Khóa luận tốt nghiệp toán Phương pháp tọa độ hóa trong mặt phẳng

Phương trình chính tắc...6 IV.CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRUYỀN THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ...7 1.. Ở cấp THCS các em đã được làm quen với những bài toán hình học truyền thống

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THU PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA Độ HÓA

LỜI CẢM ƠN

Lời đàu tiên cho em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy

cô trong khoa toán trường ĐH sư phạm Hà Nội 2 đã tậntình truyền đạt kiến thức trong những năm học qua, đã tạođiều kiện thuận lợi cho em học tập, nghiên cứu, tìm tòi tàiliệu Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình họckhông chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu Khóa luận

mà còn là hành trang quý báu để em bước vào đời mộtcách vững chắc và tự tin

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thày giáo

- Thạc sĩ Nguyễn Văn Vạn ừong suốt thời gian qua đã nhiệttình giúp đỡ, chỉ dạy để em thực hiện bài Khóa luận tốtnghiệp này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến toàn thể bạn

bè và gia đình đã luôn bên cạnh ủng hộ em trong suốt thờigian qua

Em xin chân thành cảm ơn

Sinh viên

Nguyễn Thu Phương

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan bài Khóa luận tốt nghiệp này là quátrình nghiên cứu, tìm tòi của em dưới sự hướng dẫn từ giáoviên - Thạc sĩ Nguyễn Văn Vạn Với sự cố gắng của bảnthân, em đã tổng hợp, trình bày nên bản Khóa luận tốtnghiệp này

Em hoàn toàn chịu ừách nhiệm trước lời cam đoanừên

Sinh viên

Nguyễn Thu Phương

MỤC LỤC

MỞ ĐÀU

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

I HỆ TRỤC TỌA Độ ĐỀ - CÁC TRONG PHẲNG 1

1, Định nghĩa 1

2, Hệ tọa độ thuận 1

II TỌA Độ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM 1

1 Tọa độ véctơ 1

1.1 Định nghĩa 1

1.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ 2

2 Tọa độ của điểm 2

2.1 Định nghĩa 2

2.2 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng - tọa độ ừọng tâm tam giác 2

3 Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của véctơ 3

III PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG 3

1 Phương trình đường thẳng 3

1.1 Phương trình tổng quát - phương trình tham số của đường thẳng 3 1.2 Một vài chú ý 4

1.3 Khoảng cách và góc 4

2 Phương trình đường tròn 5

2.1 Dạng phương trình chính tắc 5

2.2 Dạng phương trình khai triển 5

3 Phương trình Elip 5

3.1 Đinh nghĩa 5

4 Phương trinh Hypebol 6

4.1 Định nghĩa 6

4.2 Phương trình chính tắc 6

5 Phương trình Parabol 6

5.1 Đinh nghĩa 6

5.2 Phương trình chính tắc 6

IV.CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRUYỀN THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 7

1 Chọn hệ trục tọa độ 7

2 Khai thác các tính chất và các phép toán liên quan đến véctơ và tọa độ 7 3 Hình thành hệ tọa độ ừong mặt phẳng như thế nào? 7

Chương 2: LỚP CÁC BÀI TOÁN 11

I BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM 11

II BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP CỐ ĐỊNH 17

III ĐẲNG THỨC VÀ ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TỌA Độ 24

IV BÀI TOÁN CHỨNG MINH 32

V GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐỂNTỌA Độ 44

KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học phẳng là một bộ phận không thể thiếu của toán học Ở cấp THCS các em đã được làm quen với những bài toán hình học truyền thống, lên lớp 10 các em được học về phương pháp tọa độ không chỉ để

các em giải những bài toán cho ừong mặt phẳng tọa độ mà còn có thể sửdụng phương pháp tọa độ để giải những bài toán hình học truyền thống.

