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng ta sử dụng hai công thức  a , b  AB a.b   sau: cos  a, b   cos a , b  d (a, b)  a, b  a b     https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Cao Văn Tuấn – 097530627 Với a , b véc tơ phương đường thẳng a b Đường thẳng a,b qua hai điểm A B AN.BD Do ta có góc hai đường thẳng AN BD là: cos  AN, BD  =  AN BD  AN, BD AB a 26   Khoảng cách hai đường thẳng là: d  AN, BD    26  AN, BD   d) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ACD  Viết phương trình mặt phẳng  ACD  Mặt phẳng  ACD  có véc tơ pháp tuyến phương với  AC,AD   a ;0; a  Ta chọn véc tơ pháp tuyến mặt phẳng  ACD  n  (1;0;1) Vì phương trình mặt phẳng  ACD  là: x  z – a  Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta có: d  C,  ACD    a Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB  1, AD  1, AA  a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD b) Gọi  Q  mặt phẳng qua A vuông góc với AC Tính diện tích thiết diện hình chóp A.ABCD cắt mặt phẳng  Q  Giải: Chúng ta đặt hệ trục tọa độ giống ví dụ Từ ta tính tọa độ đỉnh sau: A  0;0;0  , B 1;0;0  , D  0;1;0  , A 0;0;   a) Dành cho em tự tính toán b) Với toán này, em viết phương trình mặt phẳng  Q  , đường thẳng: AB, AC, AD tìm giao điểm với mặt phẳng  Q  , ta có B' tọa độ giao điểm là: 2 2 1 2  2 M  ;0; , N ; ;  , P  0; ;    2   3  3 Ta có thiết diện tứ giác AMNP Và diện tích tứ giác là: 2 x SAMNP  SAMN  SANP  B https://www.facebook.com/ThayCaoTuan A' z D' C' D y A=O C Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Cao Văn Tuấn – 097530627 Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh BD  2 Mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 a) Tính thể tích khối chóp, xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SB AC c) Tính góc hai mặt phẳng  SAB  SCD  d) Gọi I trọng tâm tam giác SAB, tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng  ABCD   SCD  Giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ đỉnh sau: O  0;0;0  , A 0;  2;0   B 2;0;0 , D  2;0;0  C 0; 2;0 ,S 0;0;  Đến công việc lại tính toán, thầy để dành cho em          z S  I A J x D O B C y Các em thấy tọa độ hóa khối đa diện việc giải toán hình không gian trở nên đơn giản nhiều Sau xét số khối đa diện mà việc tọa độ tính toán phức tạp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh tâm O, SO vuông góc với đáy; cạnh bên SA  3,SB  Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM b) Mặt phẳng  AMB cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có tọa độ O 0;0;0 , A 2;0;0 , B(0;1;0)       đỉnh sau: C  2;0;0  , D  0; 1;0   S 0;0; 2 , M 1;0;    a) Ta có cos  SA,BM   SA.BM z  N  SA BM  SA,BM   30 S M D C x SA, BM  SB  d  SA,BM     SA, BM    O A By b) Viết phương trình mặt phẳng  AMB phương trình đường thẳng SD Từ tìm tọa độ giao điểm D  AMB SD Ta có: VS.ABMN  VS.AMB  VS.AMN  1 SA,SB SM  SA,SN  SM     6 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Cao Văn Tuấn – 097530627 Bài tập rèn luyện Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, SA  a Gọi M trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SM BC a ĐS: d  Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ điểm H cạnh AB dựng SH vuông góc với (ABCD), biết góc hai mặt phẳng (SAD) mặt đáy 600 a) Tính SH khoảng cách từ H đến (SCD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) biết K trung điểm cạnh AD a a 21 ĐS: a) SH  b)   900 , d  H,  SCD    Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, AC = a Tam giác SAB cân S, nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc  cho tan   