DẠNG 1. GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CÓ SẴN MÔ HÌNH TAM DIỆN VUÔNG. Phương pháp: + Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp. Trong đó gốc tọa độ là giao điểm chung của ba đường đôi một vuông góc với nhau, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt nằm trên ba đường đó. + Bước 2: Xác định các toạ độ điểm toạ độ của các véc tơ có liên quan. + Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết các bài toán có liên quan. – Loại 1. Hình chóp có đáy là tam giác. – Loại 2. Hình chóp có đáy là hình thang. – Loại 3. Hình chóp có đáy là hình vuông, hình chữ nhật. – Loại 4. Lăng trụ đứng tam giác. – Loại 5. Lăng trụ đứng tứ giác. DẠNG 2. GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CÓ SẴN MÔ HÌNH TAM DIỆN VUÔNG. Dạng toán: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại C và AB ⊥ (BCD). Cách dựng: Ta dựng hệ trục tọa độ Oxyz sao cho C ≡ O, D ∈ Ox, B ∈ Oy, Oz qua C và vuông góc với (BCD). – Loại 1. Tứ diện có một cạnh vuông góc với mặt đáy. – Loại 2. Chóp tam giác đều. – Loại 3. Chóp tứ giác đều hoặc chóp có đáy là hình thoi, đường cao SO. – Loại 4. Hình chóp có đáy là hình vuông (chữ nhật) và mặt bên vuông góc với đáy. – Loại 5. Lăng trụ xiên.
CHƯƠNG III HÌNH HỌC 12 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA TRONG KHÔNG GIAN DẠNG GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CĨ SẴN MƠ HÌNH TAM DIỆN VUÔNG Phương pháp Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp Trong gốc tọa độ giao điểm chung ba đường đơi vng góc với nhau, tia Ox, Oy, Oz nằm ba đường Bước 2: Xác định toạ độ điểm toạ độ véc tơ có liên quan Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải tốn có liên quan Loại Hình chóp có đáy tam giác Ví DỤ Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , AC = AD = ( cm ) ; AB = ( cm ) ; BC = ( cm ) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) AB 3,= AC 4,= BC nên tam giác ABC vuông A Do tứ diện ABCD Tam giác ABC có= có ba cạnh AB, AC , AD đơi vng góc Chọn hệ trục hình vẽ Khi đó: A ( 0; 0; ) , B ( 3; 0; ) , C ( 0; 4; ) , D ( 0; 0; ) x y z Phương trình mặt phẳng ( BCD ) : + + =1 ⇔ x + y + z − 12 =0 4 4.0 + 3.0 + 3.0 − 12 12 = d ( A, ( BCD ) ) = Vậy 16 + + 34 Ví DỤ Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi M trung điểm cạnh AB Tính góc tạo hai vectơ BC OM a a Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ ta có O(0; 0; 0), A(0; a ; 0), B(a ; 0; 0), C(0; 0; a ), M ( ; ; 0) 2 a a Ta có : BC = (− a ; 0; a) ; OM = ( ; ; 0) 2 −a BC.OM 1200 ⇒ cos( BC ,OM ) = = = − ⇒ ( BC ,OM ) = | BC | | OM | a a 2 Loại Hình chóp có đáy hình thang Ví DỤ = 2a, CD = DA = a Cạnh Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB bên SA = 2a vuông góc với đáy ABCD Tính cosin góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) Giải : S A D B C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ≡ O ( 0; 0; ) , D ( a; 0; ) , B ( 0; 2a; ) , S ( 0; 0; 2a ) , C ( a; a; ) SB = a − a SC = a a − a 0;2 ; , ; ; , ( ) ( ) SD = ( a;0; −2a ) , SB, SC = Ta có ( −2a ; −2a ; −2a ) , 2 SC , SD = n = 1;1;1) , mặt phẳng ( −2a ;0; −a ) Suy mặt phẳng ( SBC ) có véc tơ pháp tuyến ( n ( SCD ) có véc tơ pháp tuyến = ( 2;0;1) = Ta có cos ( ( SBC ) , ( SCD ) ) cos n= , n2 ( = ) 15 Ví DỤ = 2a, CD = DA = a Cạnh Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB bên SA = 2a vng góc với đáy ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng BD, SC S A D B C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ≡ O ( 0; 0; ) , D ( a; 0; ) , B ( 0; 2a; ) , S ( 0; 0; 2a ) , C ( a; a; ) Ta có BD = ( a; −2a;0 ) , SC = ( a; a; −2a ) , SB = ( 0;2a; −2a ) , BD, SC = ( 4a ; 2a ;3a ) , BD, SC SB 2a 2a BD, SC SB = −2a , BD, SC = 29a Suy d ( BD= SC = = , ) 29a 29 BD, SC Ví DỤ = 2a, CD = DA = a Cạnh Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A D , AB bên SA = 2a vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SD , G trọng tâm tam giác ∆SBC Tính thể tích khối tứ diện ACMG S M G A D B C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ≡ O ( 0; 0; ) , D ( a; 0; ) , B ( 0; 2a; ) , S ( 0; 0; 2a ) , C ( a; a; ) a a 2a M ;0; a , G ; a; 2 3 a a 2a = ;0; a , AC (= a; a;0 ) , AG ; a; ⇒ AM , AC AG = Ta có AM = a3 2 3 a ⇒ V ( ACMG = AG ) AM , AC = 6 Loại Hình chóp có đáy hình vng, hình chữ nhật Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) ; M , N hai điểm nằm hai cạnh BC , CD Đặt BM = x , DN = y ( < x, y < a ) Xác định hệ thức liên hệ x y để hai mặt phẳng ( SAM ) ( SMN ) vuông góc với nhau? Lời giải S A B D M C N Tọa độ hóa với O ≡ A , Ox ≡ AD , Oy ≡ AB , Oz ≡ AS Đặt SA= z > , ta có S ( 0; 0; z ) , M ( x; a; ) , N ( a; y; ) AS = ( 0; 0; z ) Do ⇒ AS ; AM = ( −az; xz; ) AM = x ; a ; ( ) SM ( x; a; − z ) = ⇒ SM ; SN = ( yz − az; xz − az; xy − a ) SN ( a; y; − z ) = Mặt phẳng ( SAM ) nhận AS ; AM = ( −az; xz;0 ) VTPT Mặt phẳng ( SMN ) nhận SM ; SN = ( yz − az; xz − az; xy − a ) VTPT Ta có ( SAM ) ⊥ ( SMN ) ⇔ AS ; AM SM ; SN = ⇔ az ( az − yz ) + xz ( xz − az ) =0 ⇔ a ( a − y ) + x ( x − a ) =0 ⇔ x + a =a ( x + y ) Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, = AB a= , AD 2= a, SA 3a Gọi M , N hình chiếu A lên SB, SD P giao điểm SC với mặt phẳng ( AMN ) Tính thể tích khối chóp S AMPN Lời giải z S M P N A y D B x C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có tọa độ điểm A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , C ( a; 2a;0 ) , S ( 0;0;3a ) ( 0;2a; −3a ) , SC = ( a;2a; −3a ) ( a;0; −3a ) , SD = Suy SB = x= a + t Phương trình SB : y = z = −3t ⇒ M ( a + t;0; −3t ) ⇒ AM =( a + t;0; −3t ) 9a 3a −a ⇒ M ;0; Mà AM ⊥ SB ⇒ AM SB = ⇔ ( a + t ) + 9t = ⇒ t = 10 10 10 18a 12a ; 13 13 27a , n AM AN = = − (1;2; −3) Suy 65 Tương tự ta tìm N 0; Do ta có phương trình ( AMN ) : x + y − 