Với những bài toán cho trong mặt phẳng Oxy định hướng giảiquyết bài toán khá rõ ràng: Học sinh sẽ sử dụng các kiến thức về tọa độ

để giải quyết Tuy nhiên nếu bài toán được cho dưới dạng truyền thống

mà học sinh đã quen thuộc ở THCS thì ngoài việc giải bằng cách thôngthường ta có thể định hướng cho học sinh giải bằng phương pháp tọa độ.Cách tiếp cận và giải bài toán bằng phương pháp tọa độ sẽ giúp giảiquyết một số bài toán hình học phẳng khá hóc búa trở nên dễ dàng hơn,mặt khác làm cho hoc sinh có khả năng tìm tòi, sáng tạo và khả năng tưduy toán tốt hơn

Làm thế nào để chuyển một bài toán hình học được phát biểu dướidạng truyền thống không có các đại lượng liên quan đến tọa độ về bàitoán phát biểu trong mặt phẳng tọa độ có những đại lượng tọa độ,phương trình đường, để giải? Sau đây tôi xin đưa ra một vài phươngpháp và ví dụ điển hình áp dụng phương pháp tọa độ hóa vào giải quyếtnhững bài toán hình học phẳng

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phương pháp tọa độ trongmặt phẳng và ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải một số lớp bài toánhình học

Xây dựng các bài tập minh họa cho các lớp bài toán có sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải

3 Đổi tượng, phạm vỉ nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: phương pháp tọa độ hóa trong mặt phẳng

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan trong sách tham khảo và trên mạng internet

Chưcmg 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

I HỆ TRỤC TỌA Độ ĐỀ - CÁC VUÔNG GÓC TRONG PHẲNG

1 Định nghĩa

Hệ trục tọa độ hay còn gọi là hệ trục tọa độ Đề - các là hệ trục Oxy gồm 2 trục Ox và Oy vuông góc với nhau Ox là

trục hoành có véctơ đơn vị là 1,

Oy là trục tung có véctơ đơn vị là j .

II.TỌA Độ CỦA VECTƠ, TỌA Độ CỦA ĐIỂM

1 Toa đô của véctơ

• •

1.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho u = AB ta luôn có cặp số duy nhất (xpx2)sao cho u = Xj 1 + x2 j Ta gọi cặp số (Xj, x2) là tọa độ của véctơ u với hệtọa độ đã cho và viết u = ( X j , x2) hay u (xp x2)

NX: Nếu u = (Xj, x2), u'= (Xj\ x2’) thì:

u = u <SÍ>

x2=x2

1.2 Biếu thức tọa độ của các phép toán véctơ

Cho aựd ư a 2 j khi đó độ dài véctơ a được xác định: a| = yịat2 + a2

2 Toa đô của điểm

2.2 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng - tọa độ trọng tâm tam giác

a, Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho 2 điểm phân biệt А(х а ,у а ), В(хв,ув) Gọi М(хм,ум) là trung điểmcủa đoạn thẳng AB Ta có công thức:

-L Л

X M = 2< X A + X b )

- ĩ ,

УМ = 2(УА+УВ)

X M = ^( X A + X B + X c)

y M =í-(yA+yB + yc)

b, Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC, A(xA,yA), B(xB,yB), C(xc,yc) Gọi G(xG,yG) là trọng tâm của tam giác Ta có công thức:

III.PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG

1 Phương trình đường thẳng

1.1 Phường trình tổng quát - phương trình tham sổ của đường thẳng:

- Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 (

a2 + b2# 0), trong đó ma,Dj là một véctơ pháp tuyến

- Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0( Xo y0 ) và có véctơ

pháp tuyến ( VTPT ) ma,O) là: a( X - Xo) + b( y - y0) = 0 ( a2 + b2 # 0)

- Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0( Xo y0 ) và có véctơ chỉ

- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(xb yi), B(x2, У2):

*d" _L d thì d" có VTCP u ^-D,a) hoặc u = ^D,-a)

- Có vô số VTCP (VTPT) và chúng cùng phương với nhau nên ta

có thể chọn tọa độ tỉ lệ và thỏa mãn điều kiện véctơ khác véctơ и

1.3.Khoảng cách và góc

- Khoảng cách từ điểm M0( Xo Уо ) đến đường thẳng А :

ax + by + с = 0 ( а2 + b2 # 0)cho bởi công thức:

_|ax0+by0+c

- Vị trí của 2 điểm М(хм,ум), N(xN,yN) đối với đường thẳng А (M,

N Ể A) là:

*M, N cùng phía với А <=> (a.xM + ь.ум + c)(a.xN + b.yN + с) > о

*м, N khác phía với А <=> (а.хм + ь.ум + c)(a.xN + b.yN + с) < о

- Phương trinh 2 đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đương

thẳng A ỉ : ajX + bjY + cx = 0 và Л2 : a2x + b2y + c2 = 0 là:

a1x + b1y + c1 ± a2x + b2y + c2 = 0

Vai2+bi2 Va22+b22

• Phương trình đường tròn tâm 0(0,0), bán kính R là: X2 + y2 = R2

2.2 Dạng phương trình khai triển

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mọi phương trình có dạng:

Fi, F2 là tiêu điểm, FIF2 là tiêu cự

4.2.Phương trình chỉnh tắc Với Fi(-C,

0), F2(c, 0) Điểm M(x,y) G (H)

2 2

^L_y _! ^; U 2_„2 „2

a2 b(2) là phương trình chính tắc của Hyperbol

- Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục

- Xác định tọa độ các điểm và phương trình các đường theo hướnghạn chế đến mức thấp nhất việc sử dụng các tham số, điều chỉnh giá trịcác tham số để nhận được những tọa độ "đẹp" giúp các phép toán trở nênđơn giản

2 Khai thác các tính chất và các phép toán liên quan đến véctơ và tọa đô

- Điều kiện theo tọa độ để các véctơ vuông góc

- Điều kiện theo tọa độ để các véctơ cùng phương

- Tính khoảng cách dựa theo tọa độ

- Tính số đo của góc dựa theo tọa độ,

* Việc sử dụng công cụ tọa độ thực chất là sử dụng đại số để nghiêncứu hình học muốn vậy phải chọn hệ tọa độ thích họp ừên cơ sở hệ tọa độđúng

3 Hình thành hệ tọa độ trong mặtphẳng như thế nào?

Bài toán có đơn giản hay không phàn lớn phụ thuộc vào việc hìnhthành hệ trục tọa độ Sau đây là cách chọn hệ trục tọa độ tương ứng vớinhững bài toán thường gặp:

a, Tam giác cân:

Giả sử tam giác ABC cân tại A, hạ đường cao từ đinh của tam giáccân đến cạnh đối diện AO 1 BC

1 0

B(l, -1),

C(l, 1), D(-l, 1)

Trung điểm cạnh AB có tọa độ (0,-1)

Trung điểm cạnh BC có tọa độ (1,

0)

Trung điểm cạnh CD có tọa độ (0,

Khi đó: Tâm của hình chữ nhật I(a, b)

Phương trình đương tròn ngoại

tiếp hình chữ nhật là:

1 2

D _

- Chuẩn hóa độ dài: Đặt chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 2a, 2b

(a > b > 0) ta có: 1(0,0), A(b, a), B(a,

-b), C(a, -b), D(-a, b)

d, Hình tròn:

- Chọn tâm đường tròn làm gốc tọa độ

- Chọn 2 đương kính vuông góc với

nhau làm 2 truc tọa độ Ox, Oy

- Chuẩn hóa độ dài bán kính R = 1

- Ta có phương trình đường tròn:

X 2 + y 2 = R 2

1 4

Chương 2 LỚP CÁC BÀI TOÁN

I BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM

Bài 1: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007)

Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, c cố định và đỉnh A thay đổi GọiH,G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tíchđiểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC

Giải:

Chọn hệ trục Oxy với o trung điểm BC và trục Ox là đường thẳng BC

- Đường cao hạ từ đỉnh c xuống cạnh AB có VTPT là J\D (-1-m, -

n) và đi qua điểm B(-l, 0) Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh c xuống

cạnh AB là: x + — y - 1 = 0(1) m+1Phương trình đường thẳng AB: —-— X - y = — n

( 1-m

m, n

- Đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC có VTPT là 15^(2, 0) và