a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD) c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) 2a 57 a 21 ĐS: b) d  O,  SCD    b) d  A, SBC    19 14 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông, đường cao AB, BC = 2a, SA = a SA vuông góc với đáy Biết SC vuông góc với BD a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Gọi M điểm đoạn SA, AM = x, Tính độ dài đường cao DE tam giác BDM theo a, x Tìm x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ  a x  a DE max  a ĐS: a) AD  c)  DE  a x   Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, với AB =2a, BAC  300 ,SA  2a vuông góc với đáy a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Gọi M điểm di động cạnh AC cho AM = x,  x  a Tính khoảng cách từ S đến   BM theo a, x Tìm x để khoảng cách đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài (ĐH Đà Nẵng khối A năm 2001): Cho tứ diện S.ABC có SC  CA  AB  a SC vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông A, điểm M, N thuộc SA BC cho AM  CN  t với   t  2a  a) Tính độ dài đoạn MN, tìm t để độ dài đoạn MN nhỏ b) Khi MN nhỏ nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên hình chóp Biết khoảng cách từ S đến (ABC) h Tìm điều kiện h để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc Khi tính thể tích khối chóp S.ABC Bài (ĐH khối B năm 2002): Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh BB1 ,CD, A1D1 Tính góc MP C1 N Bài (ĐHSP TPHCM năm 1992): Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AD CD Lấy P cạnh BB1 cho BP = 3PB1 Xác định tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (MNP) 7a ĐS: S  16 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 10 Ta có: A'B   a;0;  a  ,  B'D   a;a; a  , A'B'   a;0;0    A'B,B'D  a2 ;2a2 ;a2     A'B.B'D  A'B' a3 a     Vậy d  A'B,B'D    A'B,B'D  a2 6   b Góc hia đường thẳng MP v| C’N   a    a  a a a a Ta có M  a;0;  , N  ;a;0  , P  0; ;a   MP   a; ;  , NC'   ;0;a   MP.NC'   MP  NC' 2 2 2   2     Vậy góc hai đường thẳng MP v| C’N có số đo 900 Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A  0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1  Gọi M v| N l| trung điểm AB v| CD a Tính khoảng c{ch hai đường thẳng A’C v| MN b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C v| tạo với mặt phẳng Oxy góc α biết cos α  Giải a Khoảng c{ch hai đường thẳng A’C v| MN z Cách  d  A'C,MN   d M,  P   D' A' Gọi (P) l| mặt phẳng chứa A’C v| song song với MN Khi đó: C' B' Phương trình mặt phẳng (P): 1 1   Ta có C 1;1;0  , M  ;0;0  , N  ;1;0  2 2   M  A'C  1;1; 1 , MN   0;1;0   Vec-tơ ph{p tuyến D A mặt phẳng n   A'C,MN   1;0;1   (P) l| x B y N C  Phương trình mp(P) l|: 1 x     y    1 z  1  hay x  z     Vậy d  A'C,MN   d M,  P    1 12  02  12  2 Cách d  A'C,MN    A'C,MN  A'M 1    với  A'C,MN   1;0;1 , A'M   ;0; 1    A'C,MN  2      A'C,MN   2,  A'C,MN  A'M       Vậy d  A'C,MN    2  2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 22 33 b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C tạo với mp(Oxy) góc α Gọi (Q) l| mặt phẳng chứa A’C v| tạo với mp(Oxy) góc α  Phương trình mp(Q) có dạng: ax  by  cz  d  a2  b2  c2   c  d   c  d  a  b Mp(Q) qua A'  0;0;1 v| C 1;1;0  nên  a  b  d  Khi phương trình (Q) l|: ax  by   a  b  z   a  b    Mp(Q) có vtpt l| n   a;b;a  b  Mp(Oxy) có vtpt l| k   0;0;1 Gọi α l| góc (Q) v| (Oxy), ta có cos α     cos n,k   ab a2  b   a  b      6    a  b   a2  b2  ab    2a2  2b2  5ab   2a2  ab  2b2  4ab   a  2a  b   2b  b  2a     2a  b  a  2b    a  2b b  2a Với a  2b , chọn a  v| b  1  Phương trình mặt phẳng (Q) l| 2x  y  z   Với b  2a , chọn a  v| b  2  Phương trình mặt phẳng (Q) l| x  2y  z   Bài 29 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ C{c điểm M, N thay đổi c{c đoạn thẳng BD v| AD’ cho DM  AN a X{c định vị trí hai điểm M, N để MN nhỏ Chứng minh MN vuông góc với BD v| AD’ b Chứng minh MN vuông góc với đường thẳng cố định Giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD, tia Oz chứa AA’ a Giả sử cạnh hình lập phương có độ d|i a.