3z = x =t Phương trình SC : y = 2t nên tọa độ điểm P nghiệm hệ = z 3a − 3t x=t y = 2t 9a 9a 15a 9a 9a 15a ⇒ x= , y= , z= ⇒ P ; ; y = t 14 14 14 14 x + y − 3z = 27a 27a AM , AP = − 1;2; − = ) , AN , AP ( (1;2; −3) Ta có: 91 70 621 14.a 9a AM , AP + AN , AP = Suy S AMPN= d ( S , ( AMN ) ) = 1820 14 9a 621 14.a 1863.a = Vậy VS AMPN = 14 1820 1820 Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng ( AMC ) ( SBC ) Lời giải Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a = cho A ( 0; 0; ) , B ( 0;1; ) , D (1; 0; ) , S ( 0; 0; ) 1 2 1 AM , AC = −1;1; ⇒ ( AMC ) Ta có M trung điểm SD ⇒ M ;0;1 , C (1;1; ) AM = ;0;1 , 2 n= = SB ( −2; 2;1) AC = (1;1;0 ) , có vtpt = (1;1; −2 ) , SB, SC = ( 0; 2;1) ⇒ ( SBC ) có vtpt k = ( 0;2;1) ( 0;1; −2 ) , SC n.k Gọi α góc hai mặt phẳng ( AMC ) ( SBC ) cos α = = n.n = tan α Do tan α > nên −1 = cos α Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2, SA a SA vuông = a , AD a= góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm AD SC , I giao điềm BM AC Tính thề tích khối tứ diện ANIB Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A , tia Ox chứa B , tia Oy chứa D tia Oz chứa S Khi đó: a a a a ;0 , N ; ; A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C a; a 2;0 , D 0; a 2;0 , S ( 0;0; a ) , M 0; 2 2 a a a = AB (= a;0;0 ) , AN ; ; 2 2 Ta có ∆ IAM đồng dạng với ∆ ICB (góc-góc) ( Suy ra: ) ( ) a a IC BC ;0 = = ⇒ IC = −2 IA Từ tìm I ; 3 IA AM a a a 2 a ; ;0 AI = ; ;0 , AN , AI = 6 3 a a AN , AI AB = ⋅ = Thể tích khối tứ diện ANIB VANIB = 6 6 36 Ví DỤ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA = SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng = T ( SMC ) vng góc với mặt phẳng ( SNC ) Tính tổng đạt giá trị lớn 1 thể tích khối chóp S AMCN + AN AM Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ( 0; 0; ) , B ( 2; 0; ) , D ( 0; 2; ) , S ( 0; 0; ) Suy C ( 2; 2; ) Đặt AM = x , AN = y , x, y ∈ [ 0; 2] , suy M ( x; 0; ) , N ( 0; y; ) = SM SC ( 2;2; −2 ) , = SN ( 0; y; −2 ) ( x;0; −2 ) , = SM , SC= ⇒ n= ( 4; x − 4; x ) , n2 = SN , SC = ( − y; −4; −2 y ) Do ( SMC ) ⊥ ( SNC ) nên n1.n2 =0 ⇔ ( − y ) − ( x − ) − xy =0 ⇔ xy + ( x + y ) = − 2x − 2x , y ≤ nên ⇔ y= ≤ ⇔ x ≥ x+2 x+2 S AMCN =S ABCD − S BMC − S DNC =4 − ( − x ) − ( − y ) =x + y 2 − x x2 + SA.S AMCN = ( x + y ) = x + = x+2 x+2 3 3 x2 + 4x − x2 + Xét f ( x ) = với x ∈ [1; 2] , f ′ ( x ) = ( x + )2 x+2 Do VS AMCD = f ′ ( x ) = ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 + ; x =−2 − (loại) Lập BBT ta suy max f = ( x ) f= (1) f = ( 2) [0;2] Vậy max VS AMCN x = 1 1 y = =2 ⇔ ⇒T = + = 2+ 2= 2 x = AM AN x y y = Loại Lăng trụ đứng tam giác Ví DỤ 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có mặt đáy ABC tam giác vng A có AB = , AC = AA ' = Tính cosin góc hai vectơ AB ' BC Bài giải Chọn hệ trục toa độ hình vẽ Khi ta có: A ( 0; 0; ) , B ( 3; 0; ) , C ( 0; 4; ) , B ' ( 3; 0; ) ( 3;0;2 ) , BC = ( −3;4;0 ) Ta có: AB ' = AB '.BC Khi : cos AB ', BC = = AB ' BC ( ) ( −3) + 0.4 + 2.0 32 + 02 + 22 ( −3) + 42 + 02 = − 13 65 Ví DỤ 12 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có mặt đáy ABC tam giác vng B có AB = , AC = A ' B = Gọi M trung điểm AC Tính khoảng cách từ M đến ( A ' BC ) Bài giải Chọn hệ trục toa độ hình vẽ Ta có: AA '= BC = A ' B − AB = AC − AB = 22 − 12 = = −1 ( ) Khi ta có: B ( 0; 0; ) , A ( 0;1; ) , C ( ) ; ;0 2 ;0;0 , A ' 0;1; , M Ta có: BA ' = = 0;1; , BC 2;0;0 ⇒ BA ' ∧ BC = 0; ; − ( ( ) ) ( ) Khi phương trình ( A ' BC ) = Suy d ( M , ( A ' BC )) = 3y − z = Ví DỤ 13 O Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh bên 2a , góc tạo A ' B mặt đáy 60 Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A ' C AM Bài giải = AC = BC = Ta có: AB = AM BC a 2a 2a ⇒ MC = = = tan 60o 3 AB = a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ a Khi đó: M ( 0; 0; ) , A ( 0; a ; ) , C ; 0; , A ' ( 0; a ; 2a ) a 4a Ta có : A ' C = ; − a ; − 2a ⇒ A ' C = AM = ( 0; − a ;0 ) ⇒ AM = a ′C , AM ) = Khi có cos ( A Ví DỤ 14 A′C AM = A′C AM Ví DỤ 24 Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên SB, SC Chứng minh rẳng: ( AMN ) ⊥ ( SBC ) a Gọi M , N trung điểm a a a a = , OH= OA = , AH= OA = , OB = OC 3 3a a 5a a 15 2 − = ⇒ SH = Tam giác SAH vuông H nên SH = SA − AH = 12 = Ta có OA Chọn hệ trục hình vẽ Ta có: a a a O ( 0;0;0 ) , A 0; − ;0 , B ;0;0 , C − ;0;0 2 a a a 15 a a a 15 a a 15 S 0; − , ,− , , M ; , N − ; − 6 12 12 12 12 −a 15 5a AM , AN 0; ; Mặt phẳng ( AMN ) có vec tơ pháp= tuyến n1 = 24 24 a 15 a = n SB, SC 0; ; Mặt phẳng ( SBC ) có vec tơ pháp tuyến = 6 Khi n1.n2 =0 ⇒ n1 ⊥ n2 Vậy ( AMN ) ⊥ ( SBC ) Ví DỤ 25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân với ASB = 120° nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN S z M N C A y H B x Gọi H trung điểm AB Vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với O ≡ H , HB ≡ Ox , HC ≡ Oy , HS ≡ Oz AH Ta có : HC = AC − AH = = 3a ; SH = a tan ASH ( ) ( ) H ( 0; 0; ) , S ( 0; 0; a ) , A − a ;0;0 , B a ;0;0 , C ( 0;3a ; ) , M 0; 3a a 9a a ; , N 0; ; 2 4 3a a 9a a 3a 3a 15 3a ;− ; ⇒ AM = − a ; ; , BN = −a ; ; , AM , BN = 4 4 2 AM , BN AB , BN ) = Khoảng cách AN , BN : d ( AM = AM , BN 3a 237a = 79 711a Ví DỤ 26 Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết mặt phẳng ( AMN ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Lời giải Gọi O hình chiếu S ( ABC ) , ta suy O trọng tâm tam giác ABC Gọi I trung điểm BC , ta có AI = a a a , OI Suy= OA = Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ Đặt SO = h , ta a ;0;0 , O ( 0; 0; ) , S ( 0; 0; h ) , A a I − ;0;0 a a h a a a a h ; ; , N − C − ; − ;0 , M − ; − ; 2 12 12 a a ; ;0 , Suy B − Ta có 5a a h 5a a h a a a a AM = − ; ; , AN = ; − ; −h ; ; −h , SC = − ; − ; , SB = − − 2 12 12 ah 5a a2 n = SB SC = − ah , ;0; n AM , AN ;0; = = Suy ( AMN ) ( SBC ) 24 a h 15a 5a 2 ⇔− + = 0⇔h = ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇔ n( AMN ) n( SBC ) = 144 12 S∆AMN ⇒= a 10 a 10 AM ,= AN Vậy S ∆AMN = 16 16 Ví DỤ 27 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA = 2a , AB = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng ( SAB ) Lời giải Gọi O hình chiếu S ( ABC ) , ta suy O trọng tâm tam giác ABC Do M trung điểm BC nên AM = a a a Suy OA = OM = a a 33 = 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ, ta được: Xét tam giác SOA vng O , ta có SO= a SA2 − OA2= 4a − a a 33 ;0;0 , M − a a a a ; ;0 , C − ; − ;0 Suy B − 6 a a 33 a a a 33 ;0; − ; ;− Ta có SA = , SB = − a 33 a 11 a = n = SA ; ; Suy ( SAB ) ; SB 6 ;0;0 , S 0; 0; O ( 0; 0; ) , A 33 11 a 11 x+ y+ z− = 6 33 −a a 11 ⋅ − 6 a 165 = 30 33 11 + + 36 36 Phương trình măt phẳng ( SAB ) = Suy d ( M , ( SAB ) ) Ví DỤ 28 Cho hình chóp tam giác A.BCD có AB = a , BC = a Gọi M trung điểm cạnh CD Tính khoảng cách hai đường thẳng BM AD Lời giải Gọi O hình chiếu A ( BCD ) , ta suy O trọng tâm tam giác BCD Do M trung điểm CD nên BM = a a a Suy OB = OM = a 2a Xét tam giác AOB vuông O , ta có AO= AB − OB = 3a − = 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ, ta được: 2 a a 2a ;0;0 , A 0; 0; ;0;0 , M − a a a a ; − ;0 ; ;0 , C − Suy D − a a a 2a a 2a ;0;0 , AD = ; ;− ;0; − Ta có BM = − − , AB = a2 a 35 Suy BM , AD = 0; −a 2; − ⇒ BM , AD = a3 BM , AD AB 2a 70 , AD ) = = Khi d ( BM= 35 a 35 BM , AD Loại Chóp tứ giác chóp có đáy hình thoi, đường cao SO O ( 0; 0; ) , B Ví DỤ 29 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a , Gọi N , M trung điểm DC BC , K điểm cạnh BC cho BK = KM , tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SK BN Lời giải S A D N O B SO = SA2 − OA2 = K C M a 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho OM ≡ Ox , ON ≡ Oy , OS ≡ Oz a 2 a a a a a Khi S 0;0; ; K ; − ;0 ; B ; − ;0 ; N 0; ;0 10 2 a 2 a 2 9a a a a a = = n Suy SK = ; − ; − nên ; BN − ; a ;0 SK , BN ; ; 20 10 a a = SN 0; ; − d ( SK ,= BN ) n.SN = SK , BN a 2a 10 = 331 331 20 Ví DỤ 30 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA = 2a ; AB = a Gọi BC , tính cosin góc hai đường thẳng SM MN Lời giải N , M trung điểm S A D N O B K M C DC SO = SA2 − OA2 = a 14 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho OM ≡ Ox , ON ≡ Oy , OS ≡ Oz a 14 a a Khi S 0;0; ; M ;0;0 ; N 0; ;0 2 a a 14 a a SM ;0; − Suy ra= ; MN − ; ;0 2 2 SM MN 30 cos (= SM , MN ) = 30 SM MN Ví DỤ 31 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = a Tính cosin góc hai mặt phẳng ( SCD ) o ( SBC ) biết góc cạnh bên mặt đáy 60 S α A D O B C Lời giải = 600 Góc SB mặt đáy góc SBO = SO tan = 60.OB a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho OC ≡ Ox , OB ≡ Oy , OS ≡ Oz a a a 6 a ;0 ; C ;0;0 ; D 0; − ;0 Khi S 0;0; ; B 0; 2 − 3a 3a a Suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( SBC ) n= SB, SC = ;− ;− = , SC Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( SDC= ) a SD n.a = α = Do cosin góc hai mặt phẳng cos n.a 3a 3a a ;− ; 2 Loại Hình chóp có đáy hình vng (chữ nhật) mặt bên vng góc với đáy Ví DỤ 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a = , SA a= ; SB a mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM , DN Lời giải Gọi H hình chiếu S lên AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) SA2 a a = , SH = AB 2 2 Ta có: SA + SB = AB ⇒ SA ⊥ SB ⇒ AH = Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm: z S B x M H A D y C N a a a 3 A ( 0;0;0 ) , B ( 2a;0;0 ) , D ( 0;2a;0 ) , C ( 2a;2a;0 ) , H ;0;0 , S ;0; , M ( a;0;0 ) , N ( 2a; a;0 ) 2 2 Ta có S= S= ∆ADM ∆CDN = a.2a a ⇒ S BNDM = 4a − 2a = 2a 1 a a3 = SH S BMDN = 2a Thể tích khối chóp S BMDN :V = 3 a a DN = a − a ;0; , ; ;0 ⇒ SM DN = a Vì SM =− ( ) 2 SM DN a2 cos SM = , DN = = Vậy ( ) DM DN a.a 5 Ví DỤ 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với ( ABCD ) Tính khoảng cách từ A đến ( SCD ) theo a Lời giải z S D A B y O C x Gọi O trung điểm AB Ta có : AB ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) SO ⊥ AB Khơng tính tổng qt, đặt a = Chọn hệ trục ( Oxyz ) hình vẽ 3 1 Ta có : S 0;0; , A − ;0;0 , C ;1;0 , D − ;1;0 2 1 SC , SD 0; ;1 tuyến n = Mặt phẳng ( SCD ) qua điểm C ;1;0 có vectơ pháp= 2 nên có phương trình : ( y − 1) + z =0 ⇔ y + z − = = Khoảng cách từ A đến ( SCD ) là: d ( A , ( SCD )) Vậy d ( A , ( SCD ) ) = − = 3+ 21 a 21 Ví DỤ 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với ( ABCD ) Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) Lời giải z S D A B y O C x Gọi O trung điểm AB Ta có : AB ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) SO ⊥ AB Khơng tính tổng qt, đặt a = Chọn hệ trục ( Oxyz ) hình vẽ 3 1 1 Ta có : S 0;0; , A − ;0;0 , B ;0;0 , C ;1;0 , D − ;1;0 2 2 Mặt phẳng ( SAB ) có phương trình y = ⇒ j = ( 0;1;0 ) SC , SD 0; ;1 Mặt phẳng ( SCD ) có vectơ pháp= tuyến n = = Cosin góc tạo hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) : cos ( ( SAB ) , ( SCD )) Ví DỤ 35 j⋅n = j⋅n 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với ( ABCD ) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC theo a Lời giải z S D A B y O x C Gọi O trung điểm AB Ta có : AB ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) SO ⊥ AB Không tính tổng quát, đặt a = Chọn hệ trục ( Oxyz ) hình vẽ 3 1 Ta có : S 0;0; , A − ;0;0 , C ;1;0 , D − ;1;0 2 Khoảng cách hai đường thẳng AD SC là: AD , SC ⋅ AC = d ( AD , SC ) = AD , SC Vậy d ( AD , SC ) = a Loại Lăng trụ xiên Ví DỤ 36 Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc A1 lên ( ABCD ) trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1 BD ) Chọn hệ trục toạ độ cho tâm O gốc toạ độ , OA trục Ox, OB trục Oy, OA1 trục Oz a ;0;0 ⇒ A