đi qua điểm A(m, n) Phương trình đường cao kẻ từ đính Axuống cạnh BClà: X = m (2)

nên H Do vậy tọa độ của điểm K là

K

x 3 6nĐiểm K thuộc đường thẳng BC: y = 0 khi và chỉ khi

=

0 => —— — = 1 Vậy tập họp đỉnh A là Hypebol (H) có

6n

2 2phương trình —— — = 1

Bài 2 : ( Đề thi Olympic Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giácABC có hai đỉnh B, c cố định và đỉnh A thay đổi Qua B dựng đườngthẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABCtại K.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biếtrằng IH song song với KC

Giải:

^2m n 2 -3m 2 +3^

n 2 - 3m 2 + 3

1 6

1 8

Chọn hệ trục Oxy với о trùng I và trục Ox là đường thẳng BC, tọa độđiểm 1(0, 0)

Đặt BC = 2a > 0 Khi đó tọa độ B(-a, 0), C(a, 0) Giả sử tọa độ điểm A(x0, Уо) với Уо Ф 0.

Đường cao đi qua в vuông góc với AC có VTPT là /\^(a - Xo, -yo) và

đi qua điểm B(-a, 0) có phương trình:

(x + a)(a - Xo) - y 0 y = 0 Khi

đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình

Bài 3 : (Đường tròn Appolonius) Cho hai điểm A, B và một sốthực dương k Tìm quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng sao cho

MA = kMB

Giải:

Đặt AB = 2a và đặt A, B vào hệ

trục toạ độ với Ox trùng AB và

Oy trùng với trung trực của AB

Khi đó A(-a, 0), B(a, 0)

Suy ra quỹ tích là một đường ừòn có tâm nằm trên đường thẳng AB(đường tròn Appolonius)

Bài 4: Cho đường thẳng d và điểm p nằm ngoài d Tìm quỹ tíchnhững điểm M cách đều p và d

Giải:

Bài toán này là một phát triển rất tự nhiên của hai quỹ tích quenthuộc: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm đã cho là đường trung trựccủa đoạn thẳng nối hai điểm này; quỹ tích những điểm cách đều haiđường thẳng đã cho là các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường

1 2a(k2+1)2 2

2 0

thẳng này Vậy quỹ tích những điểm cách đều một điểm đã cho và một đường thẳng đã cho là gì?

Phân tích một số vị trí đặc biệt, có thể thấy quỹ tích không phải làđường thẳng mà cũng không phải là đường tròn Vậy quỹ tích có thể làgì? Ta hãy đưa hệ trục toạ độ vào bài toán để tìm hiểu vấn đề này Mộtcách tự nhiên, ta chọn HP là trục tung và d là trục hoành ( H là chânđường vuông góc hạ từ điểm p xuống đường thẳng d)

Đây cũng chính là một thế mạnh của hình học giải tích so với hìnhhọc thuần tuý Hình học giải tích cho phép tìm ra các quỹ tích vượt rangoài các hình "vẽ được" bằng thước và compa, nghiên cứu các tính chấthình học của các đường cong đại số bất kỳ

Bài 5: Cho đường d trên đó lấy một điểm A Cho trước hai số dương

a, b sao cho a>b Xét tất cả các điểm p, Q sao cho AP = a, AQ = b

và đường thẳng d là phân giác của PAQ ứng với mỗi cặp điểm P,Q xétđiểm M sao cho: /\1VI = /\r + Tìm quỹ tích điểm M

Giải:

Chọn hệ tục tọa độ Đề - các vuông góc Axy, A làm gốc tọa độ, trục

Ax chứa đường thẳng d Gọi M(x; y)

2 2

n BÀI TOÁN VÈ TẬP HỢP CỐ ĐỊNH

Bài 1: Trong mặt phẳng cho đường tròn (0,R) và một điểm A cốđịnh I là điểm di động ưên (O) Đường tròn tâm I luôn đi qua A Chứngminh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và Ợ) luôn tiếp xúcvới một đường tròn cố định