Đặt   AN  DM  t  t  a z Khi ta có A  0;0;0  , B a;0;0  , D  0;a;0  , D'  0;a;a  ,   t  t t  t ; M ;a  ;0  , N  0;  2    C' D'  t t  ;t  a; Do MN     2  N A Ta có:   t  MN      t a 2  B' A'  2  t  2    3t  2at  a  2 B x M y D C Xét h|m số f  t   3t  2at  a2 H|m số n|y có đồ thị l| Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 23 34 parabol quay bề lõm lên phía Do f(t) nhỏ v| t  a a  a  0;a  nên MN nhỏ t   M, N thuộc đoạn BD, AD’ tương ứng cho   3 1 DM  BD, AN  AD' 3 Vì Khi MN nhỏ ta có: t   a a a a nên MN    ;  ;   3 3 Mặt kh{c BD   a;a;0  , AD   0;a;a  nên:  a  a a MN.BD      a      a    3  3  a  a a MN.AD'         a  a   3  3 Vậy MN vuông góc với BD v| AD’ b Trước hết ta tìm phương α   x;y;z   vuông góc với vec-tơ MN Điều tương đương với: α.MN  t   0;a     t   t   x    y t  a  z   t   0;a  2   2    x z    y 2  t  ya  2  t   0;a     x z y   x  z    y  ya   Chọn α  1;0;1 Vậy MN vuông góc với đường thẳng cố định nhận α  1;0;1 l|m vec-tơ phương Chú ý: Ta có kết luận tương tự l| MN song song với mặt phẳng cố định Bài 30 Cho tam gi{c ABC vuông A v| đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABC) điểm A C{c điểm M, N thay đổi đường thẳng Δ cho  MBC   NBC a Chứng minh AM.AN không đổi b X{c định vị trí M, N để tứ diện MNBC tích nhỏ Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, c{c tia Ox, Oy Oz trùng c{c tia AB, AC, AM Đặt AB  b, AC  c, AM  m (b, c không đổi) Khi A  0;0;0  , B b;0;0  , C  0;c;0  , M  0;0;m  Giả sử N  0;0;n  Ta có (MBC): 1 1  x y z     có ph{p vec-tơ α  ; ;  ; b c m b c m Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 24 35 (NBC): 1 1 x y z     có ph{p vec-tơ β   ; ;  b c n b c n z Vậy  MBC   NBC  α.β  M b2 c2   mn  b2 c2 m.n b2  c2 Mặt kh{c m  nên n  Vậy M v| N nằm hai phía A    a Ta có AM.AN  m n  m.n  b2 c2 b2  c2 không đổi x A b Ta có: BC   b;c;0  , BM   b;0;m  , BN   b;0;n    BM,BN   0;b  n  m ;0    B N C 1 Vậy VMNBC   BM,BN  BC  bc  n  m   6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: y 1 b2 c2 VMNBC  bc  n  m   bc.2 m  n   6 b2  c2 Dấu đẳng thức xảy v| m  n  bc b2  c2 Vậy VMNBC nhỏ M, N nằm hai phía A v| AM  AN  AB.AC BC Chú ý: ta tính thể tích tứ diện MNBC theo c{ch: 1 VMNBC  VMABC  VNABC  AM.SΔABC  AN.SΔABC 3 1   AM  AN  SΔABC  bc  m  n  Bài 31 Cho tam gi{c ABC có cạnh a, I l| trung điểm BC, D l| điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn SD  a b a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:  SAB   SAC  SBC   SAD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm I, c{c tia Ox, Oy, trùng c{c tia ID, IC, tia Oz song song v| chiều với tia DS Khi a  D ;0;0  ,      a a   a   a   a C  0; ;0 , B  0;  ;0 , A   ;0;0 , S  ;0;    2   2        a 6 SA cắt Iz trung điểm M SA Ta có M   0;0;     Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 36 25  a   a  ;0;0  , B  0;  ;0  , a Mặt phẳng (SAB) qua A         z S  a 6 M  0;0;  nên có phương trình đoạn chắn (SBA):    (SBA): 2x 2y 4z    1  a a a v| có M ph{p vec-tơ B  2  n1   ; ;   a a a 6 Mặt D I phẳng (SAC) qua A C y  a   a   a 6 A  ;0;0  , C  0; ;0  , M  0;0;  nên có phương trình          đoạn chắn (SAC):  2x a  Ta có n1.n2   x  2  2y 4z    v| có ph{p vec-tơ n2   ; ;  a a  a a a 6 2  2 4      0 a a a  a a a Do  SAB   SAC b Mặt phẳng (SBC) có cặp vec-tơ phương l|:  a a a  BC  0;a;0 ∥α  0;1;0  ; CS  ; ; ∥β  2     Vậy (SBC) có vec-tơ ph{p tuyến n3  α,β     3; 1;   6;0;   Mặt phẳng (SAD) trùng mặt phẳng tọa độ (xOz) nên có ph{p vec-tơ n4  0;1;0  Do n3 n4  nên  SBC   SAD  Bài 32 Cho hình vuông ABCD C{c tia Am v| Cn vuông góc với mặt ABCD v| chiều C{c điểm M, N thuộc Am, Cn Chứng minh  BMN    DMN    MBD   NBD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia AB, AD, Am Giả sử hình vuông ABCD có cạnh a z m Đặt AM  m, CN  n Ta có: M B a;0;0  , D  0;a;0  , M  0;0;m  , n N N  a;a;n  , C  a;a;0  B Mặt phẳng (BMN) có cặp vec-tơ phương BM   a;0;m  , A x BN   0;a;n  Do (BMN) có ph{p vec-tơ    BM,BN   am;an; a ∥α  m; n;a  Mặt phẳng (DMN) có cặp   D y C Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 37 26 vec-tơ phương DM   0; a;m  , DN   a;0;n    Do (DMN) có ph{p vec-tơ  DM,DN   an;am;a2 ∥α2  n;m;a    Vậy  BMN    DMN   α1.α2   m.n  Ta có (MBD): a2 (1) 1 1  x y z     có ph{p vec-tơ l| β1   ; ;  a a m a a m Mặt phẳng (BDN) có cặp vec-tơ phương BD   a;a;0  , BN   0;a;n    Do (NBD) có ph{p vec-tơ BD,BN   an;an; a2 ∥β2  n;n; a  (2)   n n a a2     m.n  a a m Từ (1) v| (2) ta có điều phải chứng minh Vậy  MBD    NBD   β1.β2   Bài 33 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất c{c cạnh nhau, M l| trung điểm BB’ Chứng minh A’M vuông góc với AC’ v| CB’ Giải Gọi O l| trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy trùng với c{c tia OC, OB, tia Oz song song chiều với tia AA’ Giả sử c{c cạnh hình lăng trụ a Khi đó: a   a   a   a  C ;0;0  , B  0; ;0  , A  0; ;0  , B'  0; ;a            z a   a   a a ;0;a  , M  0; ;  , A'  0; ;a  , C'       2    3;1;2  M O   a a  CB'    ; ;a ∥γ   3;1;2  2    C' B'  a  Vậy A'M  0;a; ∥α  0;2; 1   a a  AC'   ; ;a ∥β   2    A' A C y B  y Do α.β  0, α.γ  nên A'M  AC' v| A'M  CB' Bài 34 Cho hình chóp S.ABCD, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SA, SC Biết BM  DN Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O l| t}m hình vuông ABCD, c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia OA, OB, Ó  a   a   a   a  ;0  , D  0; ;0  ,A  ;0;0  , C  ;0;0  , Đặt SO  h Khi đó: B 0;          a  a h h S  0;0;h  , M  ;0;  , N  ;0;  (vì M, N l| trung điểm SA, SC) 2 2 2 2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 27 38  a a h   a a h  ; ; ;  ;  ; DN   Ta có BM   2 2 2 2 2 2 z S Ta có: BM.DN   a2 a2 h2 a 10   0h M N a 10 Vậy VS.ABCD  SO.SABCD  Bài 35 Cho hình chóp S.ABC, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SB, SC Biết  AMN   SBC Tính thể tích hình chóp S.ABC D A x O C B y Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O l| t}m tam gi{c ABC, c{c tia Oy, Oz trùng c{c tia OB, OS, tia Ox hướng với tia CA z S Đặt SO  h Khi đó:  a a   a   a a  A ; ;0  , B  0; ;0  , C  ; ;0  ,   2  2   N  a h   a a h  S  0;0; h  , M  0; ; , N  ; ;   2  4 2 M C K Mặt phẳng (AMN) có cặp vec-tơ phương A O  a a h   3a a h  AM   ; ;  , AN   ; ;  2   4 2 x B y Vậy (AMN) có ph{p vec-tơ  2    AM,AN    3ah ; ah ; 5a ∥α  3ah ;  ah; 5a    8 8 3  3      a   a  ;0  , S 0;0;h  nên có phương trình đoạn Mặt phẳng (SBC) cắt trục Ox K  ;0;0  v| qua B  0;     chắn (SBC): 3x 3y z   1  a a h  3  ;  Vậy (SBC) có ph{p vec-tơ β  ;  a a h   Ta có  AMN    SBC  α.