Vì mp ( A1 BD ) ≡ mp (Oy; Oz ) ≡ mp (Oyz ) nên mp ( A1 BD ) có phương trình: x = Khi : d (B1 ;( A1 BD = )) d ( A;( A1 BD = )) a a = 2 Ví DỤ 37 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có tất cạnh a hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H BC Tính khoảng cách h đường thẳng AA′ BC = ( AA ';(BCC'B')) d ( A;( BCC ' B ') Ta có : d (AA';BC) d= Chọn hệ trục cho H (0;0;0) hình vẽ Khi : A( a a a a ;0;0) , B (0; − ;0) , C (0; ;0) , A '(0;0; ) 2 2 a a ;0; ⇒ BC = (0; a;0), BB '= AA '= − 2 a2 a2 a2 VTPT mp(BCC’B’) : n = = BC , BB ' ;0; = (1;0; 3) ⇒ Phương trình mp(BCC’B’) : x + 3z = Vậy d (AA';BC) = d ( A;( BCC= ' B ') a a = Ví DỤ 38 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có A′ ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA′ BB′ Tính tan góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( CMN ) Gọi O trung điểm AB Gắn hệ trục tọa độ cho O ( 0; 0; ) hình khơng tính tổng qt ta chọn a = , ta có: 1 A ;0;0 , B − ;0;0 , C 0; ;0 , H 0; ;0 2 6 ⇒ A′ 0; ; 6 ′ n ′ ′ ⇒ B − 1; ; AB = A B Ta có Dễ thấy ( ABC ) có vtpt = ( 0;0;1) 1 6 −3 ; ; M trung điểm AA′ ⇒ M ; , N trung điểm BB′ ⇒ N ; 12 12 −5 MN = ( −1;0;0 ) , CM = ; ; 12 3 ; 0; 2;5 ⇒ ( CMN ) có vtpt n2 = 0; = 12 12 2 ⇒ tan ϕ= −1 = cos ϕ = cos ϕ 33 A′H = ( Ví DỤ 39 ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác ABC vuông A , AB = , AC = , AA′ = 61 Hình chiếu B′ lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC , M trung điểm cạnh A′B′ Tính cosin góc tạo mặt phẳng ( AMC ′ ) mặt phẳng ( A′BC ) Gọi H trung điểm BC Ta có: BC = AB + AC = Xét tam giác B′BH vuông H : B′H = BB′2 − BH = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A trùng với O hình vẽ Với A ( 0; 0; ) , B ( 0;3; ) , C ( 4; 0; ) ⇒ H 2; ;0 trung điểm BC ⇒ B′ 2; ;3 =′ AA =′ CC ′ ⇒ A′ 2; − ;3 ; C ′ 6; − ;3 ⇒ M ( 2; 0;3) Do BB AM = ( 2;0;3) ; AC =′ 6; − ;3 nên vectơ pháp tuyến ( MAC ′ ) n ( MAC′) = AM , AC ′ 9 = ;12; −3 2 ′ n A′B = − 2; ; − = A C 2; ; − ; nên vectơ pháp tuyến ( A′BC ) ( A′BC ) = A′B, A′C =( −9; −12; −12 ) Gọi ϕ góc tạo mặt phẳng ( AMC ′ ) mặt phẳng ( A′BC ) ( −9 ) + 12 ( −12 ) − ( −12 ) n ( MAC′) n ( A′BC ) 33 cos ϕ = = = 3157 n ( MAC′) n ( A′BC ) 2 2 9 + 12 + ( −3) ( −9 ) + ( −12 ) + ( −12 ) 2 ... AMN ) Tính thể tích khối chóp S AMPN Lời giải z S M P N A y D B x C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có tọa độ điểm A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , C ( a; 2a;0 ) , S ( 0;0;3a ) ... − (1;2; −3) Suy 65 Tương tự ta tìm N 0; Do ta có phương trình ( AMN ) : x + y − 3z = x =t Phương trình SC : y = 2t nên tọa độ điểm P nghiệm hệ = z 3a − 3t x=t y = 2t 9a 9a 15a... DẠNG GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CĨ SẴN MƠ HÌNH TAM DIỆN VNG Dạng tốn : Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác vuông C , AB ⊥ ( BCD ) Cách dựng : A D B C Ta dựng hệ trục tọa độ Oxyz cho C