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Đê - các vuông góc Oxy, điểm A nằm ưên trụcOy

Giả sử A(0,b)

Phương ữình đường tròn tâm o : X 2 + y2 = R2

Gọi I(m; n) e (O) => ni2 +n2 =R2và IA2=m2 +(b-n)2

Vậy phương trình (I): (x-m) 2 +(y-n) 2 =m2 +(n-b)2

Hay x2+y2-2mx-2ny+2nb-b2 =0 (1)

(1) là phương trình của đường tròn vi m2 + n2 - (2nb - b2) > 0

Suy ra phương trình trục đẳng phương của (O) và(Ị) là (d):

2mx + 2ny - 2nb + b2 + R2 = 0

b -R 2nb-2nb+b -R

2 R

M nằm tùy ý ừên đoạn thẳng AB, M khác A và B Dựngcác hình vuông AMCD và MBEF về cùng một phía với AB Các đườngtròn tâm p và Q làn lượt ngoại tiếp 2 hình vuông AMCD và MBEF cắtnhau tại M và N

1, Chứng minh AF và BC cắt nhau tại N

2, Chứng minh đường thẳng MN đi qua một điểm cố định

Gọi N' là giao điểm của AF và BC

Ta có AN'C = AMC = 90° ^ 4 điểm N', c, A , M

tâm p

2л/т 2 +n 2

Suy ra ry (;

2 4

Tương tự BN'F = BEF = 90° => 4 điểm B, N', E, F cùng nằm trên một đường tròn Do đó, N' nằm ừên đường tròn tâm Q

Như vậy, N' là điểm chung của 2 đường tròn tâm p và Q, mà EF và

BC không đi qua điểm M nên N' = N Vậy AF và BC cắt nhau tại N

2, Do 2 đường tròn tâm p và Q cắt nhau tại M, N nên MN 1 PQ

< = > X + ( 1 - 2 m ) y - m = 0 Giả sử S( x0, yo) là điểm

cố định mà đường thẳng MN luôn đi qua khi M di động trên đoạn AB

Ta có:

Xo + (1 - 2m)y 0 - m = 0 , V m € (0, 1)

« (x0 + y0) - (1 + 2y0)m = 0 , V m € (0, 1)Tọa độ điểm s là nghiệm của hệ phương trình:

2 6

Ta có ứiể tìm được đường tròn cố định mà họ đường thẳng Dm

luôn tiếp xúc bằng phương pháp tìm hình bao Ta đi tìm các điểm mà không

1Vậy đường thăng MN luôn đi qua điêm cô địnhS(—, -—)

Bài 3: Họ các tam giác cân có các tính chất sau:Chúng có đáy nằm trên một đường thẳng d cố định,

có đỉnh A thuộc đáy là một điểm cố định và có bánkính đường tròn nội tiếp bằng r không đổi Chứngminh rằng cạnh bên không đi qua A của các tam giácnày luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

-2rm(0 - 2m) + 2r(r 2 - m 2 )

= 2r.

Bài 4: (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD Xét điểm M nằm trên d Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB, MC Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng

AB ở p, đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q CMR đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố định, khi điểm M di động trên đường thẳng d.

có đường thẳng Dm nào đi qua, tức là các điểm (x0, yo) sao cho phươngtrình y = ^rm (x - 2m) không có nghiệm m r - m

Viết lại phương trình này dưới dạng (y0 - 4r)m2 + 2rx0m - yor 2= 0.Phương trình này vô nghiệm khi A = r2 x0 + yo r2(y0 - 4r) < 0 x0

+ (y0 - 2r)2 < 4r2 Hình bao của miền này, tức là đường tròn x02 + (yo 2r)2 = 4r2, chính là đường tròn cố định mà (Dm) luôn tiếp xúc với

-Có thể kiểm tra lại điều này bằng cách tính khoảng cách từ 1(0,

2r)