β   9h h 3 5a2 h 0h a 12 1 a2 a3 a  Vậy VS.ABC  SO.SABC  3 12 24 Bài 36 Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, tam gi{c SAB Gọi M, N, P, K l| trung điểm BC, CD, SD, SB a Tính khoảng c{ch hai đường thẳng MK v| AP b Chứng minh  ANP    ABCD  Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 28 39 Gọi O l| trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia ON, OB, OS Khi đó: z S   a   a  a 3 A  0; ;0  , B  0; ;0  , N  a;0;0  , S  0;0; ,        P   a   a a a  a a   a a 3 D  a; ;0  , P  ; ;  , M  ; ;0  , K  0; ;     4   2   4  K A a Đường thẳng MK có vec-tơ phương l|:   a a a  MK   ; ; ∥α 2;1;   4    Đường thẳng AP có vec-tơ phương l|:   a a a 3 AP   ; ; ∥β 2;1; 2     B O x N C M y   3a a  Ta có α,β   3; 4 2;0 , AK   0; ;     4      α, β  AK 3a 3a     Vậy d  MK,AP    α, β  15   b Mặt phẳng (APN) có cặp vec-tơ phương l|   a a a  a a a 3 NP   ; ; ∥α  2;1;  ; AP   ; ; ∥β 2;1;  4  2            Do (ANP) có ph{p vec-tơ l| α,β   3; 4 3;0 ∥n1  1; 2;0    Mặt phẳng (ABCD) có ph{p vec-tơ l| n2   0;0;1 Do n1.n2  nên  ANP    ABCD  Bài 37 Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A  0;0;0  , D  0;1;0 , D' 0;1;2 , B' 1;0;2  Gọi E l| điểm đối xứng với A qua B Điểm M thuộc đoạn CD cho mặt phẳng (A’ME) tạo với mặt (ABB’A’) góc φ thỏa mãn tan φ  a Viết phương trình mặt phẳng (A’ME) b Viết phương trình mặt cầu (S) qua C, B’, D’ v| có t}m thuộc mặt phẳng (A’ME) Giải Dễ d|ng suy tọa độ c{c điểm A'  0;0;2  , z B1;0;0  , C 1;1;0  , C' 1;1;2  , E  2;0;0  A' Đặt DM  t   t  1 Khi M  t;1;0  B' D' C' Mặt phẳng (A’ME) có cặp vec-tơ phương A'M   t;1; 2  , A'E   2;0; 2 ∥α 1;0; 1 Do (A’ME) có ph{p vec-tơ  A'M, α   n1  1;t  2; 1   Mặt phẳng (ABB’A’) có ph{p vec-tơ n2  0;1;0  B A x E y D M C Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 40 29  t 2  Ta có cos φ  cos n1 ,n2  Vậy   t  2 suy sin φ   cos2 φ  2   t  2 2  t    t  (vì  t  ) t 2  tan φ  Vậy M 1;1;0  (trùng với điểm C) a Mặt phẳng (A’ME) có ph{p vec-tơ n1  1;t  2; 1   1; 1; 1∥1;1;1 v| qua điểm E  2;0;0  nên có phương trình:  A'ME :1 x  2  1 y  0  1z    hay  A'ME : x y z  b (S) qua C, B’, D’ nên có t}m I thuộc c{c mặt phẳng  α  , β  l| c{c mặt phẳng trung trực CB’, CD’  α  qua trung điểm K 1; 21 ;1 CB’ v| có ph{p vec-tơ CB'   0; 1;2    1 Vậy  α  :   y     z  1   2y  4z   2  β  qua trung điểm L  21 ;1;1 CD’ v| có ph{p vec-tơ D'C  1;0; 2    1 Do β  :1 x     y  1   z  1   2x  4z   2  x  y  z   1   Vậy tọa độ I l| nghiệm hệ: 2y  4z    I  ; ;1 2  2x  4z    Mặt cầu (S) có b{n kính R  IC  2  1  1 Vậy  S :  x     y     z  1  2  2  Bài 38 Cho tứ diện OABC vuông O C{c mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) tạo với mặt phẳng (ABC) c{c góc α, β, γ tương ứng Gọi SO , SA , SB , SC l| diện tích c{c mặt đối diện với c{c đỉnh O, A, B, C tứ diện Chứng minh rằng: a OH  OA  OB  OC2 với H l| hình chiếu vuông góc O (ABC) b SO2  SA2  SB2  SC2 Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử OA  a, OB  b, OC  c , O  0;0;0  , A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c a Mặt phẳng (ABC) có phương trình: x y z   1 a b c Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 30 41    OH  d O,  ABC   a   OH OH2   a  OA b    z b  C c2 c2 OB2  H OC2 x O A b Do c{c tam gi{c OAB, OAC, OBC l| c{c tam gi{c vuông O nên: S2A  SOBC 1  b2 c2   OB.OC   S2A  2  Tương tự ta có: S2B  B y c2 a2 a2 b2 , SC  4 1 2 2 AB,AC  b c  c a  a2 b2  S2O  S2ΔABC  S2A  S2B  S2C  2 Bài 39 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  b C{c tia Am v| Cn hướng v| vuông góc với Mặt kh{c: SΔABC  mặt phẳng (ABCD) C{c điểm M, N thay đổi c{c tia Am, Cn cho  MBD    NBD  Chứng minh AM.CN không đổi Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz A  0;0;0  , B a;0;0  , D  0;b;0  , C  a;b;0  hình vẽ, đó: z m Giả sử AM  m, CN  n  m,n   Ta có M  0;0;m  , N  a;b;n  n M N 1 1  Mặt phẳng (MBD) có vec-tơ ph{p tuyến n  ; ;  a b m B Mặt phẳng (NBD) có vec-tơ ph{p tuyến n'   NB,ND   A x Do NB   0; b; n  , ND   a;0; n  nên 1 1 n'   bn;an; ab   abn  ; ;   a b n D C y  MBD   NBD  n.n'    12  a b   mn a b a b  2  AM.CN   const mn a b a  b2 Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm SA v| BC, 2 2 Do đó: O l| t}m đ{y ABCD Biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 300 z a Chứng minh rằng: SO  MN b Tính góc MN v| (SBD) S Giải M Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, đó: O  0;0;0  , a   a  B  ;0;0 , C  0; ;0  ,      a a   a  N  ; ;0  , A  0; ;0  Giả     SO  h  h   Khi sử D C N O A y B x Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 31 42 a a h  a h  S  0;0;h  , M  0; ; ;   ;   MN  2 2   a Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z  v| có vec-tơ ph{p tuyến n  0;0;1 , suy sin 300  n.MN n MN (vì MN tạo với (ABCD) góc 300 ) Do đó: h 5a a 30 h hay h      h2  6 2a 2a h 2 5a  2h   16 4 Vậy SO  h  a 30 2  a   a   h 2 a a 5a a 30 Mặt kh{c MN              24     2 Vậy SO  MN b Mặt phẳng (SBD) có phương trình y  v| có vec-tơ ph{p tuyến n '  0;1;0  a a a 30  MN   ; ;  12   a 15 Gọi α l| góc MN v| (SBD), ta có: sin α    n ' MN a 30 Bài 41 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt (ABC) Tam gi{c ABC vuông B, n '.MN AB  a, BC  b Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích hình chóp v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử SA  h , B  0;0;0  , A  a;0;0  , C  0;b;0  , S  a;0;h  z S SC   a;b; h  Mặt phẳng (ABC) có phương trình z  n   0;0;1 l| vec-tơ ph{p tuyến (ABC) Do SC tạo với (ABC) góc 600 nên: sin 600  n.SC n SC  h a  b2  h  C   h  a  b2  Giả sử I  x ; y0 ;z0  l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có: y B A x Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 43 32 IA  IB2  IC2  IS2  x 02  y02  z 02   x  a   y02  z 02  x 02   y0  b   z 02    x 02  y02   z  a  b      a  b2 a b  x  ; y0  ;z  2 Gọi R l| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có: R  IB  x 02  y02  z02  a  b2 Gọi V l| thể tích hình chóp, ta có:   1 V  SA.SΔABC  SA.AB.BC  ab a  b2 6 Bài 42 Cho hình chóp S.ABC, đ{y có cạnh a M, N l| trung điểm SA, SC Biết BM  AN Tính thể tích v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Gọi O l| t}m tam gi{c ABC v| K l| trung điểm z a a a , AO  BC, đó: OK  AK  , KB  KC  Giả sử SO  h  h   S  a a   a  ;0  , A  0;  ;0  ,  a a  C   ; O  0;0;0  , B  ; ;0  ,     2  S  0;0;h  I A C O  a h  a a h  M  0;  ; , N  ; ;    12   x K y B  a a h  a 5a h   BM    ;  ;  , AN    ; ;  2   12  Do BM  AN nên BM.AN   N M Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: a 15a h 42   0h a 36 1 a 42 a a 14  Gọi V l| thể tích hình chóp, ta có: V  SO.SΔABC  3 24 Gọi I l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, dễ thấy I  SO nên I  0;0;m  Ta có: IA  IS2   a 42  a2 42 5a a2  m2  a  a.m  m2  m   m2    m   3 42   Vậy R  IA  a 25a 9a   168 42 Bài 43 Cho điểm M nằm góc tam diện vuông Oxyz Mặt phẳng  α  thay đổi qua M v| cắt c{c tia Ox, Oy, Oz c{c điểm ph}n biệt A, B, C Tìm gi{ trị nhỏ thể tích tứ diện OABC Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 33 44 Giả sử M  x ; y0 ;z0  v| mặt phẳng  α  cắt Ox, Oy, Oz c{c điểm z A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c  C x y z   1 a b c x y z  abc Vì M   α  nên    a b c Khi mặt phẳng  α  có phương trình: Ta có VOABC Suy  33 x y0 z (bất đẳng thức Cô-si) abc  abc  27x y0 z0  VOABC  M B y O 27x y0 z0 a  3x x y0 z  Dấu “=” xảy      b  3y0 a b c c  3z  A x Bài 44 Cho hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với nhau, nhận AB l|m đoạn vuông góc chung (A thuộc a, B thuộc b) C{c điểm M, N thay đổi a, b cho MN  AM  BN Chứng minh khoảng c{ch từ trung điểm O đoạn AB tới đường thẳng MN không đổi Từ suy MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Giải Kẻ Ay∥b Dễ thấy Ay  a , Ay  AB z Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử AB  h, AM  m, BN  n  h,m,n   N B Khi đó: A  0;0;0  , B  0;0;h  , M  m;0;0  , b h  N  0;n;h  , O  0;0;  2  Theo giả thiết MN  AM  BN nên ta có a m  n  h  m  n  h  2mn 2 y O A M x h  Ta có MN   m;n;h  , OM   m;0;   2   hn hm    MN,OM     ; ; mn   2  Do d  O, MN    MN,OM     MN h n h m2   m2 n 4  m  n2  h2 2mn 2m3n   m2 n mn h 4   2 m2  n  2mn Vậy khoảng c{ch từ O đến MN không đổi v| AB Do MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Bài 45 Trong không gian tọa độ cho c{c điểm A  0;0;1 , D 0;2;0  C{c điểm B v| C thay đổi trục Ox cho  ACD    ABD  X{c định vị trí B v| C để thể tích tứ diện ABCD nhỏ Ứng với vị trí đó, viết phương trinh mặt phẳng  α  chứa AD v| tạo với c{c mặt (ACD), (ABD) góc Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 34 45 Giả sử B  b;0;0  , C  c;0;0  Khi (ABD) có phương trình: x y   z 1 b z 1  v| có vec-tơ ph{p tuyến n   ; ;1 b  Mặt phẳng (ACD) có phương trình: x y   z  v| có vec-tơ ph{p tuyến c C A 1  n '   ; ;1 c  O VABCD  VBOAD  VCOAD   BO  CO  y D 1 Do  ACD    ABD  nên n.n '       bc   bc Vậy ta có OB.OC  v| B, C nằm kh{c phía O Ta có: B x 1  BO  CO .SΔOAD   BO  CO   BO.CO  3 3 Dấu “=” xảy Khi mp(AOD) tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) góc v| đó, mặt phẳng  α  qua AD v| vuông góc với (AOD) tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) góc (AOD) có phương trình: x  v| có vec-tơ ph{p tuyến n 1;0;0  α  có vec-tơ 0. x  0  1. y    2. z  1  hay y  2z   Bài gian Mặt phẳng 46 Trong không ph{p tuyến tọa α n1   n, AD   0;1;2 Do độ Oxyz, cho hình hộp có phương trình: ABCD.A’B’C’D’ có A  0; 1;0  , C  2;1;0  , B'  2; 1;2  , D'  0;1;2  C{c điểm M, N thay đổi c{c đoạn A’B’ v| BC cho D'M  AN a Chứng minh MN vuông góc với đường thẳng cố định b Khi M l| trung điểm A’B’, viết phương trình mặt phẳng (DMN) Giải Ta có AC   2;2;0  , B'D'   2;2;0   AC  B'D' v| AC  B'D'  AC  BD v| AC  BD A' M  ABCD l| hình vuông Tương tự, ta chứng minh c{c mặt lại hình hộp l| hình vuông, ABCD.A’B’C’D’ l| hình lập phương  (ABCD) có phương trình: z  B' C D Giả sử n  AC,B'D'  n   0;0;8  (ABCD) có vec-tơ ph{p tuyến n  0;0;8  C' D' N A B (A’B’C’D’) có phương trình: z  Từ dễ d|ng x{c định c{c đỉnh lại hình lập phương l|: B  2; 1;0  , D  0;1;0  , A'  0; 1;2  , C'  2;1;2  Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 35 46  x  2t  A’B’ có phương trình:  y  1 BC có phương trình: z   x    y  1  2s z    t,s   Do M, N nằm c{c đoạn A’B’ v| BC nên M  2t; 1;2  , N  2; 1  2s;0  với  t  1,  s  Theo giả thiết D'M  AN  D'M.AN   t  s  MN    2t;2t; 2  a Xét u  1;1;1 , ta thấy MN.u  t nên MN vuông góc với c{c đường thẳng có phương u , suy MN vuông góc với đường thẳng cố định b Khi M l| trung điểm A’B’ t  s  Ta có M 1; 1;2  , N  2;0;0   MN  1;1; 2 , DM  1; 2;2    MN,DM    2; 4; 3  (DMN) qua D  0;1;0  v| có vec-tơ ph{p tuyến n1   2;4;3 Vậy (DMN) có phương trình: 2x  4y  3z   Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 36 47 [...]... thẳng SM và DN https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 11 GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Bài 1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại A, AB  a,AC  2a,AA'  b Gọi M, N lần lượt l| trung điểm của BB’ v| AB a Tính theo a v| b thể tích của tứ diện A’CMN b Tính tỉ số b để B'C  AC' a Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O  A , c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi... kính 2 2 2  R a2 9a2 9a2 a 11    2a2  4 4 4 2 Bài 19 Cho tứ diện OABC có c{c tam gi{c OAB, OBC v| OCA l| c{c tam gi{c vuông đỉnh O Gọi α, β, γ lần lượt l| góc giữa mặt phẳng (ABC) v| c{c mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Bằng phương ph{p tọa độ hãy chứng minh: a Tam gi{c ABC có ba góc nhọn b cos2 α  cos2 β  cos2 γ  1 Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ z Ta có A  a;0;0  , B 0;b;0  ,... kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN l|: R  α2  β2  γ2  δ  a2 a2 a2 a 35    2a2  16 16 16 6 Bài 12 Cho hình chóp tứ gi{c đều S.ABCD có cạnh đ{y bằng a v| chiều cao bằng h Gọi I l| trung điểm của cạnh bên SC Tính khoảng c{ch từ S đến mặt phẳng (ABI) Giải z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ l| t}m O của hình vuông ABCD, tia Ox chứa OA, tia Oy chứa OB v| tia Oz chứa OS S a 2   a 2 ... 2; a 2;0   MN.SA  0  MN  SA    MN.BC  0  MN  BC Vậy MN l| đường vuông góc chung của SA v| BC (đpcm) Bài 6 Cho khối lăng trụ tam gi{c đều có cạnh đ{y bằng a v| AB'  BC' Tính thể tích của khối lăng trụ Giải Gọi O l| trung điểm của AC Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ l| O, tia Ox đi qua A, tia Oy đi qua B Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 4 15 a   a 3  ;0... đường thẳng MP v| C’N có số đo bằng 900 Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A  0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1  Gọi M v| N lần lượt l| trung điểm của AB v| CD a Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng A’C v| MN b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C v| tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cos α  1 6 Giải a Khoảng c{ch giữa hai đường thẳng A’C... 4      AK   a 2 ; a 2 ;0    4  4    Vậy VAIJK  1 a3 2 a3 2   6 32 192 Bài 10 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a K l| trung điểm của DD’ v| O l| t}m của hình vuông AA’B’B Tính thể tích của khối tứ diện AIKA’ Suy ra khoảng c{ch từ A’ đến mặt phẳng (AB’K) Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A  O , c{c tia Ox, Oy, Oz lần z lượt A' đi qua B, D, A’ Khi B a;0;0 , B' a;0;a... AI,AK       2 4 16 4 2 8  Vậy d A',  AB'K   3a2 3a2 2a :  12 8 3 Bài 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M l| trung điểm của cạnh AD v| N l| t}m của hình vuông CC’D’D Tính b{n kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 18 7 Chọn hệ trục tọa độ A’xyz như hình vẽ z D'  0;a;0  , A  0;0;a  , B a;0;a  , A Ta có A'... S  3a2 3 khi M, N, P lần lượt l| trung điểm của c{c cạnh BB’, CD, A’D’ 8 Bài 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M v| N lần lượt l| trung điểm của AD v| BB’ Chứng minh AC'   AB'D' v| tính thể tích của khối tứ diện A’CMN Giải Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 13 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có như D  0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a... 9  MN.BD  0   ka  4a  8ka  0 4 9 Bài 3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a Trên c{c cạnh BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy c{c Vậy MN l| đoạn vuông góc chung của AE v| BD khi k  điểm M, N, P sao cho B'M  CN  D'P  x , x   0;a  a Chứng minh AC'   MNP  b X{c định vị trí của M, N, P để tam gi{c MNP có diện tích bé nhất Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O  A , c{c tia Ox, Oy, Oz lần... Gia Hội, TP Huế SĐT: 01234332133 28 17 1 a3 Vậy VACHK  2a3  6 3 Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 M v| N l| hai điểm thay đổi v| lần lượt ở trên cạnh AA’, BC sao cho AM  BN  h, h   0;1 Chứng minh rằng khi h thay đổi, đường thẳng MN luôn cắt v| vuông góc với một đường thẳng cố định Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với B’, tia Ox đi qua A’, tia Oy đi qua